Подобие · урок 7 из 16 · практикум

Практикум: применение подобия при решении практических задач

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM8U-029

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Подобие» (16 ч), урок 7/16, единица R02.3. Тип урока — П (практикум). Способы «тень, фонарь, зеркало, река, визир» разобраны на уроке GEOM8U-025; сегодня новые модели: рычаг, сечение лотка, две тени, вписанный квадрат, диагонали трапеции.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка 2 · приём «две тени» 2,5 · вывод «квадрат в треугольнике» 2,5 · приём «диагонали трапеции» 2,5 · схема-конспект 2.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 15/23 — 1,5 · ОГЭ 24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: задание 3 «сам» в каждом образце и ОГЭ 24 — в ДЗ; выводы (сл. 7, 9, 11) не сокращать — на них держатся образцы.
Нужны линейка, угольник, калькулятор по желанию.

R02.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Видеть подобие в устройстве

шлагбаум, камера-обскура, лоток, крыша (ПР-6)

Строить модель сами

и называть признак подобия (ПР-5, ПР-11)

Решать в два шага

высота фонаря по двум теням, квадрат в треугольнике

Доказывать

соотношения в трапеции, задачи ОГЭ 15, 23, 24

0,5 мин · теория
ПР-6: «Применять подобие в практических задачах».
ПР-5: «…Пользоваться признаками подобия треугольников при решении геометрических задач…».
ПР-11: «Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия…».
Вид деятельности ФРП R02: «Решать задачи на подобные треугольники с помощью самостоятельного построения чертежей… Применять полученные знания при решении геометрических и практических задач».

повторение: GEOM8U-028

Разминка · устно

Признаки подобия и пропорции

$A B ∥ C D$ . Почему $△ A OB \sim △ CO D$ ? по двум углам
$A O = 4$ , $OC = 6$ , $A B = 10$ . Найдите $C D$ . $15$
Подобны ли треугольники со сторонами $3, 4, 5$ и $6, 8, 10$ ? да, по трём сторонам, $k = 2$
Подобны ли прямоугольные треугольники с острым углом $3 5^{\circ}$ ? да, по двум углам
$k = 3$ . Чему равно отношение периметров? $3$
Решите: $\frac{x}{1 , 5} = \frac{8}{2}$ . $6$

R02.3

Сводка · четыре модели подобия

Где искать подобные треугольники

«Пирамидка»

прямая $∥$ стороне: общий угол + соответственные

\frac{BM}{B A} = \frac{MN}{A C}

«Бабочка»

основания $∥$ : вертикальные + накрест лежащие

\frac{A O}{OC} = \frac{A B}{C D}

Общий острый угол

два прямоугольных треугольника, один внутри другого

\frac{h}{H} = \frac{x}{x + d}

Отражение

угол падения = углу отражения + прямые

\frac{H}{h} = \frac{b}{a}

2 мин · теория
Сводка правил уроков GEOM8U-024 и GEOM8U-025: во всех четырёх моделях работает первый признак — по двум углам. Перед щелчком спросить: «какие углы равны и почему?» — формула открывается после ответа.
«Пирамидка» — треугольник, отсечённый прямой, параллельной стороне; «бабочка» — две пересекающиеся прямые и две параллельные; модель фонаря — общий острый угол; зеркало — равные углы падения и отражения.
В практической задаче предмет — отрезок, перпендикулярный земле, луч света или луч зрения — прямая. Сегодня к этим моделям добавим рычаг, сечение лотка, вписанный квадрат и трапецию.

R02.3

Образец → сам · «бабочка» в устройстве

Шлагбаум и камера-обскура

Образец: плечи шлагбаума $1, 2$ м и $4, 8$ м. Короткий конец опустился на $0, 5$ м. На сколько поднялся длинный?

$△ A A_{1} O \sim △ B B_{1} O$ вертикальные углы при $O$ , прямые при $A_{1}$ , $B_{1}$

$\frac{B B _{1}}{A A _{1}} = \frac{OB}{O A} = \frac{4 , 8}{1 , 2} = 4$ против равных углов

$B B_{1} = 0, 5 \cdot 4 = 2$ м длинное плечо — больший подъём

Сам

Плечи $0, 8$ м и $4$ м. Длинный конец должен подняться на $3$ м. На сколько опустить короткий? $0, 6$ м
Камера-обскура: дерево $12$ м в $30$ м от отверстия, задняя стенка — в $20$ см от отверстия. Высота изображения? $8$ см
Свет Солнца (диаметр $1, 39$ млн км, до него $150$ млн км) проходит через щель в ставне. Диаметр «зайчика» на полу в $2$ м от щели? $\approx 1, 9$ см

2,5 мин · практика
Образец разбирает учитель (шаги по щелчку), затем ученики решают 1–3 в тетради — каждое с рисунком-моделью «бабочка».
1) Обратная задача: AA₁ = 3 · 0,8 : 4 = 0,6 м.
2) Камера-обскура: лучи от верха и низа дерева пересекаются в отверстии — «бабочка», изображение перевёрнуто. h = 12 · 0,2 : 30 = 0,08 м = 8 см (единицы: 20 см = 0,2 м).
3) Углублённый: d = 2 · 1,39 : 150 ≈ 0,0185 м ≈ 1,9 см (миллионы км сокращаются). Солнечный «зайчик» от любой маленькой щели — круглый: это изображение Солнца.

R02.3

Образец → сам · модель строим сами

Лоток, канава, крыша

Образец: сечение лотка — треугольник, ширина $90$ см, глубина $60$ см. Ширина поверхности воды при глубине $40$ см?

Вода $\sim$ лоток поверхность $∥$ краю: «пирамидка»

$k = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ высоты относятся как стороны

$w = 90 \cdot \frac{2}{3} = 60$ см

Сам: сначала рисунок

Лоток: ширина $1, 2$ м, глубина $0, 8$ м. Ширина поверхности воды $0, 9$ м. Глубина воды? $0, 6$ м
Канава-трапеция: дно $1$ м, верх $3$ м, глубина $1, 5$ м. Ширина воды при глубине $0, 9$ м? $2, 2$ м
Фронтон крыши: основание $8$ м, высота $3$ м. Балка $∥$ основанию на высоте $1, 2$ м. Её длина? $4, 8$ м

2,5 мин · практика
Образец: треугольник воды отсечён прямой, параллельной краю лотка, ⇒ подобен сечению лотка (общий угол при дне, соответственные углы). В подобных треугольниках высоты относятся как сходственные стороны: k = 40 : 60.
1) Обратная задача: k = 0,9 : 1,2 = 0,75 ⇒ глубина 0,8 · 0,75 = 0,6 м.
2) Достроить трапецию до треугольника или провести через край дна прямые, параллельные стенкам: «прибавка» ширины над дном пропорциональна глубине: 2 м на 1,5 м глубины ⇒ на 0,9 м: 2 · 0,9 : 1,5 = 1,2 м; ширина 1 + 1,2 = 2,2 м. Ошибка: 3 · 0,9 : 1,5 = 1,8 м (дно забыто).
3) Над балкой — треугольник высотой 3 − 1,2 = 1,8 м: длина 8 · 1,8 : 3 = 4,8 м. Ошибка: 8 · 1,2 : 3 = 3,2 м (высота отсчитана не от вершины).

R02.3

Приём · высота фонаря по двум теням

К столбу подходить не нужно

Измерили: рост

h

, тени

x_{1}

и

x_{2}

, шаг назад

s

.
Найти: высоту фонаря

H

и расстояние

d_{1}

.

1

\frac{x}{x + d} = \frac{h}{H}

⇒

x = \frac{h}{H - h} d

общий угол при конце тени, прямые углы (урок 025)

2

x_{1} = k d_{1}

,

x_{2} = k (d_{1} + s)

, где

k = \frac{h}{H - h}

тень пропорциональна расстоянию до столба

3

x_{2} - x_{1} = k s

⇒

k = \frac{x _{2} - x _{1}}{s}

вычитаем:

d_{1}

сократилось

4

H = h + \frac{h}{k}

,

d_{1} = \frac{x _{1}}{k}

из

k = \frac{h}{H - h}

2,5 мин · теория (учитель выводит у доски, класс отвечает «почему?»)
Шаг 1 — формула с урока GEOM8U-025 (подобие розового и большого треугольников: общий угол при конце тени и прямые углы).
Шаг 2 — главное наблюдение: при одной и той же лампе и одном росте тень растёт пропорционально расстоянию до столба; коэффициент k один для обоих положений.
Шаг 3: в разности неизвестное d₁ исчезает — поэтому расстояние до столба измерять не нужно (столб может быть за забором).
Шаг 4: из k = h : (H − h) ⇒ H − h = h : k. Проверка правдоподобия: k < 1, если фонарь выше двух ростов человека.

R02.3

Образец → сам · две тени, обратная задача

Высота фонаря

Образец: тень человека ростом $1, 6$ м — $2$ м. Он отошёл от фонаря ещё на $4$ м, тень стала $3, 6$ м. Найдите $H$ и $d_{1}$ .

$k = \frac{3 , 6 - 2}{4} = 0, 4$ шаг 3

$H = 1, 6 + \frac{1 , 6}{0 , 4} = 5, 6$ м, $d_{1} = \frac{2}{0 , 4} = 5$ м

Сам

Рост $1, 5$ м, тень $1, 5$ м; после шага назад на $2$ м — тень $2, 5$ м. Найдите $H$ и $d_{1}$ . $4, 5$ м; $3$ м
Человек в $6$ м от столба, тень $2$ м. На сколько ему подойти к столбу, чтобы тень стала $1, 5$ м? на $1, 5$ м
Фонарь $4, 8$ м, человек $1, 6$ м уходит от столба со скоростью $1, 2$ м/с. С какой скоростью растёт тень? $0, 6$ м/с

R02.3

Вывод · квадрат в треугольнике

Сторона вписанного квадрата

Дано:

△ A BC

,

A C = a

, высота

B H = h

; квадрат

K L MN

,

K, N \in A C

,

L \in A B

,

M \in BC

.
Найти: сторону

x

.

1

△ L BM

\sim △ A BC

L M ∥ A C

:

∠ B

— общий, соответственные углы

2

\frac{L M}{A C} = \frac{BP}{B H}

высоты подобных треугольников относятся как сходственные стороны

3

\frac{x}{a} = \frac{h - x}{h}

⇒

x h = ah - a x

BP = B H - P H = h - x

4

x = \frac{ah}{a + h}

не зависит от положения вершины

B

2,5 мин · теория
Шаг 1: LM ∥ AC (противоположные стороны квадрата), значит розовый треугольник LBM отсечён прямой, параллельной стороне, — «пирамидка».
Шаг 2: в треугольнике LBM высота — BP (P — точка пересечения BH с LM), в ABC — BH; отношение высот равно k. Вопрос: почему BP ⟂ LM? (LM ∥ AC, BH ⟂ AC.)
Шаг 3: PH = KL = x (KLPH — прямоугольник). Шаг 4: x(a + h) = ah.
Интересно: формула та же, что у «тросов» урока 025: 1/x = 1/a + 1/h. Квадрат помещается в треугольник всегда, его сторона меньше и a, и h.

R02.3

Образец → сам · комбинированная: заготовка

Квадрат и прямоугольник из треугольника

Образец: из треугольной заготовки (основание $12$ см, высота $8$ см) вырезают квадрат, одна сторона которого на основании. Найдите сторону квадрата.

$\frac{x}{12} = \frac{8 - x}{8}$ подобие верхнего треугольника и заготовки

$8 x = 96 - 12 x$ , $x = 4, 8$ см проверка: $\frac{12 \cdot 8}{20} = 4, 8$

Сам

Основание $10$ , высота $15$ . Сторона вписанного квадрата? $6$
Основание $30$ , высота $15$ . Прямоугольник на основании, длинная сторона на основании вдвое больше короткой. Его стороны? $7, 5$ и $15$
Катеты прямоугольного треугольника $3$ и $6$ . Квадрат с вершиной в прямом угле, противоположная вершина — на гипотенузе. Сторона? $2$

R02.3

Приём · диагонали трапеции · доказательство

Отрезок через точку пересечения диагоналей

Дано:

A BC D

— трапеция,

A D = a

,

BC = b

,

MN ∥ A D

,

O \in MN

.
Доказать:

MO = ON = \frac{ab}{a + b}

.

1

△ A O D \sim △ COB

⇒

\frac{A O}{OC} = \frac{D O}{OB} = \frac{a}{b}

«бабочка»: вертикальные и накрест лежащие углы

2

△ A MO \sim △ A BC

:

MO = b \cdot \frac{A O}{A C} = \frac{ab}{a + b}

«пирамидка»:

MO ∥ BC

3

△ D ON \sim △ D BC

:

ON = b \cdot \frac{D O}{D B} = \frac{ab}{a + b}

«пирамидка»:

ON ∥ BC

4

MO = ON

,

MN = \frac{2 ab}{a + b}

R02.3

Образец → сам · задача на доказательство

Произведения отрезков диагоналей

Образец: $A BC D$ — трапеция ( $A D ∥ BC$ ), $A C \cap B D = O$ . Докажите, что $A O \cdot BO = CO \cdot D O$ .

$∠ A O D = ∠ COB$ вертикальные

$∠ O A D = ∠ OCB$ накрест, $A D ∥ BC$ , секущая $A C$

$△ A O D \sim △ COB$ ⇒ $\frac{A O}{CO} = \frac{D O}{BO}$ I признак

$A O \cdot BO = CO \cdot D O$ свойство пропорции

Сам

$A D = 12$ , $BC = 4$ . Найдите $MN$ (через $O$ , $∥$ основаниям). $6$
$A O : OC = 3 : 2$ , $BC = 6$ . Найдите $A D$ и $MN$ . $9$ ; $7, 2$
Диагонали четырёхугольника $A BC D$ пересекаются в $O$ , $A O \cdot BO = CO \cdot D O$ . Докажите, что $A D ∥ BC$ . $△ A O D \sim △ COB$ (II) ⇒ накрест равны

2,5 мин · практика
Образец: план — найти пару подобных треугольников, в которые входят все четыре отрезка; записать пропорцию сходственных сторон; перемножить «крест-накрест». AO лежит против ∠ADO, CO — против ∠CBO, а ∠ADO = ∠CBO (накрест лежащие при секущей BD).
1) MN = 2 · 12 · 4 : 16 = 6.
2) AD : BC = AO : OC = 3 : 2 ⇒ AD = 9; MN = 2 · 9 · 6 : 15 = 7,2.
3) Обратное утверждение (углублённый): AO : CO = DO : BO и ∠AOD = ∠COB (вертикальные) ⇒ △AOD ∼ △COB по второму признаку ⇒ ∠OAD = ∠OCB — накрест лежащие при прямых AD, BC и секущей AC ⇒ AD ∥ BC.

R02.3

Схема-конспект

Модель → признак → пропорция

Задача	Модель	Равные углы	Результат
Шлагбаум, камера-обскура	«бабочка»	вертикальные + прямые	$\frac{B B _{1}}{A A _{1}} = \frac{OB}{O A}$
Лоток, крыша	«пирамидка»	общий + соответственные	ширины относятся как высоты от вершины
Две тени	общий острый угол	общий + прямые	$k = \frac{x _{2} - x _{1}}{s}$ , $H = h + \frac{h}{k}$
Квадрат в треугольнике	«пирамидка»	общий + соответственные	$x = \frac{ah}{a + h}$
Диагонали трапеции	«бабочка» + 2 «пирамидки»	вертикальные + накрест	$\frac{A O}{OC} = \frac{a}{b}$ , $MN = \frac{2 ab}{a + b}$

R02.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
Фонарь: $\frac{H}{h} = \frac{d}{x}$	катет большого треугольника — от конца тени до столба	$\frac{H}{h} = \frac{x + d}{x}$
Шлагбаум: $B B_{1} = 0, 5 \cdot \frac{1 , 2}{4 , 8}$	отношение перевёрнуто: длинное плечо поднимается сильнее	$B B_{1} = 0, 5 \cdot \frac{4 , 8}{1 , 2} = 2$
Квадрат: $\frac{x}{a} = \frac{h}{h - x}$	в обеих дробях сверху должен стоять малый треугольник	$\frac{x}{a} = \frac{h - x}{h}$
Обскура: $\frac{12 \cdot 20}{30} = 8$ м	метры и сантиметры в одной пропорции	$\frac{12 \cdot 0 , 2}{30} = 0, 08$ м $= 8$ см

1,5 мин · практика (ученики объясняют «почему», учитель открывает строку)
Строка 1: с ошибкой в образце сл. 8 первое положение дало бы H = 1,6 · 5 : 2 = 4 м вместо 5,6 м.
Строка 2: ответ 0,125 м неправдоподобен — длинный конец поднимается больше короткого (шаг 5 плана — проверка).
Строка 3: отношение «малый : большой» в одной дроби и «большой : малый» в другой — не соответствие. Проверка: x должен быть меньше a и h.
Строка 4: дерево 12 м не даёт изображение 8 м в коробке 20 см — проверка правдоподобия ловит единицы.

R02.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Канава: дно $40$ см, верх $100$ см, глубина $60$ см. Ширина воды при глубине $30$ см?

$w = 100 \cdot \frac{30}{60} = 50$ см

прибавка: $60 \cdot \frac{30}{60} = 30$

$w = 40 + 30 = 70$ см

б) Трапеция: $A D = 12$ , $BC = 6$ , $A C = 15$ . Найдите $A O$ .

$\frac{A O}{OC} = \frac{BC}{A D} = \frac{1}{2}$

$A O = 5$

$\frac{A O}{OC} = \frac{A D}{BC} = 2$

$A O = 10$

в) Рост $1, 5$ м, тени $2$ м и $3, 5$ м, шаг $3$ м. Высота фонаря?

$k = \frac{3 , 5 - 2}{3} = 0, 5$

$H = \frac{1 , 5}{0 , 5} = 3$ м

$H = 1, 5 + \frac{1 , 5}{0 , 5} = 4, 5$ м

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Сечение — трапеция, а не треугольник: пропорциональна глубине только «прибавка» к ширине дна (60 см на 60 см глубины). Правильно 40 + 30 = 70 см. Проверка: при глубине 0 ученик получил бы ширину 0, а она 40 см.
б) Сходственные стороны: AO лежит в △AOD против ∠ADO, OC — в △COB против ∠CBO; AO соответствует OC, AD соответствует BC ⇒ AO : OC = AD : BC = 2 ⇒ AO = 15 · 2/3 = 10. Проверка: AO должна быть больше OC — ближе к большему основанию.
в) Первая строка верна. Во второй забыт рост: k = h : (H − h) ⇒ H − h = h : k = 3 ⇒ H = 4,5 м. Фонарь 3 м при росте 1,5 м дал бы k = 1, а не 0,5.

R02.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаПлечи шлагбаума $1, 5$ м и $6$ м, короткий конец опустился на $0, 6$ м. Подъём длинного? $2, 4$ м
базаОбскура глубиной $15$ см, дерево $9$ м в $27$ м. Высота изображения? $5$ см
базаОснование $15$ , высота $10$ . Сторона вписанного квадрата? $6$

базаТрапеция: $A D = 20$ , $BC = 5$ , $B D = 15$ . Найдите $BO$ . $3$
базаЛоток: ширина $60$ см, глубина $45$ см. Ширина воды при глубине $30$ см? $40$ см
базаФонарь $6$ м, человек $1, 5$ м, тень $2$ м. Расстояние до столба? $6$ м

R02.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Основания трапеции $10$ и $15$ . Найдите отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей. $12$
повыш.Обскура глубиной $20$ см: изображение дерева высотой $10$ м — $4$ см. Как далеко дерево? $50$ м
повыш.Рост $1, 7$ м, тень $1, 7$ м; после шага назад на $2$ м — тень $2, 7$ м. Найдите $H$ и $d_{1}$ . $5, 1$ м; $3, 4$ м
из жизниВ фотоаппарате объектив в $50$ мм от матрицы высотой $24$ мм. С какого расстояния здание высотой $30$ м целиком войдёт в кадр? от $62, 5$ м

R02.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 23

Ответ — число; вторая часть — с решением

ОГЭ 15Прямая, параллельная стороне $A C$ треугольника $A BC$ , пересекает $A B$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ ; $A B = 16$ , $A C = 20$ , $MN = 15$ . Найдите $A M$ . $4$
ОГЭ 15Человек ростом $1, 8$ м стоит в $6$ шагах от столба с фонарём, его тень — $3$ шага. На какой высоте (в м) фонарь? $5, 4$

ОГЭ 23 Прямая, параллельная основаниям трапеции $A BC D$ , пересекает $A B$ и $C D$ в точках $E$ и $F$ . $A D = 42$ , $BC = 14$ , $CF : D F = 4 : 3$ . Найдите $EF$ .

$EP = 14 \cdot \frac{3}{7} = 6$

$PF = 42 \cdot \frac{4}{7} = 24$

$EF = 30$

R02.3 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линия 24

Докажите подобие

ОГЭ 24 В остроугольном

△ A BC

проведены высоты

A A_{1}

и

B B_{1}

. Докажите, что

△ A_{1} C B_{1} \sim △ A CB

.

1

△ A A_{1} C \sim △ B B_{1} C

∠ C

— общий,

∠ A A_{1} C = ∠ B B_{1} C = 9 0^{\circ}

2

\frac{C A _{1}}{C B _{1}} = \frac{C A}{CB}

⇒

\frac{C A _{1}}{C A} = \frac{C B _{1}}{CB}

сходственные стороны; свойство пропорции

3

△ A_{1} C B_{1}

\sim △ A CB

II признак:

∠ C

— общий, стороны при нём пропорциональны

R02.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Плечи шлагбаума $1$ м и $4$ м, короткий конец опустился на $0, 5$ м. Подъём длинного? $2$ м
Основание треугольника $12$ , высота $6$ . Сторона вписанного квадрата? $4$
Трапеция: $A D = 18$ , $BC = 6$ , $A C = 16$ . Найдите $OC$ . $4$
Фонарь $5, 4$ м, человек $1, 8$ м в $4$ м от столба. Длина тени? $2$ м

Вариант 2

Плечи шлагбаума $0, 8$ м и $4$ м, короткий конец опустился на $0, 3$ м. Подъём длинного? $1, 5$ м
Основание треугольника $20$ , высота $30$ . Сторона вписанного квадрата? $12$
Трапеция: $A D = 21$ , $BC = 7$ , $B D = 20$ . Найдите $BO$ . $5$
Фонарь $4, 8$ м, человек $1, 6$ м в $6$ м от столба. Длина тени? $3$ м

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие углы равны в «бабочке»?
Как найти высоту фонаря, не подходя к столбу?
Чему равна сторона квадрата в треугольнике?

Домашнее задание

Плечи шлагбаума $1, 1$ м и $4, 4$ м, короткий опустили на $0, 6$ м. Подъём длинного?
Квадрат в треугольнике: $a = 21$ , $h = 14$ .
* Докажите, что $\frac{2 ab}{a + b} \leq \frac{a + b}{2}$ : отрезок $MN$ не длиннее средней линии.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_primenenie_podobiya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-029 · Практикум: применение подобия при решении практических задач

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R02 «Подобие», 16 ч · урок 7/16 · тип П
Единицы → слайды	R02.3 «Применение подобия при решении практических задач» → 2, 4–21 · повторение GEOM8U-028 (признаки подобия) → 3
Результаты	ПР-6 (применять подобие в практических задачах) → 5–8, 10, 16–17 · ПР-5 (признаки подобия, доказательства) → 4, 9, 11–12, 18–19 · ПР-11 (математические модели реальных задач) → 5–8, 17
Вне урока	способы «тень, зеркало, река, визир» — GEOM8U-025 (здесь только сводка, сл. 4); преобразование подобия, масштаб — GEOM8U-030; площади подобных фигур — R03
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: применение подобия при решении практических задач

Сегодня вы научитесь

Видеть подобие в устройстве

Строить модель сами

Решать в два шага

Доказывать

Признаки подобия и пропорции

Где искать подобные треугольники

«Пирамидка»

«Бабочка»

Общий острый угол

Отражение

Шлагбаум и камера-обскура

Образец: плечи шлагбаума 1,2 м и 4,8 м. Короткий конец опустился на 0,5 м. На сколько поднялся длинный?

Сам

Лоток, канава, крыша

Образец: сечение лотка — треугольник, ширина 90 см, глубина 60 см. Ширина поверхности воды при глубине 40 см?

Сам: сначала рисунок

К столбу подходить не нужно

Высота фонаря

Образец: тень человека ростом 1,6 м — 2 м. Он отошёл от фонаря ещё на 4 м, тень стала 3,6 м. Найдите H и d1​.

Сам

Сторона вписанного квадрата

Квадрат и прямоугольник из треугольника

Образец: из треугольной заготовки (основание 12 см, высота 8 см) вырезают квадрат, одна сторона которого на основании. Найдите сторону квадрата.

Сам

Отрезок через точку пересечения диагоналей

Произведения отрезков диагоналей

Образец: ABCD — трапеция (AD∥BC), AC∩BD=O. Докажите, что AO⋅BO=CO⋅DO.

Сам

Модель → признак → пропорция

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Канава: дно 40 см, верх 100 см, глубина 60 см. Ширина воды при глубине 30 см?

б) Трапеция: AD=12, BC=6, AC=15. Найдите AO.

в) Рост 1,5 м, тени 2 м и 3,5 м, шаг 3 м. Высота фонаря?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — число; вторая часть — с решением

Докажите подобие

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-029 · Практикум: применение подобия при решении практических задач

Образец: плечи шлагбаума $1, 2$ м и $4, 8$ м. Короткий конец опустился на $0, 5$ м. На сколько поднялся длинный?

Образец: сечение лотка — треугольник, ширина $90$ см, глубина $60$ см. Ширина поверхности воды при глубине $40$ см?

Образец: тень человека ростом $1, 6$ м — $2$ м. Он отошёл от фонаря ещё на $4$ м, тень стала $3, 6$ м. Найдите $H$ и $d_{1}$ .

Образец: из треугольной заготовки (основание $12$ см, высота $8$ см) вырезают квадрат, одна сторона которого на основании. Найдите сторону квадрата.

Образец: $A BC D$ — трапеция ( $A D ∥ BC$ ), $A C \cap B D = O$ . Докажите, что $A O \cdot BO = CO \cdot D O$ .

а) Канава: дно $40$ см, верх $100$ см, глубина $60$ см. Ширина воды при глубине $30$ см?

б) Трапеция: $A D = 12$ , $BC = 6$ , $A C = 15$ . Найдите $A O$ .

в) Рост $1, 5$ м, тени $2$ м и $3, 5$ м, шаг $3$ м. Высота фонаря?