Площадь · урок 3 из 16

Формулы площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM8U-041

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Площадь» (16 ч), урок 3/16, единица R03.3. Тип урока — Н.
Теория (13): титул 0,5 · цели 0,5 · высоты 1,5 · параллелограмм 2 · треугольник 2 · следствия 1,5 · ромб и ⟂ диагонали 1,5 · трапеция 2 · сводка 1,5.
Практика (32): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 2 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 17/18 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: третье задание каждого «Образец → сам» и ОГЭ 24 — в ДЗ; выводы формул не сокращать.

R03.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выводить формулы

площади параллелограмма, треугольника, ромба и трапеции из площади прямоугольника (ПР-7)

Видеть пару «основание — высота»

в том числе когда высота лежит вне фигуры

Вычислять площадь разными способами

и решать обратные задачи: найти высоту, сторону, диагональ (ПР-7)

Доказывать равенство площадей

и решать задачи ОГЭ 17, 18, 23, 24

0,5 мин · теория
ПР-7: «Выводить и использовать простейшие формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции. Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором)».
Виды деятельности ФРП R03: выводить формулы площади параллелограмма, треугольника, трапеции из формулы площади прямоугольника; находить площади фигур на клетчатой бумаге разбиением и достроением.

повторение: R03.1–R03.2, 7 класс

Разминка · устно

Площадь прямоугольника и свойства площади

Прямоугольник $6 \times 9$ . Площадь? $54$
Площадь квадрата $49$ . Сторона? $7$
Найдите площадь фигуры на рисунке. $36$
Фигуры равны. Что можно сказать об их площадях? площади равны
Гипотенуза $14$ , острый угол $3 0^{\circ}$ . Катет против него? $7$
Что называют расстоянием между параллельными прямыми? длину общего перпендикуляра

R03.3

Понятие · основание и высота

Высота — перпендикуляр к прямой, содержащей основание

Параллелограмм

$a = A D$ — основание, $h = B H$ — расстояние между прямыми $BC$ и $A D$

Треугольник

у тупоугольного высота $B H$ падает на продолжение стороны $A C$

Трапеция

основания $a$ , $b$ ; $h$ — расстояние между основаниями

1,5 мин · теория
Определение: высота параллелограмма — перпендикуляр, проведённый из любой точки стороны к прямой, содержащей противоположную сторону. У параллелограмма две высоты (к каждой паре сторон), у треугольника — три.
Главное правило урока: в каждой формуле основание и высота — пара: высота проведена именно к этому основанию.
Вопрос: где лежат высоты прямоугольного треугольника, проведённые к катетам? (Совпадают с другим катетом.)

R03.3

Теорема 1 · вывод формулы

Площадь параллелограмма: $S = a h$

Дано:

A BC D

— параллелограмм,

A D = a

,

B H ⊥ A D

,

B H = h

.
Доказать:

S_{A BC D} = a h

.

1

C K ⊥ A D

,

C K = B H = h

расстояние между параллельными

BC

и

A D

2

△ A B H = △ D C K

прямоугольные: гипотенузы

A B = D C

, катеты

B H = C K

3

S_{A BC D} = S_{1} + S_{2} = S_{H BC K}

равные фигуры — равные площади; площадь целого = сумма частей

4

H BC K

— прямоугольник,

HK = BC = a

⇒ $S = a h$

HK = HD + DK = HD + A H = A D

2 мин · теория
Идея — «отрезать и переложить»: треугольник 1 отрезаем слева и прикладываем справа, получаем прямоугольник с той же площадью.
Шаг 3 подробно: S(ABCD) = S(ABH) + S(HBCD), S(HBCK) = S(DCK) + S(HBCD), а S(ABH) = S(DCK).
Углублённый уровень: если H лежит вне отрезка AD (длинная боковая сторона), рассуждение то же, только фигура HBCD заменяется пересечением; попросить сильных разобрать этот случай дома.
Следствие: S = a·h_a = b·h_b, где h_a и h_b — высоты к сторонам a и b. Значит, к большей стороне проведена меньшая высота.

R03.3

Образец → сам · параллелограмм на готовом чертеже

Найдите высоту — и площадь

Образец: $A B = 6$ , $A D = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

$B H ⊥ A D$ , в $△ A B H$ : $B H = \frac{1}{2} A B = 3$ против $3 0^{\circ}$

$S = A D \cdot B H = 10 \cdot 3 = 30$ $S = a h$

Сам

Стороны параллелограмма $10$ и $14$ , один угол $15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $70$
$S = 54$ , сторона $9$ . Найдите высоту к этой стороне. $6$
Стороны $8$ и $12$ , высота к большей стороне $6$ . Найдите высоту к меньшей. $9$

R03.3

Теорема 2 · вывод формулы

Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} a h$

Дано:

△ A BC

,

A C = a

,

B H ⊥ A C

,

B H = h

.
Доказать:

S_{A BC} = \frac{1}{2} a h

.

1Проведём

B D ∥ A C

,

C D ∥ A B

A B D C

— параллелограмм по определению

2

△ A BC

=

△ D CB

III признак:

BC

— общая,

A B = D C

,

A C = D B

(свойство параллелограмма)

3

S_{A BC} = \frac{1}{2} S_{A B D C} = \frac{1}{2} a h

теорема 1: у

A B D C

основание

A C = a

, высота

B H = h

прямоугольный:

S = \frac{1}{2} a b

a

,

b

— катеты: один катет — высота к другому

2 мин · теория
Диагональ BC делит параллелограмм ABDC на два равных треугольника, поэтому площадь треугольника — половина площади параллелограмма с тем же основанием и той же высотой.
Если треугольник тупоугольный и высота падает на продолжение стороны, вывод тот же: теорема 1 верна при любом положении основания высоты.
Следствие: S = ½·a·h_a = ½·b·h_b = ½·c·h_c — одну и ту же площадь можно считать по любой стороне. На этом построены обратные задачи.

R03.3

Следствия теоремы 2

Когда у треугольников общая высота

Общая высота из $B$ : $\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{A M}{MC}$

$S_{1} = \frac{1}{2} A M \cdot B H$ , $S_{2} = \frac{1}{2} MC \cdot B H$

$BM$ — медиана: $S_{A BM} = S_{CBM}$ медиана делит площадь пополам

$A M = MC$ , высота из $B$ общая

$BC ∥ A D$ : $S_{A B D} = S_{A C D}$ общее основание и равные высоты

обе высоты — расстояние между прямыми $BC$ и $A D$

R03.3

Образец → сам · обратная задача: высота через площадь

Одна площадь — две формулы

Образец: $A C = 10$ , $A B = 15$ , высота $B H = 9$ . Найдите высоту $C K$ .

$S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B H = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 9 = 45$ $B H$ — вне треугольника

$\frac{1}{2} \cdot A B \cdot C K = 45$ ⇒ $C K = \frac{2 \cdot 45}{15} = 6$ $C K ⊥ A B$

Сам: начертите сами

Стороны треугольника $12$ и $8$ , высота к стороне $12$ равна $4$ . Найдите высоту к стороне $8$ . $6$
Катеты $6$ и $8$ , гипотенуза $10$ . Найдите высоту к гипотенузе. $4, 8$
$S_{A BC} = 40$ , $M \in A C$ , $A M : MC = 2 : 3$ . Найдите $S_{A BM}$ . $16$

R03.3

Теорема 3 · вывод формулы

Диагонали перпендикулярны: $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$

Дано:

A BC D

— выпуклый,

A C = d_{1}

,

B D = d_{2}

,

A C ⊥ B D

.
Доказать:

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

.

1

BO

и

D O

— высоты

△ A BC

и

△ A D C

B D ⊥ A C

2

S = \frac{1}{2} d_{1} \cdot BO + \frac{1}{2} d_{1} \cdot D O

теорема 2; площадь целого = сумма частей

3

S = \frac{1}{2} d_{1} (BO + D O) = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

ромб:

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} = a h

диагонали ромба перпендикулярны; ромб — параллелограмм

1,5 мин · теория
Формула верна для любого выпуклого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями (ромб, квадрат, «дельтоид»). Для ромба есть и вторая формула — как у любого параллелограмма: S = a·h.
Квадрат с диагональю d: S = ½·d². Проверка на клетчатой бумаге: квадрат с вершинами (0; 2), (2; 0), (4; 2), (2; 4) — диагонали 4, S = ½ · 4 · 4 = 8; достроением: 16 − 4 · 2 = 8 ✓.
Ошибка: S = d₁·d₂ без половины — это площадь прямоугольника, описанного около ромба.

R03.3

Теорема 4 · вывод формулы

Площадь трапеции: $S = \frac{a + b}{2} h$

Дано:

A BC D

— трапеция,

A D = a

,

BC = b

, высота

h

.
Доказать:

S = \frac{1}{2} (a + b) h

.

1Диагональ

B D

:

S = S_{A B D} + S_{BC D}

площадь целого = сумма частей

2

S_{A B D} = \frac{1}{2} a h

,

S_{BC D} = \frac{1}{2} b h

B H = DK = h

— расстояние между прямыми

A D ∥ BC

3

S = \frac{1}{2} (a + b) h = m h

m = \frac{a + b}{2}

— средняя линия трапеции

R03.3

Образец → сам · комбинированная задача

Сначала высота, потом формула

Образец: равнобедренная трапеция, $A D = 14$ , $BC = 6$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ .

$A H = \frac{14 - 6}{2} = 4$ равнобедренная: $A H = KD$

$∠ A B H = 4 5^{\circ}$ ⇒ $B H = A H = 4$ $△ A B H$ равнобедренный

$S = \frac{14 + 6}{2} \cdot 4 = 40$

Сам

Диагонали ромба $10$ и $16$ . Найдите $S$ . $80$
Основания трапеции $5$ и $11$ , $S = 48$ . Найдите высоту. $6$
Прямоугольная трапеция: $∠ A = 9 0^{\circ}$ , $BC = 4$ , $A D = 10$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ . $42$

R03.3

Схема-конспект

Все формулы урока

Параллелограмм

S = a h

Треугольник

S = \frac{1}{2} a h

Прямоугольный треугольник

S = \frac{1}{2} a b

Ромб

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} = a h

Трапеция

S = \frac{a + b}{2} h

Диагонали $⊥$

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

R03.3

Образец → сам · задача на доказательство

Равновеликие треугольники

Образец: $A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$ , $O = A C \cap B D$ . Докажите: $S_{A OB} = S_{CO D}$ .

$S_{A B D} = S_{A C D}$ основание $A D$ общее, высоты равны ( $BC ∥ A D$ )

$S_{A OB} = S_{A B D} - S_{A O D} = S_{A C D} - S_{A O D} = S_{CO D}$

Сам: план и обоснования

Докажите: медиана делит треугольник на два равновеликих. общая высота, равные основания
$M \in BC$ параллелограмма $A BC D$ . Докажите: $S_{A M D} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ . основание $A D$ , высота $h$ параллелограмма
Докажите: диагонали параллелограмма делят его на 4 равновеликих треугольника. $A O$ , $BO$ , … — медианы

2 мин · практика
Образец — следствие 3 со слайда «Следствия»: вершины B и C лежат на прямой, параллельной AD. Вычитаем общую часть — треугольник AOD.
1) S(ABM) = ½·AM·h, S(CBM) = ½·MC·h, AM = MC, h — высота из B.
2) S(AMD) = ½·AD·h, где h — расстояние между BC и AD, то есть высота параллелограмма; S(ABCD) = AD·h.
3) O — середина AC и BD (свойство параллелограмма). BO — медиана △ABC ⇒ S(AOB) = S(BOC); CO — медиана △BCD ⇒ S(BOC) = S(COD); DO — медиана △ACD ⇒ S(COD) = S(DOA).
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования.

R03.3

Образец → сам · площадь на клетчатой бумаге

Считаем клетки: основание и высота

Образец: клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь $△ A BC$ .

$A C = 4$ , высота $B H = 4$ $H$ — на продолжении $A C$

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$ проверка достроением: $28 - 14 - 6$

Сам: нарисуйте в тетради

$A (0; 0)$ , $B (2; 4)$ , $C (5; 4)$ , $D (9; 0)$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $24$
$A (0; 0)$ , $B (6; 0)$ , $C (8; 5)$ . Найдите $S_{A BC}$ . $15$
Ромб с вершинами $(0; 2)$ , $(3; 0)$ , $(6; 2)$ , $(3; 4)$ . Найдите $S$ . $12$

2 мин · практика
Образец: A(1; 1), C(5; 1), B(8; 5). Основание AC по линии сетки — 4 клетки, высота из B к прямой AC — вертикальный отрезок 4 клетки. Проверка достроением до прямоугольника 7 × 4 = 28: минус треугольник с катетами 7 и 4 (14) и треугольник с катетами 3 и 4 (6): 28 − 14 − 6 = 8 ✓.
1) Трапеция: основания AD = 9, BC = 3, h = 4: S = 6 · 4 = 24.
2) Основание AB = 6, высота — ордината C: 5; S = 15. Высота снова вне треугольника.
3) Диагонали 6 (горизонтальная) и 4 (вертикальная): S = ½ · 6 · 4 = 12.

R03.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
Параллелограмм: $S = a b$ (две стороны)	$a b$ — только у прямоугольника; нужна высота	$S = a h_{a}$
$S_{△} = a h$	треугольник — половина параллелограмма	$S = \frac{1}{2} a h$
Трапеция: высота = боковая сторона	боковая сторона не перпендикулярна основаниям	$h$ — перпендикуляр между основаниями
$S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot B H$ , где $B H ⊥ A C$	высота взята не к той стороне	$S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B H$

R03.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Стороны параллелограмма $8$ и $12$ , высота к стороне $8$ равна $9$ . Найдите высоту к стороне $12$ .

$S = 12 \cdot 9 = 108$

$h = 108 : 8 = 13, 5$

$S = 8 \cdot 9 = 72$ , $h = 72 : 12 = 6$

б) Диагонали ромба $6$ и $8$ . Найдите площадь.

$S = 6 \cdot 8 = 48$

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$

в) Основания трапеции $4$ и $10$ , боковая сторона $5$ образует с основанием угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

$S = \frac{4 + 10}{2} \cdot 5 = 35$

$h = 5 : 2 = 2, 5$ , $S = 7 \cdot 2, 5 = 17, 5$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Высота 9 проведена к стороне 8, а умножили на 12. Верно: S = 72, h = 6. Признак ошибки: высота 13,5 больше боковой стороны 8 — так не бывает.
б) Забыта половина: d₁·d₂ — площадь прямоугольника, в который вписан ромб. Верно 24.
в) Боковую сторону приняли за высоту. Высота — катет против угла 30° в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 5: h = 2,5; S = 7 · 2,5 = 17,5.

R03.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаПараллелограмм: сторона $7$ , высота к ней $4$ . $S$ ? $28$
базаТреугольник: сторона $9$ , высота к ней $6$ . $S$ ? $27$
базаКатеты $5$ и $12$ . $S$ ? $30$

базаДиагонали ромба $7$ и $10$ . $S$ ? $35$
базаОснования трапеции $3$ и $9$ , высота $4$ . $S$ ? $24$
базаСредняя линия трапеции $8$ , высота $6$ . $S$ ? $48$

R03.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Стороны параллелограмма $12$ и $9$ , высота к большей $6$ . Найдите высоту к меньшей. $8$
повыш.Высоты параллелограмма $4$ и $6$ , периметр $40$ . Найдите площадь. $48$
повыш.Диагонали выпуклого четырёхугольника перпендикулярны и равны $9$ и $14$ . Найдите $S$ . $63$
из жизниУчасток — трапеция с основаниями $30$ м и $50$ м, расстояние между ними $20$ м. Сколько это соток? $8$ соток

R03.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17 и 18

Ответ — одно число

ОГЭ 17Площадь параллелограмма $A BC D$ равна $60$ . Точка $E$ — середина стороны $A B$ . Найдите площадь трапеции $EBC D$ . $45$
ОГЭ 17Сторона ромба $10$ , один из углов $15 0^{\circ}$ . Найдите площадь ромба. $50$

ОГЭ 18 Клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь трапеции.

Ответ: 16,5

R03.3 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Боковая сторона трапеции равна $12$ и образует с одним из оснований угол $15 0^{\circ}$ . Основания равны $9$ и $15$ . Найдите площадь трапеции.

угол с другим основанием $18 0^{\circ} - 15 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$ (односторонние)

$h = 12 : 2 = 6$ (катет против $3 0^{\circ}$ )

$S = \frac{9 + 15}{2} \cdot 6 = 72$

ОГЭ 24 $E$ — середина боковой стороны $C D$ трапеции $A BC D$ . Докажите, что $S_{A BE} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ .

высоты $△ A E D$ и $△ BCE$ из $E$ равны $\frac{h}{2}$ ( $E$ — середина $C D$ )

$S_{A E D} + S_{BCE} = \frac{1}{2} A D \cdot \frac{h}{2} + \frac{1}{2} BC \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$

$S_{A BE} = S_{A BC D} - \frac{1}{2} S_{A BC D} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$

2 мин · практика
23) Угол 150° — при меньшем основании, тогда при большем 30°. Высота из вершины меньшего основания: катет против 30°, h = 6. S = 12 · 6 = 72. Ответ: 72.
24) Расстояние от середины E отрезка CD до прямых AD и BC равно половине высоты h (средняя линия трапеции через E параллельна основаниям и делит высоту пополам). S(AED) + S(BCE) = ¼·(AD + BC)·h = ½·S(ABCD) ⇒ S(ABE) = ½·S(ABCD). Полное решение на 2 балла — с обоснованием, почему высоты равны h/2.
На уроке — устное обсуждение плана, запись 24 полностью — в ДЗ по желанию.

R03.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Параллелограмм: сторона $11$ , высота к ней $6$ . Найдите $S$ . $66$
Треугольник: сторона $14$ , высота к ней $5$ . Найдите $S$ . $35$
Диагонали ромба $12$ и $9$ . Найдите $S$ . $54$
Равнобедренная трапеция: основания $5$ и $13$ , угол при основании $4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ . $36$

Вариант 2

Параллелограмм: сторона $9$ , высота к ней $7$ . Найдите $S$ . $63$
Треугольник: сторона $16$ , высота к ней $7$ . Найдите $S$ . $56$
Диагонали ромба $14$ и $10$ . Найдите $S$ . $70$
Равнобедренная трапеция: основания $4$ и $16$ , угол при основании $4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ . $60$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Из какой фигуры мы получили формулу площади параллелограмма?
Почему у треугольника в формуле стоит $\frac{1}{2}$ ?
Какую высоту брать в формуле $S = a h$ ?

Домашнее задание

Стороны параллелограмма $10$ и $6$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .
Основания трапеции $7$ и $13$ , $S = 60$ . Найдите высоту.
* Докажите: любая прямая через точку пересечения диагоналей параллелограмма делит его площадь пополам.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_ploshchadi_parallelogramma_treugolnika_trapecii.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) высота к стороне 10 равна 6 : 2 = 3, S = 30. 2) 60 = 10·h ⇒ h = 6. 3) Прямая пересекает BC в K и AD в M; △BOK = △DOM (BO = OD, вертикальные углы, накрест лежащие) — равные площади; части параллелограмма складываются из равных кусков: S(ABKM) = S(ABO) + S(BOK) + S(AOM) = S(CDO) + S(DOM) + S(COK) = S(CDMK).
Следующий урок — площади подобных фигур (GEOM8U-042): во сколько раз изменится площадь треугольника, если все стороны увеличить вдвое? (Подсказка: S = ½·a·h.)

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-041 · Простейшие формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R03 «Площадь», 16 ч · урок 3/16 · тип Н
Единицы → слайды	R03.3 «Простейшие формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции» → 2, 4–23 · повторение R03.1–R03.2 и 7 класса → 3
Результаты	ПР-7 (выводить и использовать формулы площади; вычислять площадь треугольника и многоугольных фигур различными способами) → 4–23
Вне урока	понятие и свойства площади — GEOM8U-039, 040; площади подобных фигур — GEOM8U-042; теорема Пифагора — R04 (в задачах не используется); формула с синусом угла — 9 класс
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Формулы площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции

Сегодня вы научитесь

Выводить формулы

Видеть пару «основание — высота»

Вычислять площадь разными способами

Доказывать равенство площадей

Площадь прямоугольника и свойства площади

Высота — перпендикуляр к прямой, содержащей основание

Параллелограмм

Треугольник

Трапеция

Площадь параллелограмма: S=ah

Найдите высоту — и площадь

Образец: AB=6, AD=10, ∠A=30∘. Найдите SABCD​.

Сам

Площадь треугольника: S=21​ah

Когда у треугольников общая высота

Одна площадь — две формулы

Образец: AC=10, AB=15, высота BH=9. Найдите высоту CK.

Сам: начертите сами

Диагонали перпендикулярны: S=21​d1​d2​

Площадь трапеции: S=2a+b​h

Сначала высота, потом формула

Образец: равнобедренная трапеция, AD=14, BC=6, ∠A=45∘. Найдите S.

Сам

Все формулы урока

Параллелограмм

Треугольник

Прямоугольный треугольник

Ромб

Трапеция

Диагонали ⊥

Равновеликие треугольники

Образец: ABCD — трапеция, BC∥AD, O=AC∩BD. Докажите: SAOB​=SCOD​.

Сам: план и обоснования

Считаем клетки: основание и высота

Образец: клетка 1×1. Найдите площадь △ABC.

Сам: нарисуйте в тетради

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Стороны параллелограмма 8 и 12, высота к стороне 8 равна 9. Найдите высоту к стороне 12.

б) Диагонали ромба 6 и 8. Найдите площадь.

в) Основания трапеции 4 и 10, боковая сторона 5 образует с основанием угол 30∘. Найдите S.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 18 Клетка 1×1. Найдите площадь трапеции.

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-041 · Простейшие формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции

Площадь параллелограмма: $S = a h$

Образец: $A B = 6$ , $A D = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} a h$

Образец: $A C = 10$ , $A B = 15$ , высота $B H = 9$ . Найдите высоту $C K$ .

Диагонали перпендикулярны: $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$

Площадь трапеции: $S = \frac{a + b}{2} h$

Образец: равнобедренная трапеция, $A D = 14$ , $BC = 6$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ .

Диагонали $⊥$

Образец: $A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$ , $O = A C \cap B D$ . Докажите: $S_{A OB} = S_{CO D}$ .

Образец: клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь $△ A BC$ .

а) Стороны параллелограмма $8$ и $12$ , высота к стороне $8$ равна $9$ . Найдите высоту к стороне $12$ .

б) Диагонали ромба $6$ и $8$ . Найдите площадь.

в) Основания трапеции $4$ и $10$ , боковая сторона $5$ образует с основанием угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .

ОГЭ 18 Клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь трапеции.