Площадь · урок 6 из 16 · практикум

Практикум: свойства площадей геометрических фигур

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM8U-044

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 11,5 мин · практика 33,5 мин (74 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Площадь» (16 ч), урок 6/16, единица R03.2. Тип урока — П (практикум): теория — только сводка и опорные факты, остальное решают ученики.
Теория (11,5): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка свойств 2 · демонстрация «три способа» 1,5 · общая высота 2,5 · общее основание, трапеция 2,5 · схема приёмов 2.
Практика (33,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 18/19 — 2 · ОГЭ 24/25 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Опора: свойства площади (GEOM8U-040), формулы площадей треугольника, параллелограмма, трапеции (GEOM8U-041), отношение площадей подобных фигур (GEOM8U-042) — нужно только в ОГЭ 25.
Если не успеваете: образец 5 и ОГЭ 25 — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.
Картинка титула — трапеция с диагоналями: розовые треугольники при боковых сторонах равновелики (сл. 11).

R03.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Разбивать и достраивать

находить площадь составной фигуры двумя способами (ПР-7)

Считать по клеткам

площадь многоугольника на клетчатой бумаге — ОГЭ 18

Сравнивать площади

треугольников с общей высотой или общим основанием (ПР-7)

Доказывать равновеликость

через свойства площади — ОГЭ 24–25

0,5 мин · теория
ПР-7: «Выводить и использовать простейшие формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции. Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором)».
Виды деятельности ФРП R03: «Формулировать свойства площади, выяснять их наглядный смысл… Находить площади фигур, изображенных на клетчатой бумаге, использовать разбиение на части и достроение… Решать задачи на площадь с практическим содержанием».

повторение: R03.1–R03.3

Разминка · устно

Формулы и свойства — за 2 минуты

Площадь прямоугольника $7 \times 9$ ? $63$
Катеты прямоугольного треугольника $6$ и $8$ . Площадь? $24$
Сторона параллелограмма $10$ , высота к ней $4$ . Площадь? $40$
Основание треугольника $12$ , высота $5$ . Площадь? $30$
Площадь фигуры на рисунке? $100 - 9 = 91$
Треугольник разрезан на части площадью $14$ и $9$ . Его площадь? $23$

R03.2

Сводка · свойства площади

Три свойства и два следствия

1. Равные многоугольники имеют равные площади.

2. Фигура составлена из частей без общих внутренних точек ⇒

S = S_{1} + S_{2}

.

3. Площадь единичного квадрата равна

1

.

Следствие: часть вырезали ⇒

S_{ост} = S - S_{выр}

.

Равновеликие — фигуры с равными площадями; равные ⇒ равновеликие, обратное неверно.

R03.2

Демонстрация · одна фигура, три способа

Разбить, достроить или по формуле

$A (0; 0)$ , $B (1; 4)$ , $C (6; 4)$ , $D (8; 0)$ ; клетка $1 \times 1$

Разбить: $2 + 20 + 4 = 26$ треугольник + прямоугольник $5 \times 4$ + треугольник

Достроить: $32 - 2 - 4 = 26$ прямоугольник $8 \times 4$ минус два угла

Формула: $\frac{5 + 8}{2} \cdot 4 = 26$ трапеция: $BC ∥ A D$

R03.2

Образец → сам · вычитание и сложение площадей

Площадь составной фигуры

Образец: из прямоугольника $10 \times 6$ вырезали треугольник (размеры на рисунке). Найдите площадь остатка.

$S_{пр} = 10 \cdot 6 = 60$ $S = ab$

$S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ $S = \frac{1}{2} ah$

$S = 60 - 6 = 54$ следствие свойства 2

Сам

К прямоугольнику $8 \times 5$ по стороне $5$ приложили прямоугольный треугольник с катетами $5$ и $6$ . Площадь фигуры? $55$
Из квадрата $9 \times 9$ по углам вырезали четыре квадрата $2 \times 2$ . Площадь остатка? $65$
$S_{A BC D} = 48$ (параллелограмм), $M \in BC$ . Из него вырезали $△ A M D$ . Площадь остатка? $24$

R03.2

Образец → сам · достроение на клетчатой бумаге

Треугольник «без удобной стороны»

Образец: $A (1; 1)$ , $B (7; 3)$ , $C (3; 6)$ , клетка $1 \times 1$ . Найдите $S_{A BC}$ .

описанный прямоугольник $6 \times 5 = 30$

углы: $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2$ $+$ $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3$ $+$ $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5$ $= 17$

$S = 30 - 17 = 13$ свойство 2

Сам: нарисуйте в тетради

Треугольник $(0; 0)$ , $(5; 2)$ , $(2; 4)$ . $8$
Квадрат $(0; 1)$ , $(3; 0)$ , $(4; 3)$ , $(1; 4)$ . $10$
Четырёхугольник $(1; 0)$ , $(5; 1)$ , $(4; 5)$ , $(0; 3)$ . $15, 5$

2,5 мин · практика
Образец: щелчок — описанный прямоугольник и три отрезанных прямоугольных треугольника (цвета совпадают с записью): 6 + 6 + 5 = 17, S = 13. Проверено формулой площади по координатам.
1) 5 · 4 = 20; углы ½ · 5 · 2 = 5, ½ · 3 · 2 = 3, ½ · 2 · 4 = 4; S = 20 − 12 = 8.
2) 4 · 4 = 16 минус четыре треугольника ½ · 3 · 1 = 1,5: S = 16 − 6 = 10 (сторона квадрата — диагональ прямоугольника 3 × 1, её квадрат 10).
3) 5 · 5 = 25; углы ½ · 1 · 3 = 1,5; ½ · 4 · 1 = 2; ½ · 1 · 4 = 2; ½ · 4 · 2 = 4; всего 9,5; S = 15,5.

R03.2

Опорный факт 1 · доказательство

Общая высота — площади как основания

Дано:

D \in A C

,

B H ⊥ A C

.
Доказать:

S_{A B D} : S_{D BC} = A D : D C

.

1

S_{A B D} = \frac{1}{2} \cdot A D \cdot B H

B H

— высота

△ A B D

к стороне

A D

2

S_{D BC} = \frac{1}{2} \cdot D C \cdot B H

та же

B H

— высота

△ D BC

3

S_{A B D} : S_{D BC} = A D : D C

делим равенства,

\frac{1}{2} B H

сокращается

4Медиана делит треугольник на два равновеликих

A D = D C

⇒ площади равны

R03.2

Образец → сам · отношение площадей

Делим треугольник отрезком из вершины

Образец: $D \in A C$ , $A D : D C = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 40$ . Найдите $S_{A B D}$ и $S_{D BC}$ .

$S_{A B D} : S_{D BC} = 2 : 3$ общая высота из $B$

$2 x + 3 x = 40$ , $x = 8$ свойство 2

$S_{A B D} = 16$ , $S_{D BC} = 24$

Сам

$BM$ — медиана $△ A BC$ , $S_{A BM} = 13$ . Найдите $S_{A BC}$ . $26$
$D \in A C$ , $S_{A B D} = 12$ , $S_{D BC} = 18$ , $A C = 20$ . Найдите $A D$ . $8$
$A M$ — медиана $△ A BC$ , $K$ — середина $A M$ , $S_{A BC} = 48$ . Найдите $S_{A B K}$ . $12$

R03.2

Опорный факт 2 · доказательство

Треугольники при боковых сторонах трапеции равновелики

Дано:

A BC D

— трапеция,

BC ∥ A D

,

A C \cap B D = O

.
Доказать:

S_{A BO} = S_{D CO}

.

1

S_{A B D} = S_{A C D}

общее основание

A D

; высоты равны — расстояние между

BC

и

A D

2

S_{A BO}

= S_{A B D} -

S_{A O D}

,

S_{D CO}

= S_{A C D} -

S_{A O D}

свойство 2

3

S_{A BO} = S_{D CO}

из равных вычли одно и то же

R03.2

Образец → сам · задача на доказательство

Четыре равновеликих треугольника

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A C \cap B D = O$ . Докажите: $S_{A OB} = S_{BOC} = S_{CO D} = S_{D O A}$ .

$A O = OC$ , $BO = O D$ свойство параллелограмма

$S_{A OB} = S_{BOC}$ $BO$ — медиана $△ A BC$

так же для $CO D$ , $D O A$ ⇒ каждая $= \frac{1}{4} S_{A BC D}$

Сам: план и обоснования

$M$ — любая точка $BC$ параллелограмма $A BC D$ . Докажите: $S_{A M D} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ . $\frac{1}{2} \cdot A D \cdot h$ , $h$ — высота параллелограмма
$A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$ . Докажите: $S_{A BC} = S_{D BC}$ . общее основание $BC$ , $A$ и $D$ на прямой $∥ BC$
Медианы $A A_{1}$ и $B B_{1}$ пересекаются в $M$ . Докажите: $S_{A M B_{1}} = S_{BM A_{1}}$ . $S_{A B B_{1}} = S_{A B A_{1}} = \frac{1}{2} S$ , вычесть $S_{A BM}$

3 мин · практика
Образец: S(AOB) = S(BOC) (медиана BO △ABC, AO = OC); S(BOC) = S(COD) (медиана CO △BCD, BO = OD); S(COD) = S(DOA) (медиана DO △ACD). Все четыре равны, каждая — четверть.
1) S(AMD) = ½ · AD · h, S(ABCD) = AD · h, где h — расстояние между BC и AD (M лежит на BC).
2) Это опорный факт 2: основание BC общее, вершины A и D лежат на прямой AD ∥ BC — высоты равны.
3) AA₁ и BB₁ — медианы ⇒ S(ABA₁) = ½ S(ABC) = S(ABB₁). Из обеих вычитаем S(ABM) (свойство 2) ⇒ S(BMA₁) = S(AMB₁).
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования. Сильным — все три.

R03.2

Образец → сам · комбинированная задача

Точка внутри параллелограмма

Образец: $P$ — точка внутри параллелограмма $A BC D$ , $S_{A BC D} = 60$ . Найдите $S_{A PB} + S_{CP D}$ .

$S_{A PB} + S_{CP D} = \frac{1}{2} A B \cdot h_{1} + \frac{1}{2} C D \cdot h_{2}$

$A B = C D$ , $h_{1} + h_{2} = h$ $h$ — расстояние между $A B$ и $C D$

$= \frac{1}{2} A B \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30$

Сам

$S_{A PB} = 17$ , $S_{CP D} = 23$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $80$
$S_{A BC D} = 50$ , $S_{A P D} = 11$ . Найдите $S_{BPC}$ . $14$
Из колодца $P$ на поле-параллелограмме площадью $3, 6$ га провели дорожки к углам. Сколько га занимают два участка у противоположных сторон? $1, 8$ га

R03.2

Схема-конспект

Пять приёмов задач на площадь

Приём	Когда	Запись
Разбить	фигура складывается из «удобных» частей	$S = S_{1} + S_{2} + \dots$
Достроить	клетки, наклонные стороны	$S = S_{пр} - S_{углов}$
Перекроить	часть переносится без изменения площади	равносоставленные ⇒ равновеликие
Общая высота	отрезок из вершины к противолежащей стороне	$S_{1} : S_{2} = a_{1} : a_{2}$ ; медиана — пополам
Общее основание	вершины на прямой, параллельной основанию	$S_{1} = S_{2}$ ; трапеция: $S_{A BO} = S_{D CO}$

R03.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
«Фигуры равновелики, значит, равны»	прямоугольник $2 \times 8$ и квадрат $4 \times 4$ : $S = 16$ , но фигуры разные	равные ⇒ равновеликие, обратное неверно
Две части перекрываются: $S = S_{1} + S_{2}$	общая часть посчитана дважды	$S = S_{1} + S_{2} - S_{общ}$
«Медиана делит треугольник на два равных»	у частей разные стороны и углы	на два равновеликих
$D \in A C$ : $S_{A B D} : S_{A BC} = A D : D C$	сравнили часть с целым, а основания — часть с частью	$S_{A B D} : S_{A BC} = A D : A C$

R03.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $D \in A C$ , $A D = 4$ , $D C = 6$ , $S_{A BC} = 30$ . Найдите $S_{A B D}$ .

$S_{A B D} : S_{A BC} = 4 : 6$

$S_{A B D} = 20$

$S_{A B D} : S_{A BC} = A D : A C = 4 : 10$ , $S_{A B D} = 12$

б) Из квадрата $6 \times 6$ вырезали прямоугольный треугольник с катетами $6$ и $4$ . Площадь остатка?

$S = 36 - 6 \cdot 4 = 12$

$S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ , $S = 36 - 12 = 24$

в) Трапеция $A BC D$ , $BC ∥ A D$ , $A C \cap B D = O$ . «Докажем» $S_{A BO} = S_{D CO}$ .

$△ A BO = △ D CO$ , значит, площади равны

треугольники не равны; $S_{A B D} = S_{A C D}$ , вычесть $S_{A O D}$

R03.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаПрямоугольник $9 \times 4$ разрезан на два прямоугольника, площадь одного $15$ . Площадь другого? $21$
базаИз прямоугольника $12 \times 7$ вырезали квадрат со стороной $5$ . Площадь остатка? $59$
база $BM$ — медиана, $S_{BMC} = 18$ . Найдите $S_{A BC}$ . $36$

базаТреугольник $(0; 0)$ , $(4; 1)$ , $(1; 3)$ на клетках. Площадь? $5, 5$
база $D \in A C$ , $A D : D C = 1 : 4$ , $S_{A BC} = 35$ . Найдите $S_{D BC}$ . $28$
база $S_{A BC D} = 52$ (параллелограмм), $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите $S_{A OB}$ . $13$

R03.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Трапеция $A BC D$ , $BC ∥ A D$ , $A C \cap B D = O$ , $S_{A C D} = 30$ , $S_{A O D} = 18$ . Найдите $S_{A BO}$ . $12$
повыш.Точки $K$ и $M$ делят сторону $A C$ треугольника $A BC$ на три равные части, $S_{A BC} = 27$ . Найдите $S_{K BM}$ . $9$
повыш. $M$ — середина $BC$ , $N$ — середина $A M$ , $S_{A BC} = 40$ . Найдите $S_{BNC}$ . $20$
из жизниСтена $5 \times 2, 8$ м, в ней окно $1, 5 \times 1, 2$ м и дверь $0, 9 \times 2, 1$ м. Сколько м² обоев нужно без запаса? $10, 31$ м²

R03.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 18 На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён четырёхугольник. Найдите его площадь.

Ответ: 21

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Равновеликие фигуры равны.
Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади.
Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов.
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Ответ: 24

R03.2 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 24 и 25

Вторая часть: доказательство и вычисление

ОГЭ 24 $E$ — середина боковой стороны $C D$ трапеции $A BC D$ . Докажите: $S_{A BE} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ .

$E$ удалена от $BC$ и $A D$ на $\frac{h}{2}$ ⇒ $S_{BCE} + S_{A D E} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$

$S_{A BE} = S_{A BC D} - \frac{1}{2} S_{A BC D} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$

ОГЭ 25 Трапеция $A BC D$ , $BC ∥ A D$ , $A C \cap B D = O$ , $S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 9$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

$△ BOC \sim △ D O A$ , $k^{2} = \frac{4}{9}$ ⇒ $BO : O D = 2 : 3$

$S_{A BO} = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6 = S_{D CO}$ (общая высота из $A$ ; факт 2)

$S = 4 + 9 + 6 + 6 = 25$

2 мин · практика
24) Полное решение: пусть h — высота трапеции (h на чертеже не подписана — попросить провести). Так как E — середина CD, расстояния от E до прямых BC и AD равны h/2. S(BCE) = ½ · BC · h/2, S(ADE) = ½ · AD · h/2, сумма (BC + AD)h/4 = ½ S(ABCD). По свойству 2 S(ABE) = S(ABCD) − S(BCE) − S(ADE) = ½ S(ABCD). Для 2 баллов — обосновать «h/2» (теорема Фалеса или средняя линия).
25) △BOC ∼ △DOA (II признак: вертикальные углы и накрест лежащие), отношение площадей 4 : 9 ⇒ k = 2/3 (GEOM8U-042). △ABO и △AOD имеют общую высоту из A: S(ABO) : S(AOD) = BO : OD = 2 : 3 ⇒ S(ABO) = 6; S(DCO) = S(ABO) = 6. S = 25. Общий факт: S(ABO)² = S(BOC) · S(AOD).
На уроке — устное обсуждение планов, запись 24 полностью — в ДЗ по желанию.

R03.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Из прямоугольника $10 \times 8$ вырезали прямоугольный треугольник с катетами $4$ и $5$ . Площадь остатка? $70$
$BM$ — медиана $△ A BC$ , $S_{A BM} = 21$ . Найдите $S_{A BC}$ . $42$
$D \in A C$ , $A D : D C = 3 : 5$ , $S_{A BC} = 64$ . Найдите $S_{A B D}$ . $24$
Треугольник $(0; 0)$ , $(6; 2)$ , $(2; 5)$ на клетках. Площадь? $13$

Вариант 2

Из прямоугольника $12 \times 6$ вырезали прямоугольный треугольник с катетами $6$ и $3$ . Площадь остатка? $63$
$A K$ — медиана $△ A BC$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{A K C}$ . $25$
$D \in A C$ , $A D : D C = 2 : 7$ , $S_{A BC} = 54$ . Найдите $S_{D BC}$ . $42$
Треугольник $(0; 1)$ , $(5; 0)$ , $(3; 4)$ на клетках. Площадь? $9$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Назовите три свойства площади.
Как относятся площади треугольников с общей высотой?
Какие треугольники трапеции равновелики и почему?

Домашнее задание

$D \in A C$ , $S_{A B D} = 9$ , $S_{D BC} = 15$ , $A C = 16$ . Найдите $A D$ .
Четырёхугольник $(0; 2)$ , $(4; 0)$ , $(6; 3)$ , $(2; 5)$ на клетках. Найдите площадь.
* $M \in A D$ параллелограмма $A BC D$ . Докажите: $S_{A BM} + S_{MC D} = S_{BMC}$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_ploshchad_mnogougolnika.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-044 · Практикум: свойства площадей геометрических фигур

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R03 «Площадь», 16 ч · урок 6/16 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R03.2 «Свойства площадей геометрических фигур» → 2, 4–21 · повторение R03.1–R03.3 → 3
Результаты	ПР-7 (вычислять различными способами площади треугольника и многоугольных фигур) → 3–21 · ПР-8 (отношение площадей подобных фигур) → 19 (ОГЭ 25)
Вне урока	вывод формул площадей — GEOM8U-041; площади подобных фигур — GEOM8U-042, здесь только в ОГЭ 25; практикум по формулам — GEOM8U-045
Время	теория 11,5 мин · практика 33,5 мин (74 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: свойства площадей геометрических фигур

Сегодня вы научитесь

Разбивать и достраивать

Считать по клеткам

Сравнивать площади

Доказывать равновеликость

Формулы и свойства — за 2 минуты

Три свойства и два следствия

Разбить, достроить или по формуле

Площадь составной фигуры

Образец: из прямоугольника 10×6 вырезали треугольник (размеры на рисунке). Найдите площадь остатка.

Сам

Треугольник «без удобной стороны»

Образец: A(1;1), B(7;3), C(3;6), клетка 1×1. Найдите SABC​.

Сам: нарисуйте в тетради

Общая высота — площади как основания

Делим треугольник отрезком из вершины

Образец: D∈AC, AD:DC=2:3, SABC​=40. Найдите SABD​ и SDBC​.

Сам

Треугольники при боковых сторонах трапеции равновелики

Четыре равновеликих треугольника

Образец: ABCD — параллелограмм, AC∩BD=O. Докажите: SAOB​=SBOC​=SCOD​=SDOA​.

Сам: план и обоснования

Точка внутри параллелограмма

Образец: P — точка внутри параллелограмма ABCD, SABCD​=60. Найдите SAPB​+SCPD​.

Сам

Пять приёмов задач на площадь

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) D∈AC, AD=4, DC=6, SABC​=30. Найдите SABD​.

б) Из квадрата 6×6 вырезали прямоугольный треугольник с катетами 6 и 4. Площадь остатка?

в) Трапеция ABCD, BC∥AD, AC∩BD=O. «Докажем» SABO​=SDCO​.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: доказательство и вычисление

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-044 · Практикум: свойства площадей геометрических фигур

Образец: из прямоугольника $10 \times 6$ вырезали треугольник (размеры на рисунке). Найдите площадь остатка.

Образец: $A (1; 1)$ , $B (7; 3)$ , $C (3; 6)$ , клетка $1 \times 1$ . Найдите $S_{A BC}$ .

Образец: $D \in A C$ , $A D : D C = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 40$ . Найдите $S_{A B D}$ и $S_{D BC}$ .

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A C \cap B D = O$ . Докажите: $S_{A OB} = S_{BOC} = S_{CO D} = S_{D O A}$ .

Образец: $P$ — точка внутри параллелограмма $A BC D$ , $S_{A BC D} = 60$ . Найдите $S_{A PB} + S_{CP D}$ .

а) $D \in A C$ , $A D = 4$ , $D C = 6$ , $S_{A BC} = 30$ . Найдите $S_{A B D}$ .

б) Из квадрата $6 \times 6$ вырезали прямоугольный треугольник с катетами $6$ и $4$ . Площадь остатка?

в) Трапеция $A BC D$ , $BC ∥ A D$ , $A C \cap B D = O$ . «Докажем» $S_{A BO} = S_{D CO}$ .