Подобие · урок 11 из 16 · практикум

Применение подобия при решении практических задач

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM8U-033

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Подобие» (16 ч), урок 11/16, единица R02.3. Тип урока — П (практикум). Второй практикум по R02.3 (первый — GEOM8U-029, новое — GEOM8U-025): задачи сложнее — уравнение, две тени, тень на стене, вывод формулы.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка признаков 2 · три модели 3 · вывод «фонарь по двум теням» 3 · вывод «квадрат в треугольнике» 3,5.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2 + 2 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2,5 · задача из жизни 1 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 6 (заготовка) и задачу из жизни — в ДЗ; выводы формул не сокращать.

R02.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить модель

переводить ситуацию (тень, колодец, река, рычаг) в чертёж с подобными треугольниками (ПР-6)

Обосновывать подобие

называть признак и соответственные стороны (ПР-5)

Решать сложнее

пропорция с уравнением, две тени, тень на стене, вывод формулы

Считать на местности

находить недоступные высоты и расстояния, задачи ОГЭ 15 и 23 (ПР-11)

повторение: R02.1–R02.2

Разминка · устно

Пропорции и признаки подобия

$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $k = 3$ , $A B = 4$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ . $12$
Углы одного треугольника $4 0^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$ , другого — $4 0^{\circ}$ и $8 0^{\circ}$ . Подобны? да, по двум углам
Решите: $\frac{x}{6} = \frac{4}{3}$ . $x = 8$

Шест $2$ м даёт тень $3$ м, дерево — $12$ м. Высота дерева? $8$ м
Решите: $\frac{x}{x + 4} = \frac{2}{3}$ . $x = 8$
$k = \frac{2}{5}$ . Чему равно отношение высот подобных треугольников? $\frac{2}{5}$

R02.2 · R02.3

Сводка · признаки и соответственные элементы

Чем доказываем и что получаем

Признак	Что нужно
I · два угла	$∠ A = ∠ A_{1}$ , $∠ C = ∠ C_{1}$
II · две стороны и угол	$\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{A C}{A _{1} C _{1}}$ , $∠ A = ∠ A_{1}$
III · три стороны	три отношения сторон равны

\frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{B _{1} C _{1}}{BC} = \frac{h _{1}}{h} = \frac{P _{1}}{P} = k

2 мин · теория
В практических задачах почти всегда работает I признак: прямые углы (вертикальные предметы) + равные углы от параллельных лучей, вертикальных углов или общего угла.
По щелчку — главное следствие: в подобных треугольниках в отношении k находятся не только стороны, но и высоты, медианы, биссектрисы, периметры. Понадобится в выводе «квадрат в треугольнике».
Вопрос: какие стороны соответственные? (Лежащие против равных углов.)

R02.3

Сводка · три модели практических задач

Найди свою картинку — найдёшь подобие

«Общий угол»

прямая $∥$ стороне отсекает подобный треугольник

фонарь, река, квадрат в треугольнике

«Песочные часы»

вертикальные углы + накрест лежащие при $∥$

шлагбаум, колодец, камера-обскура

«Равный острый угол»

два прямоугольных треугольника с равным острым углом

тень от Солнца, зеркало

3 мин · теория
План практической задачи: 1) рисунок-модель (вертикальные предметы — перпендикуляры к земле, лучи — прямые); 2) найти пару треугольников и назвать признак; 3) пропорция из соответственных сторон; 4) вычислить, проверить единицы и правдоподобие ответа.
«Общий угол»: ∠ при вершине общий, соответственные углы при ∥ равны. «Песочные часы»: вертикальные углы при точке пересечения + накрест лежащие. «Зеркало»: угол падения равен углу отражения — равные острые углы у двух прямоугольных треугольников.
Вопрос классу: к какой модели относится каждая задача сегодняшнего урока? Ответы появятся в образцах.

R02.3

Образец → сам · прямое применение: рычаг

Шлагбаум

Образец: плечи шлагбаума $O A = 0, 75$ м и $OB = 3, 5$ м. Конец $A$ опустился на $0, 3$ м. На сколько поднялся конец $B$ ?

$△ O A A_{1} \sim △ OB B_{1}$ по двум углам: прямые, вертикальные

$\frac{x}{0 , 3} = \frac{3 , 5}{0 , 75}$ ⇒ $x = 1, 4$ м

Сам

Плечи $1$ м и $4$ м, длинный конец поднялся на $1, 8$ м. На сколько опустился короткий? $0, 45$ м
Длинное плечо рычага в $5$ раз длиннее короткого. Груз на коротком конце поднят на $12$ см. На сколько опустили длинный конец? $60$ см
Шлагбаум $4, 5$ м, ось делит его в отношении $1 : 2$ . Короткий конец опустился на $0, 5$ м. На сколько поднялся длинный? $1$ м

R02.3

Образец → сам · модель строим сами: глубина колодца

Глубина колодца без верёвки

Образец: колодец шириной $1, 2$ м. Человек (глаза на высоте $1, 6$ м) отошёл от края на $0, 8$ м и через ближний край видит дальний угол дна. Глубина?

два прямоугольных треугольника, углы при крае колодца вертикальные ⇒ подобны (I признак)

$\frac{H}{1 , 2} = \frac{1 , 6}{0 , 8}$

$H = 2, 4$ м

Сам: сначала рисунок

Ширина $1$ м, глаза на $1, 5$ м, отошёл на $0, 6$ м. Глубина? $2, 5$ м
Глубина $3$ м, ширина $0, 9$ м, глаза на $1, 5$ м. На каком расстоянии от края встать? $0, 45$ м
Колодец вдвое глубже. Как изменится это расстояние? уменьшится вдвое

R02.3

Образец → сам · обратная задача с уравнением: ширина реки

Ширина реки: вложенные треугольники

Образец: $A$ — дерево на том берегу; $BC ⊥ A D$ , $D E ⊥ A D$ , $A$ , $C$ , $E$ на одной прямой; $B D = 6$ , $BC = 10$ , $D E = 14$ (м). Найдите $A B$ .

$△ A BC \sim △ A D E$ $∠ A$ общий, $∠ B = ∠ D = 9 0^{\circ}$

$\frac{x}{x + 6} = \frac{10}{14}$ сторона $A D = x + 6$

$14 x = 10 x + 60$ , $x = 15$ м

Сам

$B D = 4$ , $BC = 9$ , $D E = 12$ . $A B$ ? $12$ м
$B D = 5$ , $BC = 8$ , $D E = 10$ . $A B$ ? $20$ м
Ширина оврага: $B D = 3$ , $BC = 6$ , $D E = 7, 5$ . $12$ м

R02.3

Образец → сам · комбинированная: тень на стене

Часть тени — на стене

Образец: шест $1, 5$ м даёт тень $2$ м. Дерево в $6$ м от стены, его тень доходит до стены и поднимается по ней на $1, 2$ м. Высота дерева?

$K W ∥$ земле, $△ T K W \sim$ «шест» I признак

$T K = 6 \cdot \frac{1 , 5}{2} = 4, 5$ ; $h = 4, 5 + 1, 2 = 5, 7$ м

Сам

Шест $1$ м — тень $0, 8$ м. Дерево в $4$ м от стены, на стене тень $1, 5$ м. Высота? $6, 5$ м
Столб $8$ м в $5$ м от забора; шест $2$ м — тень $1, 6$ м. Высота тени на заборе? $1, 75$ м
Дерево $9$ м, на стене тень $1, 8$ м; шест $1, 2$ м — тень $1, 5$ м. Расстояние до стены? $9$ м

2,5 мин · практика
Идея: провести KW параллельно земле на высоте 1,2 м. Луч TW параллелен лучу шеста ⇒ △TKW (прямой угол K) подобен треугольнику шеста по двум углам. TK : 6 = 1,5 : 2, TK = 4,5; h = TK + KH = 4,5 + 1,2 = 5,7 м.
1) 4 : 0,8 · 1 = 5; 5 + 1,5 = 6,5 м. 2) Часть столба над тенью на заборе: 5 · 2 : 1,6 = 6,25; 8 − 6,25 = 1,75 м. 3) TK = 9 − 1,8 = 7,2; расстояние = 7,2 · 1,5 : 1,2 = 9 м.
Ошибка: прибавить тень на стене к тени на земле (7,2 м «тени») и посчитать 7,2 · 1,5 : 2 = 5,4 — неверно, тень на стене вертикальна.

R02.3

Вывод · фонарь по двум теням

Высота фонаря, если расстояние до столба неизвестно

Дано: рост

h

, тени

t_{1}

и

t_{2}

, человек отошёл на

d

.
Найти: высоту фонаря

H

(расстояние

a

не измерено).

1

\frac{H}{h} = \frac{a + t _{1}}{t _{1}} = \frac{a + d + t _{2}}{t _{2}}

общий угол у конца тени, оба ⟂ земле ⇒ подобие

2

\frac{H}{h} - 1 = \frac{a}{t _{1}} = \frac{a + d}{t _{2}}

⇒

a = \frac{d t _{1}}{t _{2} - t _{1}}

вычли 1 из обеих дробей

3

H = h \cdot \frac{d + t _{2} - t _{1}}{t _{2} - t _{1}}

подставили

a

в п. 1

3 мин · теория
Две пары подобных треугольников «общий угол»: фонарь—конец первой тени и человек—конец первой тени; то же для второй позиции. Отношение H : h одно и то же.
Шаг 2: (a + t₁)/t₁ − 1 = a/t₁, (a + d + t₂)/t₂ − 1 = (a + d)/t₂. Из a·t₂ = (a + d)·t₁ получаем a = d·t₁/(t₂ − t₁).
Шаг 3: H/h = 1 + a/t₁ = 1 + d/(t₂ − t₁) = (d + t₂ − t₁)/(t₂ − t₁). Вопрос: почему t₂ > t₁? (Дальше от фонаря — тень длиннее.)
Формулу не заучивать: на ОГЭ достаточно записать две пропорции и решить систему.

R02.3

Образец → сам · две позиции: фонарь

Тень удлинилась — найдите фонарь

Образец: человек ростом $1, 8$ м отбрасывает тень $1, 2$ м. Отойдя от фонаря ещё на $2$ м, — тень $2$ м. Высота фонаря?

$\frac{a}{1 , 2} = \frac{a + 2}{2}$ шаг 2 вывода

$2 a = 1, 2 a + 2, 4$ , $a = 3$ м

$H = 1, 8 \cdot \frac{3 + 1 , 2}{1 , 2} = 6, 3$ м

Сам

Рост $1, 6$ м, тени $1$ м и $2$ м, отошёл на $3$ м. $H$ ? $6, 4$ м
Рост $1, 5$ м, тени $2$ м и $3$ м, отошёл на $2$ м. $H$ ? $4, 5$ м
Фонарь $5, 4$ м, рост $1, 8$ м. На сколько удлинится тень, если отойти на $3$ м? на $1, 5$ м

R02.3

Вывод · квадрат, вписанный в треугольник

Сторона квадрата через основание и высоту

Дано:

△ A BC

,

A C = a

, высота

B H = h

; квадрат

PMNQ

:

P, Q \in A C

,

M \in A B

,

N \in BC

.
Найти: сторону

x

.

1

△ MBN

\sim

△ A BC

∠ B

общий,

MN ∥ A C

— соответственные углы

2

\frac{MN}{A C} = \frac{B K}{B H}

:

\frac{x}{a} = \frac{h - x}{h}

высоты подобных треугольников относятся как

k

3

x h = ah - a x

⇒

x = \frac{ah}{a + h}

R02.3

Образец → сам · практическая: раскрой заготовки

Квадратная пластина из треугольной

Образец: из треугольной пластины с основанием $30$ см и высотой $20$ см вырезают квадрат, одна сторона которого лежит на основании. Сторона квадрата?

$\frac{x}{30} = \frac{20 - x}{20}$ подобие, отношение высот

$20 x = 600 - 30 x$ , $x = 12$ см

Сам

Основание $12$ , высота $6$ . Сторона квадрата? $4$
Основание $21$ см, высота $14$ см. Сторона квадрата? $8, 4$ см
Основание $20$ , высота $10$ ; прямоугольник $2 : 1$ , длинная сторона на основании. Стороны? $10$ и $5$

R02.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$\frac{h}{14} = \frac{1 , 6}{1 , 2}$ (шест $1, 2$ , тень $1, 6$ )	в пропорции стороны не соответственные	$\frac{h}{14} = \frac{1 , 2}{1 , 6}$ : высота к тени
$\frac{x}{6} = \frac{10}{14}$ (река)	сторона большого треугольника — вся $A D = x + 6$	$\frac{x}{x + 6} = \frac{10}{14}$
тень на стене прибавлена к тени на земле	тень на стене вертикальна, лучи параллельны	провести $K W ∥$ земле, потом подобие
«треугольники подобны — на рисунке похожи»	«на рисунке видно» — не обоснование	назвать признак: прямые и вертикальные углы

R02.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Фонарь $6$ м, человек $1, 5$ м стоит в $9$ м от столба. Длина тени?

$\frac{6}{1 , 5} = \frac{9}{t}$

$t = 2, 25$ м

$\frac{6}{1 , 5} = \frac{9 + t}{t}$ ⇒ $4 t = 9 + t$ , $t = 3$ м

б) Колодец шириной $1$ м, глаза на $1, 5$ м, отошёл на $0, 5$ м. Глубина?

$\frac{H}{1 , 5} = \frac{0 , 5}{1}$

$H = 0, 75$ м

$\frac{H}{1} = \frac{1 , 5}{0 , 5}$ ⇒ $H = 3$ м

в) Квадрат в треугольнике: $a = 10$ , $h = 15$ . Сторона?

$\frac{x}{10} = \frac{15 - x}{10}$

$x = 7, 5$

$\frac{x}{10} = \frac{15 - x}{15}$ ⇒ $x = 6$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Соответственная сторона большого треугольника — расстояние от столба до конца тени, 9 + t, а не 9. 4t = 9 + t, t = 3 м.
б) Перепутаны соответственные катеты: вертикальный 1,5 соответствует вертикальному H, горизонтальный 0,5 — горизонтальному 1. H = 1,5 · 1 : 0,5 = 3 м. Здравый смысл: колодец глубиной 0,75 м — меньше роста.
в) Высоты относятся как стороны: (15 − x)/15, а не /10. 15x = 150 − 10x, x = 6 (= 10 · 15 : 25).

R02.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаШест $2$ м — тень $2, 5$ м, дом — тень $15$ м. Высота дома? $12$ м
базаФонарь $5, 4$ м, человек $1, 8$ м в $6$ м от столба. Тень? $3$ м
базаПлечи шлагбаума $1, 2$ м и $4, 8$ м, длинный конец поднялся на $2$ м. Короткий опустился на? $0, 5$ м

базаКолодец $1, 5$ м шириной, глаза на $1, 6$ м, отошёл на $0, 6$ м. Глубина? $4$ м
базаНа фото человек $1, 8$ м — $3$ см, башня — $25$ см. Высота башни? $15$ м
базаКвадрат в треугольнике: основание $15$ , высота $10$ . Сторона? $6$

R02.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Шест $1, 2$ м — тень $1$ м. Дерево в $5$ м от стены, тень на стене $2$ м. Высота дерева? $8$ м
повыш.Рост $1, 7$ м, тень $1$ м; отошёл от фонаря ещё на $1, 5$ м — тень $1, 5$ м. Высота фонаря? $6, 8$ м
повыш.В треугольник с основанием $24$ и высотой $12$ вписан прямоугольник, сторона на основании вдвое больше другой. Стороны? $12$ и $6$
из жизниКамера-обскура: дерево $6$ м в $15$ м от отверстия, экран в $20$ см за отверстием. Высота изображения? $8$ см

R02.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 23

Ответ — одно число; ч. 2 — с решением

ОГЭ 15Человек ростом $1, 7$ м стоит на расстоянии $8$ шагов от столба с фонарём. Его тень — $4$ шага. На какой высоте (в метрах) фонарь? $5, 1$
ОГЭ 15Короткое плечо шлагбаума $1$ м, длинное $3$ м. На сколько метров поднимется длинный конец, если короткий опустится на $0, 5$ м? $1, 5$
ОГЭ 15Проектор освещает экран высотой $80$ см с расстояния $250$ см. На каком расстоянии (см) поставить экран высотой $160$ см? $500$

ОГЭ 23 Основания трапеции $A D = 15$ , $BC = 6$ , диагонали пересекаются в точке $O$ , $A C = 14$ . Найдите $A O$ .

$△ A O D \sim △ COB$ : вертикальные углы при $O$ , накрест лежащие при $A D ∥ BC$

$\frac{A O}{OC} = \frac{15}{6}$ ⇒ $A O = 14 \cdot \frac{15}{21} = 10$

R02.3

Задача из жизни · исследование

С какой скоростью растёт тень?

Фонарь

5, 4

м, человек

1, 8

м уходит от столба со скоростью

1, 2

м/с.

1) Как связаны тень $t$ и расстояние $a$ ? $t = \frac{a}{2}$

2) На сколько растёт тень за секунду? $0, 6$ м

3) С какой скоростью движется конец тени? $1, 8$ м/с

R02.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Шест $1, 5$ м — тень $2$ м, труба — тень $24$ м. Высота трубы? $18$ м
Фонарь $6$ м, человек $1, 5$ м в $6$ м от столба. Тень? $2$ м
Река: $B D = 5$ , $BC = 12$ , $D E = 16$ . Найдите $A B$ . $15$ м
Квадрат в треугольнике: основание $20$ , высота $30$ . Сторона? $12$

Вариант 2

Шест $2$ м — тень $1, 5$ м, башня — тень $21$ м. Высота башни? $28$ м
Фонарь $4, 8$ м, человек $1, 6$ м в $5$ м от столба. Тень? $2, 5$ м
Река: $B D = 4$ , $BC = 15$ , $D E = 18$ . Найдите $A B$ . $20$ м
Квадрат в треугольнике: основание $14$ , высота $35$ . Сторона? $10$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Назовите три модели практических задач.
Почему в задаче о реке получается уравнение?
Как учесть тень на стене?

Домашнее задание

Плечи шлагбаума $0, 9$ м и $3, 6$ м, короткий конец опустился на $0, 4$ м. На сколько поднялся длинный?
Шест $1$ м — тень $1, 25$ м; дерево в $7, 5$ м от стены, на стене тень $0, 9$ м. Высота дерева?
* Рост $1, 8$ м, тени $1, 5$ м и $2, 5$ м, отошёл на $2, 5$ м. Высота фонаря?
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_primenenie_podobiya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-033 · Практикум: Применение подобия при решении практических задач

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R02 «Подобие», 16 ч · урок 11/16 · тип П
Единицы → слайды	R02.3 «Применение подобия при решении практических задач» → 2, 4–21 · повторение R02.1–R02.2 → 3
Результаты	ПР-5 (признаки подобия, соответственные элементы) → 4, 5, 10, 12 · ПР-6 (подобие в практических задачах) → 6–21 · ПР-11 (математические модели реальных задач) → 7–9, 11, 13, 19
Вне урока	введение R02.3 — GEOM8U-025; первый практикум — GEOM8U-029; преобразование подобия — GEOM8U-034; отношение площадей подобных фигур — R03
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Применение подобия при решении практических задач

Сегодня вы научитесь

Строить модель

Обосновывать подобие

Решать сложнее

Считать на местности

Пропорции и признаки подобия

Чем доказываем и что получаем

Найди свою картинку — найдёшь подобие

«Общий угол»

«Песочные часы»

«Равный острый угол»

Шлагбаум

Образец: плечи шлагбаума OA=0,75 м и OB=3,5 м. Конец A опустился на 0,3 м. На сколько поднялся конец B?

Сам

Глубина колодца без верёвки

Образец: колодец шириной 1,2 м. Человек (глаза на высоте 1,6 м) отошёл от края на 0,8 м и через ближний край видит дальний угол дна. Глубина?

Сам: сначала рисунок

Ширина реки: вложенные треугольники

Образец: A — дерево на том берегу; BC⊥AD, DE⊥AD, A, C, E на одной прямой; BD=6, BC=10, DE=14 (м). Найдите AB.

Сам

Часть тени — на стене

Образец: шест 1,5 м даёт тень 2 м. Дерево в 6 м от стены, его тень доходит до стены и поднимается по ней на 1,2 м. Высота дерева?

Сам

Высота фонаря, если расстояние до столба неизвестно

Тень удлинилась — найдите фонарь

Образец: человек ростом 1,8 м отбрасывает тень 1,2 м. Отойдя от фонаря ещё на 2 м, — тень 2 м. Высота фонаря?

Сам

Сторона квадрата через основание и высоту

Квадратная пластина из треугольной

Образец: из треугольной пластины с основанием 30 см и высотой 20 см вырезают квадрат, одна сторона которого лежит на основании. Сторона квадрата?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Фонарь 6 м, человек 1,5 м стоит в 9 м от столба. Длина тени?

б) Колодец шириной 1 м, глаза на 1,5 м, отошёл на 0,5 м. Глубина?

в) Квадрат в треугольнике: a=10, h=15. Сторона?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число; ч. 2 — с решением

С какой скоростью растёт тень?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-033 · Практикум: Применение подобия при решении практических задач

Образец: плечи шлагбаума $O A = 0, 75$ м и $OB = 3, 5$ м. Конец $A$ опустился на $0, 3$ м. На сколько поднялся конец $B$ ?

Образец: колодец шириной $1, 2$ м. Человек (глаза на высоте $1, 6$ м) отошёл от края на $0, 8$ м и через ближний край видит дальний угол дна. Глубина?

Образец: $A$ — дерево на том берегу; $BC ⊥ A D$ , $D E ⊥ A D$ , $A$ , $C$ , $E$ на одной прямой; $B D = 6$ , $BC = 10$ , $D E = 14$ (м). Найдите $A B$ .

Образец: шест $1, 5$ м даёт тень $2$ м. Дерево в $6$ м от стены, его тень доходит до стены и поднимается по ней на $1, 2$ м. Высота дерева?

Образец: человек ростом $1, 8$ м отбрасывает тень $1, 2$ м. Отойдя от фонаря ещё на $2$ м, — тень $2$ м. Высота фонаря?

Образец: из треугольной пластины с основанием $30$ см и высотой $20$ см вырезают квадрат, одна сторона которого лежит на основании. Сторона квадрата?

а) Фонарь $6$ м, человек $1, 5$ м стоит в $9$ м от столба. Длина тени?

б) Колодец шириной $1$ м, глаза на $1, 5$ м, отошёл на $0, 5$ м. Глубина?

в) Квадрат в треугольнике: $a = 10$ , $h = 15$ . Сторона?