Площадь · урок 1 из 16

Понятие площади

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM8U-039

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Площадь» (16 ч), урок 1/16, единица R03.1 «Понятие площади». Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · что значит измерить 1,5 · определение 2 · единицы 1,5 · палетка 1,5 · квадрат 2 · прямоугольник 1,5 · схема 1,5.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 17/18/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: третье задание образца «квадрат на диагонали» и ОГЭ 24 — в ДЗ; определение и вывод формул не сокращать.

R03.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Объяснять, что такое площадь

формулировать определение и три основных свойства площади

Работать с единицами

переводить мм², см², м², а, га, км² и оценивать площадь палеткой

Обосновывать формулы

$S = a^{2}$ и $S = ab$ — через укладку единичных квадратов (ПР-7)

Находить площадь

многоугольных фигур разбиением и достроением, в том числе ОГЭ 18 и 23 (ПР-7)

0,5 мин · теория
ПР-7: «Выводить и использовать простейшие формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции. Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур». Сегодня — фундамент этого результата: понятие площади, формулы квадрата и прямоугольника.
Виды деятельности ФРП R03: формулировать свойства площади, выяснять их наглядный смысл; находить площади фигур на клетчатой бумаге разбиением и достроением.

повторение: 5–6 класс

Разминка · устно

Клетки, квадраты, единицы

Сколько клеток в закрашенном прямоугольнике? $24$
Его периметр, если клетка $1 \times 1$ см? $20$ см
$7^{2}$ и $1, 2^{2}$ $49$ и $1, 44$
$(\frac{2}{3})^{2}$ $\frac{4}{9}$
Сторона квадрата из $64$ клеток? $8$ клеток
$1$ дм $= 10$ см. Сколько клеток $1 \times 1$ см в квадрате $1 \times 1$ дм? $100$

R03.1

Понятие · что значит измерить

Сколько единичных квадратов укладывается в фигуре

Измерить площадь — узнать, сколько раз единичный квадрат и его части укладываются в фигуре.

Единичный квадрат уложился 15 раз: $S = 15$ кв. ед.

Сторона единичного квадрата $1$ см $\Rightarrow$ $S = 15 см^{2}$ .

Другая единица — другое число: у квадрата $2 \times 2$ см фигура вмещает $3, 75$ единицы.

R03.1

Определение площади многоугольника

Площадь — положительная величина с тремя свойствами

Каждому многоугольнику ставится в соответствие положительное число

S

— его площадь. Она обладает свойствами:

1. Равные многоугольники имеют равные площади: $S_{1} = S_{2}$

2. Многоугольник составлен из частей: $S = S_{1} + S_{2}$

3. Площадь квадрата со стороной $1$ равна $1$ — единица

2 мин · теория
Это определение через свойства (как в учебнике Атанасяна): площадь — величина, а не «число клеток». Подсчёт клеток с прошлого слайда — способ измерения, а свойства 1–3 объясняют, почему он работает.
Свойство 1: равные фигуры совмещаются наложением — равные стороны отмечены одинаковыми чёрточками. Обратное неверно (будет на слайде ошибок).
Свойство 2 (аддитивность): части не перекрываются (общие только стороны). Отсюда два приёма — разбиение и достроение.
Подробно свойства и равновеликие фигуры — на следующем уроке GEOM8U-040.

R03.1

Единицы площади

Каждая следующая единица меньше в 100 раз

км²→×100га→×100а→×100м²→×100дм²→×100см²→×100мм²

$1 дм^{2} = 10 \cdot 10 = 100 см^{2}$ 10 рядов по 10 клеток

$1 м^{2} = 100 \cdot 100 = 10000 см^{2}$

1 а (сотка) — квадрат $10 \times 10$ м $= 100 м^{2}$

1 га — квадрат $100 \times 100$ м $= 10000 м^{2}$

R03.1

Образец → сам · переводим единицы площади

Поле в метрах, гектарах и сотках

Образец: поле — прямоугольник $250 \times 140$ м. Найдите площадь в м², га и сотках.

$S = 250 \cdot 140 = 35000 м^{2}$ сторона на сторону

$35000 : 10000 = 3, 5$ га $1$ га $= 10000 м^{2}$

$35000 : 100 = 350$ соток $1$ а $= 100 м^{2}$

Сам

$4, 2 м^{2} = ? дм^{2}$ $420 дм^{2}$
$75000 м^{2} = ?$ га $7, 5$ га
Участок $40 \times 25$ м. Сколько это соток? $10$ соток

R03.1

Измерение палеткой · приближённо

Площадь фигуры с кривой границей

Палетка — прозрачная сетка из единичных квадратов. Считаем целые клетки $n$ и задетые границей $m$ .

$n = 32$ , $m = 28$

$n \leq S \leq n + m$ : $32 \leq S \leq 60$

$S \approx n + \frac{m}{2} = 32 + 14 = 46$ клеток

Клетка мельче — оценка точнее.

1,5 мин · теория
Круг радиуса 4 клетки, центр в узле сетки. Подсчёт выполнен кодом: 32 целые клетки (бирюзовые), 28 задетых (жёлтые, по щелчку). Каждая задетая клетка покрыта фигурой в среднем примерно наполовину, отсюда m/2.
Для учителя: точная площадь этого круга 16π ≈ 50,3 клетки (9 класс). При клетке вдвое мельче получается 164 целые и 60 задетых мелких клеток: S ≈ (164 + 30) : 4 = 48,5 клетки, границы 41…56 — оценка точнее.
Палетка нужна для фигур с кривой границей (участок на карте, лист растения); площадь многоугольника на клетках находим точно — разбиением и достроением.

R03.1

Образец → сам · оценка палеткой

Оцените площадь озера на карте

Образец: клетка палетки $1 \times 1$ см. Оцените площадь фигуры.

целых $n = 33$ , задетых $m = 32$ считаем по рядам

$33 \leq S \leq 65$ оценка снизу и сверху

$S \approx 33 + 16 = 49 см^{2}$

Сам

$n = 38$ , $m = 22$ , клетка $1 см^{2}$ . Оцените $S$ снизу, сверху и приближённо. $38 \leq S \leq 60$ , $S \approx 49 см^{2}$
Клетка $5 \times 5$ мм, $n = 120$ , $m = 40$ . Оцените $S$ в см². $\approx 35 см^{2}$
Прямоугольник $3, 5 \times 2$ см, клетка $0, 5$ см. Сколько клеток? Найдите $S$ . $28$ клеток, $S = 7 см^{2}$ точно

R03.1

Площадь квадрата · вывод

Квадрат со стороной $\frac{m}{n}$ имеет площадь $(\frac{m}{n})^{2}$

Дано: квадрат со стороной

a = \frac{m}{n}

(на чертеже

\frac{2}{3}

).
Доказать:

S = a^{2}

.

1Единичный квадрат делим на

n^{2}

равных квадратов со стороной

\frac{1}{n}

свойства 1, 2, 3:

n^{2} \cdot S_{0} = 1

,

S_{0} = \frac{1}{n ^{2}}

2Квадрат со стороной

\frac{m}{n}

состоит из

m^{2}

таких квадратов

m

рядов по

m

— свойство 2

3

S = m^{2} \cdot \frac{1}{n ^{2}} = (\frac{m}{n})^{2} = a^{2}

на чертеже:

4 \cdot \frac{1}{9} = \frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^{2}

2 мин · теория
Каждый шаг — вопрос классу «почему?». Шаг 1: n² равных квадратов (свойство 1) составляют единичный (свойство 2), площадь которого 1 (свойство 3).
Для натурального a = m (n = 1) формула — просто подсчёт клеток. Для любого положительного a (например, a = √2) формула S = a² тоже верна: a зажимают между десятичными приближениями (Атанасян, п. 49); подробное обоснование — на следующем уроке.
Вопрос: квадрат со стороной 0,1 м — какая у него площадь в м² и в дм²? (0,01 м² = 1 дм².)

R03.1

Площадь прямоугольника · вывод

$S = ab$ — сторона на сторону

Дано: прямоугольник,

a = \frac{p}{n}

,

b = \frac{q}{n}

.
Доказать:

S = ab

.

1Делим на квадраты со стороной

\frac{1}{n}

:

q

рядов по

p

штукна чертеже

n = 2

:

3

ряда по

5

2Площадь каждого

\frac{1}{n ^{2}}

площадь квадрата — прошлый слайд

3

S = pq \cdot \frac{1}{n ^{2}} = \frac{p}{n} \cdot \frac{q}{n} = ab

15 \cdot \frac{1}{4} = 3, 75 = 2, 5 \cdot 1, 5

R03.1

Схема-конспект

Как найти площадь

Подсчёт клеток

точно, если стороны идут по сетке
$S = N \cdot s$ : $N$ клеток, $s$ — площадь клетки

Палетка

кривая граница
$n \leq S \leq n + m$
$S \approx n + \frac{m}{2}$

Формулы

квадрат: $S = a^{2}$
прямоугольник: $S = ab$
единицы — в одних мерах

Части

разбиение: $S = S_{1} + S_{2}$
достроение: $S = S_{всей} - S_{лишней}$
равные части — равные $S$

R03.1

Образец → сам · обратная задача

По площади найдите стороны

Образец: площадь прямоугольника $48 см^{2}$ , стороны относятся как $3 : 1$ . Найдите стороны и периметр.

$3 x \cdot x = 48$ , $x^{2} = 16$ , $x = 4$ $S = ab$ , $x > 0$

стороны $12$ и $4$ см

$P = 2 (12 + 4) = 32$ см

Сам

Площадь квадрата $2, 25 дм^{2}$ . Найдите сторону. $1, 5$ дм
Квадрат равновелик прямоугольнику $4 \times 9$ . Найдите сторону квадрата. $6$
Каждую сторону квадрата увеличили в $3$ раза. Во сколько раз увеличилась площадь? в $9$ раз

R03.1

Образец → сам · разбиение и достроение

Площадь многоугольника двумя способами

Образец: найдите площадь фигуры (все углы прямые, длины в см).

достроение: $8 \cdot 6 - 3 \cdot 4 = 48 - 12 = 36$ свойство 2

разбиение: $5 \cdot 6 + 3 \cdot 2 = 30 + 6 = 36 см^{2}$

Сам

Из прямоугольника $10 \times 7$ вырезали в углу квадрат $3 \times 3$ . Найдите площадь остатка. $61$
«Лесенка»: прямоугольники $6 \times 2$ , $4 \times 2$ и $2 \times 2$ поставлены друг на друга. Найдите площадь. $24$
Рамка: внешний прямоугольник $12 \times 9$ см, ширина рамки $1, 5$ см. Найдите площадь рамки. $54 см^{2}$

R03.1

Образец → сам · задача на доказательство

Квадрат на диагонали вдвое больше

Образец: $A BC D$ — квадрат, $A CEF$ — квадрат на его диагонали. Докажите: $S_{A CEF} = 2 S_{A BC D}$ .

$△ A BC = △ C D A$ ⇒ $S_{A BC D} = 2 S_{A BC}$ свойства 1, 2

диагонали $A CEF$ дают треугольники $1$ – $4$ , равные $△ A BC$ I признак

$S_{A CEF} = 4 S_{A BC} = 2 S_{A BC D}$

Сам

Площадь квадрата $18$ . Найдите площадь квадрата, построенного на его диагонали. $36$
Площадь квадрата на диагонали $50$ . Найдите сторону исходного квадрата. $5$
Середины сторон квадрата $A BC D$ — вершины $K L MN$ . Докажите: $S_{K L MN} = \frac{1}{2} S_{A BC D}$ . отрезки $K M$ , $L N$ делят $A BC D$ на 4 квадрата, каждый — пополам

2,5 мин · практика
Образец: B — центр квадрата ACEF, его диагонали AE и CF проходят через B и перпендикулярны. Треугольники 1–4 (ABC, CBE, EBF, FBA) — прямоугольные с катетами BA = BC = BE = BF — равны △ABC по I признаку (два катета и прямой угол между ними).
1) 2 · 18 = 36. 2) S_ABCD = 50 : 2 = 25, сторона 5.
3) KM и LN (O — центр) делят ABCD на 4 равных квадрата; сторона KLMN — диагональ каждого из них и делит его на два равных треугольника, один внутри KLMN, другой снаружи. Внутри 4 половинки из 8 ⇒ S_KLMN = ½ S_ABCD. Требовать ссылку на свойства 1 и 2.

R03.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$1 м^{2} = 100 см^{2}$	в квадрате $1 \times 1$ м — $100$ рядов по $100$ клеток	$1 м^{2} = 10000 см^{2}$
Стороны увеличили в $2$ раза — площадь тоже в $2$ раза	увеличились обе стороны: $2 a \cdot 2 b$	площадь в $4$ раза
Площади равны ⇒ фигуры равны	свойство 1 не обращается: $2 \times 8$ и $4 \times 4$	равновеликие, но не равные
Равные периметры ⇒ равные площади	$1 \times 5$ и $3 \times 3$ : $P = 12$ у обоих	$S = 5$ и $S = 9$

R03.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Переведите $3, 5 дм^{2}$ в см².

$1$ дм $= 10$ см

$3, 5 \cdot 10 = 35 см^{2}$

$1 дм^{2} = 100 см^{2}$ : $3, 5 \cdot 100 = 350 см^{2}$

б) Палетка: целых клеток $30$ , задетых $20$ . Оцените $S$ .

$S \approx 30 + 20 = 50$ клеток

$30 + 20$ — оценка сверху; $S \approx 30 + \frac{20}{2} = 40$

в) Площадь квадрата $36$ . Сторону увеличили на $2$ . Новая площадь?

$36 + 2^{2} = 40$

сторона $6 \to 8$ : $S = 8^{2} = 64$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Первая строка верна, ошибка во второй: умножили на 10, как для длины, а площадь — на 10 · 10 = 100. Ответ 350 см².
б) n + m — граница сверху, а не приближённое значение: задетые клетки покрыты лишь частично. 30 ≤ S ≤ 50, S ≈ 40.
в) Сторона a = √36 = 6, новая 8, S = 64. Ошибка «прибавили 2²»: (a + 2)² ≠ a² + 2² — проверить на клетках, добавляется «уголок» 2 · 6 · 2 + 4 = 28.

R03.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаПрямоугольник $7 \times 12$ . Найдите $S$ . $84$
база $S$ квадрата $81$ . Найдите его периметр. $36$
база $0, 6 м^{2} = ? см^{2}$ $6000$

база $2, 5$ га $= ? м^{2}$ $25000$
база $S = 60$ , одна сторона $7, 5$ . Найдите другую. $8$
базаКвадрат со стороной $0, 3$ м. Найдите $S$ . $0, 09 м^{2}$

R03.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Периметр прямоугольника $26$ , площадь $40$ . Найдите стороны. $5$ и $8$
повыш.Одну сторону прямоугольника увеличили в $3$ раза, другую уменьшили в $2$ раза. Как изменилась площадь? увеличилась в $1, 5$ раза
повыш.Квадрат и прямоугольник со сторонами $1 : 2$ имеют периметр $24$ . У кого площадь больше и на сколько? у квадрата на $4$
из жизниПол $5, 2 \times 3, 5$ м покрывают ламинатом, в упаковке $2, 1 м^{2}$ . Сколько упаковок купить? $9$

R03.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17, 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 18 На клетчатой бумаге с клетками $1 \times 1$ изображены фигуры. Найдите их площади.

а) $14$ б) $10$

ОГЭ 17Периметр квадрата $40$ . Найдите его площадь. $100$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Если площади двух фигур равны, то фигуры равны.
Площадь прямоугольника равна сумме двух его смежных сторон.

Ответ: 1

R03.1 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Прямоугольник разрезан двумя прямыми, параллельными сторонам, на 4 прямоугольника. Площади трёх: $12$ , $18$ , $20$ . Найдите площадь четвёртого.

$12 = xu$ , $18 = y u$ , $20 = xv$ $x, y$ — ширины, $u, v$ — высоты

$S = y v = \frac{18 \cdot 20}{12}$

$S = 30$

ОГЭ 24 Прямая через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $A BC D$ пересекает $BC$ в $K$ , $A D$ в $M$ . Докажите: $S_{A B K M} = S_{C D M K}$ .

$△ A OB = △ CO D$ , $△ BO K = △ D OM$ , $△ A OM = △ CO K$ (признаки I и II)

части составлены из равных треугольников ⇒ площади равны

2 мин · практика
23) Пусть ширины частей x, y, высоты u, v: xu = 12, yu = 18, xv = 20. Тогда yv = (yu · xv) : (xu) = 18 · 20 : 12 = 30. Ответ: 30. (На чертеже x = 4, y = 6, u = 3, v = 5.) Проверка: 12 · 30 = 18 · 20.
24) AO = OC, BO = OD (свойство параллелограмма). △AOB = △COD: AO = OC, BO = OD, вертикальные углы (I признак). △BOK = △DOM: BO = OD, ∠BOK = ∠DOM (вертикальные), ∠OBK = ∠ODM (накрест лежащие, BC ∥ AD) — II признак; аналогично △AOM = △COK. ABKM = △AOB + △BOK + △AOM, CDMK = △COD + △DOM + △COK ⇒ площади равны по свойствам 1 и 2.
На уроке — устное обсуждение плана (2 мин), запись 24 полностью — в ДЗ по желанию.

R03.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Прямоугольник $8 \times 1, 5$ . Найдите $S$ . $12$
Периметр квадрата $28$ . Найдите $S$ . $49$
$4, 5$ га $= ? м^{2}$ $45000$
Из квадрата $10 \times 10$ вырезали прямоугольник $4 \times 3$ . Найдите $S$ остатка. $88$

Вариант 2

Прямоугольник $6 \times 2, 5$ . Найдите $S$ . $15$
Периметр квадрата $36$ . Найдите $S$ . $81$
$120000 м^{2} = ?$ га $12$
Из прямоугольника $12 \times 8$ вырезали квадрат $5 \times 5$ . Найдите $S$ остатка. $71$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что значит измерить площадь?
Назовите три свойства площади.
Почему $1 м^{2} = 10000 см^{2}$ ?

Домашнее задание

$2, 3 м^{2} = ? см^{2}$
$S$ прямоугольника $96$ , стороны $2 : 3$ . Найдите стороны.
* Докажите: любая прямая через центр прямоугольника делит его на две равновеликие части.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_ploshchad_mnogougolnika.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-039 · Понятие площади

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R03 «Площадь», 16 ч · урок 1/16 · тип Н
Единицы → слайды	R03.1 «Понятие площади» → 2, 4–23 · повторение 5–6 класса → 3
Результаты	ПР-7 (выводить и использовать простейшие формулы площади, вычислять площади многоугольных фигур различными способами) → 2, 10–23
Вне урока	свойства площадей подробно, равновеликие и равносоставленные фигуры, S = ab для произвольных сторон — GEOM8U-040; формулы треугольника, параллелограмма, ромба, трапеции — GEOM8U-041; площади подобных фигур — R03.4
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Понятие площади

Сегодня вы научитесь

Объяснять, что такое площадь

Работать с единицами

Обосновывать формулы

Находить площадь

Клетки, квадраты, единицы

Сколько единичных квадратов укладывается в фигуре

Площадь — положительная величина с тремя свойствами

Каждая следующая единица меньше в 100 раз

Поле в метрах, гектарах и сотках

Образец: поле — прямоугольник 250×140 м. Найдите площадь в м², га и сотках.

Сам

Площадь фигуры с кривой границей

Оцените площадь озера на карте

Образец: клетка палетки 1×1 см. Оцените площадь фигуры.

Сам

Квадрат со стороной nm​ имеет площадь (nm​)2

S=ab — сторона на сторону

Как найти площадь

Подсчёт клеток

Палетка

Формулы

Части

По площади найдите стороны

Образец: площадь прямоугольника 48 см2, стороны относятся как 3:1. Найдите стороны и периметр.

Сам

Площадь многоугольника двумя способами

Образец: найдите площадь фигуры (все углы прямые, длины в см).

Сам

Квадрат на диагонали вдвое больше

Образец: ABCD — квадрат, ACEF — квадрат на его диагонали. Докажите: SACEF​=2SABCD​.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Переведите 3,5 дм2 в см².

б) Палетка: целых клеток 30, задетых 20. Оцените S.

в) Площадь квадрата 36. Сторону увеличили на 2. Новая площадь?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-039 · Понятие площади

Образец: поле — прямоугольник $250 \times 140$ м. Найдите площадь в м², га и сотках.

Образец: клетка палетки $1 \times 1$ см. Оцените площадь фигуры.

Квадрат со стороной $\frac{m}{n}$ имеет площадь $(\frac{m}{n})^{2}$

$S = ab$ — сторона на сторону

Образец: площадь прямоугольника $48 см^{2}$ , стороны относятся как $3 : 1$ . Найдите стороны и периметр.

Образец: $A BC D$ — квадрат, $A CEF$ — квадрат на его диагонали. Докажите: $S_{A CEF} = 2 S_{A BC D}$ .

а) Переведите $3, 5 дм^{2}$ в см².

б) Палетка: целых клеток $30$ , задетых $20$ . Оцените $S$ .

в) Площадь квадрата $36$ . Сторону увеличили на $2$ . Новая площадь?