Площадь · урок 4 из 16

Площади подобных фигур

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM8U-042

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Площадь» (16 ч), урок 4/16, единица R03.4. Тип урока — Н.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · проблема 2 · теорема для треугольников 3 · многоугольники 2,5 · прямая, параллельная стороне 2 · схема 1,5.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец на доказательство (сл. 13) — устно, только план; задача ОГЭ 25 — в ДЗ. Доказательство теоремы не сокращать.

R03.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Доказывать теорему

площади подобных фигур относятся как $k^{2}$ (ПР-8)

Находить площадь

по коэффициенту подобия и $k$ — по площадям (ПР-8)

Видеть подобие на чертеже

прямая, параллельная стороне; диагонали трапеции (ПР-7)

Решать практические задачи

план, карта, модель — и задачи ОГЭ 15, 17, 25

0,5 мин · теория
ПР-8: «Знать отношение площадей подобных фигур и применять при решении задач. Применять полученные умения в практических задачах».
ПР-7: «Выводить и использовать простейшие формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции. Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур».
Виды деятельности ФРП R03: находить площади подобных фигур; решать задачи на площадь с практическим содержанием.

повторение: R02, R03.3

Разминка · устно

Подобие и площадь

$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ . Чему равен $k$ ? $3$
$P_{A_{1} B_{1} C_{1}} = 10$ . Найдите $P_{A BC}$ . $30$
Высоты этих треугольников относятся как… $3 : 1$
Площадь треугольника: основание $8$ , высота $5$ . $20$
Квадраты со сторонами $5$ и $10$ . Площади? $25$ и $100$ — в $4$ раза
$\frac{49}{16} = ?$ $\frac{7}{4}$
Средняя линия треугольника $7$ . Параллельная ей сторона? $14$

R03.4

Проблема · во сколько раз растёт площадь

Увеличим треугольник в 2 и в 3 раза

Стороны увеличились в

k

раз — площадь увеличилась в

k^{2}

раз. Гипотеза — докажем.

R03.4

Теорема · доказательство

Площади подобных треугольников относятся как $k^{2}$

Дано:

△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}

, коэффициент

k

.
Доказать:

\frac{S}{S _{1}} = k^{2}

.

1

B H = h

,

B_{1} H_{1} = h_{1}

— высотыпроведём к сторонам

A C

и

A_{1} C_{1}

2

△ A B H \sim △ A_{1} B_{1} H_{1}

по двум углам:

∠ A = ∠ A_{1}

,

∠ H = ∠ H_{1} = 9 0^{\circ}

3

\frac{h}{h _{1}}

= \frac{A B}{A _{1} B _{1}} = k

из подобия п. 2

4

\frac{S}{S _{1}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot A C \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot A _{1} C _{1} \cdot h _{1}} = k \cdot k = k^{2}

\frac{A C}{A _{1} C _{1}} = k

— соответственные стороны

3 мин · теория
Формулировка: отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Цвет на чертеже совпадает с записью: основания — бирюзовые, высоты — розовые.
Каждый шаг — вопрос «почему?». Шаг 2: если ∠A тупой, основание высоты H лежит на продолжении AC — рассуждение то же (углы при A и A1 смежные с равными, тоже равны).
Следствие (углублённый уровень): соответственные медианы, биссектрисы, высоты относятся как k, поэтому S : S1 = (m : m1)^2 = (h : h1)^2.

R03.4

Образец → сам · по коэффициенту — площадь

Прямая и обратная задача

Образец: $△ A BC \sim △ K MN$ , $A B = 12$ , $K M = 4$ , $S_{K MN} = 7$ . Найдите $S_{A BC}$ .

$k = \frac{A B}{K M} = \frac{12}{4} = 3$ соответственные стороны

$\frac{S _{A BC}}{S _{K MN}} = k^{2} = 9$ теорема

$S_{A BC} = 7 \cdot 9 = 63$

Сам

$k = 5$ , площадь меньшего треугольника $4$ . Найдите площадь большего. $100$
Соответственные стороны $6$ и $9$ , площадь большего $54$ . Найдите площадь меньшего. $24$
Площади подобных треугольников $75$ и $27$ , сторона меньшего $6$ . Найдите соответственную сторону большего. $10$

R03.4

Теорема для многоугольников · доказательство

Разобьём на подобные треугольники

Дано: многоугольники подобны, коэффициент

k

.
Доказать:

S = k^{2} S^{'}

.

1Диагонали из

A

и

A_{1}

делят их на треугольникисоответственные вершины

2Соответственные треугольники подобны с тем же

k

II признак: две стороны пропорциональны, углы между ними равны

3

S_{1} = k^{2} S_{1}^{'}

,

S_{2} = k^{2} S_{2}^{'}

,

S_{3} = k^{2} S_{3}^{'}

теорема для треугольников

4

S = S_{1} + S_{2} + S_{3} = k^{2} (S_{1}^{'} + S_{2}^{'} + S_{3}^{'}) = k^{2} S^{'}

свойство: площадь фигуры = сумма площадей частей

R03.4

Образец → сам · по площадям — коэффициент

Из площадей: $k = S : S^{'}$

Образец: площади подобных многоугольников $50$ и $32$ , периметр большего $30$ . Найдите периметр меньшего.

$k^{2} = \frac{50}{32} = \frac{25}{16}$ , $k = \frac{5}{4}$ теорема

$P^{'} = 30 : \frac{5}{4} = 24$ периметры относятся как $k$

Сам

Площади подобных многоугольников относятся как $9 : 16$ . Как относятся их периметры? $3 : 4$
Радиусы кругов $3$ и $6$ , площадь меньшего $5$ . Найдите площадь большего. $20$
Многоугольник площадью $18$ увеличили, площадь стала $98$ . Во сколько раз увеличились стороны? в $\frac{7}{3}$ раза

R03.4

Свойство · прямая, параллельная стороне

Отсекает подобный треугольник

Дано:

D E ∥ A C

,

D \in A B

,

E \in BC

.

1

△ D BE \sim △ A BC

∠ B

— общий,

∠ B D E = ∠ B A C

(соответственные)

2

k = \frac{B D}{B A}

отношение к целой стороне

3

S_{D BE} = k^{2} S

,

S_{A D EC} = (1 - k^{2}) S

средняя линия:

k = \frac{1}{2}

, отсекает

\frac{1}{4}

площади

R03.4

Образец → сам · строим чертёж сами

Треугольник и трапеция

Образец: $D E ∥ A C$ , $B D = 4$ , $D A = 6$ , $S_{A BC} = 75$ . Найдите $S_{D BE}$ и $S_{A D EC}$ .

$k = \frac{B D}{B A} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ $△ D BE \sim △ A BC$

$S_{D BE} = 75 \cdot \frac{4}{25} = 12$ , $S_{A D EC} = 75 - 12 = 63$

Сам: сначала чертёж

$D E$ — средняя линия, $S_{A BC} = 48$ . Найдите $S_{A D EC}$ . $36$
$D E ∥ A C$ , $B D : D A = 1 : 2$ , $S_{D BE} = 5$ . Найдите $S_{A BC}$ . $45$
$D E ∥ A C$ , $S_{D BE} : S_{A D EC} = 4 : 5$ . Найдите $B D : D A$ . $2 : 1$

R03.4

Схема-конспект

Длины — в $k$ раз, площади — в $k^{2}$ раз

Линейные элементы: $\times k$

соответственные стороны
высоты, медианы, биссектрисы
периметры
радиусы окружностей

подобные фигуры

Площади: $\times k^{2}$

$\frac{S}{S ^{'}} = k^{2}$ , $k = \frac{S}{S ^{'}}$
прямая $∥$ стороне: $S_{отс} = k^{2} S$
трапеция: $S_{тр} = (1 - k^{2}) S$
трапеция $A BC D$ : $△ BOC \sim △ D O A$

R03.4

Образец → сам · комбинированная задача

Диагонали трапеции

Образец: $BC ∥ A D$ , $BC = 4$ , $A D = 10$ , $S_{BOC} = 8$ . Найдите $S_{A O D}$ и $S_{A BC D}$ .

$△ BOC \sim △ D O A$ , $k = \frac{4}{10}$ ⇒ $S_{A O D} = 8 \cdot \frac{25}{4} = 50$

$\frac{S _{A OB}}{S _{BOC}} = \frac{A O}{OC} = \frac{5}{2}$ ⇒ $S_{A OB} = S_{CO D} = 20$ общая высота

$S_{A BC D} = 8 + 50 + 20 + 20 = 98$

Сам

$BC = 3$ , $A D = 9$ , $S_{BOC} = 2$ . Найдите $S_{A O D}$ . $18$
$S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 25$ . Найдите $BC : A D$ . $2 : 5$
$S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 9$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $25$

3 мин · практика
Образец: △BOC ~ △DOA по двум углам (∠OBC = ∠ODA, ∠OCB = ∠OAD — накрест лежащие; или вертикальные при O). k = 2/5, S_AOD = 50. Треугольники AOB и BOC имеют общую высоту из B к прямой AC, поэтому их площади относятся как основания AO : OC = AD : BC = 5 : 2; S_AOB = 20. Так же S_COD = 20 (S_ABD = S_ACD — общее основание AD и равные высоты).
1) k = 1/3, S_AOD = 2 · 9 = 18. 2) k^2 = 4/25, k = 2/5. 3) k = 2/3, AO : OC = 3 : 2, S_AOB = 4 · 3/2 = 6 = S_COD; S = 4 + 9 + 6 + 6 = 25.
Сильным: заметить, что S_AOB = корень(S_BOC · S_AOD) — это доказываем на следующем слайде.

R03.4

Образец → сам · задача на доказательство

План доказательства и обоснования

Образец: $A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$ . Докажите: $S^{2} = S_{1} \cdot S_{2}$ .

$\frac{S}{S _{1}} = \frac{A O}{OC}$ , $\frac{S _{2}}{S} = \frac{O D}{OB}$ общие высоты из $B$ и из $A$

$\frac{A O}{OC} = \frac{O D}{OB} = \frac{A D}{BC}$ $△ A O D \sim △ COB$

$\frac{S}{S _{1}} = \frac{S _{2}}{S}$ ⇒ $S^{2} = S_{1} S_{2}$

Сам: составьте план

Докажите: средняя линия отсекает от треугольника четверть его площади. $△ D BE \sim △ A BC$ , $k = \frac{1}{2}$ ⇒ $\frac{1}{4} S$
Докажите: площади подобных треугольников относятся как квадраты соответственных медиан. медианы относятся как $k$
$D E ∥ A C$ делит $△ A BC$ на две равновеликие части. Докажите: $B D : B A = 1 : 2$ . $k^{2} = \frac{1}{2}$ ⇒ $k = \frac{1}{2}$

2,5 мин · практика
Образец (S = S_AOB, S1 = S_BOC, S2 = S_AOD): △AOB и △COB имеют общую высоту из B к AC ⇒ S : S1 = AO : OC; △AOD и △AOB — общая высота из A к BD ⇒ S2 : S = OD : OB. △AOD ~ △COB ⇒ AO : OC = OD : OB. Следствие: S_ABCD = S1 + S2 + 2корень(S1S2) = (корень(S1) + корень(S2))^2 — проверьте на образце: (корень(8) + корень(50))^2 = (2корень(2) + 5корень(2))^2 = 98.
1) DE ∥ AC, BD : BA = 1 : 2, △DBE ~ △ABC (общий угол B, соответственные углы) ⇒ S_DBE = S/4.
2) Пусть BM и B1M1 — медианы. AB : A1B1 = k, AM : A1M1 = (AC/2) : (A1C1/2) = k, ∠A = ∠A1 ⇒ △ABM ~ △A1B1M1 (II признак) ⇒ BM : B1M1 = k ⇒ S : S1 = k^2 = (BM : B1M1)^2.
3) S_DBE = S/2, △DBE ~ △ABC ⇒ k^2 = 1/2 ⇒ BD : BA = 1 : корень(2).
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования.

R03.4

Образец → сам · клетчатая бумага и жизнь

Масштаб, план, фотография

Образец: треугольники на клетчатой бумаге подобны. Сравните площади.

$k = \frac{6}{3} = 2$ ; $S_{1} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$ , $S_{2} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$

$\frac{12}{3} = 4 = k^{2}$ ✓ проверка теоремы клетками

Сам

План в масштабе $1 : 500$ , площадь на плане $24 см^{2}$ . Найдите площадь участка в $м^{2}$ . $600 м^{2}$
Фото $10 \times 15$ увеличили до $20 \times 30$ . Во сколько раз больше бумаги? в $4$ раза
Пицца $30$ см стоит $600$ ₽, а $20$ см — $300$ ₽. Какая выгоднее? большая: площадь в $2, 25$ раза больше, цена — в $2$

R03.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$k = 3$ ⇒ $S : S^{'} = 3$	площади относятся как квадрат $k$	$S : S^{'} = 9$
$S : S^{'} = 16 : 9$ ⇒ $P : P^{'} = 16 : 9$	периметры относятся как $k$ , а не $k^{2}$	$P : P^{'} = 4 : 3$
$B D : D A = 1 : 2$ ⇒ $k = \frac{1}{2}$	$k$ — отношение к целой стороне $B A$	$k = \frac{B D}{B A} = \frac{1}{3}$
$S_{A D EC} = k^{2} S$	$k^{2} S$ — площадь отсечённого треугольника	$S_{A D EC} = (1 - k^{2}) S$

R03.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Площади подобных треугольников $18$ и $50$ , сторона меньшего $6$ . Найдите соответственную сторону большего.

$k = \frac{50}{18} = \frac{25}{9}$

сторона $= 6 \cdot \frac{25}{9} = \frac{50}{3}$

$k = \frac{25}{9} = \frac{5}{3}$ , сторона $10$

б) $D E$ — средняя линия, $S_{A BC} = 36$ . Найдите площадь трапеции $A D EC$ .

$k = \frac{1}{2}$ , $S_{D BE} = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$

$S_{A D EC} = 36 - 18 = 18$

$S_{D BE} = 36 \cdot \frac{1}{4} = 9$ , $S_{A D EC} = 27$

в) Трапеция: $BC = 2$ , $A D = 6$ , $S_{BOC} = 3$ . Найдите $S_{A O D}$ .

$△ BOC \sim △ D O A$ , $k = 3$

$S_{A O D} = 3 \cdot 3 = 9$

$S_{A O D} = 3 \cdot 3^{2} = 27$

R03.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $k = 4$ , площадь меньшего треугольника $5$ . Площадь большего? $80$
базаПлощади подобных треугольников $16$ и $36$ . Найдите $k$ (большего к меньшему). $1, 5$
базаСтороны квадратов $3$ и $12$ . Во сколько раз больше площадь? в $16$

база $D E$ — средняя линия $△ A BC$ , $S_{D BE} = 7$ . Найдите $S_{A BC}$ . $28$
базаПериметры подобных многоугольников $12$ и $18$ , площадь меньшего $20$ . Площадь большего? $45$
базаПлощадь круга радиуса $4$ равна $16 π$ . Площадь круга радиуса $6$ ? $36 π$

R03.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $D E ∥ A C$ , $S_{D BE} = 18$ , $S_{A D EC} = 32$ . Найдите $B D : D A$ . $3 : 2$
повыш.Прямая $D E ∥ A C$ делит $△ A BC$ на две равновеликие части, $A B = 12$ . Найдите $B D$ . $62$
повыш.Трапеция $A BC D$ : $S_{BOC} = 9$ , $S_{A O D} = 16$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $49$
из жизниМодель самолёта в масштабе $1 : 50$ ; на окраску модели ушло $30$ г краски. Сколько краски нужно для самолёта? $75$ кг

R03.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 17, 19 и 25

Ответ — одно число

ОГЭ 15 $D E$ — средняя линия $△ A BC$ , $D E ∥ A C$ , $S_{A BC} = 64$ . Найдите $S_{D BE}$ . $16$
ОГЭ 17Основания трапеции $BC = 4$ и $A D = 12$ , диагонали пересекаются в $O$ , $S_{BOC} = 3$ . Найдите $S_{A O D}$ . $27$
ОГЭ 25В трапеции $A BC D$ ( $BC ∥ A D$ ) $S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 49$ , $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите площадь трапеции. $81$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Средняя линия отсекает от треугольника половину его площади.

Ответ: 2

R03.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$k = 3$ , площадь меньшего треугольника $6$ . Найдите площадь большего. $54$
Площади подобных треугольников $25$ и $64$ , сторона меньшего $10$ . Соответственная сторона большего? $16$
$D E ∥ A C$ , $B D : D A = 3 : 1$ , $S_{A BC} = 32$ . Найдите $S_{D BE}$ . $18$
Трапеция: $BC = 5$ , $A D = 15$ , $S_{BOC} = 2$ . Найдите $S_{A O D}$ . $18$

Вариант 2

$k = 4$ , площадь меньшего треугольника $3$ . Найдите площадь большего. $48$
Площади подобных треугольников $36$ и $81$ , сторона большего $12$ . Соответственная сторона меньшего? $8$
$D E ∥ A C$ , $B D : D A = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{D BE}$ . $8$
Трапеция: $BC = 2$ , $A D = 8$ , $S_{BOC} = 3$ . Найдите $S_{A O D}$ . $48$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как относятся площади подобных фигур?
Как найти $k$ , если известны площади?
Какую часть площади отсекает средняя линия?

Домашнее задание

Площади подобных треугольников $12$ и $75$ , сторона меньшего $4$ . Найдите сторону большего.
$D E ∥ A C$ , $B D : D A = 1 : 3$ , $S_{A BC} = 64$ . Найдите $S_{A D EC}$ .
* Докажите: $S_{A BC D} = (S_{1} + S_{2})^{2}$ для трапеции.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_podobnye_treugolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-042 · Площади подобных фигур

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R03 «Площадь», 16 ч · урок 4/16 · тип Н
Единицы → слайды	R03.4 «Площади подобных фигур» → 2, 4–21 · повторение R02 (подобие), R03.3 (формулы площади) → 3
Результаты	ПР-8 (отношение площадей подобных фигур, практические задачи) → 4–21 · ПР-7 (вычислять площади многоугольных фигур) → 10, 12–14
Вне урока	понятие площади, свойства площадей — GEOM8U-039, 040; формулы площадей — GEOM8U-041; практикумы — GEOM8U-043 и далее
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Площади подобных фигур

Сегодня вы научитесь

Доказывать теорему

Находить площадь

Видеть подобие на чертеже

Решать практические задачи

Подобие и площадь

Увеличим треугольник в 2 и в 3 раза

Площади подобных треугольников относятся как k2

Прямая и обратная задача

Образец: △ABC∼△KMN, AB=12, KM=4, SKMN​=7. Найдите SABC​.

Сам

Разобьём на подобные треугольники

Из площадей: k=S:S′​

Образец: площади подобных многоугольников 50 и 32, периметр большего 30. Найдите периметр меньшего.

Сам

Отсекает подобный треугольник

Треугольник и трапеция

Образец: DE∥AC, BD=4, DA=6, SABC​=75. Найдите SDBE​ и SADEC​.

Сам: сначала чертёж

Длины — в k раз, площади — в k2 раз

Линейные элементы: ×k

Площади: ×k2

Диагонали трапеции

Образец: BC∥AD, BC=4, AD=10, SBOC​=8. Найдите SAOD​ и SABCD​.

Сам

План доказательства и обоснования

Образец: ABCD — трапеция, BC∥AD. Докажите: S2=S1​⋅S2​.

Сам: составьте план

Масштаб, план, фотография

Образец: треугольники на клетчатой бумаге подобны. Сравните площади.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Площади подобных треугольников 18 и 50, сторона меньшего 6. Найдите соответственную сторону большего.

б) DE — средняя линия, SABC​=36. Найдите площадь трапеции ADEC.

в) Трапеция: BC=2, AD=6, SBOC​=3. Найдите SAOD​.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-042 · Площади подобных фигур

Площади подобных треугольников относятся как $k^{2}$

Образец: $△ A BC \sim △ K MN$ , $A B = 12$ , $K M = 4$ , $S_{K MN} = 7$ . Найдите $S_{A BC}$ .

Из площадей: $k = S : S^{'}$

Образец: площади подобных многоугольников $50$ и $32$ , периметр большего $30$ . Найдите периметр меньшего.

Образец: $D E ∥ A C$ , $B D = 4$ , $D A = 6$ , $S_{A BC} = 75$ . Найдите $S_{D BE}$ и $S_{A D EC}$ .

Длины — в $k$ раз, площади — в $k^{2}$ раз

Линейные элементы: $\times k$

Площади: $\times k^{2}$

Образец: $BC ∥ A D$ , $BC = 4$ , $A D = 10$ , $S_{BOC} = 8$ . Найдите $S_{A O D}$ и $S_{A BC D}$ .

Образец: $A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$ . Докажите: $S^{2} = S_{1} \cdot S_{2}$ .

а) Площади подобных треугольников $18$ и $50$ , сторона меньшего $6$ . Найдите соответственную сторону большего.

б) $D E$ — средняя линия, $S_{A BC} = 36$ . Найдите площадь трапеции $A D EC$ .

в) Трапеция: $BC = 2$ , $A D = 6$ , $S_{BOC} = 3$ . Найдите $S_{A O D}$ .