Подобие · урок 8 из 16 · практикум

Преобразование подобия и подобные фигуры

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM8U-030

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 11,5 мин · практика 33,5 мин (74 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Подобие» (16 ч), урок 8/16, единица R02.4. Тип урока — П (практикум): теория только короткой сводкой.
Теория (11,5): титул 0,5 · цели 0,5 · гомотетия 3 · свойство гомотетии 2,5 · преобразование подобия 2,5 · сводка 2,5.
Практика (33,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2 · повышенный 2,5 · ОГЭ 15/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 6 (задача из жизни) и ОГЭ 24 — в ДЗ; сводку и образцы 1–5 не сокращать.

R02.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить гомотетичные фигуры

по центру и коэффициенту, в том числе на клетчатой бумаге (ПР-5)

Находить центр и коэффициент

по фигуре и её образу

Распознавать подобные фигуры

и находить их элементы и периметры через $k$ (ПР-5)

Применять подобие

в доказательствах, задачах ОГЭ 23–24 и в жизни (ПР-6)

0,5 мин · теория
ПР-5: «Владеть понятиями подобия треугольников, коэффициента подобия, соответственных элементов подобных треугольников. Иметь представление о преобразовании подобия и о подобных фигурах…». ПР-6: «Применять подобие в практических задачах».
Вид деятельности ФРП R02: «Знакомиться с понятиями преобразования подобия и подобных фигур». Урок — практикум к GEOM8U-026: определения повторяем сводкой, основное время — задачи.

повторение: R02.1–R02.3

Разминка · устно

Подобные треугольники

$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ . Найдите $k$ . $k = 3$
$BC = 5$ . Найдите $B_{1} C_{1}$ . $15$
$P_{A BC} = 14$ . Найдите $P_{A_{1} B_{1} C_{1}}$ . $42$
$∠ A = 5 0^{\circ}$ . Чему равен $∠ A_{1}$ ? $5 0^{\circ}$
Масштаб $1 : 50000$ , на карте $3$ см. Сколько на местности? $1, 5$ км
Столб $2$ м даёт тень $3$ м, тень дерева $12$ м. Высота дерева? $8$ м

R02.4

Сводка · гомотетия

Растянуть фигуру от точки

Гомотетия с центром

O

и коэффициентом

k > 0

переводит каждую точку

X

в точку

X_{1}

луча

OX

, для которой

O X_{1} = k \cdot OX

$k > 1$ увеличение

$0 < k < 1$ уменьшение

$k = 1$ фигура на месте

На чертеже $k = 2$ : $O A_{1} = 2 O A$ , $O B_{1} = 2 OB$ , $O C_{1} = 2 OC$ .

3 мин · теория
Повторить по GEOM8U-026: центр O переходит сам в себя; образ точки лежит на том же луче, что и точка (k \gt 0).
Вопрос классу: где окажется образ точки при k = 1/2? (Середина отрезка OX.) Что будет при k = 1? (Каждая точка на месте.)
Ошибка: откладывать OX₁ = OX + k (прибавлять, а не умножать) или откладывать образ от точки X, а не от центра O.
Для сильных (вне ФРП 8 класса): при k \lt 0 образ лежит на продолжении луча за центр; при k = −1 — центральная симметрия (R01).

R02.4

Образец → сам · построение на клетчатой бумаге

Постройте образ треугольника

Образец: $O (0; 0)$ , $A (2; 1)$ , $B (4; 1)$ , $C (2; 2)$ , $k = 2$ . Постройте $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ .

от $O$ до $A$ : $2$ вправо, $1$ вверх ⇒ $A_{1} (4; 2)$ $O A_{1} = 2 O A$

так же $B_{1} (8; 2)$ , $C_{1} (4; 4)$ координаты × 2

Сам: в тетради на клетках

$O (0; 0)$ , $A (2; 4)$ , $k = \frac{1}{2}$ . Найдите $A_{1}$ . $A_{1} (1; 2)$
$O (1; 1)$ , $A (3; 2)$ , $k = 3$ . Найдите $A_{1}$ . $A_{1} (7; 4)$
$O (0; 0)$ , $△ A BC$ : $A (4; 2)$ , $B (6; 2)$ , $C (4; 6)$ , $k = \frac{1}{2}$ . Постройте образ. $A_{1} (2; 1)$ , $B_{1} (3; 1)$ , $C_{1} (2; 3)$

2,5 мин · практика
Образец: от центра O к точке A — сдвиг (2; 1); для k = 2 откладываем от O сдвиг (4; 2), A₁(4; 2); B₁(8; 2), C₁(4; 4). Последний щелчок по чертежу — лучи и образ. Обратить внимание: A₁B₁ ∥ AB и A₁B₁ = 4 = 2 · AB (AB = 2).
1) Сдвиг (2; 4) · 1/2 = (1; 2) ⇒ A₁(1; 2) — середина OA.
2) Центр не в начале координат! Сдвиг от O: (3 − 1; 2 − 1) = (2; 1); · 3 = (6; 3); A₁ = (1 + 6; 1 + 3) = (7; 4).
3) Все координаты пополам: A₁(2; 1), B₁(3; 1), C₁(2; 3). Проверка: A₁B₁ = 1 = AB/2, A₁C₁ = 2 = AC/2.
Типичная ошибка во 2): умножить координаты точки A, а не сдвиг от центра, — получится (9; 6).

R02.4

Образец → сам · обратная задача: центр и коэффициент

Где центр гомотетии?

Образец: $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ — образ $△ A BC$ при гомотетии. Найдите центр $O$ и $k$ .

прямые $A A_{1}$ и $B B_{1}$ пересекаются в $O$ центр лежит на каждой прямой $X X_{1}$

$k = \frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{4}{2} = 2$ проверка: $C C_{1}$ тоже через $O$

Сам

При гомотетии $A B = 3$ перешёл в $A_{1} B_{1} = 7, 5$ . Найдите $k$ . $k = 2, 5$
$O A = 4$ , $O A_{1} = 6$ . Найдите $k$ и $O B_{1}$ , если $OB = 5$ . $k = 1, 5$ ; $O B_{1} = 7, 5$
$A (1; 1) \to A_{1} (3; 5)$ , $B (2; 1) \to B_{1} (5; 5)$ . Найдите центр и $k$ . $O (- 1; - 3)$ , $k = 2$

R02.4

Сводка · свойство гомотетии с доказательством

Отрезок переходит в параллельный отрезок

Дано: гомотетия

(O, k)

:

A \to A_{1}

,

B \to B_{1}

.
Доказать:

A_{1} B_{1} = k \cdot A B

,

A_{1} B_{1} ∥ A B

.

1

\frac{O A _{1}}{O A} = \frac{O B _{1}}{OB} = k

,

∠ O

— общийопределение гомотетии

2

△ O A_{1} B_{1}

\sim

△ O A B

II признак подобия: две стороны пропорциональны, угол между ними равен

3

A_{1} B_{1} = k \cdot A B

,

∠ O A_{1} B_{1} = ∠ O A B

соответственные элементы подобных треугольников

4

A_{1} B_{1} ∥ A B

соответственные углы при прямых

A_{1} B_{1}

,

A B

и секущей

O A_{1}

равны

2,5 мин · теория
На каждый шаг — вопрос «почему?». Двойная дуга при A₁ появляется вместе с шагом 3.
Следствия: гомотетия переводит треугольник в подобный треугольник с коэффициентом k, сохраняет углы; все расстояния умножаются на k.
Случай, когда O лежит на прямой AB: тогда A₁B₁ = |OA₁ − OB₁| = k · |OA − OB| = k · AB, а A₁B₁ лежит на той же прямой.
Ошибка: ссылаться на I признак (по двум углам) — равенство углов при A и A₁ мы как раз доказываем.

R02.4

Сводка · преобразование подобия и подобные фигуры

Все расстояния — в $k$ раз

Преобразование подобия с коэффициентом

k > 0

: для любых точек

X

,

Y

и их образов

X_{1} Y_{1} = k \cdot X Y

Подобные фигуры

F \sim F^{'}

: одна переходит в другую преобразованием подобия.

Подобие = гомотетия + движение; движение — подобие с $k = 1$ .

R02.4

Сводка · что сохраняет подобие

Фигура → свойства → примеры

Не меняется

углы
параллельность прямых
отношение отрезков
форма: квадрат → квадрат

Умножается на $k$

длины отрезков
периметр: $P_{1} = k P$
радиус окружности
высоты, медианы, диагонали

Подобны всегда

любые два квадрата
любые две окружности
два равносторонних треугольника

Не всегда

прямоугольники, ромбы
трапеции

2,5 мин · теория
Многоугольники подобны, если углы соответственно равны И стороны пропорциональны — одного условия мало: у прямоугольников 2 × 3 и 2 × 6 углы равны, а стороны не пропорциональны; у ромбов со стороной 1 и углами 60° и 90° стороны пропорциональны, а углы разные.
Площадь при подобии меняется в k² раз — докажем в теме «Площадь» (R03); на этом уроке не используем.
Вопрос классу: подобны ли любые два равнобедренных прямоугольных треугольника? (Да: углы 45°, 45°, 90°.)

R02.4

Образец → сам · элементы подобных многоугольников

Найдите стороны и периметр

Образец: $A BC D \sim A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , $A_{1} B_{1} = 10$ . Найдите остальные стороны и $P_{1}$ .

$k = \frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{10}{4} = 2, 5$ соответственные стороны

$B_{1} C_{1} = 15$ , $C_{1} D_{1} = 12, 5$ , $D_{1} A_{1} = 7, 5$

$P_{1} = 2, 5 \cdot 18 = 45$ $P_{1} = k P$

Сам

Пятиугольники подобны, $P = 20$ , $P_{1} = 30$ , сторона $a = 6$ . Найдите $a_{1}$ . $9$
Подобны ли прямоугольники $3 \times 5$ и $6 \times 8$ ? нет: $\frac{6}{3} \neq = \frac{8}{5}$
Прямоугольник $4 \times 6$ подобен прямоугольнику с меньшей стороной $10$ . Найдите большую. $15$

R02.4

Образец → сам · гомотетия в трапеции

Продолжения боковых сторон

Образец: $A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$ , $A B \cap C D = P$ ; $PB = 2$ , $BC = 4$ , $A D = 10$ . Найдите $A B$ .

$△ P A D$ — образ $△ PBC$ при гомотетии с центром $P$ $BC ∥ A D$

$k = \frac{A D}{BC} = 2, 5$ , $P A = 2, 5 \cdot 2 = 5$ , $A B = 3$

Сам (обозначения те же)

$BC = 3$ , $A D = 7$ , $A B = 8$ . Найдите $PB$ . $6$
$PC = 5$ , $C D = 10$ , $BC = 4$ . Найдите $A D$ . $12$
$PB : B A = 2 : 3$ , $A D = 15$ . Найдите $BC$ . $6$

R02.4

Образец → сам · задача на доказательство

Три точки на одной прямой

Образец: $A B \cap C D = P$ , $M$ и $N$ — середины оснований $BC$ и $A D$ трапеции. Докажите: $P$ , $M$ , $N$ на одной прямой.

гомотетия $(P, k = \frac{A D}{BC})$ : $B \to A$ , $C \to D$ как в образце 4

$M \to M_{1} \in A D$ , $A M_{1} = k BM = \frac{1}{2} A D$ ⇒ $M_{1} = N$

$N$ лежит на луче $PM$ образ точки — на луче от центра

Сам: план доказательства

Докажите: любые два квадрата подобны. движением совместить вершины, затем гомотетия с $k = \frac{b}{a}$
Докажите: любые две окружности подобны. перенос центра + гомотетия, $k = \frac{R _{2}}{R _{1}}$
Докажите: треугольник из средних линий подобен данному. стороны вдвое меньше ⇒ III признак, $k = \frac{1}{2}$

2,5 мин · практика
Образец подробно: гомотетия с центром P и k = PA/PB = AD/BC переводит отрезок BC в отрезок AD (B → A, C → D). Середина M отрезка BC переходит в точку M₁ отрезка AD с AM₁ = k · BM = k · BC/2 = AD/2, т. е. в середину N. Образ точки лежит на луче из центра через эту точку ⇒ N ∈ PM.
1) Квадраты со сторонами a и b: движением совмещаем вершину A и стороны-лучи; гомотетия с центром A и k = b/a переводит первый квадрат во второй.
2) Окружности (O₁; R₁) и (O₂; R₂): перенос O₁ → O₂, затем гомотетия с центром O₂, k = R₂/R₁.
3) По теореме о средней линии каждая сторона треугольника из средних линий равна половине соответствующей стороны ⇒ подобие по трём сторонам, k = 1/2.
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования.

R02.4 · R02.3

Образец → сам · задача из жизни

Тень от лампы — это гомотетия

Образец: картонка высотой $20$ см — в $50$ см от лампы, стена (параллельна картонке) — в $2$ м. Высота тени?

центр гомотетии — лампа, $k = \frac{200}{50} = 4$

тень $= 4 \cdot 20 = 80$ см

Сам

Фото $10 \times 15$ см увеличили с $k = 3$ . Размер отпечатка? $30 \times 45$ см
План $1 : 200$ , комната $2, 5 \times 3$ см. Размеры комнаты? $5 \times 6$ м
Проектор в $2$ м от экрана даёт картинку шириной $1, 2$ м. Какая ширина в $3, 5$ м? $2, 1$ м

R02.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
«Все прямоугольники подобны: все углы по $9 0^{\circ}$ »	для многоугольников равных углов мало	$2 \times 3$ и $2 \times 6$ не подобны
«Все ромбы подобны: стороны пропорциональны»	углы ромбов могут различаться	ромбы с углом $6 0^{\circ}$ и $9 0^{\circ}$ не подобны
$k = 3$ : $O A_{1} = O A + 3$	гомотетия умножает расстояние от центра	$O A_{1} = 3 \cdot O A$
$P_{1} = k^{2} P$	периметр — сумма длин, каждая умножается на $k$	$P_{1} = k P$

R02.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Гомотетия $(O, k = \frac{1}{3})$ , $O A = 12$ . Найдите $A A_{1}$ .

$O A_{1} = 3 \cdot 12 = 36$

$A A_{1} = 36 - 12 = 24$

$O A_{1} = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$ , $A A_{1} = 8$

б) $A BC D \sim A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , $A B = 6$ , $BC = 8$ , $A_{1} B_{1} = 9$ . Найдите $B_{1} C_{1}$ .

$k = \frac{9}{6} = 1, 5$

$B_{1} C_{1} = 8 + 3 = 11$

$B_{1} C_{1} = 1, 5 \cdot 8 = 12$

в) Трапеция, $A B \cap C D = P$ , $BC = 4$ , $A D = 10$ , $A B = 9$ . Найдите $PB$ .

$\frac{PB}{A B} = \frac{4}{10}$

$PB = 3, 6$

$\frac{PB}{PB + 9} = \frac{4}{10}$ ⇒ $PB = 6$

R02.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаГомотетия, $k = 4$ , $O A = 3$ . Найдите $O A_{1}$ . $12$
база $k = \frac{1}{2}$ , $A B = 14$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ . $7$
база $A B = 5$ , $A_{1} B_{1} = 15$ . Найдите $k$ . $3$

базаМногоугольники подобны, $k = 1, 5$ , $P = 24$ . Найдите $P_{1}$ . $36$
базаПодобны ли два равносторонних треугольника? да, всегда
базаПри гомотетии $∠ A = 3 7^{\circ}$ . Найдите $∠ A_{1}$ . $3 7^{\circ}$

R02.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Гомотетия $(O, k = 3)$ : $A \to A_{1}$ , $A A_{1} = 10$ . Найдите $O A$ . $5$
повыш.Подобны ли прямоугольники $6 \times 9$ и $10 \times 15$ ? Если да — найдите $k$ . да, $k = \frac{5}{3}$
повыш.В $△ A BC$ прямая $MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$ , $BM : M A = 2 : 3$ , $A C = 15$ . Найдите $MN$ . $6$
из жизниНа фото человек ростом $1, 8$ м — $1, 2$ см, дерево рядом — $4$ см. Высота дерева? $6$ м

R02.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15Прямая, параллельная стороне $A C$ треугольника $A BC$ , пересекает $A B$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ ; $A B = 18$ , $A C = 24$ , $MN = 16$ . Найдите $A M$ . $6$
ОГЭ 15То же условие: $A C = 56$ , $BN : NC = 3 : 4$ . Найдите $MN$ . $24$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Любые два квадрата подобны.
Любые два прямоугольника подобны.
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны.

Ответ: 13

R02.4 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Продолжения боковых сторон $A B$ и $C D$ трапеции $A BC D$ пересекаются в точке $K$ . Найдите $A B$ , если $K B = 6$ , $BC = 8$ , $A D = 20$ .

$△ K BC \sim △ K A D$ , $k = \frac{20}{8} = 2, 5$ (по двум углам)

$K A = 15$ , $A B = 15 - 6 = 9$

ОГЭ 24 Диагонали трапеции $A BC D$ с основаниями $BC$ и $A D$ пересекаются в точке $O$ . Докажите, что $△ BOC \sim △ D O A$ .

$∠ BOC = ∠ D O A$ (вертик.), $∠ OBC = ∠ O D A$ (накрест, $BC ∥ A D$ )

⇒ подобны по двум углам

2 мин · практика
23) ∠K — общий, ∠KBC = ∠KAD (соответственные при BC ∥ AD, секущая KA) ⇒ △KBC ∼ △KAD, k = AD : BC = 2,5; KA = 2,5 · 6 = 15; AB = KA − KB = 9. Ответ: 9.
24) Полное решение на 2 балла: равенство вертикальных углов при O и накрест лежащих углов OBC и ODA (BC ∥ AD, секущая BD) ⇒ I признак подобия. Следствие: BO : OD = CO : OA = BC : AD.
Для сильных: △DOA — образ △BOC при гомотетии с центром O и отрицательным коэффициентом k = −AD/BC (образ по другую сторону от центра) — вне программы 8 класса.

R02.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Гомотетия, $k = 3$ , $O A = 5$ . Найдите $O A_{1}$ . $15$
$A BC D \sim A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ : $A B = 6$ , $A_{1} B_{1} = 15$ , $BC = 8$ . Найдите $B_{1} C_{1}$ . $20$
Подобны ли прямоугольники $4 \times 10$ и $6 \times 15$ ? да, $k = 1, 5$
Трапеция, $A B \cap C D = P$ : $BC = 5$ , $A D = 15$ , $PB = 4$ . Найдите $A B$ . $8$

Вариант 2

Гомотетия, $k = \frac{1}{4}$ , $O A = 20$ . Найдите $O A_{1}$ . $5$
$A BC D \sim A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ : $A B = 10$ , $A_{1} B_{1} = 4$ , $BC = 15$ . Найдите $B_{1} C_{1}$ . $6$
Подобны ли прямоугольники $3 \times 5$ и $6 \times 9$ ? нет: $2 \neq = 1, 8$
Трапеция, $A B \cap C D = P$ : $BC = 6$ , $A D = 10$ , $PB = 9$ . Найдите $A B$ . $6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как построить образ точки при гомотетии?
Что меняется в $k$ раз, а что сохраняется?
Какие фигуры подобны всегда?

Домашнее задание

Постройте образ $△ A BC$ : $A (2; 2)$ , $B (6; 2)$ , $C (2; 4)$ , центр $O (0; 0)$ , $k = \frac{1}{2}$ .
Трапеция, $A B \cap C D = P$ : $BC = 6$ , $A D = 14$ , $A B = 12$ . Найдите $PB$ .
* Докажите: любые два равнобедренных прямоугольных треугольника подобны.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_podobnye_treugolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-030 · Практикум: Введение понятия преобразования подобия и подобных фигур

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R02 «Подобие», 16 ч · урок 8/16 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R02.4 «Введение понятия преобразования подобия и подобных фигур» → 2, 4–21 · повторение R02.1–R02.3 → 3, 13, 18, 19
Результаты	ПР-5 (представление о преобразовании подобия и подобных фигурах, коэффициент подобия) → 4–12, 14–20 · ПР-6 (подобие в практических задачах) → 13, 17
Вне урока	отношение площадей подобных фигур — R03 (ПР-8); гомотетия с отрицательным коэффициентом — только в заметках (сл. 4, 19); признаки подобия — GEOM8U-032
Время	теория 11,5 мин · практика 33,5 мин (74 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Преобразование подобия и подобные фигуры

Сегодня вы научитесь

Строить гомотетичные фигуры

Находить центр и коэффициент

Распознавать подобные фигуры

Применять подобие

Подобные треугольники

Растянуть фигуру от точки

Постройте образ треугольника

Образец: O(0;0), A(2;1), B(4;1), C(2;2), k=2. Постройте △A1​B1​C1​.

Сам: в тетради на клетках

Где центр гомотетии?

Образец: △A1​B1​C1​ — образ △ABC при гомотетии. Найдите центр O и k.

Сам

Отрезок переходит в параллельный отрезок

Все расстояния — в k раз

Фигура → свойства → примеры

Не меняется

Умножается на k

Подобны всегда

Не всегда

Найдите стороны и периметр

Образец: ABCD∼A1​B1​C1​D1​, A1​B1​=10. Найдите остальные стороны и P1​.

Сам

Продолжения боковых сторон

Образец: ABCD — трапеция, BC∥AD, AB∩CD=P; PB=2, BC=4, AD=10. Найдите AB.

Сам (обозначения те же)

Три точки на одной прямой

Образец: AB∩CD=P, M и N — середины оснований BC и AD трапеции. Докажите: P, M, N на одной прямой.

Сам: план доказательства

Тень от лампы — это гомотетия

Образец: картонка высотой 20 см — в 50 см от лампы, стена (параллельна картонке) — в 2 м. Высота тени?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Гомотетия (O, k=31​), OA=12. Найдите AA1​.

б) ABCD∼A1​B1​C1​D1​, AB=6, BC=8, A1​B1​=9. Найдите B1​C1​.

в) Трапеция, AB∩CD=P, BC=4, AD=10, AB=9. Найдите PB.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-030 · Практикум: Введение понятия преобразования подобия и подобных фигур

Образец: $O (0; 0)$ , $A (2; 1)$ , $B (4; 1)$ , $C (2; 2)$ , $k = 2$ . Постройте $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ .

Образец: $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ — образ $△ A BC$ при гомотетии. Найдите центр $O$ и $k$ .

Все расстояния — в $k$ раз

Умножается на $k$

Образец: $A BC D \sim A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , $A_{1} B_{1} = 10$ . Найдите остальные стороны и $P_{1}$ .

Образец: $A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$ , $A B \cap C D = P$ ; $PB = 2$ , $BC = 4$ , $A D = 10$ . Найдите $A B$ .

Образец: $A B \cap C D = P$ , $M$ и $N$ — середины оснований $BC$ и $A D$ трапеции. Докажите: $P$ , $M$ , $N$ на одной прямой.

Образец: картонка высотой $20$ см — в $50$ см от лампы, стена (параллельна картонке) — в $2$ м. Высота тени?

а) Гомотетия $(O, k = \frac{1}{3})$ , $O A = 12$ . Найдите $A A_{1}$ .

б) $A BC D \sim A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , $A B = 6$ , $BC = 8$ , $A_{1} B_{1} = 9$ . Найдите $B_{1} C_{1}$ .

в) Трапеция, $A B \cap C D = P$ , $BC = 4$ , $A D = 10$ , $A B = 9$ . Найдите $PB$ .