Подобие · урок 6 из 16 · практикум

Практикум: признаки подобия треугольников

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM8U-028

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Подобие» (16 ч), урок 6/16, единица R02.2. Тип урока — П (практикум): теория — только сводка и одна демонстрация.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка признаков 3 · как сравнивать стороны 1,5 · типовые конфигурации 2,5 · демонстрация (две высоты) 2,5 · прямоугольные треугольники 1,5.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2 + 2 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 15/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 3,5 · итог 1.
Если не успеваете: образец на клетчатой бумаге и ОГЭ 24 — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R02.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать признак

по двум углам, по двум сторонам и углу, по трём сторонам (ПР-5)

Находить пары подобных

в типовых конфигурациях: параллельные прямые, общий угол, высоты

Записывать соответствие

вершин и составлять верную пропорцию сходственных сторон

Доказывать и вычислять

с обоснованием признака — в том числе задачи ОГЭ 23–24

0,5 мин · теория
ПР-5: «Владеть понятиями подобия треугольников, коэффициента подобия, соответственных элементов подобных треугольников… Пользоваться признаками подобия треугольников при решении геометрических задач. Доказывать и применять отношения пропорциональности в прямоугольных треугольниках».
Виды деятельности ФРП R02: находить подобные треугольники на готовых чертежах, указывать признаки; определять пары подобных треугольников в конфигурациях; проводить доказательства с признаками подобия.

повторение: GEOM8U-027

Разминка · устно

$△ A BC \sim △ MN K$

Во сколько раз $△ MN K$ больше? $k = 3$
Найдите $N K$ . $15$
Какой угол $△ MN K$ равен $∠ B$ ? $∠ N$
$P_{A BC} = 15$ . Найдите $P_{MN K}$ . $45$
$\frac{x}{6} = \frac{4}{3}$ . Найдите $x$ . $8$
Верно ли, что $\frac{4}{6} = \frac{6}{9}$ ? да: $4 \cdot 9 = 6 \cdot 6$
$∠ A = 5 0^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $7 0^{\circ}$

R02.2

Сводка · три признака подобия

Чтобы доказать подобие, достаточно…

I · по двум углам

∠ A = ∠ A_{1}

,

∠ B = ∠ B_{1}

II · две стороны и угол между ними

\frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{A _{1} C _{1}}{A C}

,

∠ A = ∠ A_{1}

III · по трём сторонам

\frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{B _{1} C _{1}}{BC} = \frac{A _{1} C _{1}}{A C}

Вывод всегда один: $△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ — и сразу все углы равны, все стороны пропорциональны.

3 мин · теория
Формулировки (доказательства — урок GEOM8U-024): I — если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны. II — если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны. III — если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то треугольники подобны.
Вопрос классу: сколько условий в каждом признаке? (I — два, II — три, III — три; в I третий угол равен автоматически.) Чем признаки подобия похожи на признаки равенства? (Равенство сторон заменено их пропорциональностью; признака «по стороне и двум углам» нет — достаточно двух углов.)
На чертежах k = 1,5, одинаковые цвета — сходственные элементы.

R02.2

Сводка · как проверять пропорциональность

Сравниваем меньшую с меньшей, большую с большей

	меньшая	средняя	большая
$△_{1}$	$6$	$8$	$12$
$△_{2}$	$9$	$12$	$18$
отношение	$1, 5$	$1, 5$	$1, 5$

Все равны ⇒ подобны (III признак), $k = 1, 5$ .

1. Упорядочите стороны каждого треугольника по возрастанию.

2. Против сходственных сторон — равные углы: так находим соответствие вершин.

3. Во II признаке угол обязательно между пропорциональными сторонами.

R02.2

Образец → сам · какой признак?

Подобны ли треугольники и почему

Образец: подобны ли $△ A BC$ и $△ MN K$ ? Запишите соответствие.

$∠ N = 18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ сумма углов

$∠ A = ∠ M$ , $∠ B = ∠ N$ I признак

$△ A BC \sim △ MN K$ $C \leftrightarrow K$

Сам: подобны? по какому признаку?

$A B = 4$ , $BC = 6$ , $A C = 8$ ; $D E = 6$ , $EF = 9$ , $D F = 12$ . да, III признак, $k = 1, 5$
$A B = 5$ , $A C = 7$ , $∠ A = 4 8^{\circ}$ ; $MN = 10$ , $M K = 14$ , $∠ M = 4 8^{\circ}$ . да, II признак, $k = 2$
Стороны $3$ , $4$ , $6$ и $6$ , $8$ , $10$ . нет: $\frac{6}{3} = \frac{8}{4} \neq = \frac{10}{6}$

R02.2

Образец → сам · III признак и соответствие вершин

Какие углы равны?

Образец: подобны ли треугольники? Какой угол $△ MN K$ равен $∠ B$ ?

$4, 6, 8$ и $6, 9, 12$ : $\frac{6}{4} = \frac{9}{6} = \frac{12}{8} = 1, 5$ III признак

$A B \leftrightarrow M K$ , $BC \leftrightarrow N K$ , $A C \leftrightarrow MN$

$B = A B \cap BC \leftrightarrow M K \cap N K = K$ : $∠ B = ∠ K$

Сам

$A B = 5$ , $BC = 7$ , $A C = 10$ ; $PQ = 14$ , $QR = 20$ , $PR = 10$ . Какой угол равен $∠ A$ ? $∠ R$
$A B = 3$ , $BC = 5$ , $A C = 6$ ; $D E = 10$ , $EF = 12$ , $D F = 6$ . Запишите подобие. $△ A BC \sim △ F D E$
Подобны ли треугольники со сторонами $1, 5; 2; 3$ и $4; 6; 8$ ? нет: $\frac{4}{1 , 5} \neq = \frac{6}{2}$

R02.2

Схема-конспект · где искать подобные треугольники

Четыре типовые конфигурации

Прямая $∥$ стороне

$D E ∥ A C$ ⇒ $△ D BE \sim △ A BC$
I: соответственные углы

«Песочные часы»

$A B ∥ C D$ ⇒ $△ A OB \sim △ CO D$
I: вертикальные + накрест

Общий угол

$∠ A D E = ∠ A CB$ ⇒ $△ A D E \sim △ A CB$
I или II: $\frac{A D}{A C} = \frac{A E}{A B}$

Две высоты

$△ A A_{1} C \sim △ B B_{1} C$
I: $∠ C$ общий, прямые углы

2,5 мин · теория
Конспект в тетрадь: четыре картинки — четыре «сигнала». Видишь параллельные прямые — ищи «букву А» или «песочные часы»; видишь общий угол — ищи вторую пару равных углов или пропорциональные стороны при нём; видишь две высоты — два прямоугольных треугольника с общим острым углом.
Внимание на третьей картинке: DE не параллельна BC! Вершине D соответствует C, вершине E — B («перевёрнутое» подобие). Отсюда AD · AB = AE · AC.
Вопрос: где в «песочных часах» соответствие? (A ↔ C, B ↔ D, O ↔ O.)

R02.2

Образец → сам · параллельные прямые

«Песочные часы» и «буква А»

Образец: $A B ∥ C D$ , $A O = 4$ , $OC = 10$ , $A B = 6$ . Найдите $C D$ .

$∠ A OB = ∠ CO D$ , $∠ B A O = ∠ D CO$ вертикальные; накрест

$△ A OB \sim △ CO D$ , $k = \frac{OC}{A O} = 2, 5$ I признак

$C D = 6 \cdot 2, 5 = 15$

Сам

$D \in A B$ , $E \in BC$ , $D E ∥ A C$ , $B D = 3$ , $D A = 6$ , $D E = 4$ . Найдите $A C$ . $12$
Трапеция $A BC D$ , $BC = 4$ , $A D = 10$ , диагональ $A C = 21$ . Найдите $A O$ . $15$
$A C \cap B D = O$ , $A O = 3$ , $OC = 6$ , $BO = 4$ , $O D = 8$ . Докажите: $A B ∥ C D$ . II признак ⇒ $∠ B A O = ∠ D CO$

R02.2

Образец → сам · общий угол, II признак

Отрезок не параллелен стороне — а подобие есть

Образец: $A B = 12$ , $A C = 8$ , $BC = 13$ , $A D = 4$ , $A E = 6$ . Найдите $D E$ .

$\frac{A D}{A C} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ , $\frac{A E}{A B} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ , $∠ A$ — общий

$△ A D E \sim △ A CB$ II признак, $k = \frac{1}{2}$

$D E = \frac{CB}{2} = 6, 5$

Сам

$D \in A B$ , $E \in A C$ , $A D = 6$ , $A E = 5$ , $A B = 15$ , $A C = 18$ , $BC = 12$ . Найдите $D E$ . $4$
$D \in A B$ , $E \in A C$ , $∠ A D E = ∠ A CB$ , $A D = 4$ , $A C = 10$ , $A B = 15$ . Найдите $A E$ . $6$
Докажите: если $A D \cdot A B = A E \cdot A C$ , то $∠ A D E = ∠ A CB$ . $\frac{A D}{A C} = \frac{A E}{A B}$ ⇒ II признак

R02.2

Демонстрация · учитель доказывает

Две высоты отсекают подобный треугольник

Дано:

△ A BC

остроугольный,

A A_{1}

и

B B_{1}

— высоты.
Доказать:

△ A_{1} B_{1} C \sim △ A BC

.

1

△ A A_{1} C \sim △ B B_{1} C

I признак:

∠ C

— общий,

∠ A A_{1} C = ∠ B B_{1} C = 9 0^{\circ}

2

\frac{C A _{1}}{C B _{1}} = \frac{C A}{CB}

⇒

\frac{C A _{1}}{C A} = \frac{C B _{1}}{CB}

сходственные стороны; свойство пропорции

3

△ A_{1} C B_{1} \sim △ A CB

II признак:

∠ C

общий и лежит между сторонами

4

∠ C A_{1} B_{1} = ∠ A

,

∠ C B_{1} A_{1} = ∠ B

соответственные углы подобных треугольников

R02.2

Сводка · прямоугольные треугольники

Достаточно одного острого угла

Два прямоугольных треугольника подобны, если у них равны острые углы или катеты пропорциональны.

$△ A C H$ $\sim △ A BC$ — $∠ A$ общий

$△ CB H$ $\sim △ A BC$ — $∠ B$ общий

C H^{2} = A H \cdot H B

,

A C^{2} = A H \cdot A B

R02.2

Образец → сам · задача на доказательство

План доказательства и обоснования

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота. Докажите, что $C H^{2} = A H \cdot H B$ .

$∠ A C H = 9 0^{\circ} - ∠ A = ∠ B$ из $△ A C H$ и $△ A BC$

$△ A H C \sim △ C H B$ I признак: прямые и $∠ A C H = ∠ B$

$\frac{A H}{C H} = \frac{C H}{H B}$ ⇒ $C H^{2} = A H \cdot H B$

Сам

Докажите: $A C^{2} = A H \cdot A B$ . $△ A H C \sim △ A CB$ ⇒ $\frac{A H}{A C} = \frac{A C}{A B}$
$A H = 4$ , $H B = 9$ . Найдите $C H$ . $6$
$A BC D$ — параллелограмм, $K \in BC$ , $A K \cap B D = O$ . Докажите: $BO \cdot A D = O D \cdot B K$ . $△ BO K \sim △ D O A$ (I)

2,5 мин · практика
Образец: в записи подобия соответствие A ↔ C, H ↔ H, C ↔ B — по равным углам (∠A = ∠BCH, ∠ACH = ∠B — одинаковые дуги на чертеже). Отсюда сходственные: AH ↔ CH, HC ↔ HB.
1) △AHC и △ACB: ∠A общий, ∠AHC = ∠ACB = 90° ⇒ подобны (I), соответствие A ↔ A, H ↔ C, C ↔ B ⇒ AH/AC = AC/AB ⇒ AC² = AH · AB.
2) CH² = 4 · 9 = 36, CH = 6.
3) ∠BOK = ∠DOA (вертикальные), ∠OBK = ∠ODA (накрест лежащие при BC ∥ AD, секущая BD) ⇒ △BOK ∼ △DOA ⇒ BO/OD = BK/DA ⇒ BO · AD = OD · BK.
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования.

R02.2

Образец → сам · на клетчатой бумаге

Прямоугольные треугольники по катетам

Образец: какие из треугольников 1, 2, 3 подобны?

катеты: ① $2$ и $3$ , ② $4$ и $6$ , ③ $3$ и $5$ считаем клетки

$\frac{4}{2} = \frac{6}{3} = 2$ ⇒ ① ∼ ② II признак, угол $9 0^{\circ}$

$\frac{3}{2} \neq = \frac{5}{3}$ ⇒ ③ не подобен ①

Сам: нарисуйте в тетради

Постройте треугольник, подобный ①, с $k = 3$ . катеты $6$ и $9$ клеток
Подобны ли прямоугольные треугольники с катетами $3$ и $4$ и с катетами $6$ и $9$ ? нет: $\frac{6}{3} \neq = \frac{9}{4}$
Катеты $2$ и $5$ . Больший катет подобного треугольника $15$ . Найдите меньший. $6$

R02.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$△ A BC \sim △ MN K$ ⇒ $\frac{A B}{N K} = \frac{BC}{MN}$	стороны взяты не в порядке соответствия	$\frac{A B}{MN} = \frac{BC}{N K} = \frac{A C}{M K}$
Углы $4 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$ , $8 0^{\circ}$ : «не подобны»	не нашли третьи углы	третьи: $8 0^{\circ}$ и $4 0^{\circ}$ ⇒ подобны (I)
« $D E ∥ A C$ — на рисунке видно»	чертёж не доказательство	параллельность — из условия или по признаку

R02.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $D E ∥ A C$ , $D \in A B$ , $B D = 4$ , $D A = 2$ , $D E = 6$ . Найдите $A C$ .

$\frac{B D}{D A} = \frac{D E}{A C}$

$\frac{4}{2} = \frac{6}{A C}$ , $A C = 3$

$\frac{B D}{B A} = \frac{D E}{A C}$

$\frac{4}{6} = \frac{6}{A C}$ , $A C = 9$

б) $A B = 6$ , $BC = 10$ , $A C = 8$ ; $MN = 15$ , $N K = 9$ , $M K = 12$ .

$\frac{MN}{A B} = \frac{15}{6}$ , $\frac{N K}{BC} = \frac{9}{10}$

отношения разные ⇒ не подобны

упорядочим: $6, 8, 10$ и $9, 12, 15$

$k = 1, 5$ ⇒ подобны (III)

в) $A B = 3$ , $A C = 5$ , $∠ B = 4 0^{\circ}$ ; $MN = 6$ , $M K = 10$ , $∠ N = 4 0^{\circ}$ .

$\frac{MN}{A B} = \frac{M K}{A C} = 2$

$∠ B = ∠ N$ ⇒ подобны (II)

$∠ B$ не между $A B$ и $A C$ — II признак неприменим

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Отношение берут для сторон треугольников △DBE и △ABC, а не для частей стороны: BA = 4 + 2 = 6, AC = 6 · 6 : 4 = 9.
б) Стороны сравнили «по названиям». Упорядочим: 6, 8, 10 и 9, 12, 15 — отношения 1,5 ⇒ подобны (III), соответствие A ↔ K, C ↔ M, B ↔ N.
в) В II признаке угол должен лежать между пропорциональными сторонами (здесь нужен ∠A и ∠M). По данным подобие не следует: сторона BC может быть разной (две стороны и угол не между ними не задают треугольник однозначно).

R02.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $∠ A = 4 0^{\circ}$ , $∠ B = 7 5^{\circ}$ ; $∠ M = 4 0^{\circ}$ , $∠ K = 6 5^{\circ}$ . Подобны $△ A BC$ и $△ MN K$ ? да, I признак
базаСтороны $2$ , $3$ , $4$ и $6$ , $9$ , $12$ . Подобны? да, $k = 3$
база $D E ∥ A C$ , $B D = 2$ , $B A = 8$ , $A C = 12$ . Найдите $D E$ . $3$

база $A B ∥ C D$ , $A C \cap B D = O$ , $A O = 5$ , $OC = 15$ , $C D = 12$ . Найдите $A B$ . $4$
база $A B = 6$ , $A C = 9$ , $∠ A = 5 0^{\circ}$ ; $D E = 4$ , $D F = 6$ , $∠ D = 5 0^{\circ}$ . Подобны? да, II признак
базаКатеты $5$ и $12$ ; катеты $10$ и $24$ . Подобны? да, $k = 2$

R02.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Трапеция $A BC D$ , $BC ∥ A D$ , $BC = 6$ , $A D = 15$ , $B D = 14$ , $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите $BO$ . $4$
повыш. $A B = 6$ , $A C = 9$ , $D \in A C$ , $∠ A B D = ∠ A CB$ . Найдите $A D$ . $4$
повыш. $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 2$ , $A B = 8$ . Найдите $A C$ . $4$
из жизниКамера-обскура: дерево высотой $5$ м в $20$ м от отверстия даёт перевёрнутое изображение на стенке в $0, 3$ м от отверстия. Его высота? $7, 5$ см

R02.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15Прямая, параллельная стороне $A C$ треугольника $A BC$ , пересекает стороны $A B$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ ; $A B = 16$ , $A C = 20$ , $MN = 15$ . Найдите $A M$ . $4$
ОГЭ 15Диагонали $A C$ и $B D$ трапеции $A BC D$ с основаниями $BC = 3$ и $A D = 5$ пересекаются в точке $O$ , $A C = 24$ . Найдите $A O$ . $15$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, то треугольники подобны.
Любые два равнобедренных треугольника подобны.
Любые два равносторонних треугольника подобны.

Ответ: 14

R02.2 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Отрезки $A B$ и $C D$ лежат на параллельных прямых, $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $M$ . Найдите $MC$ , если $A B = 16$ , $C D = 24$ , $A C = 25$ .

$△ A MB \sim △ CM D$ I: вертикальные, накрест

$\frac{A M}{MC} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$

$MC = 25 \cdot \frac{3}{5} = 15$

ОГЭ 24 Основания $BC$ и $A D$ трапеции $A BC D$ равны $9$ и $16$ , $B D = 12$ . Докажите, что треугольники $CB D$ и $B D A$ подобны.

$\frac{CB}{B D} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ , $\frac{B D}{D A} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$ , $∠ CB D = ∠ B D A$

II признак ⇒ $△ CB D \sim △ B D A$

2 мин · практика
23) ∠AMB = ∠CMD (вертикальные), ∠BAM = ∠DCM (накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей AC) ⇒ △AMB ∼ △CMD, AM : MC = AB : CD = 2 : 3; MC = 25 · 3/5 = 15 (AM = 10). Ответ: 15.
24) Полное решение на 2 балла: ∠CBD = ∠BDA — накрест лежащие при BC ∥ AD и секущей BD; стороны, заключающие эти углы, пропорциональны: CB/BD = BD/DA = 3/4 ⇒ по II признаку △CBD ∼ △BDA (C ↔ B, B ↔ D, D ↔ A). Обязательно указать, что углы лежат между пропорциональными сторонами.
На уроке — устное обсуждение плана, запись 24 полностью — в ДЗ по желанию.

R02.2

Самостоятельная работа · 3,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$∠ A = 3 5^{\circ}$ , $∠ C = 8 0^{\circ}$ ; $∠ D = 3 5^{\circ}$ , $∠ E = 6 5^{\circ}$ . Подобны $△ A BC$ и $△ D EF$ ? Признак? да, I ( $∠ B = 6 5^{\circ}$ )
Стороны $4$ , $5$ , $7$ и $12$ , $15$ , $21$ . Подобны? да, III, $k = 3$
$D E ∥ A C$ , $D \in A B$ , $B D = 4$ , $D A = 8$ , $D E = 5$ . Найдите $A C$ . $15$
$A B ∥ C D$ , $A C \cap B D = O$ , $A O = 6$ , $OC = 9$ , $A B = 10$ . Найдите $C D$ . $15$

Вариант 2

$∠ B = 4 8^{\circ}$ , $∠ C = 7 2^{\circ}$ ; $∠ M = 4 8^{\circ}$ , $∠ N = 6 0^{\circ}$ . Подобны $△ A BC$ и $△ MN K$ ? Признак? да, I ( $∠ A = 6 0^{\circ}$ )
Стороны $3$ , $5$ , $6$ и $9$ , $15$ , $20$ . Подобны? нет: $\frac{20}{6} \neq = 3$
$D E ∥ A C$ , $D \in A B$ , $B D = 6$ , $D A = 3$ , $A C = 12$ . Найдите $D E$ . $8$
$A B ∥ C D$ , $A C \cap B D = O$ , $A O = 4$ , $OC = 10$ , $C D = 25$ . Найдите $A B$ . $10$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Назовите три признака подобия.
Где во II признаке должен быть угол?
Как найти соответствие вершин, если известны только стороны?

Домашнее задание

Трапеция: $BC = 5$ , $A D = 12$ , $A C = 34$ . Найдите $A O$ .
$D \in A B$ , $E \in A C$ , $A D = 6$ , $A E = 8$ , $A B = 16$ , $A C = 12$ , $BC = 18$ . Найдите $D E$ .
* $A A_{1}$ , $C C_{1}$ — высоты. Докажите: $B A_{1} \cdot BC = B C_{1} \cdot B A$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_priznaki_podobiya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-028 · Практикум: признаки подобия треугольников

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R02 «Подобие», 16 ч · урок 6/16 · тип П
Единицы → слайды	R02.2 «Признаки подобия треугольников» → 2, 4–22 · повторение GEOM8U-027 (R02.1) → 3
Результаты	ПР-5 (признаки подобия, соответственные элементы, пропорциональность в прямоугольных треугольниках) → 4–21
Вне урока	практические задачи — GEOM8U-029; преобразование подобия и подобные фигуры — GEOM8U-026, 030; доказательства признаков — GEOM8U-024
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: признаки подобия треугольников

Сегодня вы научитесь

Выбирать признак

Находить пары подобных

Записывать соответствие

Доказывать и вычислять

△ABC∼△MNK

Чтобы доказать подобие, достаточно…

I · по двум углам

II · две стороны и угол между ними

III · по трём сторонам

Сравниваем меньшую с меньшей, большую с большей

Подобны ли треугольники и почему

Образец: подобны ли △ABC и △MNK? Запишите соответствие.

Сам: подобны? по какому признаку?

Какие углы равны?

Образец: подобны ли треугольники? Какой угол △MNK равен ∠B?

Сам

Четыре типовые конфигурации

Прямая ∥ стороне

«Песочные часы»

Общий угол

Две высоты

«Песочные часы» и «буква А»

Образец: AB∥CD, AO=4, OC=10, AB=6. Найдите CD.

Сам

Отрезок не параллелен стороне — а подобие есть

Образец: AB=12, AC=8, BC=13, AD=4, AE=6. Найдите DE.

Сам

Две высоты отсекают подобный треугольник

Достаточно одного острого угла

План доказательства и обоснования

Образец: ∠C=90∘, CH — высота. Докажите, что CH2=AH⋅HB.

Сам

Прямоугольные треугольники по катетам

Образец: какие из треугольников 1, 2, 3 подобны?

Сам: нарисуйте в тетради

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) DE∥AC, D∈AB, BD=4, DA=2, DE=6. Найдите AC.

б) AB=6, BC=10, AC=8; MN=15, NK=9, MK=12.

в) AB=3, AC=5, ∠B=40∘; MN=6, MK=10, ∠N=40∘.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-028 · Практикум: признаки подобия треугольников

$△ A BC \sim △ MN K$

Образец: подобны ли $△ A BC$ и $△ MN K$ ? Запишите соответствие.

Образец: подобны ли треугольники? Какой угол $△ MN K$ равен $∠ B$ ?

Прямая $∥$ стороне

Образец: $A B ∥ C D$ , $A O = 4$ , $OC = 10$ , $A B = 6$ . Найдите $C D$ .

Образец: $A B = 12$ , $A C = 8$ , $BC = 13$ , $A D = 4$ , $A E = 6$ . Найдите $D E$ .

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота. Докажите, что $C H^{2} = A H \cdot H B$ .

а) $D E ∥ A C$ , $D \in A B$ , $B D = 4$ , $D A = 2$ , $D E = 6$ . Найдите $A C$ .

б) $A B = 6$ , $BC = 10$ , $A C = 8$ ; $MN = 15$ , $N K = 9$ , $M K = 12$ .

в) $A B = 3$ , $A C = 5$ , $∠ B = 4 0^{\circ}$ ; $MN = 6$ , $M K = 10$ , $∠ N = 4 0^{\circ}$ .