Площадь · урок 2 из 16

Свойства площадей геометрических фигур

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM8U-040

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Площадь» (16 ч), урок 2/16, единица R03.2. Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · свойства 2,5 · следствия 1,5 · равносоставленные 1,5 · теорема о площади прямоугольника 3 · прямоугольный треугольник 1,5 · схема 1,5.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 18/19 — 2 · ОГЭ 24 — 1,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: задание 3 повышенного уровня и ОГЭ 24 — в ДЗ; вывод S = ab не сокращать.
Картинка титула — квадрат со стороной a + b, из которого на сл. 8 выводится площадь прямоугольника.

R03.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Формулировать свойства площади

и объяснять их наглядный смысл

Выводить формулы

площади прямоугольника и прямоугольного треугольника из свойств (ПР-7)

Находить площади сложных фигур

разбиением и достроением, в том числе на клетчатой бумаге (ПР-7)

Доказывать равенство площадей

и решать задачи ОГЭ 18, 19, 24

0,5 мин · теория
ПР-7: «Выводить и использовать простейшие формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции. Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором)».
Виды деятельности ФРП R03: «Формулировать свойства площади, выяснять их наглядный смысл… Находить площади фигур, изображенных на клетчатой бумаге, использовать разбиение на части и достроение».

повторение: R03.1

Разминка · устно

Что мы знаем о площади

Клетка — $1 см^{2}$ . Площадь фигуры? $10 см^{2}$
Сколько $см^{2}$ в $1 дм^{2}$ ? $100$
Площадь прямоугольника $6 \times 7$ ? $42$
Площадь квадрата $64$ . Его сторона? $8$
Прямоугольник $2 \times 8$ и квадрат $4 \times 4$ : что у них равно? площади ( $16$ ), периметры разные
$△ A BC = △ K MN$ , $P_{K MN} = 12$ . Найдите $P_{A BC}$ . $12$

R03.2

Свойства площади

Три основных свойства

1° Равные фигуры

Равные многоугольники имеют равные площади.

F = F^{'} \Rightarrow S = S^{'}

2° Сложение

Фигура составлена из частей без общих внутренних точек — площади складываются.

S = S_{1} + S_{2} + S_{3}

3° Единица

Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна $1$ .

1 см^{2}, 1 м^{2}

2,5 мин · теория
Площадь многоугольника — положительная величина, для которой выполняются три свойства (в учебнике они принимаются без доказательства, как аксиомы). Все формулы площадей выводятся только из них.
Свойство 2: части не перекрываются (могут иметь общие стороны, но не общие внутренние точки). Вопрос: что будет, если части перекрываются? (Общая часть посчитается дважды.)
Свойство 3 задаёт единицу: см², дм², м², а, га. Вопрос: сколько м² в гектаре? (100 м × 100 м = 10 000 м².)

R03.2

Следствия свойств

Вычитание и равновеликие фигуры

Часть вырезали — площадь вычитаем

S_{рамки} = S_{1} - S_{2}

так как $S_{1} = S_{рамки} + S_{2}$ — свойство 2

Равновеликие фигуры — равные площади

$S = 2 \cdot 8 = 4 \cdot 4 = 16$ , но фигуры не равны

равные ⇒ равновеликие; обратное неверно

R03.2

Равносоставленные фигуры

Разрезать и переложить

Равносоставленные фигуры можно разрезать на одинаковое число попарно равных частей.

Отрежем $△ A B H$ и перенесём на место $△ D C K$ .

$A BC D$ и прямоугольник $H BC K$ составлены из равных частей.

Равносоставленные ⇒ равновеликие (свойства 1, 2)

1,5 мин · теория
Показать вживую: вырезать параллелограмм из бумаги, отрезать треугольник по высоте и приложить к другой стороне — получится прямоугольник. △ABH = △DCK (по гипотенузе AB = DC и катету BH = CK).
Так на следующем уроке (GEOM8U-041) выведем формулу площади параллелограмма. Сегодня — только сам приём «перекраивания».
Для сильных: верно и обратное — любые два равновеликих многоугольника равносоставлены (теорема Бойяи — Гервина, XIX век); доказывать не нужно.

R03.2

Образец → сам · разбиение и вычитание

Площадь составной фигуры

Образец: найдите площадь фигуры (все углы прямые).

Разбиение: $S = 5 \cdot 6 + 3 \cdot 3 = 39$ свойство 2

Проверка: $S = 8 \cdot 6 - 3 \cdot 3 = 39$ вычитание

Ответ: $39$

Сам

Из угла прямоугольника $10 \times 4$ вырезали квадрат $2 \times 2$ . Найдите площадь остатка. $36$
Прямоугольник $7 \times 5$ разрезан на два прямоугольника, площадь одного $14$ . Площадь другого? $21$
Буква «Т»: перекладина $6 \times 2$ , под ней ножка $2 \times 5$ . Найдите площадь. $22$

R03.2

Теорема · доказательство

Площадь прямоугольника $S = ab$

Дано: прямоугольник со сторонами

a

,

b

, площадь

S

.
Известно: площадь квадрата со стороной

x

равна

x^{2}

.
Доказать:

S = ab

.

1Достроим до квадрата со стороной

a + b

его площадь

(a + b)^{2}

2

(a + b)^{2} = a^{2} + S + S + b^{2}

свойство 2; оба прямоугольника равны — свойство 1

3

a^{2} + 2 ab + b^{2} = a^{2} + 2 S + b^{2}

раскрыли квадрат суммы

4

2 S = 2 ab

,

S = ab

вычли

a^{2} + b^{2}

из обеих частей

3 мин · теория
На прошлом уроке S = ab получали подсчётом клеток — это годится только для целых (рациональных) сторон. Здесь доказательство для любых a и b, если известно, что площадь квадрата со стороной x равна x² (в учебнике — через десятичные приближения).
Каждый шаг — вопрос «какое свойство?». Цвета частей чертежа совпадают с цветами в записи.
Следствие: S квадрата = a²; если стороны прямоугольника увеличить в k раз, площадь увеличится в k² раз.

R03.2

Образец → сам · обратная задача

Площадь известна — ищем сторону

Образец: прямоугольник со стороной $4$ см равновелик квадрату со стороной $6$ см. Найдите периметр прямоугольника.

$S = 6^{2} = 36 см^{2}$ площадь квадрата

$4 \cdot b = 36$ , $b = 9$ см $S = ab$

$P = 2 (4 + 9) = 26$ см у квадрата $P = 24$

Сам

$S = 48$ , одна сторона $6$ . Найдите периметр. $28$
$S = 72$ , стороны относятся как $1 : 2$ . Найдите стороны. $6$ и $12$
Каждую сторону прямоугольника увеличили в $3$ раза. Во сколько раз увеличилась площадь? в $9$ раз

R03.2

Следствие · доказательство

Площадь прямоугольного треугольника

Дано:

△ A BC

,

∠ B = 9 0^{\circ}

, катеты

a

,

b

.
Доказать:

S_{A BC} = \frac{1}{2} ab

.

1Достроим до прямоугольника

A BC D

S_{A BC D} = ab

— теорема

2

△ A BC

=

△ C D A

по двум катетам:

A B = C D

,

BC = D A

3

S_{A BC} = S_{C D A}

,

S_{A BC} + S_{C D A} = ab

свойства 1 и 2

4

S_{A BC} = \frac{1}{2} ab

половина произведения катетов

R03.2

Образец → сам · достроение на клетчатой бумаге

Площадь треугольника по клеткам

Образец: клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь треугольника.

Прямоугольник $6 \times 5 = 30$ достроили

$3 + 8 + 5 = 16$ по $\frac{1}{2} ab$ каждый

$S = 30 - 16 = 14$

Сам: начертите в тетради

Треугольник $(0; 0)$ , $(4; 0)$ , $(1; 3)$ . $6$
Квадрат $(0; 2)$ , $(2; 0)$ , $(4; 2)$ , $(2; 4)$ . $8$
Четырёхугольник $(0; 0)$ , $(5; 1)$ , $(4; 4)$ , $(1; 3)$ . $12$

3 мин · практика
Образец: вершины (1; 1), (7; 2), (3; 6). Описанный прямоугольник 6 × 5 = 30. Отрезаем прямоугольные треугольники: катеты 6 и 1 → 3; 4 и 4 → 8; 2 и 5 → 5. S = 30 − 16 = 14 (проверено формулой координат).
1) 4 · 3 = 12; отрезаем ½ · 1 · 3 = 1,5 и ½ · 3 · 3 = 4,5; S = 12 − 6 = 6.
2) 4 · 4 = 16 минус четыре треугольника по ½ · 2 · 2 = 2: S = 8. Можно и разбиением: квадрат из 4 треугольников с катетами 2 и 2.
3) 5 · 4 = 20; снизу ½ · 5 · 1 = 2,5; справа ½ · 1 · 3 = 1,5; слева сверху — треугольник ½ · 1 · 3 = 1,5, квадрат 1 × 1 и треугольник ½ · 3 · 1 = 1,5 (вместе 4). S = 20 − 8 = 12. Углублённый уровень: здесь отрезаемая часть — не один треугольник; учить делить её дальше.

R03.2

Образец → сам · доказательство

Треугольник — половина прямоугольника

Образец: $A BC D$ — прямоугольник, $M \in BC$ . Докажите: $S_{A M D} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ .

$M H ⊥ A D$ : $A BM H$ , $H MC D$ — прямоугольники

$S_{A M H} = \frac{1}{2} S_{A BM H}$ , $S_{M HD} = \frac{1}{2} S_{H MC D}$ диагональ

$S_{A M D} = \frac{1}{2} (S_{A BM H} + S_{H MC D}) = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ св. 2

Сам: план и обоснования

Докажите: диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника. $△ A BC = △ C D A$ ⇒ свойство 1
$M \in BC$ квадрата $A BC D$ . Докажите: $S_{A BM} + S_{MC D} = S_{A M D}$ . обе части $= \frac{1}{2} S_{A BC D}$
$A BC D$ — параллелограмм, $B H ⊥ A D$ , $C K ⊥ A D$ . Докажите: $S_{A BC D} = S_{H BC K}$ . $△ A B H = △ D C K$

2,5 мин · практика
Образец: перпендикуляр MH разбивает ABCD на два прямоугольника; AM и MD — их диагонали; каждая отсекает половину (сл. 10). Складываем — свойство 2.
1) AB = CD, BC = DA (свойство параллелограмма), AC — общая ⇒ △ABC = △CDA по III признаку ⇒ площади равны (свойство 1).
2) S(ABM) + S(MCD) + S(AMD) = S(ABCD) (свойство 2), S(AMD) = ½ S(ABCD) по образцу ⇒ S(ABM) + S(MCD) = ½ S(ABCD) = S(AMD).
3) Это приём со сл. 6: △ABH = △DCK по гипотенузе (AB = DC) и катету (BH = CK — расстояние между параллельными прямыми); S(ABCD) = S(ABH) + S(HBCD), S(HBCK) = S(HBCD) + S(DCK) ⇒ равны. Для угла A острого, K за точкой D.

R03.2

Схема-конспект

Свойства → формулы → приёмы

Свойства

равные ⇒ $S$ равны
фигура из частей ⇒ $S$ складываются
единичный квадрат: $S = 1$

⟶

Формулы

квадрат: $S = a^{2}$
прямоугольник: $S = ab$
прямоуг. треугольник: $S = \frac{1}{2} ab$

⟶

Приёмы

разбиение: $S = S_{1} + S_{2} + \dots$
достроение: $S = S_{целого} - S_{лишнего}$
перекраивание: равносоставленные ⇒ равновеликие

R03.2

Образец → сам · задача из жизни

Рамки, дорожки, ремонт

Образец: фото $20 \times 30$ см в рамке шириной $3$ см. Найдите площадь рамки.

Внешний прямоугольник: $26 \times 36 = 936$ $20 + 2 \cdot 3$

$S = 936 - 600 = 336 см^{2}$ вычитание

Сам

Бассейн $10 \times 25$ м обложен дорожкой шириной $1$ м. Площадь дорожки? $74 м^{2}$
Квадратная рамка площадью $64 см^{2}$ , окно — квадрат $6 \times 6$ см. Сторона рамки? $10$ см
Комната $5 \times 4$ м, в пачке ламината $2 м^{2}$ , запас $10 %$ . Сколько пачек? $11$

R03.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
«Площади равны — значит, фигуры равны»	прямоугольник $2 \times 8$ и квадрат $4 \times 4$	равные ⇒ равновеликие, но не наоборот
Стороны квадрата увеличили вдвое — площадь вдвое больше	$(2 a)^{2} = 4 a^{2}$	площадь больше в $4$ раза
$1 м^{2} = 100 см^{2}$	$1 м^{2} = 100 \cdot 100 см^{2}$	$1 м^{2} = 10000 см^{2}$
Площадь двух наложенных фигур $= S_{1} + S_{2}$	свойство 2 — только для частей без общих внутренних точек	$S_{1} + S_{2} - S_{общ}$

R03.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Прямоугольники $6 \times 4$ и $5 \times 3$ наложены, общая часть $2 \times 3$ . Площадь фигуры?

$S = 24 + 15 = 39$

$S = 24 + 15 - 6 = 33$

б) Выразите $50 см^{2}$ в $мм^{2}$ .

$1 см = 10 мм$ , значит $50 см^{2} = 500 мм^{2}$

$1 см^{2} = 100 мм^{2}$ , $50 см^{2} = 5000 мм^{2}$

в) «Докажем», что треугольники с катетами $3, 4$ и $2, 6$ равны.

$S_{1} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ , $S_{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 = 6$

площади равны ⇒ треугольники равны

равновеликие, но не равные: катеты разные

R03.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаКвадрат со стороной $1, 5$ дм. Площадь в $см^{2}$ ? $225$
базаПрямоугольник $12 \times 5$ разрезан диагональю. Площадь одного треугольника? $30$
базаКатеты $7$ и $10$ . Площадь треугольника? $35$

базаПлощадь квадрата $81$ . Его периметр? $36$
базаПрямоугольник $16 \times 4$ и квадрат равновелики. Сторона квадрата? $8$
базаСколько $дм^{2}$ в $2 м^{2}$ ? $200$

R03.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Одну сторону прямоугольника увеличили на $20 %$ , другую уменьшили на $20 %$ . Как изменилась площадь? уменьшилась на $4 %$
повыш.Квадрат разрезан на три равных прямоугольника, периметр каждого $24$ . Найдите площадь квадрата. $81$
повыш.Площадь прямоугольника $60$ , периметр $32$ . Найдите стороны. $6$ и $10$
повыш.Докажите: квадрат, построенный на диагонали квадрата, вдвое больше его по площади. $4$ равных треугольника против $2$

2,5 мин · практика
1) 1,2a · 0,8b = 0,96ab — уменьшилась на 4 %. Ловушка: «не изменилась».
2) Стороны прямоугольника a и a/3: 2(a + a/3) = 8a/3 = 24 ⇒ a = 9, S = 81.
3) a + b = 16, ab = 60: подбором 6 и 10 (или через уравнение x(16 − x) = 60, x² − 16x + 60 = 0, x = 6 или 10).
4) Квадрат ABCD диагональю AC делится на 2 равных треугольника, равных △ABC. Квадрат, построенный на AC, своими диагоналями делится на 4 равных прямоугольных равнобедренных треугольника; их катеты — половины диагонали, т. е. AC : √2 = AB, значит каждый равен △ABC. Свойства 1, 2 ⇒ S = 4 · S(△ABC) = 2 · S(ABCD). Это задача из диалога Платона «Менон».

R03.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 18 Клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь фигуры.

$12$

$13$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Если два многоугольника равны, то их площади равны.
Если площади двух многоугольников равны, то многоугольники равны.
Площадь прямоугольного треугольника равна произведению катетов.

Ответ: 1

R03.2 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линия 24

Доказательство через свойства площади

ОГЭ 24 Внутри прямоугольника

A BC D

взята точка

E

. Докажите:

S_{A E D} + S_{BEC} = \frac{1}{2} S_{A BC D}

.

1Через

E

проведём

K M ∥ A D

A K M D

и

K BCM

— прямоугольники

2

S_{A E D} = \frac{1}{2} S_{A K M D}

,

S_{BEC} = \frac{1}{2} S_{K BCM}

образец сл. 12:

E

лежит на стороне

K M

3сумма

= \frac{1}{2} (S_{A K M D} + S_{K BCM}) = \frac{1}{2} S_{A BC D}

свойство 2

R03.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Прямоугольник $7 \times 12$ . Найдите площадь. $84$
Площадь квадрата $144$ . Найдите его периметр. $48$
Из угла прямоугольника $10 \times 6$ вырезан прямоугольник $4 \times 2$ . Площадь остатка? $52$
Катеты прямоугольного треугольника $9$ и $8$ . Найдите площадь. $36$

Вариант 2

Прямоугольник $9 \times 11$ . Найдите площадь. $99$
Площадь квадрата $169$ . Найдите его периметр. $52$
Из угла прямоугольника $12 \times 5$ вырезан квадрат $3 \times 3$ . Площадь остатка? $51$
Катеты прямоугольного треугольника $7$ и $6$ . Найдите площадь. $21$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Назовите три свойства площади.
Чем равновеликие фигуры отличаются от равных?
Какие два приёма помогают найти площадь сложной фигуры?

Домашнее задание

Треугольник $(0; 0)$ , $(5; 2)$ , $(2; 5)$ на клетках. Найдите $S$ .
Дорожка шириной $2$ м вокруг клумбы $6 \times 4$ м. Её площадь?
* Докажите площадями: $(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4 ab$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_ploshchad_mnogougolnika.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-040 · Свойства площадей геометрических фигур

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R03 «Площадь», 16 ч · урок 2/16 · тип Н
Единицы → слайды	R03.2 «Свойства площадей геометрических фигур» → 2, 4–22 · повторение R03.1 «Понятие площади» → 3
Результаты	ПР-7 (выводить и использовать формулы площади, вычислять площади многоугольных фигур различными способами) → 7–22
Вне урока	формулы площади параллелограмма, треугольника, ромба, трапеции — GEOM8U-041 (приём перекраивания показан на сл. 6, 12); площади подобных фигур — GEOM8U-042; теорема Бойяи — Гервина — только в заметках
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Свойства площадей геометрических фигур

Сегодня вы научитесь

Формулировать свойства площади

Выводить формулы

Находить площади сложных фигур

Доказывать равенство площадей

Что мы знаем о площади

Три основных свойства

1° Равные фигуры

2° Сложение

3° Единица

Вычитание и равновеликие фигуры

Часть вырезали — площадь вычитаем

Равновеликие фигуры — равные площади

Разрезать и переложить

Площадь составной фигуры

Образец: найдите площадь фигуры (все углы прямые).

Сам

Площадь прямоугольника S=ab

Площадь известна — ищем сторону

Образец: прямоугольник со стороной 4 см равновелик квадрату со стороной 6 см. Найдите периметр прямоугольника.

Сам

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь треугольника по клеткам

Образец: клетка 1×1. Найдите площадь треугольника.

Сам: начертите в тетради

Треугольник — половина прямоугольника

Образец: ABCD — прямоугольник, M∈BC. Докажите: SAMD​=21​SABCD​.

Сам: план и обоснования

Свойства → формулы → приёмы

Свойства

Формулы

Приёмы

Рамки, дорожки, ремонт

Образец: фото 20×30 см в рамке шириной 3 см. Найдите площадь рамки.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Прямоугольники 6×4 и 5×3 наложены, общая часть 2×3. Площадь фигуры?

б) Выразите 50 см2 в мм2.

в) «Докажем», что треугольники с катетами 3,4 и 2,6 равны.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Доказательство через свойства площади

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-040 · Свойства площадей геометрических фигур

Площадь прямоугольника $S = ab$

Образец: прямоугольник со стороной $4$ см равновелик квадрату со стороной $6$ см. Найдите периметр прямоугольника.

Образец: клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь треугольника.

Образец: $A BC D$ — прямоугольник, $M \in BC$ . Докажите: $S_{A M D} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ .

Образец: фото $20 \times 30$ см в рамке шириной $3$ см. Найдите площадь рамки.

а) Прямоугольники $6 \times 4$ и $5 \times 3$ наложены, общая часть $2 \times 3$ . Площадь фигуры?

б) Выразите $50 см^{2}$ в $мм^{2}$ .

в) «Докажем», что треугольники с катетами $3, 4$ и $2, 6$ равны.