Подобие · урок 16 из 16 · обобщение

Обобщение и систематизация по теме «Подобие»

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM8U-038

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Подобие» (16 ч), урок 16/16, единицы R02.1–R02.4. Тип урока — О (обобщение и систематизация): теория только короткими сводками, практики больше.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · карта темы 1,5 · сводка k 1,5 · сводка признаков 2 · конфигурации 2 · прямоугольный треугольник 2 · гомотетия 2.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2 + 2,5 + 2 + 2,5 + 2 + 2 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2 · ОГЭ 15/19 — 1,5 · ОГЭ 23/24 — 1,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Урок завершает строку R02; самостоятельная работа — срез по всей теме перед контрольной. Если не успеваете: задание 3 повышенного уровня и ОГЭ 24 — в ДЗ; сводки не пропускать.

R02.1 · R02.2 · R02.3 · R02.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Собирать тему в систему

определение, $k$ , признаки, конфигурации, гомотетия (ПР-5)

Выбирать признак

и записывать соответствие вершин без ошибок

Применять пропорции

в прямоугольном треугольнике и в задачах из жизни (ПР-6)

Решать задачи ОГЭ

линий 15, 19, 23 и 24 — с обоснованием

0,5 мин · теория
ПР-5 (ФРП дословно): «Владеть понятиями подобия треугольников, коэффициента подобия, соответственных элементов подобных треугольников. Иметь представление о преобразовании подобия и о подобных фигурах. Пользоваться признаками подобия треугольников при решении геометрических задач. Доказывать и применять отношения пропорциональности в прямоугольных треугольниках».
ПР-6: «Применять подобие в практических задачах».
Виды деятельности ФРП R02: находить подобные треугольники на готовых чертежах и указывать признаки; определять пары подобных треугольников в конфигурациях; строить чертёж самостоятельно; проводить доказательства; решать практические задачи; знакомиться с преобразованием подобия.

повторение: R02.1–R02.4

Разминка · устно

Вся тема — за две минуты

$△ A BC \sim △ MN K$ , $k = 2$ , $A B = 4$ . Найдите $MN$ . $8$
Стороны $3, 5, 6$ и $9, 15, 18$ . Чему равен $k$ ? $3$
Периметры подобных треугольников $10$ и $25$ . Найдите $k$ . $2, 5$
$\frac{x}{6} = \frac{10}{15}$ $x = 4$

Углы $3 5^{\circ}$ и $7 5^{\circ}$ ; у другого — $7 5^{\circ}$ и $7 0^{\circ}$ . Подобны? да, по двум углам
Гомотетия с $k = - 2$ : отрезок длины $3$ переходит в отрезок длины… $6$
Высота к гипотенузе делит её на $4$ и $9$ . Найдите высоту. $6$

R02.1–R02.4

Сводка · карта темы «Подобие»

Четыре блока темы — одна схема

R02.1

Подобие и $k$

углы равны, стороны пропорциональны
$P_{1} : P = k$
высоты, медианы, биссектрисы — в отношении $k$

R02.2

Признаки

I — два угла
II — две стороны и угол между ними
III — три стороны

R02.3

Применение

тень и фонарь
ширина реки, рычаг
$h^{2} = ab$ в прямоугольном треугольнике

R02.4

Подобие фигур

гомотетия: $O X_{1} = ∣ k ∣ \cdot OX$
преобразование подобия
подобные фигуры, масштаб

увидеть пару треугольников → назвать признак → записать соответствие вершин → составить пропорцию

R02.1

Сводка · подобие и коэффициент

Всё линейное умножается на $k$

$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ : соответственные углы равны, сходственные стороны пропорциональны.

\frac{A _{1} B _{1}}{A B}

=

\frac{B _{1} C _{1}}{BC}

=

\frac{A _{1} C _{1}}{A C}

= k

Периметры: $P_{1} : P = k$

Высоты, медианы, биссектрисы: $h_{1} : h = k$

R02.1

Образец → сам · стороны и периметры через $k$

Сначала коэффициент, потом всё остальное

Образец: $△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ . Найдите $B_{1} C_{1}$ , $A_{1} C_{1}$ , $P_{1}$ .

$k = \frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ сходственные $A B$ и $A_{1} B_{1}$

$B_{1} C_{1} = \frac{3}{4} \cdot 10 = 7, 5$ , $A_{1} C_{1} = \frac{3}{4} \cdot 12 = 9$

$P_{1} = \frac{3}{4} \cdot 30 = 22, 5$ $P_{1} : P = k$

Сам

$△ A BC \sim △ D EF$ , $A B = 5$ , $D E = 15$ , высота $B H = 4$ . Найдите сходственную высоту. $12$
Периметры подобных треугольников $24$ и $36$ , меньшая сторона первого $5$ . Меньшая сторона второго? $7, 5$
Сходственные стороны $6$ и $10$ , сумма периметров $64$ . Найдите периметры. $24$ и $40$

R02.2

Сводка · три признака подобия

Как доказать, что треугольники подобны

I · по двум углам

$∠ A = ∠ A_{1}$ , $∠ B = ∠ B_{1}$

II · две стороны и угол

$\frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{A _{1} C _{1}}{A C}$ , $∠ A = ∠ A_{1}$

III · три стороны

$\frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{B _{1} C _{1}}{BC} = \frac{A _{1} C _{1}}{A C}$

Прямоугольные треугольники: достаточно одного равного острого угла (I признак).

R02.2

Образец → сам · какой признак и какое соответствие

Упорядочить стороны — и сравнить

Образец: подобны ли треугольники? Какой угол $△ MN K$ равен $∠ C$ ?

$\frac{6}{4} = \frac{7 , 5}{5} = \frac{9}{6} = 1, 5$ по возрастанию

$△ A BC \sim △ N K M$ III признак, $k = 1, 5$

$∠ C = ∠ M$ против сходственных $A B$ и $N K$

Сам: признак и $k$

$∠ A = ∠ D = 4 0^{\circ}$ , $A B = 3$ , $A C = 7$ , $D E = 6$ , $D F = 14$ . II признак, $k = 2$
$∠ B = 7 0^{\circ}$ , $∠ C = 5 0^{\circ}$ ; $∠ E = 6 0^{\circ}$ , $∠ F = 7 0^{\circ}$ . Запишите подобие. $△ A BC \sim △ EF D$ (I)
Стороны $2, 3, 4$ и $5; 7, 5; 9$ . Подобны? нет: $4 \cdot 2, 5 = 10 \neq = 9$

2,5 мин · практика
Образец: у △ABC стороны AB = 4, BC = 5, AC = 6; у △MNK стороны NK = 6, MK = 7,5, MN = 9. Сравниваем меньшую с меньшей, среднюю со средней, большую с большей: AB ↔ NK, BC ↔ KM, AC ↔ NM. Угол C лежит против AB, сходственный ему — против NK, это ∠M. Полное соответствие: A ↔ N, B ↔ K, C ↔ M.
Чертёж нарочно повёрнут иначе: «на глаз» соответствие не угадать.
1) 6 : 3 = 14 : 7 = 2, угол между этими сторонами равен ⇒ II признак, k = 2. 2) ∠A = 60°, ∠D = 180 − 60 − 70 = 50°: A ↔ E, B ↔ F, C ↔ D ⇒ △ABC ∼ △EFD. 3) 5 : 2 = 7,5 : 3 = 2,5, но 9 : 4 = 2,25 ⇒ не подобны.

R02.2

Сводка · где искать подобные треугольники

Три конфигурации, которые встречаются всегда

Отсечение

$D E ∥ A C$ ⇒ $△ D BE \sim △ A BC$ (I признак)

«Бабочка» в трапеции

$BC ∥ A D$ ⇒ $△ BOC \sim △ D O A$ , $\frac{A O}{OC} = \frac{A D}{BC}$

Общий угол

$∠ A B D = ∠ C$ ⇒ $△ A B D \sim △ A CB$ , $A B^{2} = A D \cdot A C$

R02.2 · R02.1

Образец → сам · конфигурации на готовом чертеже

Узнать конфигурацию — и составить пропорцию

Образец: $∠ A B D = ∠ C$ , $A D = 4$ , $D C = 5$ . Найдите $A B$ .

$△ A B D \sim △ A CB$ $∠ A$ общий, $∠ A B D = ∠ C$ — I признак

$\frac{A B}{A C} = \frac{A D}{A B}$ ⇒ $A B^{2} = 4 \cdot 9 = 36$

$A B = 6$

Сам

$D E ∥ A C$ , $B D = 4$ , $D A = 6$ , $A C = 15$ . Найдите $D E$ . $6$
Трапеция, $A D = 12$ , $BC = 4$ , диагональ $A C = 20$ . Найдите $A O$ . $15$
$∠ A B D = ∠ C$ , $A B = 10$ , $A D = 5$ . Найдите $D C$ . $15$

R02.2

Образец → сам · задача на доказательство

Два подобия подряд

Образец: $A A_{1}$ и $C C_{1}$ — высоты остроугольного $△ A BC$ . Докажите: $△ A_{1} B C_{1} \sim △ A BC$ .

$△ A B A_{1} \sim △ CB C_{1}$ $∠ B$ общий, прямые углы

$\frac{B A _{1}}{B C _{1}} = \frac{A B}{CB}$ ⇒ $\frac{B A _{1}}{A B} = \frac{B C _{1}}{CB}$

$∠ B$ общий ⇒ $△ A_{1} B C_{1} \sim △ A BC$ II признак

Сам: план и признак

Диагонали трапеции $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ) пересекаются в $O$ . Докажите: $A O \cdot OB = CO \cdot O D$ . $△ A O D \sim △ COB$ (I) ⇒ $\frac{A O}{CO} = \frac{O D}{OB}$
$D \in A B$ , $E \in BC$ , $B D \cdot B A = BE \cdot BC$ . Докажите: $∠ B D E = ∠ C$ . $\frac{B D}{BC} = \frac{BE}{B A}$ , $∠ B$ общий ⇒ II признак
$A B \cap C D = O$ , $A O = 6$ , $OB = 4$ , $CO = 3$ , $O D = 8$ . Докажите: $A C ∥ B D$ . $△ A OC \sim △ D OB$ (II) ⇒ $∠ A = ∠ D$

2,5 мин · практика
Образец: в прямоугольных △ABA₁ и △CBC₁ острый угол B общий ⇒ подобны; из пропорции BA₁ : BC₁ = AB : CB переставляем средние члены; угол B — между сторонами BA₁, BC₁ и между BA, BC ⇒ II признак, k = BA₁ : BA. Порядок вершин: A₁ ↔ A, B ↔ B, C₁ ↔ C.
1) ∠OAD = ∠OCB, ∠ODA = ∠OBC (накрест лежащие, AD ∥ BC) ⇒ △AOD ∼ △COB ⇒ AO : CO = OD : OB ⇒ AO · OB = CO · OD.
2) Из BD · BA = BE · BC: BD : BC = BE : BA; угол B общий ⇒ △BDE ∼ △BCA (II) ⇒ ∠BDE = ∠BCA.
3) AO : OD = 6 : 8 = 3 : 4, CO : OB = 3 : 4, ∠AOC = ∠DOB (вертикальные) ⇒ △AOC ∼ △DOB (II) ⇒ ∠OAC = ∠ODB — накрест лежащие при прямых AC, BD и секущей AD ⇒ AC ∥ BD.

R02.1 · R02.2

Сводка · пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Высота к гипотенузе даёт три подобных треугольника

△ A C H

\sim

△ CB H

\sim △ A BC

— у каждой пары общий острый угол.

h^{2}

=

a

\cdot

b

$A C^{2} = A H \cdot A B$ , $B C^{2} = B H \cdot A B$

из $\frac{C H}{A H} = \frac{B H}{C H}$ ( $△ A C H \sim △ CB H$ ) и $\frac{A C}{A B} = \frac{A H}{A C}$

R02.1 · R02.2

Образец → сам · отрезки в прямоугольном треугольнике

Найти всё по двум отрезкам

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 9$ , $A B = 25$ . Найдите $A C$ , $C H$ , $BC$ .

$A C^{2} = A H \cdot A B = 225$ , $A C = 15$

$B H = 16$ , $C H^{2} = 9 \cdot 16 = 144$ , $C H = 12$

$B C^{2} = 16 \cdot 25 = 400$ , $BC = 20$

Сам

$A H = 2$ , $H B = 8$ . Найдите $C H$ . $4$
$A C = 6$ , $A B = 9$ . Найдите $A H$ . $4$
$C H = 6$ , $A H = 3$ . Найдите $H B$ и $A B$ . $12$ и $15$

R02.4

Сводка · гомотетия и преобразование подобия

Подобные фигуры: одна получается из другой

Гомотетия с центром

O

и коэффициентом

k \neq = 0

:

O X_{1} = k \cdot OX

.

Расстояния умножаются на $∣ k ∣$ : $A_{1} B_{1} = ∣ k ∣ \cdot A B$

Прямая переходит в параллельную (или в себя), углы сохраняются

Преобразование подобия умножает все расстояния на $k > 0$ ; фигуры подобны, если одна переходит в другую

R02.4

Образец → сам · гомотетия на клетчатой бумаге

Шаг по клеткам умножаем на $k$

Образец: $O (1; 3)$ , $k = 2$ . Постройте образ $△ A BC$ : $A (3; 2)$ , $B (4; 4)$ , $C (5; 2)$ .

$O \to A$ : $(+ 2; - 1)$ ⇒ $O \to A_{1}$ : $(+ 4; - 2)$ , $A_{1} (5; 1)$

$B_{1} (7; 5)$ , $C_{1} (9; 1)$ так же

Сам

$O (1; 3)$ , $k = \frac{1}{2}$ , $P (5; 5)$ . Найдите $P_{1}$ . $P_{1} (3; 4)$
$O (1; 3)$ , $k = - 2$ , $Q (2; 4)$ . Найдите $Q_{1}$ . $Q_{1} (- 1; 1)$
Центр $O (0; 0)$ , $M (2; 3) \to M_{1} (- 4; - 6)$ . Найдите $k$ . $k = - 2$

R02.3

Образец → сам · практическая задача

Модель: два подобных треугольника

Образец: человек ростом $1, 8$ м стоит в $6$ м от фонаря, его тень $3$ м. Высота фонаря?

Треугольники подобны общий угол, оба прямоугольные

$\frac{x}{1 , 8} = \frac{6 + 3}{3}$ ⇒ $x = 5, 4$ м

Сам

Палка $1, 5$ м даёт тень $2$ м, дерево — тень $12$ м. Высота дерева? $9$ м
Плечи шлагбаума $1$ м и $4$ м. Короткий конец опустился на $0, 5$ м. На сколько поднялся длинный? на $2$ м
Масштаб карты $1 : 25000$ , на карте $6$ см. Расстояние на местности? $1, 5$ км

R02.1–R02.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$△ A BC \sim △ D EF$ ⇒ $A B : D E = BC : D F$	соответствие — по порядку букв: $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$	$A B : D E = BC : EF$
$D E ∥ A C$ : $D E : A C = B D : D A$	$D A$ — не сторона треугольника $D BE$ и не сторона $A BC$	$D E : A C = B D : B A$
стороны $3, 4, 5$ и $5, 6, 7$ подобны — «каждая больше на $2$ »	подобие — умножение на $k$ , не прибавление	$5 : 3 \neq = 6 : 4$ — не подобны
$A B : D E = A C : D F$ , $∠ B = ∠ E$ ⇒ подобны	угол не между пропорциональными сторонами	нужен $∠ A = ∠ D$ (II признак)

R02.1–R02.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $D E ∥ A C$ , $B D = 3$ , $D A = 6$ , $A C = 12$ . Найдите $D E$ .

$\frac{D E}{A C} = \frac{B D}{D A} = \frac{1}{2}$

$D E = 6$

$\frac{D E}{12} = \frac{3}{9}$ , $D E = 4$

б) Трапеция, $A D = 10$ , $BC = 5$ , $A C = 12$ . Найдите $A O$ .

$△ A O D \sim △ COB$ , $k = 2$

$A O = A C : 2 = 6$

$A O = 2 OC$ , $3 OC = 12$ , $A O = 8$

в) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 4$ , $H B = 9$ . Найдите $A C$ .

$A C^{2} = A H \cdot H B = 36$

$A C = 6$

$A C^{2} = A H \cdot A B = 52$ , $A C = 213$

R02.1–R02.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $k = 3$ , $A_{1} B_{1} = 12$ . Найдите $A B$ . $4$
база $D E ∥ A C$ , $B D = 2$ , $B A = 8$ , $A C = 12$ . Найдите $D E$ . $3$
базаВысота делит гипотенузу на $3$ и $12$ . Найдите высоту. $6$

базаОснования трапеции $4$ и $12$ , диагональ $20$ . Больший её отрезок? $15$
базаСтолб $6$ м даёт тень $4$ м, человек — тень $1, 2$ м. Рост? $1, 8$ м
базаГомотетия, $k = - 3$ : отрезок $2, 5$ переходит в отрезок… $7, 5$

R02.1–R02.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $D \in A C$ , $∠ A B D = ∠ C$ , $A B = 6$ , $A C = 9$ . Найдите $A D$ и $D C$ . $4$ и $5$
повыш.Катеты прямоугольного треугольника $15$ и $20$ . Найдите отрезки гипотенузы и высоту к ней. $9$ , $16$ и $12$
повыш.В треугольник с основанием $12$ и высотой $8$ вписан квадрат, сторона на основании. Сторона квадрата? $4, 8$
из жизниОснования трапеции $6$ и $12$ . Длина отрезка через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям? $8$

R02 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15Прямая, параллельная стороне $A C$ треугольника $A BC$ , пересекает стороны $A B$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ . $A B = 16$ , $A C = 20$ , $MN = 15$ . Найдите $A M$ . $4$
ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ угол $C$ прямой, $C H$ — высота, $A H = 4$ , $A C = 10$ . Найдите $B H$ . $21$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны.
Отношение периметров подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Любые два равнобедренных треугольника подобны.
Любые два равносторонних треугольника подобны.

Ответ: 14

R02 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Продолжения боковых сторон $A B$ и $C D$ трапеции $A BC D$ пересекаются в точке $K$ . $A D = 15$ , $BC = 9$ , $A B = 4$ . Найдите $K B$ .

$△ K BC \sim △ K A D$ отсечение, $BC ∥ A D$

$\frac{K B}{K B + 4} = \frac{9}{15}$

$K B = 6$

ОГЭ 24 $E$ — середина стороны $BC$ параллелограмма $A BC D$ , $A E \cap B D = O$ . Докажите, что $BO : O D = 1 : 2$ .

$∠ OBE = ∠ O D A$ , $∠ OEB = ∠ O A D$ (накрест лежащие)

$△ BOE \sim △ D O A$ , $\frac{BO}{O D} = \frac{BE}{A D} = \frac{1}{2}$

R02.1–R02.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$△ A BC \sim △ K MN$ , $A B = 4$ , $BC = 6$ , $K M = 10$ . Найдите $MN$ . $15$
$MN ∥ A C$ ( $M \in A B$ , $N \in BC$ ), $BM = 3$ , $M A = 9$ , $A C = 16$ . Найдите $MN$ . $4$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 4$ , $H B = 16$ . Найдите $C H$ . $8$
Палка $1$ м даёт тень $1, 5$ м, дерево — тень $15$ м. Высота дерева? $10$ м

Вариант 2

$△ A BC \sim △ K MN$ , $A C = 5$ , $K N = 15$ , $MN = 12$ . Найдите $BC$ . $4$
$MN ∥ A C$ ( $M \in A B$ , $N \in BC$ ), $BM = 5$ , $M A = 3$ , $MN = 10$ . Найдите $A C$ . $16$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 2$ , $H B = 18$ . Найдите $C H$ . $6$
Палка $1, 2$ м даёт тень $0, 8$ м, дерево — тень $6$ м. Высота дерева? $9$ м

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Назовите три признака подобия.
Как связаны периметры, высоты, медианы подобных треугольников?
Чему равна высота к гипотенузе через отрезки $a$ и $b$ ?

Домашнее задание

$P = 30$ , $P_{1} = 45$ , $A B = 8$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ .
Катеты $9$ и $12$ . Найдите высоту к гипотенузе и её отрезки.
* $A A_{1}$ , $B B_{1}$ — высоты $△ A BC$ . Докажите: $C A_{1} \cdot CB = C B_{1} \cdot C A$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_podobnye_treugolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-038 · Обобщение и систематизация по теме «Подобие»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R02 «Подобие», 16 ч · урок 16/16 · тип О
Единицы → слайды	R02.1 → 4–6, 10, 12–13, 17–24 · R02.2 → 4, 7–13, 17–22 · R02.3 → 4, 16, 19–20, 23 · R02.4 → 4, 14–15, 16, 19
Результаты	ПР-5 (подобие, коэффициент, признаки, пропорциональность в прямоугольном треугольнике, преобразование подобия) → 4–15, 17–23 · ПР-6 (подобие в практических задачах) → 16, 19–20, 23
Вне урока	отношение площадей подобных фигур — R03 (GEOM8U-039 и далее); теорема Пифагора — R04; тригонометрия — R04
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Обобщение и систематизация по теме «Подобие»

Сегодня вы научитесь

Собирать тему в систему

Выбирать признак

Применять пропорции

Решать задачи ОГЭ

Вся тема — за две минуты

Четыре блока темы — одна схема

Подобие и k

Признаки

Применение

Подобие фигур

Всё линейное умножается на k

Сначала коэффициент, потом всё остальное

Образец: △ABC∼△A1​B1​C1​. Найдите B1​C1​, A1​C1​, P1​.

Сам

Как доказать, что треугольники подобны

I · по двум углам

II · две стороны и угол

III · три стороны

Упорядочить стороны — и сравнить

Образец: подобны ли треугольники? Какой угол △MNK равен ∠C?

Сам: признак и k

Три конфигурации, которые встречаются всегда

Отсечение

«Бабочка» в трапеции

Общий угол

Узнать конфигурацию — и составить пропорцию

Образец: ∠ABD=∠C, AD=4, DC=5. Найдите AB.

Сам

Два подобия подряд

Образец: AA1​ и CC1​ — высоты остроугольного △ABC. Докажите: △A1​BC1​∼△ABC.

Сам: план и признак

Высота к гипотенузе даёт три подобных треугольника

Найти всё по двум отрезкам

Образец: ∠C=90∘, CH — высота, AH=9, AB=25. Найдите AC, CH, BC.

Сам

Подобные фигуры: одна получается из другой

Шаг по клеткам умножаем на k

Образец: O(1;3), k=2. Постройте образ △ABC: A(3;2), B(4;4), C(5;2).

Сам

Модель: два подобных треугольника

Образец: человек ростом 1,8 м стоит в 6 м от фонаря, его тень 3 м. Высота фонаря?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) DE∥AC, BD=3, DA=6, AC=12. Найдите DE.

б) Трапеция, AD=10, BC=5, AC=12. Найдите AO.

в) ∠C=90∘, CH — высота, AH=4, HB=9. Найдите AC.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-038 · Обобщение и систематизация по теме «Подобие»

Подобие и $k$

Всё линейное умножается на $k$

Образец: $△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ . Найдите $B_{1} C_{1}$ , $A_{1} C_{1}$ , $P_{1}$ .

Образец: подобны ли треугольники? Какой угол $△ MN K$ равен $∠ C$ ?

Сам: признак и $k$

Образец: $∠ A B D = ∠ C$ , $A D = 4$ , $D C = 5$ . Найдите $A B$ .

Образец: $A A_{1}$ и $C C_{1}$ — высоты остроугольного $△ A BC$ . Докажите: $△ A_{1} B C_{1} \sim △ A BC$ .

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 9$ , $A B = 25$ . Найдите $A C$ , $C H$ , $BC$ .

Шаг по клеткам умножаем на $k$

Образец: $O (1; 3)$ , $k = 2$ . Постройте образ $△ A BC$ : $A (3; 2)$ , $B (4; 4)$ , $C (5; 2)$ .

Образец: человек ростом $1, 8$ м стоит в $6$ м от фонаря, его тень $3$ м. Высота фонаря?

а) $D E ∥ A C$ , $B D = 3$ , $D A = 6$ , $A C = 12$ . Найдите $D E$ .

б) Трапеция, $A D = 10$ , $BC = 5$ , $A C = 12$ . Найдите $A O$ .

в) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 4$ , $H B = 9$ . Найдите $A C$ .