Подобие · урок 12 из 16 · практикум

Преобразование подобия и подобные фигуры

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM8U-034

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 11,5 мин · практика 33,5 мин (74 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Подобие» (16 ч), урок 12/16, единица R02.4. Тип урока — П (второй практикум по теме; первый — GEOM8U-030: построение при k > 0, центр и коэффициент по образу, подобные многоугольники).
Сегодня новые типы задач: гомотетия с отрицательным коэффициентом, два центра гомотетии окружностей, соответственные медианы и высоты, гомотетия с центром в точке пересечения диагоналей трапеции, метод подобия в построениях, доказательство через центр масс.
Теория (11,5): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка «гомотетия при любом k» 3 · две гомотетии окружностей 2,5 · соответственные элементы 2,5 · метод подобия 2,5.
Практика (33,5): разминка 2 · образцы → сам 2 + 2,5 + 2 + 2,5 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 15/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 6 (центр масс) и ОГЭ 24 — в ДЗ; сводки и образцы 1–5 не сокращать.

R02.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить образ при $k < 0$

на клетчатой бумаге и по формулам координат (ПР-5)

Находить центры гомотетии

двух окружностей и в трапеции — по отношению отрезков

Переносить $k$ на элементы

медианы, высоты, биссектрисы, периметры подобных фигур (ПР-5)

Строить и доказывать

методом подобия; задачи ОГЭ 15, 19, 23, 24 (ПР-6)

0,5 мин · теория
ПР-5: «Владеть понятиями подобия треугольников, коэффициента подобия, соответственных элементов подобных треугольников. Иметь представление о преобразовании подобия и о подобных фигурах…». ПР-6: «Применять подобие в практических задачах».
Виды деятельности ФРП R02: находить подобные треугольники на готовых чертежах, проводить доказательства с использованием признаков подобия, знакомиться с понятиями преобразования подобия и подобных фигур.

повторение: R02.1–R02.4

Разминка · устно

Гомотетия и подобие — что уже знаем

На рисунке $k = 3$ , $O A = 2$ . Найдите $O A_{1}$ . $6$
$B_{1} C_{1} = 4, 5$ . Найдите $BC$ . $1, 5$
Подобны ли любые два ромба? нет: углы могут быть разными
Центр $O (0; 0)$ , $k = - 1$ , $A (2; 3)$ . Найдите $A_{1}$ . $A_{1} (- 2; - 3)$
Столб $4$ м даёт тень $6$ м, человек — $2, 7$ м. Рост человека? $1, 8$ м
Треугольники подобны, $k = 2$ , $P = 15$ . Найдите $P_{1}$ . $30$

R02.4

Сводка · гомотетия при любом k

Отрицательный коэффициент — «через центр»

Гомотетия

(O, k)

,

k \neq = 0

:

O X_{1} = ∣ k ∣ \cdot OX

; при

k > 0

точка

X_{1}

на луче

OX

, при

k < 0

— на продолжении луча за

O

.

x_{1} = x_{0} + k (x - x_{0})

y_{1} = y_{0} + k (y - y_{0})

$A_{1} B_{1} = ∣ k ∣ \cdot A B$ , $A_{1} B_{1} ∥ A B$ : фигуры подобны, коэффициент подобия $∣ k ∣$ .

$k = - 1$ — центральная симметрия.

3 мин · теория
Формулы координат: центр O(x₀; y₀). Смещение от центра (x − x₀; y − y₀) умножается на k — при k < 0 направление меняется на противоположное. При центре в начале координат: x₁ = kx, y₁ = ky.
На чертеже k = −1/2: треугольник «перевернулся» через O и уменьшился вдвое; соответственные стороны параллельны (A₁B₁ ∥ AB), но направлены противоположно.
Доказательство A₁B₁ = |k|·AB то же, что на уроке GEOM8U-030: △OA₁B₁ ∼ △OAB (угол при O вертикальный, стороны пропорциональны, II признак), отсюда параллельность — накрест лежащие углы равны.
Вопрос: какая гомотетия обратна гомотетии (O, −2)? (O, −1/2).

R02.4

Образец → сам · отрицательный k на клетчатой бумаге

Постройте образ треугольника

Образец: $O (5; 4)$ , $k = - \frac{1}{2}$ , $A (9; 6)$ , $B (9; 2)$ , $C (7; 8)$ . Постройте $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ .

от $O$ до $A$ : $4$ вправо, $2$ вверх смещение

$A_{1}$ : $2$ влево, $1$ вниз ⇒ $A_{1} (3; 3)$ × $(- \frac{1}{2})$

$B_{1} (3; 5)$ , $C_{1} (4; 2)$ так же

Сам: в тетради на клетках

$O (0; 0)$ , $k = - 2$ , $A (1; 3)$ . Найдите $A_{1}$ . $A_{1} (- 2; - 6)$
$O (2; 1)$ , $k = - 1$ , $A (5; 3)$ . Найдите $A_{1}$ . $A_{1} (- 1; - 1)$
При $k = - 2$ точка $A (1; 2)$ перешла в $A_{1} (7; - 1)$ . Найдите центр $O$ . $O (3; 1)$

2 мин · практика
Образец: смещение OA = (4; 2), умножаем на −1/2: (−2; −1), A₁ = (5 − 2; 4 − 1) = (3; 3). OB = (4; −2) → (−2; 1), B₁(3; 5). OC = (2; 4) → (−1; −2), C₁(4; 2). Проверка: AB = 4 (вертикальный), A₁B₁ = 2 и тоже вертикальный ✓.
1) (−2·1; −2·3) = (−2; −6). 2) k = −1 — центральная симметрия: x₁ = 2 − (5 − 2) = −1, y₁ = 1 − (3 − 1) = −1.
3) 7 = x₀ − 2(1 − x₀) = 3x₀ − 2 ⇒ x₀ = 3; −1 = y₀ − 2(2 − y₀) = 3y₀ − 4 ⇒ y₀ = 1. Проверка: OA = (−2; 1), OA₁ = (4; −2) = −2 · OA ✓. Сильным: центр делит отрезок AA₁ в отношении 1 : 2.

R02.4

Сводка · две гомотетии окружностей

Окружности подобны — и центров два

Внешний центр $S$ : $k = \frac{r _{2}}{r _{1}}$ , $S$ вне отрезка $O_{1} O_{2}$
$\frac{S O _{1}}{S O _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}}$

$O_{1} P_{1} ∥ O_{2} P_{2}$ (в одну сторону) ⇒ $S = P_{1} P_{2} \cap O_{1} O_{2}$

Внутренний центр $I$ : $k = - \frac{r _{2}}{r _{1}}$ , $I$ на отрезке $O_{1} O_{2}$
$\frac{I O _{1}}{I O _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}}$

$O_{1} P_{1} ∥ O_{2} Q_{2}$ (в разные стороны) ⇒ $I = P_{1} Q_{2} \cap O_{1} O_{2}$

2,5 мин · теория
Почему гомотетия переводит окружность в окружность: она переводит центр O₁ в O₂, а каждую точку на расстоянии r₁ от O₁ — в точку на расстоянии |k|·r₁ = r₂ от O₂.
Построение центров: проводим параллельные радиусы. Если они направлены одинаково — прямая через их концы проходит через S (k > 0); если противоположно — через I (k < 0). Обоснование — △SO₁P₁ ∼ △SO₂P₂ по двум углам.
На чертеже r₁ = 2, r₂ = 4, O₁O₂ = 9: SO₁ = 9, IO₁ = 3 (проверка: 9/18 = 3/6 = 1/2).
При r₁ = r₂ внешнего центра нет (окружности переводит параллельный перенос), внутренний — середина O₁O₂ (k = −1).

R02.4

Образец → сам · центры гомотетии окружностей

Отношение радиусов решает всё

Образец: $r_{1} = 3$ , $r_{2} = 5$ , $O_{1} O_{2} = 16$ . Найдите $S O_{1}$ , $I O_{1}$ и коэффициенты.

$\frac{S O _{1}}{S O _{1} + 16} = \frac{3}{5}$ ⇒ $S O_{1} = 24$ $k = \frac{5}{3}$

$\frac{I O _{1}}{16 - I O _{1}} = \frac{3}{5}$ ⇒ $I O_{1} = 6$ $k = - \frac{5}{3}$

Сам

$r_{1} = 2$ , $r_{2} = 6$ , $O_{1} O_{2} = 12$ . Найдите $S O_{1}$ и $I O_{1}$ . $6$ и $3$
Гомотетия с центром $S$ и $k > 0$ переводит окружность $r = 4$ в окружность $r = 10$ , $S O_{1} = 6$ . Найдите $O_{1} O_{2}$ . $9$
Радиусы равны. Где центры гомотетии? $I$ — середина $O_{1} O_{2}$ ; $S$ нет

R02.4 · R02.1

Сводка · соответственные элементы с доказательством

Медианы подобных треугольников — тоже в $k$ раз

Дано:

△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC

с коэффициентом

k

;

A M

,

A_{1} M_{1}

— медианы.
Доказать:

A_{1} M_{1} = k \cdot A M

.

1

B_{1} M_{1} = \frac{1}{2} B_{1} C_{1} = k \cdot BM

M

,

M_{1}

— середины,

B_{1} C_{1} = k \cdot BC

2

∠ B_{1} = ∠ B

,

A_{1} B_{1} = k \cdot A B

соответственные элементы подобных треугольников

3

△ A_{1} B_{1} M_{1} \sim △ A BM

две стороны пропорциональны, угол между ними равен

4

A_{1} M_{1} = k \cdot A M

так же высоты, биссектрисы, периметры — в

k

раз

2,5 мин · теория
Каждый шаг — вопрос «почему?». Цвета: половины сторон BM и B₁M₁ — бирюзовые, угол B — жёлтая дуга, медианы — розовые.
Для высот: △ABH ∼ △A₁B₁H₁ по двум углам (∠B = ∠B₁, прямые углы при H), поэтому A₁H₁ = k·AH. Для биссектрис — так же, через половины соответственных углов.
Общий вывод преобразования подобия: любой отрезок, построенный по фигуре «одинаковым правилом», умножается на k; углы и отношения не меняются. Площади — не в k раз (R03, урок «Площади подобных фигур»).

R02.4 · R02.1

Образец → сам · медианы, высоты, биссектрисы

Коэффициент — по любой паре элементов

Образец: $△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC$ , медиана $A_{1} M_{1} = 9$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ и высоту $A_{1} H_{1}$ .

$k = \frac{A _{1} M _{1}}{A M} = \frac{9}{6} = 1, 5$ отношение медиан

$A_{1} B_{1} = 1, 5 \cdot 8 = 12$ , $A_{1} H_{1} = 1, 5 \cdot 5 = 7, 5$

Сам

Стороны треугольника $6$ , $8$ , $10$ ; у подобного наибольшая сторона $15$ . Найдите его высоту к этой стороне. $7, 2$
Периметры подобных треугольников $18$ и $30$ , биссектриса первого $4, 2$ . Найдите соответственную биссектрису. $7$
Соответственные медианы $6$ и $10$ , сумма периметров $48$ . Найдите периметры. $18$ и $30$

R02.4 · R02.2

Образец → сам · гомотетия в трапеции

Центр — точка пересечения диагоналей

Образец: $BC ∥ A D$ , $BC = 4$ , $A D = 10$ , $A C = 10, 5$ , $A C \cap B D = O$ . Найдите $OC$ и $O A$ .

$△ BOC \sim △ D O A$ по двум углам (накрест лежащие)

$C \to A$ , центр $O$ :
$k = - A D : BC = - 2, 5$

$O A = 2, 5 OC$ , $3, 5 OC = 10, 5$

$OC = 3$ , $O A = 7, 5$

Сам (обозначения те же)

$BC = 3$ , $A D = 7$ , $B D = 15$ . Найдите $BO$ . $4, 5$
$A O = 12$ , $OC = 4$ , $A D = 15$ . Найдите $BC$ . $5$
$BC = 4$ , $A D = 12$ . Через $O$ проведена прямая $∥ A D$ ; найдите её отрезок $MN$ внутри трапеции. $6$

R02.4

Сводка · метод подобия в задачах на построение

Сначала форма, потом размер

Задача: вписать в

△ A BC

квадрат — две вершины на

A C

, по одной на

A B

и

BC

.

1квадрат

K L MN

:

K, N \in A C

,

L \in A B

отбросили условие «вершина на

BC

»

2луч

A M

пересекает

BC

в точке

M_{1}

гомотетия с центром

A

и

k = \frac{A M _{1}}{A M}

3квадрат

K_{1} L_{1} M_{1} N_{1}

— образ

K L MN

M_{1} N_{1} ⊥ A C

,

M_{1} L_{1} ∥ A C

; образ квадрата — квадрат

2,5 мин · теория
Идея метода подобия: из условий задачи одно (размер или положение) временно отбрасываем и строим фигуру нужной формы; затем гомотетией подгоняем её под отброшенное условие. Щелчки открывают шаги; последний — итоговый квадрат на чертеже.
Обоснование шага 3: при гомотетии с центром A прямая AC переходит в себя (K₁, N₁ ∈ AC), прямая AB — в себя (L₁ ∈ AB), а M₁ ∈ BC по построению; углы сохраняются, длины умножаются на одно число — квадрат переходит в квадрат.
На чертеже A(0; 0), B(4; 8), C(12; 0): вспомогательный квадрат со стороной 3, искомый — 4,8 (проверка: M₁(7,2; 4,8) лежит на BC: x + y = 12 ✓).
Тем же методом строят треугольник по двум углам и медиане, ромб с данным углом, вписанный в треугольник, и т. п.

R02.4 · R02.3

Образец → сам · квадрат, вписанный в треугольник

Сторона квадрата через подобие

Образец: $A C = 12$ , высота $B H = 8$ . Найдите сторону $x$ вписанного квадрата $K L MN$ .

$L M ∥ A C$ ⇒ $△ L BM \sim △ A BC$ по двум углам

$\frac{x}{12} = \frac{8 - x}{8}$ отношение высот $= k$

$8 x = 96 - 12 x$ , $x = 4, 8$

Сам

$A C = 10$ , $B H = 15$ . Найдите сторону квадрата. $6$
Вписан прямоугольник $1 : 2$ , длинная сторона на $A C$ ; $A C = 12$ , $B H = 6$ . Найдите стороны. $3$ и $6$
Квадрат с вершиной в прямом угле вписан в треугольник с катетами $6$ и $3$ . Найдите сторону. $2$

R02.4 · R01.10

Образец → сам · задача на доказательство

Центр масс — центр гомотетии

Образец: $G$ — точка пересечения медиан, $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ — середины сторон. Докажите: гомотетия $(G, - \frac{1}{2})$ переводит $△ A BC$ в $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ .

$G A_{1} = \frac{1}{2} G A$ , $A_{1}$ за точкой $G$ медианы: $2 : 1$

$A \to A_{1}$ , $B \to B_{1}$ , $C \to C_{1}$ по определению, $k = - \frac{1}{2}$

$△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC$ , $k = \frac{1}{2}$

Сам: план и обоснования

Выведите отсюда: $B_{1} C_{1} ∥ BC$ , $B_{1} C_{1} = \frac{1}{2} BC$ . $B_{1} C_{1}$ — образ $BC$
$A A_{1} = 12$ . Найдите $G A_{1}$ и медиану $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ из $A_{1}$ . $4$ и $6$
Докажите: высоты $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ лежат на серединных перпендикулярах к сторонам $△ A BC$ . $B_{1} C_{1} ∥ BC$ , $A_{1}$ — середина $BC$

2,5 мин · практика
Образец: по свойству центра масс (R01.10) AG : GA₁ = 2 : 1, т. е. GA₁ = ½·GA, и точки A, A₁ по разные стороны от G ⇒ A₁ — образ A при гомотетии (G, −1/2). Так же для B и C. Образ треугольника — треугольник с вершинами-образами.
1) Гомотетия переводит отрезок BC в B₁C₁: B₁C₁ ∥ BC и B₁C₁ = |k|·BC = ½·BC — теорема о средней линии получена «бесплатно».
2) GA₁ = 12 : 3 = 4. Медиана △ABC из A переходит в медиану △A₁B₁C₁ из A₁ (середина BC → середина B₁C₁), длина ½·12 = 6, лежит на той же прямой AA₁.
3) Высота из A₁ перпендикулярна B₁C₁, а B₁C₁ ∥ BC ⇒ она перпендикулярна BC и проходит через середину A₁ стороны BC — это серединный перпендикуляр.

R02.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$k = - 2$ , $O A = 3$ ⇒ $O A_{1} = - 6$	длина не бывает отрицательной; знак $k$ — направление	$O A_{1} = 6$ , $A_{1}$ по другую сторону от $O$
$A B = 8$ , $A_{1} B_{1} = 12$ , $A H = 5$ ⇒ $A_{1} H_{1} = 9$	прибавили разность сторон, а элементы умножаются на $k$	$A_{1} H_{1} = 1, 5 \cdot 5 = 7, 5$
трапеция: $BC \to D A$ при $k = A D : BC$	$B$ и $D$ лежат по разные стороны от $O$	$k = - A D : BC$
квадрат в треугольнике: $x : a = x : h$	высота отсечённого треугольника — $h - x$	$x : a = (h - x) : h$

1,5 мин · практика (ученики сами объясняют «почему», учитель открывает строку)
Строка 1: коэффициент подобия — |k|, отрицательный знак говорит только о том, что образ лежит на продолжении луча за центром. Строка 2: «прибавить разность» — главная ошибка в задачах на подобие; соответствие проверять отношением.
Строка 3: при k > 0 центр гомотетии лежит вне отрезков BD и CA, а точка пересечения диагоналей лежит на них. Строка 4: это не тот элемент — высота малого треугольника h − x.

R02.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $O (1; 2)$ , $k = - 2$ , $A (3; 3)$ . Найдите $A_{1}$ .

$A_{1} = (- 2 \cdot 3; - 2 \cdot 3)$

$A_{1} (- 6; - 6)$

центр не в начале: $x_{1} = 1 - 2 \cdot 2 = - 3$ , $y_{1} = 2 - 2 \cdot 1 = 0$ ; $A_{1} (- 3; 0)$

б) $r_{1} = 2$ , $r_{2} = 3$ , $O_{1} O_{2} = 10$ . Найдите $S O_{1}$ (внешний центр).

$S O_{1} : S O_{2} = 2 : 3$ , $S O_{1} + S O_{2} = 10$

$S O_{1} = 4$

это внутренний центр $I$ ; для $S$ : $S O_{2} - S O_{1} = 10$ ⇒ $S O_{1} = 20$

в) Квадрат вписан в треугольник: $A C = 6$ , $B H = 3$ . Найдите сторону.

$\frac{x}{6} = \frac{3 - x}{6}$

$x = 1, 5$

отношение высот: $\frac{x}{6} = \frac{3 - x}{3}$ ⇒ $x = 2$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Формула x₁ = kx верна только для центра в начале координат. Верно: смещение OA = (2; 1), × (−2) = (−4; −2), A₁ = (1 − 4; 2 − 2) = (−3; 0).
б) Деление «внутри» отрезка даёт внутренний центр (IO₁ = 4). Внешний: SO₁/SO₂ = 2/3, SO₂ = SO₁ + 10 ⇒ 3SO₁ = 2SO₁ + 20 ⇒ SO₁ = 20 (проверка 20/30 = 2/3 ✓).
в) Слева — отношение оснований (x : 6), справа должно быть отношение высот (3 − x) : 3. 3x = 18 − 6x ⇒ x = 2; проверка формулой ah/(a + h) = 18/9 = 2 ✓.

R02.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаГомотетия $(O, - 3)$ , $O A = 2$ . Найдите $A A_{1}$ . $8$
база $O (0; 0)$ , $k = - \frac{1}{2}$ , $A (4; - 6)$ . Найдите $A_{1}$ . $A_{1} (- 2; 3)$
базаТреугольники подобны, $k = 4$ , медиана $2, 5$ . Соответственная медиана? $10$

базаРадиусы окружностей $1$ и $4$ . Коэффициенты двух гомотетий? $4$ и $- 4$
базаТрапеция: $BC = 5$ , $A D = 15$ , $BO = 3$ . Найдите $O D$ . $9$
базаОтрезок $6$ при гомотетии с $k = - \frac{2}{3}$ переходит в отрезок длины? $4$

R02.4 · R02.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Гомотетия с центром $O (0; 1)$ переводит $A (2; 4)$ в $A_{1} (- 4; - 5)$ . Найдите $k$ . $k = - 2$
повыш.Окружности $r_{1} = 3$ и $r_{2} = 7$ касаются внешним образом. Где внутренний центр гомотетии? в точке касания, $I O_{1} = 3$
повыш.В треугольник вписан квадрат со стороной $6$ , две вершины на $A C = 15$ . Найдите высоту $B H$ . $10$
из жизниКамера-обскура: дерево $6$ м стоит в $15$ м от отверстия, экран — в $0, 25$ м за отверстием. Высота изображения? $10$ см, перевёрнутое

R02.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15 $A B ∥ C D$ , отрезки $A D$ и $BC$ пересекаются в точке $O$ ; $A B = 12$ , $C D = 18$ , $A D = 25$ . Найдите $A O$ . $10$
ОГЭ 15Прямая, параллельная $A C$ , пересекает стороны $A B$ и $BC$ треугольника $A BC$ в точках $M$ и $N$ ; $A B = 20$ , $A M = 5$ , $MN = 12$ . Найдите $A C$ . $16$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Любые две окружности подобны.
Любые два равнобедренных треугольника подобны.
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Ответ: 13

R02.4 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Прямая, параллельная основаниям трапеции $A BC D$ , проходит через точку $O$ пересечения диагоналей и пересекает $A B$ и $C D$ в точках $E$ и $F$ . Найдите $EF$ , если $A D = 42$ , $BC = 14$ .

$A O : OC = 42 : 14 = 3 : 1$ гомотетия $(O, - 3)$

$EO = \frac{3}{4} BC = 10, 5$ , $OF = 10, 5$ $△ A EO \sim △ A BC$

$EF = 21$

ОГЭ 24 Основания $BC$ и $A D$ трапеции $A BC D$ равны $4$ и $16$ , $B D = 8$ . Докажите, что треугольники $CB D$ и $B D A$ подобны.

$∠ CB D = ∠ B D A$ накрест лежащие, $BC ∥ A D$

$\frac{CB}{B D} = \frac{B D}{D A} = \frac{1}{2}$ $\frac{4}{8} = \frac{8}{16}$

подобны по двум сторонам и углу

2 мин · практика
23) △BOC ∼ △DOA, k = 42/14 = 3 ⇒ AO : OC = 3 : 1, AO/AC = 3/4. EO ∥ BC ⇒ △AEO ∼ △ABC: EO = 3/4·14 = 10,5. Аналогично OF = 3/4·BC = 10,5 (△DOF ∼ △DBC, DO/DB = 3/4). EF = 21 (= 2·42·14/56 ✓). Ответ: 21.
24) Полное решение на 2 балла: равенство углов с обоснованием (накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей BD) и пропорциональность сторон, заключающих эти углы: CB/BD = 4/8 = 1/2, BD/DA = 8/16 = 1/2 ⇒ II признак подобия. Порядок вершин: C ↔ B, B ↔ D, D ↔ A.
На уроке — устное обсуждение плана, запись 24 полностью — в ДЗ по желанию.

R02.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$O (0; 0)$ , $k = - 2$ , $A (3; - 1)$ . Найдите $A_{1}$ . $A_{1} (- 6; 2)$
Подобные треугольники: $A B = 6$ , $A_{1} B_{1} = 9$ , медиана $A_{1} M_{1} = 12$ . Найдите $A M$ . $8$
Трапеция: $BC = 2$ , $A D = 8$ , $A C = 15$ . Найдите $OC$ . $3$
Квадрат вписан в треугольник: $A C = 20$ , $B H = 5$ . Найдите его сторону. $4$

Вариант 2

$O (0; 0)$ , $k = - 3$ , $A (- 1; 2)$ . Найдите $A_{1}$ . $A_{1} (3; - 6)$
Подобные треугольники: $A B = 10$ , $A_{1} B_{1} = 4$ , высота $A H = 7, 5$ . Найдите $A_{1} H_{1}$ . $3$
Трапеция: $BC = 3$ , $A D = 9$ , $B D = 16$ . Найдите $O D$ . $12$
Квадрат вписан в треугольник: $A C = 15$ , $B H = 10$ . Найдите его сторону. $6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что меняет знак коэффициента гомотетии?
Сколько центров гомотетии у двух окружностей разных радиусов?
В чём идея метода подобия?

Домашнее задание

$O (2; 1)$ , $k = - \frac{1}{2}$ , $A (6; 9)$ . Найдите $A_{1}$ .
$r_{1} = 4$ , $r_{2} = 6$ , $O_{1} O_{2} = 15$ . Найдите $S O_{1}$ и $I O_{1}$ .
* Постройте циркулем и линейкой квадрат, вписанный в данный остроугольный треугольник.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_podobnye_treugolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-034 · Практикум: Введение понятия преобразования подобия и подобных фигур

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R02 «Подобие», 16 ч · урок 12/16 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R02.4 «Введение понятия преобразования подобия и подобных фигур» → 2, 4–21 · повторение R02.1–R02.3 → 3, 8, 9, 18, 19 · центр масс R01.10 → 13
Результаты	ПР-5 (преобразование подобия, подобные фигуры, соответственные элементы) → 4–16, 18–20 · ПР-6 (подобие в практических задачах) → 12, 17
Вне урока	отношение площадей подобных фигур — R03 (ПР-8); касательные к окружностям — R05; признаки подобия — практикум GEOM8U-036
Время	теория 11,5 мин · практика 33,5 мин (74 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Преобразование подобия и подобные фигуры

Сегодня вы научитесь

Строить образ при k<0

Находить центры гомотетии

Переносить k на элементы

Строить и доказывать

Гомотетия и подобие — что уже знаем

Отрицательный коэффициент — «через центр»

Постройте образ треугольника

Образец: O(5;4), k=−21​, A(9;6), B(9;2), C(7;8). Постройте △A1​B1​C1​.

Сам: в тетради на клетках

Окружности подобны — и центров два

Отношение радиусов решает всё

Образец: r1​=3, r2​=5, O1​O2​=16. Найдите SO1​, IO1​ и коэффициенты.

Сам

Медианы подобных треугольников — тоже в k раз

Коэффициент — по любой паре элементов

Образец: △A1​B1​C1​∼△ABC, медиана A1​M1​=9. Найдите A1​B1​ и высоту A1​H1​.

Сам

Центр — точка пересечения диагоналей

Образец: BC∥AD, BC=4, AD=10, AC=10,5, AC∩BD=O. Найдите OC и OA.

Сам (обозначения те же)

Сначала форма, потом размер

Сторона квадрата через подобие

Образец: AC=12, высота BH=8. Найдите сторону x вписанного квадрата KLMN.

Сам

Центр масс — центр гомотетии

Образец: G — точка пересечения медиан, A1​,B1​,C1​ — середины сторон. Докажите: гомотетия (G,−21​) переводит △ABC в △A1​B1​C1​.

Сам: план и обоснования

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) O(1;2), k=−2, A(3;3). Найдите A1​.

б) r1​=2, r2​=3, O1​O2​=10. Найдите SO1​ (внешний центр).

в) Квадрат вписан в треугольник: AC=6, BH=3. Найдите сторону.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-034 · Практикум: Введение понятия преобразования подобия и подобных фигур

Строить образ при $k < 0$

Переносить $k$ на элементы

Образец: $O (5; 4)$ , $k = - \frac{1}{2}$ , $A (9; 6)$ , $B (9; 2)$ , $C (7; 8)$ . Постройте $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ .

Образец: $r_{1} = 3$ , $r_{2} = 5$ , $O_{1} O_{2} = 16$ . Найдите $S O_{1}$ , $I O_{1}$ и коэффициенты.

Медианы подобных треугольников — тоже в $k$ раз

Образец: $△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC$ , медиана $A_{1} M_{1} = 9$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ и высоту $A_{1} H_{1}$ .

Образец: $BC ∥ A D$ , $BC = 4$ , $A D = 10$ , $A C = 10, 5$ , $A C \cap B D = O$ . Найдите $OC$ и $O A$ .

Образец: $A C = 12$ , высота $B H = 8$ . Найдите сторону $x$ вписанного квадрата $K L MN$ .

Образец: $G$ — точка пересечения медиан, $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ — середины сторон. Докажите: гомотетия $(G, - \frac{1}{2})$ переводит $△ A BC$ в $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ .

а) $O (1; 2)$ , $k = - 2$ , $A (3; 3)$ . Найдите $A_{1}$ .

б) $r_{1} = 2$ , $r_{2} = 3$ , $O_{1} O_{2} = 10$ . Найдите $S O_{1}$ (внешний центр).

в) Квадрат вписан в треугольник: $A C = 6$ , $B H = 3$ . Найдите сторону.