Подобие · урок 9 из 16 · практикум

Подобие треугольников, коэффициент подобия

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM8U-031

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Подобие» (16 ч), урок 9/16, единица R02.1. Тип урока — П (практикум, второй по R02.1 после GEOM8U-027).
Теория (13): титул 0,5 · цели 1 · сводка 2,5 · теорема об элементах 3 · конфигурации и алгоритм 3 · «общий угол» 3.
Практика (32): разминка 2 · образцы → сам 2,5 × 5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 15/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 3,5 · итог 1.
Новое по сравнению с GEOM8U-023 и GEOM8U-027: отношение высот и медиан, квадрат в треугольнике, «общий угол» (AB² = AD · AC), отрезок через точку пересечения диагоналей трапеции.
Если не успеваете: задание 3 повышенного уровня и ОГЭ 24 — в ДЗ; сводку и доказательства не сокращать.

R02.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить сходственные стороны

по порядку букв и по равным углам (ПР-5)

Считать через $k$

стороны, периметры, высоты и медианы подобных треугольников

Видеть подобие

в конфигурациях: отсечение, «бабочка», общий угол

Решать задачи ОГЭ

линий 15, 19, 23 и 24 — с обоснованием (ПР-5)

1 мин · теория
ПР-5 (ФРП дословно): «Владеть понятиями подобия треугольников, коэффициента подобия, соответственных элементов подобных треугольников. Иметь представление о преобразовании подобия и о подобных фигурах. Пользоваться признаками подобия треугольников при решении геометрических задач…». На этом уроке — первая часть: понятия, коэффициент, соответственные элементы.
Виды деятельности ФРП R02: находить подобные треугольники на готовых чертежах, определять пары подобных треугольников в конфигурациях, решать задачи с самостоятельным построением чертежа, проводить доказательства.

повторение: R02.1, R02.2

Разминка · устно

Коэффициент и соответствие — в уме

$△ A BC \sim △ K MN$ . Какая сторона сходственна $BC$ ? $MN$
$k = 3$ , сторона меньшего $5$ . Сходственная сторона большего? $15$
Стороны $4, 6, 8$ и $6, 9, 12$ . Подобны? Чему равен $k$ ? да, $k = 1, 5$
$\frac{x}{12} = \frac{5}{4}$ $x = 15$

Углы одного треугольника $5 0^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$ , другого — $6 0^{\circ}$ и $7 0^{\circ}$ . Подобны? да, по двум углам
Периметры подобных треугольников $12$ и $18$ . Чему равен $k$ ? $1, 5$
$△ A BC \sim △ D EF$ , $∠ A = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $4 0^{\circ}$

R02.1

Сводка · что знаем о подобии

Подобные треугольники и коэффициент $k$

$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ : соответственные углы равны, сходственные стороны пропорциональны.

\frac{A _{1} B _{1}}{A B}

=

\frac{B _{1} C _{1}}{BC}

=

\frac{A _{1} C _{1}}{A C}

= k

Периметры: $P_{1} : P = k$ ; обратное отношение $A B : A_{1} B_{1} = 1 : k$

Признаки: I — два угла; II — две стороны и угол между ними; III — три стороны

R02.1

Образец → сам · стороны по коэффициенту

Наибольшая — к наибольшей

Образец: стороны треугольника $5$ , $7$ и $9$ . Наибольшая сторона подобного ему треугольника равна $27$ . Найдите остальные.

$k = \frac{27}{9} = 3$ наибольшая ↔ наибольшая

$5 \cdot 3 = 15$ , $7 \cdot 3 = 21$ каждая сторона в $k$ раз больше

Ответ: $15 и 21$

Сам

Стороны $4$ , $6$ , $7$ ; наименьшая сторона подобного равна $10$ . Найдите остальные. $15$ и $17, 5$
Стороны $6$ , $8$ , $12$ ; периметр подобного равен $39$ . Найдите его стороны. $9$ , $12$ , $18$
Стороны $4$ , $5$ , $6$ ; у подобного наибольшая сторона на $6$ больше наименьшей. Найдите его стороны. $12$ , $15$ , $18$

R02.1

Образец → сам · периметры, обратная задача

Периметры относятся как $k$

Образец: $△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $A B = 6$ , $A_{1} B_{1} = 9$ , сумма периметров равна $50$ . Найдите периметры.

$k = \frac{9}{6} = 1, 5$ , $P_{1} = 1, 5 P$ теорема о периметрах

$P + 1, 5 P = 50$ , $P = 20$ уравнение

$P = 20$ , $P_{1} = 30$

Сам

Периметры подобных треугольников $24$ и $36$ , сторона меньшего $7$ . Найдите сходственную сторону большего. $10, 5$
Периметры относятся как $3 : 5$ , разность двух сходственных сторон равна $8$ . Найдите эти стороны. $12$ и $20$
$△ A BC \sim △ D EF$ , $\frac{D E}{A B} = \frac{2}{5}$ , $P_{A BC} = 45$ . Найдите $P_{D EF}$ . $18$

R02.1

Теорема · доказательство

Высоты и медианы — тоже в $k$ раз

Дано:

△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC

, коэффициент

k

;

B H

,

B_{1} H_{1}

— высоты.
Доказать:

\frac{B _{1} H _{1}}{B H} = k

.

1

∠ A_{1} = ∠ A

соответственные углы подобных треугольников

2

∠ A_{1} H_{1} B_{1} = ∠ A H B = 9 0^{\circ}

B H

,

B_{1} H_{1}

— высоты

3

△ A_{1} B_{1} H_{1} \sim △ A B H

I признак: два угла

4

\frac{B _{1} H _{1}}{B H} = \frac{A _{1} B _{1}}{A B} = k

сходственные стороны

3 мин · теория
Формулировка: отношение сходственных высот (медиан, биссектрис) подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Медианы — устно, вопрос классу: BM и B₁M₁ — медианы. △A₁B₁M₁ ∼ △ABM по II признаку: A₁B₁ : AB = A₁M₁ : AM = k (A₁M₁ = A₁C₁ : 2, AM = AC : 2), ∠A₁ = ∠A ⇒ B₁M₁ : BM = k. Биссектрисы — по I признаку (∠A₁ = ∠A и половины равных углов B₁ и B).
Если угол A тупой, основание высоты H лежит на продолжении AC — доказательство то же (угол ∠BAH смежный с ∠A, они равны у обоих треугольников).

R02.1

Образец → сам · отношение высот

Квадрат, вписанный в треугольник

Образец: в треугольнике $A BC$ сторона $A C = 12$ , высота $B H = 8$ . Квадрат стоит на $A C$ , две вершины — на $A B$ и $BC$ . Найдите его сторону $x$ .

верхняя сторона $∥ A C$ ⇒ малый треугольник $\sim △ A BC$ лемма

$\frac{x}{12} = \frac{8 - x}{8}$ стороны и высоты в отношении $k$

$8 x = 96 - 12 x$ , $x = 4, 8$

Сам

$A C = 10$ , $B H = 15$ . Найдите сторону вписанного так же квадрата. $6$
$A C = 18$ , $B H = 6$ . Прямоугольник стоит на $A C$ , его сторона на $A C$ вдвое больше другой. Найдите стороны. $3, 6$ и $7, 2$
$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , медианы $A M = 9$ , $A_{1} M_{1} = 6$ , $BC = 15$ . Найдите $B_{1} C_{1}$ . $10$

R02.1

Схема · где искать подобие

Три конфигурации и алгоритм

Отсечение

$MN ∥ A C$ ⇒ $△ MBN \sim △ A BC$

«Бабочка»

$BC ∥ A D$ ⇒ $△ BOC \sim △ D O A$ , $k = \frac{BC}{A D}$

Общий угол

$∠ A B D = ∠ C$ ⇒ $△ A B D \sim △ A CB$

1 найди пару треугольников → 2 докажи подобие (признак) → 3 соответствие по равным углам → 4 пропорция

3 мин · теория
Отсечение: соответственные углы при MN ∥ AC и общий угол B. «Бабочка»: ∠BOC = ∠DOA (вертикальные), ∠OBC = ∠ODA (накрест лежащие при BC ∥ AD, секущая BD) — отмечены на чертеже одинаковыми дугами. Общий угол: ∠A общий и ∠ABD = ∠C.
Шаг 3 алгоритма — главный: буквы записываем так, чтобы равные углы стояли на одинаковых местах (△BOC ∼ △DOA, а не △BOC ∼ △AOD: B ↔ D, потому что ∠OBC = ∠ODA).
Вопрос: в «бабочке» какие ещё треугольники подобны? (△ABC и △ADC — нет; подобны только △BOC и △DOA; △AOB и △COD равновелики — тема R03.)

R02.1

Образец → сам · «бабочка» в трапеции

Диагонали трапеции делятся в отношении оснований

Образец: $A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$ , $BC = 4$ , $A D = 10$ , $A C = 21$ . Найдите $A O$ и $OC$ .

$△ BOC \sim △ D O A$ вертикальные и накрест лежащие

$\frac{OC}{O A} = \frac{BC}{D A} = \frac{2}{5}$ $C \leftrightarrow A$

$OC = 21 \cdot \frac{2}{7} = 6$ , $A O = 15$

Сам

$BC = 3$ , $A D = 7$ , $B D = 20$ . Найдите $BO$ и $O D$ . $6$ и $14$
$A O = 12$ , $OC = 4$ , $A D = 15$ . Найдите $BC$ . $5$
$BC : A D = 2 : 3$ , $P_{BOC} = 14$ . Найдите $P_{A O D}$ . $21$

R02.1

Утверждение · доказательство

Общий угол: $A B^{2} = A D \cdot A C$

Дано:

D \in A C

,

∠ A B D = ∠ C

.
Доказать:

△ A B D \sim △ A CB

,

A B^{2} = A D \cdot A C

.

1

∠ A

— общийу

△ A B D

и

△ A CB

2

△ A B D \sim △ A CB

I признак;

A \leftrightarrow A

,

B \leftrightarrow C

,

D \leftrightarrow B

3

\frac{A B}{A C} = \frac{A D}{A B} = \frac{B D}{CB}

сходственные стороны — по порядку букв

4

A B^{2} = A D \cdot A C

основное свойство пропорции

R02.1

Образец → сам · общий угол и доказательство

Сначала соответствие, потом пропорция

Образец: $D \in A C$ , $∠ A B D = ∠ C$ , $A D = 4$ , $D C = 5$ , $B D = 4, 8$ . Найдите $A B$ и $BC$ .

$△ A B D \sim △ A CB$ $∠ A$ общий, $∠ A B D = ∠ C$

$A B^{2} = 4 \cdot 9 = 36$ , $A B = 6$ $k = \frac{A B}{A C} = \frac{2}{3}$

$BC = \frac{B D}{k} = \frac{4 , 8 \cdot 3}{2} = 7, 2$

Сам

$∠ A B D = ∠ C$ , $A D = 2$ , $D C = 6$ . Найдите $A B$ . $4$
$∠ A B D = ∠ C$ , $A B = 10$ , $A C = 25$ . Найдите $A D$ и $D C$ . $4$ и $21$
$∠ A B D = ∠ C$ . Докажите: $\frac{B D}{BC} = \frac{A B}{A C}$ . $△ A B D \sim △ A CB$ , $D \leftrightarrow B$ , $B \leftrightarrow C$

R02.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$△ A BC \sim △ K MN$ ⇒ $A B : K N = BC : K M$	соответствие задаёт порядок букв: $A \leftrightarrow K$ , $B \leftrightarrow M$ , $C \leftrightarrow N$	$A B : K M = BC : MN = A C : K N$
$k = 2$ ⇒ периметр больше в $4$ раза	каждая сторона умножается на $k$ , сумма — тоже	$P_{1} : P = k = 2$
$MN ∥ A C$ ⇒ $MN : A C = BM : M A$	$M A$ — не сторона $△ A BC$ ; сходственна $BM$ сторона $B A$	$MN : A C = BM : B A$

R02.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Трапеция, $BC = 4$ , $A D = 12$ , $A C = 20$ . Найдите $A O$ .

$A O : OC = 4 : 12$

$A O = 20 \cdot \frac{1}{4} = 5$

$A O : OC = 12 : 4$

$A O = 20 \cdot \frac{3}{4} = 15$

б) $D \in A C$ , $∠ A B D = ∠ C$ , $A D = 4$ , $A C = 9$ . Найдите $A B$ .

$\frac{A B}{A C} = \frac{A D}{D C}$

$A B = 9 \cdot \frac{4}{5} = 7, 2$

$△ A B D \sim △ A CB$

$\frac{A B}{A C} = \frac{A D}{A B}$

$A B^{2} = 36$ , $A B = 6$

в) $△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $A B = 6$ , $A_{1} B_{1} = 9$ , $P_{A BC} = 20$ . Найдите $P_{A_{1} B_{1} C_{1}}$ .

$k = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

$P_{A_{1} B_{1} C_{1}} = 20 \cdot \frac{2}{3} = 13 \frac{1}{3}$

$P_{A_{1} B_{1} C_{1}} = 20 \cdot \frac{9}{6} = 30$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) △BOC ∼ △DOA: OC : OA = BC : DA = 1 : 3 — меньший отрезок у меньшего основания. AO = 20 · 3/4 = 15, OC = 5.
б) DC — не сторона ни одного из подобных треугольников; соответствие A ↔ A, B ↔ C, D ↔ B даёт AB : AC = AD : AB, AB² = 36, AB = 6.
в) Коэффициент посчитан верно (как отношение ABC к A₁B₁C₁), но применён не в ту сторону: больший треугольник A₁B₁C₁ имеет больший периметр. Проверка здравым смыслом: A₁B₁ > AB ⇒ P₁ > P.

R02.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $△ A BC \sim △ D EF$ , $A B = 4$ , $D E = 10$ , $BC = 6$ . Найдите $EF$ . $15$
базаСтороны $3$ , $5$ , $7$ ; наибольшая сторона подобного $21$ . Найдите наименьшую. $9$
базаПериметры подобных $15$ и $25$ , сторона большего $10$ . Сходственная сторона меньшего? $6$

база $k = 3$ , медиана меньшего $4$ . Сходственная медиана большего? $12$
база $MN ∥ A C$ , $BM = 2$ , $M A = 3$ , $A C = 10$ . Найдите $MN$ . $4$
базаТрапеция, $BC = 5$ , $A D = 8$ , $BO = 10$ . Найдите $O D$ . $16$

R02.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Стороны треугольника $8$ , $10$ , $14$ . Найдите наибольшую сторону подобного треугольника с периметром $48$ . $21$
повыш. $A B = 8$ , $A C = 16$ , $D \in A C$ , $∠ A B D = ∠ C$ . Найдите $A D$ и $D C$ . $4$ и $12$
повыш.В треугольник с основанием $30$ и высотой $10$ вписан квадрат (сторона на основании). Найдите его сторону. $7, 5$
из жизниСтолб высотой $6$ м отбрасывает тень $4$ м, а человек в то же время — тень $1, 2$ м. Найдите рост человека. $1, 8$ м

R02.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15Прямая, параллельная стороне $A C$ треугольника $A BC$ , пересекает стороны $A B$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ ; $A B = 16$ , $A C = 20$ , $MN = 15$ . Найдите $A M$ . $4$
ОГЭ 15Основания трапеции равны $8$ и $24$ , одна из диагоналей равна $16$ . Найдите больший из отрезков, на которые её делит другая диагональ. $12$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны.
Отношение периметров подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Любые два равнобедренных треугольника подобны.

Ответ: 1

R02.1 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Прямая, параллельная основаниям трапеции $A BC D$ , проходит через точку $O$ пересечения диагоналей и пересекает $A B$ и $C D$ в точках $E$ и $F$ . Найдите $EF$ , если $A D = 30$ , $BC = 20$ .

$\frac{A O}{OC} = \frac{30}{20}$ , $\frac{A O}{A C} = \frac{3}{5}$ «бабочка»

$EO = \frac{3}{5} BC = 12$ $△ A EO \sim △ A BC$

$OF = 12$ , $EF = 24$

ОГЭ 24 $D \in A C$ , $A B^{2} = A D \cdot A C$ . Докажите, что $∠ A B D = ∠ C$ .

$\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A B}$ , $∠ A$ — общий

$△ A B D \sim △ A CB$ (II) ⇒ $∠ A B D = ∠ A CB$

2 мин · практика
23) △AOD ∼ △COB: AO : OC = AD : BC = 3 : 2 ⇒ AO : AC = 3 : 5. EO ∥ BC ⇒ △AEO ∼ △ABC: EO = BC · 3/5 = 12. Аналогично DO : DB = 3 : 5 и △DFO ∼ △DCB: OF = BC · 3/5 = 12. EF = 24. Ответ: 24. (Общая формула для сильных: EF = 2ab : (a + b) = 2 · 30 · 20 : 50 = 24.)
24) Из AB² = AD · AC: AB : AD = AC : AB, т. е. две стороны △ABD пропорциональны двум сторонам △ACB (AB ↔ AC, AD ↔ AB), угол A между ними общий ⇒ подобны по II признаку; соответствие A ↔ A, B ↔ C, D ↔ B ⇒ ∠ABD = ∠ACB. Это утверждение, обратное сл. 11.
На уроке — устное обсуждение плана; полная запись 24 — в ДЗ по желанию.

R02.1

Самостоятельная работа · 3,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Стороны $4$ , $6$ , $9$ ; наибольшая сторона подобного $27$ . Найдите наименьшую. $12$
Трапеция, $BC = 6$ , $A D = 14$ , $A C = 30$ . Найдите $A O$ . $21$
$∠ A B D = ∠ C$ , $A D = 3$ , $D C = 9$ . Найдите $A B$ . $6$
Квадрат вписан в треугольник с основанием $12$ и высотой $6$ . Найдите его сторону. $4$

Вариант 2

Стороны $5$ , $8$ , $10$ ; наименьшая сторона подобного $15$ . Найдите наибольшую. $30$
Трапеция, $BC = 4$ , $A D = 12$ , $B D = 24$ . Найдите $O D$ . $18$
$∠ A B D = ∠ C$ , $A D = 4$ , $D C = 12$ . Найдите $A B$ . $8$
Квадрат вписан в треугольник с основанием $15$ и высотой $10$ . Найдите его сторону. $6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по записи $△ A BC \sim △ K MN$ найти сходственные стороны?
Во сколько раз отличаются периметры и высоты?
Назовите три конфигурации подобия.

Домашнее задание

Стороны $6$ , $9$ , $12$ ; периметр подобного $18$ . Найдите его стороны.
Трапеция, $BC = 6$ , $A D = 9$ , $B D = 25$ . Найдите $BO$ и $O D$ .
* Докажите: в трапеции $A O \cdot OB = CO \cdot O D$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_podobnye_treugolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-031 · Подобие треугольников, коэффициент подобия

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R02 «Подобие», 16 ч · урок 9/16 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R02.1 «Подобие треугольников, коэффициент подобия» → 2, 4–20 · повторение R02.1–R02.2 → 3
Результаты	ПР-5 (понятия подобия, коэффициента подобия, соответственных элементов; признаки подобия в задачах) → 2–20
Вне урока	практикум по признакам — GEOM8U-032; практические задачи — GEOM8U-033; подобные фигуры — R02.4; площади подобных фигур — R03; пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике — R04
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Подобие треугольников, коэффициент подобия

Сегодня вы научитесь

Находить сходственные стороны

Считать через k

Видеть подобие

Решать задачи ОГЭ

Коэффициент и соответствие — в уме

Подобные треугольники и коэффициент k

Наибольшая — к наибольшей

Образец: стороны треугольника 5, 7 и 9. Наибольшая сторона подобного ему треугольника равна 27. Найдите остальные.

Сам

Периметры относятся как k

Образец: △ABC∼△A1​B1​C1​, AB=6, A1​B1​=9, сумма периметров равна 50. Найдите периметры.

Сам

Высоты и медианы — тоже в k раз

Квадрат, вписанный в треугольник

Образец: в треугольнике ABC сторона AC=12, высота BH=8. Квадрат стоит на AC, две вершины — на AB и BC. Найдите его сторону x.

Сам

Три конфигурации и алгоритм

Отсечение

«Бабочка»

Общий угол

Диагонали трапеции делятся в отношении оснований

Образец: ABCD — трапеция, BC∥AD, BC=4, AD=10, AC=21. Найдите AO и OC.

Сам

Общий угол: AB2=AD⋅AC

Сначала соответствие, потом пропорция

Образец: D∈AC, ∠ABD=∠C, AD=4, DC=5, BD=4,8. Найдите AB и BC.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Трапеция, BC=4, AD=12, AC=20. Найдите AO.

б) D∈AC, ∠ABD=∠C, AD=4, AC=9. Найдите AB.

в) △ABC∼△A1​B1​C1​, AB=6, A1​B1​=9, PABC​=20. Найдите PA1​B1​C1​​.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-031 · Подобие треугольников, коэффициент подобия

Считать через $k$

Подобные треугольники и коэффициент $k$

Образец: стороны треугольника $5$ , $7$ и $9$ . Наибольшая сторона подобного ему треугольника равна $27$ . Найдите остальные.

Периметры относятся как $k$

Образец: $△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $A B = 6$ , $A_{1} B_{1} = 9$ , сумма периметров равна $50$ . Найдите периметры.

Высоты и медианы — тоже в $k$ раз

Образец: в треугольнике $A BC$ сторона $A C = 12$ , высота $B H = 8$ . Квадрат стоит на $A C$ , две вершины — на $A B$ и $BC$ . Найдите его сторону $x$ .

Образец: $A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$ , $BC = 4$ , $A D = 10$ , $A C = 21$ . Найдите $A O$ и $OC$ .

Общий угол: $A B^{2} = A D \cdot A C$

Образец: $D \in A C$ , $∠ A B D = ∠ C$ , $A D = 4$ , $D C = 5$ , $B D = 4, 8$ . Найдите $A B$ и $BC$ .

а) Трапеция, $BC = 4$ , $A D = 12$ , $A C = 20$ . Найдите $A O$ .

б) $D \in A C$ , $∠ A B D = ∠ C$ , $A D = 4$ , $A C = 9$ . Найдите $A B$ .

в) $△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $A B = 6$ , $A_{1} B_{1} = 9$ , $P_{A BC} = 20$ . Найдите $P_{A_{1} B_{1} C_{1}}$ .