Подобие · урок 13 из 16 · практикум

Подобие треугольников, коэффициент подобия

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM8U-035

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Подобие» (16 ч), урок 13/16, единица R02.1. Тип урока — П (практикум, третий и последний по R02.1 после GEOM8U-027 и GEOM8U-031).
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 1 · сводка 2,5 · утверждение о медиане 3 · схема конфигураций 2,5 · пример учителя (вспомогательная параллель) 3.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 × 5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2 · повышенный 2,5 · ОГЭ 15/19 — 1,5 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 3,5 · итог 1.
Новое по сравнению с GEOM8U-027 и GEOM8U-031: соответствие вершин по трём сторонам (без углов), медиана делит пополам отрезок, параллельный стороне, отрезок через точку пересечения медиан, ромб и параллелограмм в треугольнике (DE/BC + DF/AC = 1), «бабочка» в параллелограмме, метод вспомогательной параллели, масштаб плана.
Если не успеваете: образец 6 (план) и ОГЭ 24 — в ДЗ; утверждение о медиане и пример учителя не сокращать — на них опираются повышенный уровень и ОГЭ.

R02.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Записывать соответствие

вершин подобных треугольников по трём сторонам (ПР-5)

Строить цепочку подобий

две пары треугольников с общей стороной или общим отношением

Находить $k$ в фигурах

медианы, ромб и параллелограмм в треугольнике, «бабочка»

Доказывать через подобие

и решать задачи ОГЭ линий 15, 19, 23, 24 (ПР-5)

1 мин · теория
ПР-5 (ФРП дословно): «Владеть понятиями подобия треугольников, коэффициента подобия, соответственных элементов подобных треугольников… Пользоваться признаками подобия треугольников при решении геометрических задач».
Виды деятельности ФРП R02: находить подобные треугольники на готовых чертежах, определять пары подобных треугольников в геометрических конфигурациях, решать задачи с самостоятельным построением чертежа, проводить доказательства.
Это последний практикум по R02.1 — после него обобщение по теме (GEOM8U-038). Вопрос классу: какое умение по подобию пока даётся труднее всего?

повторение: R02.1, R01.10

Разминка · устно

Коэффициент, медианы, параллельность

$△ A BC \sim △ PQR$ , $k = 2$ , $A B = 3, 5$ . Найдите $PQ$ . $7$
Стороны $2, 3, 4$ и $6, 4, 8$ . Подобны? да, $k = 2$
Сходственные высоты $6$ и $9$ , периметр меньшего $20$ . Периметр большего? $30$
$MN ∥ A C$ , $BM : B A = 1 : 3$ , $A C = 12$ . Найдите $MN$ . $4$

Медианы пересекаются в точке $O$ , $B D$ — медиана. $BO : O D = ?$ $2 : 1$
Подобие с $k = 2$ , затем с $k = 3$ . Во сколько раз третий треугольник больше первого? в $6$ раз
$A BC D$ — параллелограмм. Какая сторона параллельна и равна $A D$ ? $BC$

R02.1

Сводка · что даёт подобие

Всё линейное — в $k$ раз

\frac{A _{1} B _{1}}{A B}

=

\frac{B _{1} C _{1}}{BC}

=

\frac{A _{1} C _{1}}{A C}

= k

Периметры, медианы, высоты, биссектрисы — тоже в $k$ раз

Обратно: $△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ с коэффициентом $\frac{1}{k}$

Цепочка: $k_{1}$ , затем $k_{2}$ ⇒ общий коэффициент $k_{1} k_{2}$

2,5 мин · теория
На чертеже k = 1,5: стороны 4, 5, 6 и 6; 7,5; 9; медианы BM и B₁M₁ проведены к сходственным сторонам. Цвет стороны в формуле — цвет числа на чертеже; равные углы отмечены одинаковым числом дуг.
Вопрос классу: почему медианы относятся как k? (△ABM ∼ △A₁B₁M₁ по II признаку: AB : A₁B₁ = AM : A₁M₁, ∠A = ∠A₁ — доказано на GEOM8U-031.)
Цепочка: если △1 ∼ △2 (стороны второго в k₁ раз больше) и △2 ∼ △3 (в k₂ раз), то стороны третьего в k₁k₂ раз больше сторон первого — подобие транзитивно. Сегодня это понадобится в утверждении о медиане и в примере учителя.

R02.1

Образец → сам · соответствие по трём сторонам

Вершина — там, где сходятся сходственные стороны

Образец: подобны ли $△ A BC$ и $△ MN K$ ? Запишите подобие и укажите угол, равный $∠ B$ .

$\frac{12}{8} = \frac{15}{10} = \frac{18}{12} = 1, 5$ стороны по возрастанию; III признак

$A B \leftrightarrow M K$ , $A C \leftrightarrow MN$ , $BC \leftrightarrow N K$ пары сторон

$B = A B \cap BC \leftrightarrow M K \cap N K = K$ : $△ A BC \sim △ M K N$ , $∠ B = ∠ K$

Сам

$D E = 6$ , $EF = 9$ , $D F = 12$ ; $PQ = 8$ , $QR = 6$ , $PR = 4$ . Запишите подобие и $k$ . $△ D EF \sim △ PRQ$ , $k = \frac{2}{3}$
$A B = 5$ , $BC = 6$ , $A C = 8$ ; $K L = 12$ , $L M = 16$ , $K M = 10$ . Какой угол $△ K L M$ равен $∠ A$ ? $∠ M$
Треугольники со сторонами $4, 6, x$ и $8, 12, 18$ подобны. Найдите все $x$ . $9$ или $\frac{8}{3}$

2,5 мин · практика
Образец: стороны по возрастанию 8, 10, 12 и 12, 15, 18; отношения 1,5 — подобны по III признаку. Пары: AB = 8 ↔ MK = 12, AC = 10 ↔ MN = 15, BC = 12 ↔ NK = 18. Вершина — общая точка двух сторон: A = AB ∩ AC ↔ MK ∩ MN = M; B ↔ K; C = AC ∩ BC ↔ MN ∩ NK = N. △ABC ∼ △MKN, ∠B = ∠K (равные углы лежат против сходственных сторон: против AC = 10 и против MN = 15).
1) 6, 9, 12 и 4, 6, 8: DE ↔ PR, EF ↔ QR, DF ↔ PQ; D = DE ∩ DF ↔ PR ∩ PQ = P, E ↔ R, F ↔ Q; △DEF ∼ △PRQ, k = 4 : 6 = 2/3 (или 1,5, если от PRQ к DEF).
2) 5, 6, 8 и 10, 12, 16, k = 2: AB ↔ KM, BC ↔ KL, AC ↔ LM; A = AB ∩ AC ↔ KM ∩ LM = M. △ABC ∼ △MKL, ∠A = ∠M.
3) x — наибольшая: 4 : 8 = 6 : 12 ⇒ k = 2, x = 18 : 2 = 9. x — наименьшая: x, 4, 6 ↔ 8, 12, 18, k = 3, x = 8/3. x — средняя: 4 : 8 ≠ 6 : 18 — нет. Ответ: 9 или 8/3. Типичная потеря — второй случай.

R02.1

Утверждение · доказательство

Медиана делит пополам отрезок, параллельный стороне

Дано:

B D

— медиана

△ A BC

,

MN ∥ A C

,

K = MN \cap B D

.
Доказать:

M K = K N

.

1

△ BM K \sim △ B A D

⇒

\frac{M K}{A D} = \frac{B K}{B D}

M K ∥ A D

— отсечение

2

△ B K N \sim △ B D C

⇒

\frac{K N}{D C} = \frac{B K}{B D}

K N ∥ D C

— отсечение

3

\frac{M K}{A D} = \frac{K N}{D C}

правые части равны — общий коэффициент

4

A D = D C

⇒

M K = K N

B D

— медиана

3 мин · теория
Идея — «цепочка»: два подобия с одним и тем же коэффициентом BK : BD. Отношение BK : BD «переносит» информацию из одного треугольника в другой.
Шаги 1 и 2 подробно: ∠B общий (у △BMK и △BAD — угол ABD, у △BKN и △BDC — угол DBC), ∠BMK = ∠BAD как соответственные при MN ∥ AC — I признак.
Обратное (вопрос классу): если отрезок MN ∥ AC делится прямой BK пополам, то BK проходит через середину AC. (Да: тем же рассуждением AD : DC = MK : KN = 1.)
Следствие для трапеции: прямая через точку пересечения продолжений боковых сторон и середину одного основания проходит через середину другого.

R02.1

Образец → сам · отрезок через точку пересечения медиан

Через центр масс: $k = \frac{2}{3}$

Образец: $O$ — точка пересечения медиан $△ A BC$ , $MN ∥ A C$ , $O \in MN$ , $A C = 15$ . Найдите $MN$ .

$\frac{BO}{B D} = \frac{2}{3}$ медианы делятся $2 : 1$ от вершины

$△ MBO \sim △ A B D$ ⇒ $\frac{BM}{B A} = \frac{2}{3}$ $MO ∥ A D$

$△ MBN \sim △ A BC$ , $MN = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10$

Сам

То же, $MN = 12$ . Найдите $A C$ . $18$
То же, $A B = 9$ . Найдите $A M$ и $MO : ON$ . $A M = 3$ , $MO : ON = 1 : 1$
То же, $P_{A BC} = 36$ . Найдите $P_{MBN}$ . $24$

R02.1

Схема · где искать подобие сегодня

Три конфигурации урока

Медиана и отсечение

$△ BM K \sim △ B A D$ , $△ B K N \sim △ B D C$

Параллелограмм в треугольнике

$△ A D E \sim △ A BC \sim △ D BF$

«Бабочка» в параллелограмме

$△ BOM \sim △ D O A$ , $k = \frac{BM}{A D}$

1 найди параллельные прямые → 2 отсечение или «бабочка» → 3

k

по известной паре → 4 цепочка к искомому

2,5 мин · теория
Медиана и отсечение — утверждение сл. 6. Параллелограмм DECF (DE ∥ BC, DF ∥ AC): оба малых треугольника подобны △ABC, причём △ADE ∼ △DBF (A ↔ D, D ↔ B, E ↔ F) — это пригодится в ОГЭ 24. Частный случай — ромб с вершиной в вершине треугольника (образец 3).
«Бабочка» в параллелограмме: ∠BOM = ∠DOA (вертикальные), ∠OBM = ∠ODA (накрест лежащие при BC ∥ AD, секущая BD). Главное — AD = BC, поэтому k = BM : BC, а не BM : MC.
Шаг 4 алгоритма: если искомый отрезок не входит в подобную пару, ищем вторую пару с тем же коэффициентом (как на сл. 6) — это и есть цепочка.

R02.1

Образец → сам · ромб, вписанный в треугольник

Сторона ромба через подобие

Образец: $A B = 6$ , $BC = 12$ , $BM K N$ — ромб, $M \in A B$ , $K \in A C$ , $N \in BC$ . Найдите его сторону $x$ .

$M K ∥ BC$ ⇒ $△ A M K \sim △ A BC$ стороны ромба параллельны

$\frac{M K}{BC} = \frac{A M}{A B}$ : $\frac{x}{12} = \frac{6 - x}{6}$ сходственные стороны

$6 x = 72 - 12 x$ , $x = 4$

Сам

$A B = 10$ , $BC = 15$ . Найдите сторону ромба $BM K N$ . $6$
Сторона ромба $6$ , $A B = 9$ . Найдите $BC$ . $18$
В образце найдите $A K : K C$ . $1 : 2$

2,5 мин · практика
Образец: MK ∥ BN (противоположные стороны ромба) ⇒ △AMK ∼ △ABC (∠A общий, ∠AMK = ∠ABC — соответственные). AM = AB − BM = 6 − x. x : 12 = (6 − x) : 6 ⇒ 6x = 72 − 12x ⇒ x = 4. Общая формула (сильным): x = ac : (a + c) = 6 · 12 : 18 = 4.
1) x : 15 = (10 − x) : 10 ⇒ 10x = 150 − 15x ⇒ x = 6. 2) 6 : BC = (9 − 6) : 9 ⇒ BC = 18. 3) AK : AC = AM : AB = 2 : 6 = 1 : 3 ⇒ AK : KC = 1 : 2 = AB : BC.
Вопрос к 3: почему AK : KC = AB : BC? (Диагональ BK ромба — биссектриса угла B; это частный случай свойства биссектрисы — на следующих уроках.)

R02.1

Образец → сам · «бабочка» в параллелограмме

$k$ — отношение к целой стороне

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $M \in BC$ , $BM : MC = 1 : 2$ , $O = A M \cap B D$ , $B D = 24$ . Найдите $BO$ и $O D$ .

$△ BOM \sim △ D O A$ вертикальные и накрест лежащие

$k = \frac{BM}{D A} = \frac{BM}{BC} = \frac{1}{3}$ $A D = BC$

$BO = 24 \cdot \frac{1}{4} = 6$ , $O D = 18$

Сам

$M$ — середина $BC$ , $B D = 18$ . Найдите $BO$ . $6$
$BM : MC = 2 : 1$ , $A M = 20$ . Найдите $A O$ . $12$
$BO : O D = 1 : 4$ . Найдите $BM : MC$ . $1 : 3$

R02.1

Образец → сам · задача на доказательство

Два подобия — одна сумма

Образец: $D \in A B$ , $D E ∥ BC$ , $D F ∥ A C$ . Докажите: $\frac{D E}{BC} + \frac{D F}{A C} = 1$ .

$△ A D E \sim △ A BC$ ⇒ $\frac{D E}{BC} = \frac{A D}{A B}$ $D E ∥ BC$

$△ D BF \sim △ A BC$ ⇒ $\frac{D F}{A C} = \frac{D B}{A B}$ $D F ∥ A C$

Сумма: $\frac{A D + D B}{A B} = \frac{A B}{A B} = 1$ $D \in A B$

Сам

$A D : D B = 2 : 3$ , $BC = 10$ , $A C = 15$ . Найдите $D E$ и $D F$ . $D E = 4$ , $D F = 9$
$A C = BC = 12$ . Докажите, что периметр $D ECF$ не зависит от $D$ , и найдите его. $24$
$BC = 6$ , $A C = 12$ , $D ECF$ — ромб. Найдите его сторону. $4$

R02.1

Пример учителя · метод вспомогательной параллели

Нет параллельных прямых — проведём сами

BM

— медиана,

K

— середина

BM

,

P = A K \cap BC

. Найдите

BP : PC

и

A K : K P

.

1Проведём

MN ∥ A P

,

N \in BC

вспомогательная параллель

2

△ CMN \sim △ C A P

,

k = \frac{1}{2}

⇒

CN = NP

,

MN = \frac{A P}{2}

CM = \frac{1}{2} C A

3

△ B K P \sim △ BMN

,

k = \frac{1}{2}

⇒

BP = PN

,

K P = \frac{MN}{2}

B K = \frac{1}{2} BM

4

BP : PC = 1 : 2

,

K P = \frac{A P}{4}

,

A K : K P = 3 : 1

3 мин · теория (решает учитель, класс подсказывает обоснования)
Шаг 2: △CMN ∼ △CAP — ∠C общий, ∠CMN = ∠CAP (соответственные при MN ∥ AP). Шаг 3: △BKP ∼ △BMN — ∠B общий, ∠BKP = ∠BMN (KP ∥ MN). Две «цепочки» с k = 1/2 делят BC на три равные части: BP = PN = NC.
Шаг 4: KP = MN/2 = AP/4 ⇒ AK = AP − AP/4 = 3AP/4 ⇒ AK : KP = 3 : 1.
Правило метода: параллель проводим через точку с известным отношением (здесь M — середина), параллельно прямой, отношение на которой ищем (AP).
Проверка координатами (для учителя): A(0; 0), C(12; 0), B(3; 8): M(6; 0), K(4,5; 4), P(6; 16/3) — BP : PC = 1 : 2.

R02.1

Образец → сам · задача из жизни: масштаб

Масштаб плана — коэффициент подобия

Образец: на плане в масштабе $1 : 500$ клумба — треугольник со сторонами $3$ , $4$ и $5$ см, медиана $A M$ — дорожка. Найдите периметр клумбы и длину дорожки на местности.

$k = 500$ : $15$ м, $20$ м, $25$ м $1$ см на плане $= 5$ м

$P = 60$ м; $A M = 2, 5$ см на плане по клеткам

Дорожка: $2, 5 \cdot 5 = 12, 5$ м медианы — тоже в $k$ раз

Сам

Карта $1 : 25000$ , треугольный маршрут на карте — $18$ см. Длина маршрута? $4, 5$ км
Фронтон: основание $9$ м, высота $3$ м; на чертеже основание $18$ см. Масштаб и высота на чертеже? $1 : 50$ , $6$ см
Флажок $6$ , $8$ , $10$ см; на увеличенной копии наибольшая сторона $15$ см. Периметр копии? $36$ см

2 мин · практика
Образец: масштаб 1 : 500 — фигура на местности подобна фигуре на плане с k = 500; 1 см ↔ 500 см = 5 м. Стороны 15, 20, 25 м, P = 60 м. Треугольник прямоугольный (катеты 3 и 4 клетки), медиана AM к гипотенузе равна её половине: 5 : 2 = 2,5 см (можно проверить линейкой на клетчатой бумаге); на местности 2,5 · 5 = 12,5 м.
1) 18 · 25 000 = 450 000 см = 4,5 км. 2) k = 900 : 18 = 50 ⇒ 1 : 50; высота 300 : 50 = 6 см. 3) k = 15 : 10 = 1,5; P = 24 · 1,5 = 36 см.
Ошибка: путать единицы (сантиметры плана и метры местности) — сначала переводим всё в одни единицы.

R02.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$A B = 8$ , $BC = 12$ , $A C = 10$ ; $MN = 15$ , $N K = 18$ , $M K = 12$ ⇒ $△ A BC \sim △ MN K$	соответствие — по длинам сторон, а не по порядку букв в условии	$△ A BC \sim △ M K N$
$MN ∥ A C$ через точку пересечения медиан ⇒ $k = \frac{1}{2}$	$BO : B D = 2 : 3$ , а не $1 : 2$	$k = \frac{2}{3}$
Параллелограмм, $BM : MC = 1 : 2$ ⇒ $BO : O D = 1 : 2$	$BM$ сходственна $A D = BC$ , а не $MC$	$BO : O D = 1 : 3$

R02.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Параллелограмм $A BC D$ , $BM : MC = 1 : 3$ , $O = A M \cap B D$ , $B D = 20$ . Найдите $BO$ .

$k = \frac{BM}{MC} = \frac{1}{3}$

$BO = 20 \cdot \frac{1}{4} = 5$

$k = \frac{BM}{A D} = \frac{1}{4}$

$BO = 20 \cdot \frac{1}{5} = 4$

б) $D E ∥ BC$ , $D F ∥ A C$ , $A D : D B = 1 : 2$ , $BC = 9$ , $A C = 12$ . Найдите $D E$ и $D F$ .

$D E = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$

$D F = 12 \cdot \frac{1}{3} = 4$

$\frac{D F}{A C} = \frac{D B}{A B} = \frac{2}{3}$

$D F = 8$

в) $A B = 4$ , $BC = 6$ , $A C = 5$ ; $K L = 12$ , $L M = 10$ , $K M = 8$ . Подобны?

$\frac{K L}{A B} = 3$ , $\frac{L M}{BC} = \frac{5}{3}$

Не подобны

$\frac{8}{4} = \frac{10}{5} = \frac{12}{6} = 2$

$△ A BC \sim △ M K L$

R02.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $△ A BC \sim △ D EF$ , $\frac{D E}{A B} = 0, 4$ , $EF = 6$ . Найдите $BC$ . $15$
базаСтороны $3$ , $4$ , $6$ ; подобного — $9$ , $12$ и $x$ . Найдите $x$ . $18$
база $MN ∥ A C$ через точку пересечения медиан, $MN = 8$ . Найдите $A C$ . $12$

базаРомб $BM K N$ в $△ A BC$ , $A B = 12$ , $BC = 4$ . Сторона ромба? $3$
базаПараллелограмм, $M$ — середина $BC$ , $A M = 12$ . Найдите $A O$ . $8$
база $D E ∥ BC$ , $A D : D B = 1 : 3$ , $BC = 8$ . Найдите $D E$ . $2$

R02.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $B D$ — медиана $△ A BC$ , $MN ∥ A C$ , $K = MN \cap B D$ , $M K = 3$ , $BM : M A = 3 : 2$ . Найдите $A C$ и $MN$ . $A C = 10$ , $MN = 6$
повыш.Параллелограмм $A BC D$ , $M \in BC$ , $O = A M \cap B D$ , $BO = 4$ , $O D = 10$ . Найдите $BM : MC$ . $2 : 3$
повыш. $K$ — середина медианы $BM$ , $P = A K \cap BC$ , $BC = 15$ , $A P = 12$ . Найдите $BP$ и $A K$ . $BP = 5$ , $A K = 9$
повыш. $D E ∥ BC$ , $D F ∥ A C$ , $BC = 12$ , $A C = 18$ , $D ECF$ — ромб. Найдите его сторону. $7, 2$

R02.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 19

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 15Прямая, параллельная стороне $A C$ треугольника $A BC$ , пересекает $A B$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ ; $A B = 21$ , $A M = 7$ , $MN = 10$ . Найдите $A C$ . $15$
ОГЭ 15В параллелограмме $A BC D$ точка $M$ — середина $BC$ , отрезок $A M$ пересекает диагональ $B D$ в точке $O$ , $B D = 27$ . Найдите $O D$ . $18$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Отношение сходственных медиан подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении $2 : 1$ , считая от середины стороны.
Любые два равносторонних треугольника подобны.

Ответ: 13

R02.1 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Продолжения боковых сторон $A B$ и $C D$ трапеции $A BC D$ пересекаются в точке $E$ ; $BC = 4$ , $A D = 12$ , $A B = 10$ . Найдите $EB$ .

$△ EBC \sim △ E A D$ $BC ∥ A D$

$\frac{EB}{EB + 10} = \frac{4}{12}$

$EB = 5$

ОГЭ 24 $D \in A B$ , $D E ∥ BC$ , $D F ∥ A C$ . Докажите, что $A E \cdot BF = D E \cdot D F$ .

$∠ A = ∠ B D F$ , $∠ A D E = ∠ B$

$△ A D E \sim △ D BF$ (I)

$\frac{A E}{D F} = \frac{D E}{BF}$

2 мин · практика
23) BC ∥ AD ⇒ △EBC ∼ △EAD (∠E общий, ∠EBC = ∠EAD — соответственные), k = BC : AD = 1/3. EB : EA = 1 : 3, EA = EB + 10 ⇒ 3EB = EB + 10 ⇒ EB = 5. Ответ: 5.
24) ∠DAE = ∠BDF — соответственные при DF ∥ AC (секущая AB); ∠ADE = ∠DBF — соответственные при DE ∥ BC (секущая AB). △ADE ∼ △DBF (I признак), соответствие A ↔ D, D ↔ B, E ↔ F. AE ↔ DF, DE ↔ BF: AE : DF = DE : BF ⇒ AE · BF = DE · DF.
Критерий ОГЭ 24: без указания признака и соответствия вершин — 0 баллов. На уроке — устно план, полная запись — в ДЗ по желанию.

R02.1

Самостоятельная работа · 3,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Стороны $5$ , $7$ , $8$ ; наибольшая сторона подобного $20$ . Найдите наименьшую. $12, 5$
$MN ∥ A C$ через точку пересечения медиан, $A C = 21$ . Найдите $MN$ . $14$
Ромб $BM K N$ в $△ A BC$ , $A B = 6$ , $BC = 3$ . Сторона ромба? $2$
Параллелограмм, $M$ — середина $BC$ , $O = A M \cap B D$ , $B D = 15$ . Найдите $BO$ . $5$

Вариант 2

Стороны $6$ , $9$ , $10$ ; наименьшая сторона подобного $9$ . Найдите наибольшую. $15$
$MN ∥ A C$ через точку пересечения медиан, $MN = 18$ . Найдите $A C$ . $27$
Ромб $BM K N$ в $△ A BC$ , $A B = 12$ , $BC = 6$ . Сторона ромба? $4$
Параллелограмм, $BM : MC = 2 : 1$ , $O = A M \cap B D$ , $B D = 25$ . Найдите $BO$ . $10$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по трём сторонам записать соответствие вершин?
Почему через точку пересечения медиан $k = \frac{2}{3}$ ?
Когда проводят вспомогательную параллель?

Домашнее задание

$A B = 9$ , $BC = 15$ , $A C = 12$ ; $K L = 10$ , $L M = 6$ , $K M = 8$ . Запишите подобие и $k$ .
Параллелограмм, $BM : MC = 3 : 2$ , $B D = 16$ . Найдите $BO$ .
* $K$ — середина медианы $BM$ . Докажите: $A K = 3 K P$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_podobnye_treugolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-035 · Практикум: Подобие треугольников, коэффициент подобия

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R02 «Подобие», 16 ч · урок 13/16 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R02.1 «Подобие треугольников, коэффициент подобия» → 2, 4–21 · повторение R02.1, R01.10 → 3
Результаты	ПР-5 (понятия подобия, коэффициента подобия, соответственных элементов; признаки подобия в задачах) → 2–20 · ПР-6 (подобие в практических задачах) → 13
Вне урока	практикум по признакам — GEOM8U-036; практические задачи — GEOM8U-037; свойство биссектрисы — по программе учителя; площади подобных фигур — R03; пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике — R04
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Подобие треугольников, коэффициент подобия

Сегодня вы научитесь

Записывать соответствие

Строить цепочку подобий

Находить k в фигурах

Доказывать через подобие

Коэффициент, медианы, параллельность

Всё линейное — в k раз

Вершина — там, где сходятся сходственные стороны

Образец: подобны ли △ABC и △MNK? Запишите подобие и укажите угол, равный ∠B.

Сам

Медиана делит пополам отрезок, параллельный стороне

Через центр масс: k=32​

Образец: O — точка пересечения медиан △ABC, MN∥AC, O∈MN, AC=15. Найдите MN.

Сам

Три конфигурации урока

Медиана и отсечение

Параллелограмм в треугольнике

«Бабочка» в параллелограмме

Сторона ромба через подобие

Образец: AB=6, BC=12, BMKN — ромб, M∈AB, K∈AC, N∈BC. Найдите его сторону x.

Сам

k — отношение к целой стороне

Образец: ABCD — параллелограмм, M∈BC, BM:MC=1:2, O=AM∩BD, BD=24. Найдите BO и OD.

Сам

Два подобия — одна сумма

Образец: D∈AB, DE∥BC, DF∥AC. Докажите: BCDE​+ACDF​=1.

Сам

Нет параллельных прямых — проведём сами

Масштаб плана — коэффициент подобия

Образец: на плане в масштабе 1:500 клумба — треугольник со сторонами 3, 4 и 5 см, медиана AM — дорожка. Найдите периметр клумбы и длину дорожки на местности.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Параллелограмм ABCD, BM:MC=1:3, O=AM∩BD, BD=20. Найдите BO.

б) DE∥BC, DF∥AC, AD:DB=1:2, BC=9, AC=12. Найдите DE и DF.

в) AB=4, BC=6, AC=5; KL=12, LM=10, KM=8. Подобны?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — число или номера утверждений

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-035 · Практикум: Подобие треугольников, коэффициент подобия

Находить $k$ в фигурах

Всё линейное — в $k$ раз

Образец: подобны ли $△ A BC$ и $△ MN K$ ? Запишите подобие и укажите угол, равный $∠ B$ .

Через центр масс: $k = \frac{2}{3}$

Образец: $O$ — точка пересечения медиан $△ A BC$ , $MN ∥ A C$ , $O \in MN$ , $A C = 15$ . Найдите $MN$ .

Образец: $A B = 6$ , $BC = 12$ , $BM K N$ — ромб, $M \in A B$ , $K \in A C$ , $N \in BC$ . Найдите его сторону $x$ .

$k$ — отношение к целой стороне

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $M \in BC$ , $BM : MC = 1 : 2$ , $O = A M \cap B D$ , $B D = 24$ . Найдите $BO$ и $O D$ .

Образец: $D \in A B$ , $D E ∥ BC$ , $D F ∥ A C$ . Докажите: $\frac{D E}{BC} + \frac{D F}{A C} = 1$ .

Образец: на плане в масштабе $1 : 500$ клумба — треугольник со сторонами $3$ , $4$ и $5$ см, медиана $A M$ — дорожка. Найдите периметр клумбы и длину дорожки на местности.

а) Параллелограмм $A BC D$ , $BM : MC = 1 : 3$ , $O = A M \cap B D$ , $B D = 20$ . Найдите $BO$ .

б) $D E ∥ BC$ , $D F ∥ A C$ , $A D : D B = 1 : 2$ , $BC = 9$ , $A C = 12$ . Найдите $D E$ и $D F$ .

в) $A B = 4$ , $BC = 6$ , $A C = 5$ ; $K L = 12$ , $L M = 10$ , $K M = 8$ . Подобны?