Площадь · урок 7 из 16 · практикум

Практикум: формулы площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM8U-045

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Площадь» (16 ч), урок 7/16, единица R03.3. Тип урока — П (практикум после урока GEOM8U-041, где формулы выведены).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка формул 2 · где искать высоту 2 · теорема об общем угле 3 · метод площадей 2 · схема решения 2.
Практика (33): разминка 3 · образцы → сам 2,5 + 3 + 3 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: третье задание каждого «Образец → сам» и ОГЭ 25 — в ДЗ; доказательство теоремы об общем угле не сокращать.

R03.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить высоту

через угол $3 0^{\circ}$ или $4 5^{\circ}$ , проекции, биссектрису — и считать площадь (ПР-7)

Сравнивать площади

треугольников с общим углом и общей высотой, не вычисляя их

Применять метод площадей

одна площадь — две записи: находить высоты и доказывать равенства (ПР-7)

Считать площадь разными способами

разбиением и достроением, в задачах из жизни и ОГЭ 17, 18, 25

0,5 мин · теория
ПР-7: «Выводить и использовать простейшие формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции. Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором)».
Виды деятельности ФРП R03: находить площади фигур на клетчатой бумаге разбиением и достроением; вычислять площади многоугольных фигур; решать задачи на площадь с практическим содержанием.
Теорема Пифагора — следующая строка (R04), в задачах урока не нужна: высоты находим через углы $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ , проекции и метод площадей.

повторение: R03.2–R03.3

Разминка · устно

Формулы — в одно действие

Параллелограмм: сторона $8$ , высота к ней $5$ . $S$ ? $40$
Треугольник: сторона $10$ , высота к ней $7$ . $S$ ? $35$
Диагонали ромба $6$ и $10$ . $S$ ? $30$
Основания трапеции $4$ и $8$ , высота $5$ . $S$ ? $30$

Гипотенуза $9$ , острый угол $3 0^{\circ}$ . Катет против него? $4, 5$
Медиана делит треугольник площади $26$ на две части. Площадь каждой? $13$
$S_{△} = 18$ , высота $4$ . Сторона, к которой она проведена? $9$

R03.3

Сводка · формулы площади

Каждая формула — пара «основание — высота»

Параллелограмм

S = a h

Треугольник

S = \frac{1}{2} a h

Две высоты треугольника

S = \frac{1}{2} a h_{a} = \frac{1}{2} b h_{b}

Ромб, диагонали $⊥$

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

Трапеция

S = \frac{a + b}{2} h

Через среднюю линию

S = m h

R03.3 · повторение 7 класса и R02

Приёмы · где искать высоту

Высоты нет в условии — найдём её

Угол $3 0^{\circ}$

$h = \frac{1}{2} c$ — катет против $3 0^{\circ}$

Угол $4 5^{\circ}$

$h$ $=$ $x$ — треугольник равнобедренный

Равнобедренная трапеция

проекция боковой стороны $\frac{a - b}{2}$

Прямоугольный треугольник

$h^{2} = a_{c} b_{c}$ , $h = \frac{ab}{c}$

2 мин · теория
1) Высота — катет прямоугольного треугольника с гипотенузой c и углом 30°: h = c/2. Работает и для тупого угла 150°: смежный угол 30°.
2) Угол 45° ⇒ прямоугольный треугольник равнобедренный: высота равна отрезку x у основания.
3) В равнобедренной трапеции высоты из концов меньшего основания отсекают равные отрезки (a − b)/2; от вершины A до основания второй высоты — (a + b)/2.
4) Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике (строка R02): h² = a_c·b_c; метод площадей: ½·a·b = ½·c·h ⇒ h = ab/c.

R03.3 · R01

Образец → сам · параллелограмм и биссектриса

Сначала стороны, потом высота

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $∠ A = 3 0^{\circ}$ , биссектриса $A K$ , $B K = 8$ , $K C = 4$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

$∠ B K A = ∠ K A D = ∠ B A K$ ⇒ $A B = B K = 8$ накрест лежащие; $△ A B K$ равнобедренный

$A D = BC = 12$ , $B H = \frac{1}{2} A B = 4$ катет против $3 0^{\circ}$

$S = A D \cdot B H = 12 \cdot 4 = 48$

Сам

То же, но $B K = 10$ , $K C = 4$ . Найдите $S$ . $70$
Сторона ромба $14$ , тупой угол $15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $98$
Стороны параллелограмма $8$ и $10$ , $S = 40$ . Найдите острый угол. $3 0^{\circ}$

R03.3

Образец → сам · трапеция с перпендикулярными диагоналями

Высота равна средней линии

Образец: $A BC D$ — равнобедренная трапеция, $BC = 6$ , $A D = 14$ , $A C ⊥ B D$ . Найдите $S$ .

$△ BOC$ , $△ A O D$ — равнобедренные прямоугольные углы при основаниях по $4 5^{\circ}$

$OP = \frac{1}{2} BC = 3$ , $OQ = \frac{1}{2} A D = 7$ медиана к гипотенузе

$h = 3 + 7 = 10$ , $S = \frac{6 + 14}{2} \cdot 10 = 100$

Сам

Та же трапеция, основания $4$ и $12$ . Найдите $S$ . $64$
Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, высота $9$ . Найдите $S$ . $81$
Диагональ равнобедренной трапеции образует с основанием угол $4 5^{\circ}$ , высота $7$ . Найдите $S$ . $49$

3 мин · практика
Образец: трапеция равнобедренная ⇒ △ABD = △DCA, ∠ODA = ∠OAD; ∠AOD = 90° ⇒ эти углы по 45°. Аналогично в △BOC. PQ — высота через O, перпендикулярная основаниям; в равнобедренном прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе — медиана и равна половине гипотенузы: OP = 3, OQ = 7. h = 10 = средней линии; S = m·h = 10 · 10 = 100.
Проверка второй формулой: AC = BD, S = ½·AC·BD; AC = AO + OC = 7√2 + 3√2 = 10√2, S = ½ · 200 = 100 ✓ (для сильных).
1) h = (4 + 12)/2 = 8, S = 8 · 8 = 64. 2) h = m = 9 ⇒ S = 81. 3) Высота CK: ∠CAK = 45° ⇒ AK = CK = 7; в равнобедренной трапеции AK = (a + b)/2 = m ⇒ S = 7 · 7 = 49.

R03.3

Теорема · отношение площадей треугольников с общим углом

$\frac{S _{A B_{1} C_{1}}}{S _{A BC}} = \frac{A B _{1}}{A B} \cdot \frac{A C _{1}}{A C}$

Дано:

△ A BC

,

B_{1} \in A B

,

C_{1} \in A C

(угол

A

общий).
Доказать:

S_{A B_{1} C_{1}} : S_{A BC} = \frac{A B _{1} \cdot A C _{1}}{A B \cdot A C}

.

1

\frac{S _{A B_{1} C_{1}}}{S _{A B_{1} C}} = \frac{A C _{1}}{A C}

общая высота из

B_{1}

к прямой

A C

2

\frac{S _{A B_{1} C}}{S _{A BC}} = \frac{A B _{1}}{A B}

общая высота из

C

к прямой

A B

3Перемножим равенства 1 и 2 —

S_{A B_{1} C}

сократитсячто и требовалось доказать

3 мин · теория
Теорема из учебника (п. «Площадь треугольника», следствие 2): если угол одного треугольника равен углу другого, то площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы. Равные углы всегда можно совместить — получим чертёж слайда.
Опора — следствие урока 041: у треугольников с общей высотой площади относятся как основания. Треугольник 2 (AB₁C, штрих) — «мостик» между 1 и ABC.
Частный случай: подобные треугольники, AB₁ : AB = AC₁ : AC = k ⇒ отношение площадей k² (урок 042).
Вопрос: B₁ — середина AB, C₁ — середина AC. Какая доля площади отсечена? (¼.)

R03.3

Образец → сам · отношения отрезков → отношение площадей

Площадь части без высоты

Образец: $S_{A BC} = 48$ , $A M : MB = 2 : 1$ , $A N : NC = 3 : 1$ . Найдите $S_{A MN}$ и $S_{BMNC}$ .

$\frac{A M}{A B} = \frac{2}{3}$ , $\frac{A N}{A C} = \frac{3}{4}$ части: $2 x + x$ , $3 y + y$

$S_{A MN} = 48 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = 24$ , $S_{BMNC} = 48 - 24 = 24$

Сам

$S_{A BC} = 60$ , $A M : MB = 1 : 2$ , $N$ — середина $A C$ . Найдите $S_{A MN}$ . $10$
$∠ A = ∠ A_{1}$ , $A B = 4$ , $A C = 9$ , $A_{1} B_{1} = 6$ , $A_{1} C_{1} = 3$ , $S_{A BC} = 24$ . Найдите $S_{A_{1} B_{1} C_{1}}$ . $12$
$A M : MB = BN : NC = C K : K A = 1 : 2$ , $S_{A BC} = 27$ . Найдите $S_{MN K}$ . $9$

R03.3

Метод площадей · схема

Одна площадь — две записи

Две высоты

$\frac{1}{2} a h_{a} = \frac{1}{2} b h_{b}$ ⇒ $\frac{h _{a}}{h _{b}} = \frac{b}{a}$

высоты обратно пропорциональны сторонам: к большей стороне — меньшая высота

Разбиение на части

$S = S_{1} + S_{2} + \dots$ — площадь фигуры через площади частей с удобными высотами

записываем $S$ двумя способами и приравниваем

2 мин · теория
Метод площадей: величину (высоту, расстояние, отрезок) находят, записав площадь фигуры двумя способами. Так выведена формула h = ab/c для прямоугольного треугольника.
Вопрос: стороны треугольника 6 и 9, к какой проведена бо́льшая высота? (К стороне 6.) Во сколько раз она больше? (В 1,5 раза.)
Второй вариант — разбиение: точку внутри фигуры соединяют с вершинами, площади частей пишут через расстояния до сторон. Этим доказывают задачи ОГЭ 24.

R03.3

Образец → сам · задача на доказательство

Метод площадей в доказательстве

Образец: $A B = BC$ , $M \in A C$ , $MP ⊥ A B$ , $MQ ⊥ BC$ , $A F ⊥ BC$ . Докажите: $MP + MQ = A F$ .

$S_{A BC} = S_{A BM} + S_{CBM} = \frac{1}{2} A B \cdot MP + \frac{1}{2} BC \cdot MQ$ разбиение

$= \frac{1}{2} BC (MP + MQ)$ $A B = BC$

$S_{A BC} = \frac{1}{2} BC \cdot A F$ ⇒ $MP + MQ = A F$

Сам: план и обоснования

Докажите: в равностороннем треугольнике сумма расстояний от любой внутренней точки до сторон равна высоте. 3 треугольника, равные основания $a$
Докажите: точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от всех сторон. 4 равных треугольника, равные основания
В образце $A B = 10$ , $S_{A BC} = 40$ . Найдите $MP + MQ$ . $8$

3 мин · практика
Образец: MP и MQ — высоты треугольников ABM и CBM к сторонам AB и BC; AF — высота △ABC к BC. Записали площадь двумя способами и сократили на ½·BC. Сумма не зависит от положения M на основании.
1) Соединим точку M с вершинами: S = ½·a·d₁ + ½·a·d₂ + ½·a·d₃ = ½·a·(d₁ + d₂ + d₃); S = ½·a·h ⇒ d₁ + d₂ + d₃ = h.
2) Диагонали ромба делят его на 4 равных треугольника (по трём сторонам: стороны ромба равны, половины диагоналей равны) ⇒ площади равны; основания — равные стороны ромба ⇒ высоты из O равны.
3) AF = 2S : BC = 80 : 10 = 8 (BC = AB = 10) ⇒ MP + MQ = 8.
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования.

R03.3

Образец → сам · достроение и задачи из жизни

Нет удобной высоты — достроим до прямоугольника

Образец: клетка $1 \times 1$ , $A (0; 1)$ , $B (5; 0)$ , $C (3; 4)$ . Найдите $S_{A BC}$ .

прямоугольник $5 \times 4 = 20$

$S_{1} = 2, 5$ , $S_{2} = 4$ , $S_{3} = 4, 5$ прямоугольные треугольники

$S = 20 - 11 = 9$

Сам

$A (0; 0)$ , $B (1; 3)$ , $C (5; 4)$ , $D (6; 1)$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $15$
Два ската крыши — трапеции: основания $6$ м и $10$ м, высота $4, 5$ м. Банки краски хватает на $12$ м². Сколько банок? $6$
Плитка — ромб с диагоналями $20$ см и $30$ см. Сколько плиток на $6$ м²? $200$

2,5 мин · практика
Образец: ни одна сторона не идёт по линиям сетки — достраиваем до прямоугольника 5 × 4 = 20 и вычитаем три прямоугольных треугольника: S₁ = ½ · 5 · 1 = 2,5; S₂ = ½ · 2 · 4 = 4; S₃ = ½ · 3 · 3 = 4,5. S = 20 − 11 = 9.
1) Достраиваем до прямоугольника 6 × 4 = 24 и вычитаем пять частей: треугольник (0; 0), (0; 3), B — 1,5; квадрат у угла (0; 4) — 1; треугольник B, (1; 4), C — 2; треугольник C, (6; 4), D — 1,5; треугольник D, (6; 0), A — 3. Сумма 9; S = 24 − 9 = 15.
2) Один скат: (6 + 10)/2 · 4,5 = 36 м²; два — 72 м²; 72 : 12 = 6 банок.
3) Плитка: ½ · 20 · 30 = 300 см² = 0,03 м²; 6 : 0,03 = 200 плиток.

R03.3

Схема-конспект · как найти площадь

Четыре шага решения

1Узнать фигуру

параллелограмм, ромб, трапеция, треугольник — какая формула подходит? Если фигура «неудобная» — разбить или достроить.

2Выбрать пару

основание и перпендикулярная к нему высота; для ромба и $⊥$ диагоналей — $d_{1}$ , $d_{2}$ .

3Найти недостающее

угол $3 0^{\circ}$ / $4 5^{\circ}$ , проекции в трапеции, биссектриса и равнобедренный треугольник, метод площадей.

4Проверить

высота не больше боковой стороны; посчитать другим способом; при общем угле — отношение сторон.

R03.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
Общий угол: $\frac{S _{1}}{S} = \frac{A B _{1}}{A B}$	отношение — по двум сторонам угла	$\frac{S _{1}}{S} = \frac{A B _{1}}{A B} \cdot \frac{A C _{1}}{A C}$
$h_{a} : h_{b} = a : b$	$a h_{a} = b h_{b}$ — обратная пропорциональность	$h_{a} : h_{b} = b : a$
Трапеция, угол $4 5^{\circ}$ : $h$ = боковой стороне	равны катеты, а боковая сторона — гипотенуза	$h = \frac{a - b}{2}$
Клетки: высота к наклонной стороне «на глаз»	высоту по клеткам считают только к стороне по линии сетки	достроить до прямоугольника

R03.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Параллелограмм $A BC D$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , биссектриса $A K$ , $B K = 6$ , $K C = 2$ . Найдите $S$ .

$A B = 6$ , $A D = 8$

$S = 8 \cdot 6 = 48$

$h = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ ,
$S = 8 \cdot 3 = 24$

б) $S_{A BC} = 36$ , $A M : MB = 1 : 2$ , $N$ — середина $A C$ . Найдите $S_{A MN}$ .

$S_{A MN} = 36 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 9$

$\frac{A M}{A B} = \frac{1}{3}$ : $S = 36 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = 6$

в) Стороны треугольника $10$ и $15$ , высота к стороне $15$ равна $8$ . Найдите высоту к стороне $10$ .

$h = 8 \cdot \frac{10}{15} = 5 \frac{1}{3}$

$10 h = 15 \cdot 8$ ⇒ $h = 12$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Стороны найдены верно (AB = BK = 6, AD = BC = 8), но площадь посчитана как у прямоугольника. Высота — катет против 30°: 3; S = 24.
б) Отношение 1 : 2 приняли за долю ½. AM составляет ⅓ стороны AB: S = 36 · ⅓ · ½ = 6.
в) Прямая пропорциональность вместо обратной. S = ½ · 15 · 8 = 60, h = 2 · 60 : 10 = 12. Проверка: к меньшей стороне — большая высота ✓.

R03.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаРомб: сторона $9$ , высота $4$ . $S$ ? $36$
базаСтороны параллелограмма $6$ и $10$ , угол $3 0^{\circ}$ . $S$ ? $30$
базаКатеты $7$ и $10$ . $S$ ? $35$

базаСредняя линия трапеции $9$ , $S = 63$ . Высота? $7$
базаРомб: $S = 24$ , диагональ $6$ . Другая диагональ? $8$
базаТреугольник: $S = 30$ , сторона $12$ . Высота к ней? $5$

R03.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Равнобедренная трапеция: основания $7$ и $15$ , угол при основании $4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ . $44$
повыш.Высоты параллелограмма $3$ и $5$ , периметр $32$ . Найдите $S$ . $30$
повыш.Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки $4$ и $9$ . Найдите $S$ . $39$
повыш. $S_{A BC} = 40$ , $M \in A B$ , $N \in A C$ , $A M : MB = 3 : 2$ , $A N : NC = 1 : 3$ . Найдите $S_{BMNC}$ . $34$

R03.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17, 18 и 25

Ответ — одно число

ОГЭ 17Периметр ромба равен $48$ , а один из углов $3 0^{\circ}$ . Найдите площадь ромба. $72$
ОГЭ 17Основания трапеции $18$ и $12$ , боковая сторона $6$ образует с одним из оснований угол $15 0^{\circ}$ . Найдите площадь. $45$
ОГЭ 25Диагонали трапеции $A BC D$ ( $BC ∥ A D$ ) пересекаются в $O$ , $S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 9$ . Найдите площадь трапеции. $25$

ОГЭ 18 Клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь ромба.

Ответ: 24

R03.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Стороны параллелограмма $8$ и $14$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $56$
Ромб: $S = 60$ , одна диагональ $12$ . Найдите другую. $10$
Равнобедренная трапеция, основания $5$ и $13$ , диагонали перпендикулярны. Найдите $S$ . $81$
$S_{A BC} = 45$ , $A M : MB = 1 : 2$ , $A N : NC = 2 : 1$ ( $M \in A B$ , $N \in A C$ ). Найдите $S_{A MN}$ . $10$

Вариант 2

Стороны параллелограмма $6$ и $16$ , угол $15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $48$
Ромб: $S = 54$ , одна диагональ $9$ . Найдите другую. $12$
Равнобедренная трапеция, основания $3$ и $11$ , диагонали перпендикулярны. Найдите $S$ . $49$
$S_{A BC} = 56$ , $A M : MB = 3 : 1$ , $N$ — середина $A C$ ( $M \in A B$ ). Найдите $S_{A MN}$ . $21$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти высоту параллелограмма с углом $3 0^{\circ}$ ?
Как относятся площади треугольников с общим углом?
В чём идея метода площадей?

Домашнее задание

Параллелограмм: $∠ A = 3 0^{\circ}$ , биссектриса $A K$ , $B K = 12$ , $K C = 3$ . Найдите $S$ .
Равнобедренная трапеция с перпендикулярными диагоналями, основания $10$ и $16$ . Найдите $S$ .
* $M$ — точка внутри параллелограмма $A BC D$ . Докажите: $S_{A MB} + S_{CM D} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_ploshchadi_parallelogramma_treugolnika_trapecii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-045 · Практикум: Простейшие формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R03 «Площадь», 16 ч · урок 7/16 · тип П
Единицы → слайды	R03.3 «Простейшие формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции» → 2, 4–20 · повторение R03.2–R03.3 → 3
Результаты	ПР-7 (использовать формулы площади; вычислять площадь треугольника и многоугольных фигур различными способами) → 4–20
Вне урока	вывод формул — GEOM8U-041; площади подобных фигур — GEOM8U-042, 046; теорема Пифагора — R04 (в задачах не используется); формула с синусом угла — 9 класс
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: формулы площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции

Сегодня вы научитесь

Находить высоту

Сравнивать площади

Применять метод площадей

Считать площадь разными способами

Формулы — в одно действие

Каждая формула — пара «основание — высота»

Параллелограмм

Треугольник

Две высоты треугольника

Ромб, диагонали ⊥

Трапеция

Через среднюю линию

Высоты нет в условии — найдём её

Угол 30∘

Угол 45∘

Равнобедренная трапеция

Прямоугольный треугольник

Сначала стороны, потом высота

Образец: ABCD — параллелограмм, ∠A=30∘, биссектриса AK, BK=8, KC=4. Найдите SABCD​.

Сам

Высота равна средней линии

Образец: ABCD — равнобедренная трапеция, BC=6, AD=14, AC⊥BD. Найдите S.

Сам

SABC​SAB1​C1​​​=ABAB1​​⋅ACAC1​​

Площадь части без высоты

Образец: SABC​=48, AM:MB=2:1, AN:NC=3:1. Найдите SAMN​ и SBMNC​.

Сам

Одна площадь — две записи

Две высоты

Разбиение на части

Метод площадей в доказательстве

Образец: AB=BC, M∈AC, MP⊥AB, MQ⊥BC, AF⊥BC. Докажите: MP+MQ=AF.

Сам: план и обоснования

Нет удобной высоты — достроим до прямоугольника

Образец: клетка 1×1, A(0;1), B(5;0), C(3;4). Найдите SABC​.

Сам

Четыре шага решения

1Узнать фигуру

2Выбрать пару

3Найти недостающее

4Проверить

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Параллелограмм ABCD, ∠A=30∘, биссектриса AK, BK=6, KC=2. Найдите S.

б) SABC​=36, AM:MB=1:2, N — середина AC. Найдите SAMN​.

в) Стороны треугольника 10 и 15, высота к стороне 15 равна 8. Найдите высоту к стороне 10.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 18 Клетка 1×1. Найдите площадь ромба.

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-045 · Практикум: Простейшие формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции

Ромб, диагонали $⊥$

Угол $3 0^{\circ}$

Угол $4 5^{\circ}$

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $∠ A = 3 0^{\circ}$ , биссектриса $A K$ , $B K = 8$ , $K C = 4$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

Образец: $A BC D$ — равнобедренная трапеция, $BC = 6$ , $A D = 14$ , $A C ⊥ B D$ . Найдите $S$ .

$\frac{S _{A B_{1} C_{1}}}{S _{A BC}} = \frac{A B _{1}}{A B} \cdot \frac{A C _{1}}{A C}$

Образец: $S_{A BC} = 48$ , $A M : MB = 2 : 1$ , $A N : NC = 3 : 1$ . Найдите $S_{A MN}$ и $S_{BMNC}$ .

Образец: $A B = BC$ , $M \in A C$ , $MP ⊥ A B$ , $MQ ⊥ BC$ , $A F ⊥ BC$ . Докажите: $MP + MQ = A F$ .

Образец: клетка $1 \times 1$ , $A (0; 1)$ , $B (5; 0)$ , $C (3; 4)$ . Найдите $S_{A BC}$ .

а) Параллелограмм $A BC D$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , биссектриса $A K$ , $B K = 6$ , $K C = 2$ . Найдите $S$ .

б) $S_{A BC} = 36$ , $A M : MB = 1 : 2$ , $N$ — середина $A C$ . Найдите $S_{A MN}$ .

в) Стороны треугольника $10$ и $15$ , высота к стороне $15$ равна $8$ . Найдите высоту к стороне $10$ .

ОГЭ 18 Клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь ромба.