Подобие · урок 5 из 16 · практикум

Практикум: подобие треугольников, коэффициент подобия

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM8U-027

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Подобие» (16 ч), урок 5/16, единица R02.1. Тип урока — П (практикум), первый из трёх практикумов по R02.1 (далее GEOM8U-031, GEOM8U-035).
Теория (13,5): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка 2,5 · теорема о сходственных элементах 3 · конфигурации 2,5 · пример учителя (трапеция) 3 · алгоритм 1,5.
Практика (31,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 × 5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 15/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 3,5 · итог 1.
Отличие от GEOM8U-023: подобие теперь доказываем признаками (GEOM8U-024), главное умение урока — правильно записать соответствие вершин в «песочных часах» и при антипараллельной прямой и перейти к сходственным элементам.
Если не успеваете: образец 5 (проектор) и ОГЭ 24 — в ДЗ; пример учителя (трапеция) не сокращать — он нужен для повышенного уровня.

R02.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Видеть пары

находить подобные треугольники в «песочных часах», трапеции, при общем угле

Записывать соответствие

по равным углам, а не «по расположению» — и находить сходственные стороны

Работать с коэффициентом

высоты, медианы, биссектрисы, периметры относятся как $k$ (ПР-5)

Решать и доказывать

задачи ОГЭ 15, 23, 24 и практические задачи (ПР-5, ПР-6)

0,5 мин · теория
ПР-5: «Владеть понятиями подобия треугольников, коэффициента подобия, соответственных элементов подобных треугольников… Пользоваться признаками подобия треугольников при решении геометрических задач». ПР-6: «Применять подобие в практических задачах».
Виды деятельности ФРП R02: определять пары подобных треугольников в геометрических конфигурациях, решать задачи с самостоятельным построением чертежа, проводить доказательства с использованием признаков подобия.

повторение: R02.1–R02.2

Разминка · устно

Вспомним подобие и признаки

$△ A BC \sim △ K L M$ , $∠ A = 5 0^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите $∠ M$ . $7 0^{\circ}$
$△ A BC \sim △ K L M$ , $A B = 6$ , $K L = 4$ . Найдите $k$ . $1, 5$
При том же $k$ : $P_{K L M} = 20$ . Найдите $P_{A BC}$ . $30$

$A B ∥ C D$ , $A C$ — секущая. Как связаны $∠ B A C$ и $∠ D C A$ ? накрест лежащие, равны
$∠ A = 4 0^{\circ}$ , $∠ B = 8 0^{\circ}$ ; $∠ K = 4 0^{\circ}$ , $∠ M = 6 0^{\circ}$ . Подобны ли $△ A BC$ и $△ K L M$ ? да, по двум углам
$x : 12 = 5 : 8$ . Найдите $x$ . $7, 5$

R02.1–R02.2

Сводка · подобие и коэффициент

Что мы знаем о подобных треугольниках

Определение

углы соответственно равны, сходственные стороны пропорциональны

Коэффициент

$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ : $k = \frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{BC}{B _{1} C _{1}} = \frac{C A}{C _{1} A _{1}}$

Периметры

$\frac{P}{P _{1}} = k$

I признак

два угла одного равны двум углам другого

II признак

две стороны пропорциональны, углы между ними равны

III признак и лемма

три стороны пропорциональны; прямая $∥$ стороне отсекает подобный

R02.1

Теорема · доказательство

Сходственные медианы относятся как $k$

Дано:

△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}

,

k

;

BM

,

B_{1} M_{1}

— медианы.
Доказать:

\frac{BM}{B _{1} M _{1}} = k

.

1

\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = k

,

∠ A = ∠ A_{1}

определение подобия

2

\frac{A M}{A _{1} M _{1}} = \frac{A C : 2}{A _{1} C _{1} : 2} = k

M

,

M_{1}

— середины

3

△ A BM \sim △ A_{1} B_{1} M_{1}

II признак: две стороны пропорциональны, угол

A

между ними

4

\frac{BM}{B _{1} M _{1}} = k

сходственные стороны

Так же: высоты —

△ A B H \sim △ A_{1} B_{1} H_{1}

(угол

A

и

9 0^{\circ}

), биссектрисы — по двум углам (

∠ A

и

\frac{1}{2} ∠ B

).

3 мин · теория
Доказательство ведёт учитель, на каждом шаге — вопрос «почему?». Цвета: AB и A₁B₁ — бирюзовые, AM и A₁M₁ — фиолетовые, угол A — жёлтая дуга, медианы — розовые.
Формулировка: в подобных треугольниках отношение сходственных медиан (высот, биссектрис), проведённых из соответственных вершин, равно коэффициенту подобия.
Для высоты: в △ABH и △A₁B₁H₁ ∠A = ∠A₁, ∠H = ∠H₁ = 90° ⇒ подобны по I признаку ⇒ BH/B₁H₁ = AB/A₁B₁ = k. Для биссектрисы BL: ∠A = ∠A₁ и ∠ABL = ½∠B = ½∠B₁ = ∠A₁B₁L₁.
Ошибка учеников: «медианы тоже относятся как k» — но только сходственные (проведённые из соответственных вершин).

R02.1

Образец → сам · сходственные элементы

Высоты, медианы, периметры — в $k$ раз

Образец: $△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $A B = 14$ , $A_{1} B_{1} = 10, 5$ , высота $C H = 12$ , $P_{A BC} = 42$ . Найдите $C_{1} H_{1}$ и $P_{A_{1} B_{1} C_{1}}$ .

$k = \frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{14}{10 , 5} = \frac{4}{3}$ сходственные стороны

$C_{1} H_{1} = 12 : \frac{4}{3} = 9$ , $P_{1} = 42 : \frac{4}{3} = 31, 5$ теорема

Сам

$△ A BC \sim △ K L M$ , медиана из $A$ равна $12$ , из $K$ — $8$ , $BC = 18$ . Найдите $L M$ . $12$
Биссектрисы сходственных углов $6$ и $10$ , периметр большего треугольника $45$ . Периметр меньшего? $27$
Высоты к сходственным сторонам $4$ и $7$ , одна из этих сторон на $9$ больше другой. Найдите стороны. $12$ и $21$

R02.1–R02.2

Схема · три конфигурации

Где искать подобные треугольники

«Песочные часы»

$A B ∥ C D$ : вертикальные углы при $O$ , накрест лежащие

$△ A OB \sim △ D OC$

Параллельная

$MN ∥ A C$ : общий $∠ B$ , соответственные углы

$△ MBN \sim △ A BC$

Антипараллельная

$∠ A K M = ∠ C$ , общий $∠ A$

$△ A K M \sim △ A CB$

2,5 мин · теория
Во всех трёх случаях подобие — по I признаку (два угла). Соответствие вершин читаем по одинаковым дугам.
«Песочные часы»: ∠AOB = ∠DOC (вертикальные), ∠BAO = ∠CDO (накрест лежащие при AB ∥ CD, секущая AD) ⇒ A ↔ D, B ↔ C, O ↔ O. Сходственные: AB ↔ DC, AO ↔ DO, BO ↔ CO.
Антипараллельная: K лежит на AB, но соответствует C (равные углы, жёлтые дуги), а M соответствует B. Поэтому AK/AC = AM/AB = KM/CB — «перекрёстная» пропорция. Отсюда AK · AB = AM · AC.
Вопрос: почему во второй и третьей схемах буквы в записи стоят в разном порядке? (Соответствие — по равным углам.)

R02.1

Образец → сам · «песочные часы» в трапеции

Диагонали трапеции делятся в отношении оснований

Образец: $A BC D$ — трапеция, $BC = 4$ , $A D = 10$ , диагонали пересекаются в $O$ , $A C = 7$ . Найдите $A O$ и $OC$ .

$△ BOC \sim △ D O A$ вертикальные и накрест лежащие углы

$\frac{OC}{O A} = \frac{BC}{D A} = \frac{4}{10}$ $B \leftrightarrow D$ , $C \leftrightarrow A$

$OC = 7 \cdot \frac{4}{14} = 2$ , $A O = 5$

Сам

$A B ∥ C D$ , $A D \cap BC = O$ , $A O = 6$ , $O D = 9$ , $A B = 8$ . Найдите $C D$ . $12$
Трапеция $A BC D$ : $BO = 3$ , $O D = 7$ , $A D = 14$ . Найдите $BC$ . $6$
Трапеция: $BC : A D = 2 : 5$ , $B D = 21$ . Найдите $BO$ и $O D$ . $6$ и $15$

R02.1

Образец → сам · антипараллельная прямая

Общий угол — но соответствие «перекрёстное»

Образец: $K \in A B$ , $M \in A C$ , $∠ A K M = ∠ A CB$ , $A B = 12$ , $A C = 9$ , $A K = 6$ . Найдите $A M$ .

$△ A K M \sim △ A CB$ $∠ A$ общий, $∠ A K M = ∠ C$

$\frac{A K}{A C} = \frac{A M}{A B}$ $K \leftrightarrow C$ , $M \leftrightarrow B$

$A M = \frac{6 \cdot 12}{9} = 8$

Сам (чертёж — в тетради)

То же условие: $A B = 10$ , $A C = 8$ , $A M = 5$ . Найдите $A K$ . $4$
$∠ A K M = ∠ C$ , $A K = 4$ , $A C = 10$ , $BC = 15$ . Найдите $K M$ . $6$
$D \in A B$ , $∠ A C D = ∠ B$ , $A C = 6$ , $A D = 4$ . Найдите $A B$ . $9$

R02.1

Образец → сам · задача на доказательство

Высоты отсекают подобный треугольник

Образец: $A A_{1}$ , $B B_{1}$ — высоты остроугольного $△ A BC$ . Докажите: $△ A_{1} C B_{1} \sim △ A CB$ .

$△ A A_{1} C \sim △ B B_{1} C$ $∠ C$ общий, углы $9 0^{\circ}$

$\frac{C A _{1}}{C B _{1}} = \frac{C A}{CB}$ ⇒ $\frac{C A _{1}}{C A} = \frac{C B _{1}}{CB}$ свойство пропорции

$∠ C$ общий ⇒ $△ A_{1} C B_{1} \sim △ A CB$ II признак

Сам: план и обоснования

Там же: $C A = 10$ , $CB = 12$ , $C A_{1} = 6$ , $A B = 10$ . Найдите $C B_{1}$ и $A_{1} B_{1}$ . $7, 2$ и $6$
Докажите: $C A_{1} \cdot CB = C B_{1} \cdot C A$ . из $△ A A_{1} C \sim △ B B_{1} C$
$H$ — точка пересечения высот. Докажите: $A H \cdot H A_{1} = B H \cdot H B_{1}$ . $△ A H B_{1} \sim △ B H A_{1}$

2,5 мин · практика
Образец: соответствие A₁ ↔ A, B₁ ↔ B, хотя A₁ лежит на стороне CB — снова «перекрёстное», как у антипараллельной прямой. Значит ∠CA₁B₁ = ∠CAB (жёлтые дуги), k = CA₁/CA.
1) k = CA₁/CA = 0,6 ⇒ CB₁ = 0,6 · 12 = 7,2; A₁B₁ = 0,6 · AB = 6. (Данные согласованы: AB² = 100 + 144 − 2 · 120 · 0,6 = 100.)
2) Из шага 1 образца: CA₁/CB₁ = CA/CB ⇒ CA₁ · CB = CB₁ · CA. 3) ∠AHB₁ = ∠BHA₁ (вертикальные), ∠AB₁H = ∠BA₁H = 90° ⇒ подобны ⇒ AH/BH = HB₁/HA₁ ⇒ AH · HA₁ = BH · HB₁.
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования.

R02.1

Пример учителя · трапеция и отрезок через $O$

Отрезок через точку пересечения диагоналей

Дано: трапеция

A BC D

,

BC = a

,

A D = b

,

O = A C \cap B D

,

MN ∥ A D

,

O \in MN

.
Доказать:

MO = ON = \frac{ab}{a + b}

.

1

\frac{A O}{OC} = \frac{D O}{OB} = \frac{b}{a}

⇒

\frac{A O}{A C} = \frac{D O}{D B} = \frac{b}{a + b}

«песочные часы»

△ BOC \sim △ D O A

2

△ A MO \sim △ A BC

⇒

MO = a \cdot \frac{A O}{A C} = \frac{ab}{a + b}

лемма,

MO ∥ BC

3

△ D NO \sim △ D CB

⇒

ON = a \cdot \frac{D O}{D B} = \frac{ab}{a + b}

лемма,

ON ∥ BC

4

MO = ON

,

MN = \frac{2 ab}{a + b}

сложили

R02.1 · ПР-6

Образец → сам · задача из жизни

Проектор, камера-обскура, фонарь

Образец: кадр высотой $24$ мм — в $6$ см от объектива, экран — в $3$ м. Какой высоты изображение?

Лучи пересекаются в объективе: «песочные часы», кадр $∥$ экрану

$k = \frac{300 см}{6 см} = 50$ высоты треугольников

$24 \cdot 50 = 1200$ мм $= 1, 2 м$

Сам

Камера-обскура: дерево $6$ м в $30$ м от отверстия, стенка — в $20$ см за отверстием. Высота изображения? $4$ см
Кадр $36$ мм в $5$ см от объектива, нужно изображение $1, 8$ м. На каком расстоянии экран? $2, 5$ м
Фонарь на столбе $6$ м, мальчик ростом $1, 5$ м стоит в $9$ м от столба. Длина его тени? $3$ м

2,5 мин · практика
Образец: треугольники с общей вершиной в объективе подобны (вертикальные углы, кадр ∥ экрану); отношение их высот (расстояний до объектива) — коэффициент подобия: 300 : 6 = 50. Схема на слайде не в масштабе (реальный k = 50 не помещается).
1) k = 30 м : 0,2 м = 150; 6 м : 150 = 0,04 м = 4 см. 2) k = 1800 : 36 = 50; 5 см · 50 = 250 см = 2,5 м. 3) Не «песочные часы», а общий угол: x/(x + 9) = 1,5/6 ⇒ 6x = 1,5x + 13,5 ⇒ x = 3 м.
Ошибка: смешивать единицы (мм, см, м) — переводить в одну до вычисления k.

R02.1

Схема-конспект · алгоритм

Задача на подобие — за пять шагов

1

Найти пару

часы, параллельная, антипараллельная, высоты

→

2

Доказать подобие

признак: чаще всего два угла

→

3

Соответствие

вершины — по равным углам

→

4

Пропорция

сходственные стороны → $k$

→

5

Ответ

стороны и $P, h, m, l$ — в $k$ раз

R02.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$∠ A K M = ∠ C$ ⇒ $\frac{A K}{A B} = \frac{A M}{A C}$	$K$ соответствует $C$ , а не $B$	$\frac{A K}{A C} = \frac{A M}{A B}$
Трапеция: $\frac{BO}{A O} = \frac{BC}{A D}$	в $△ BOC \sim △ D O A$ вершина $B$ ↔ $D$	$\frac{BO}{D O} = \frac{BC}{D A}$
$k = 2$ , высота к $A B$ равна $6$ ⇒ высота к $B_{1} C_{1}$ равна $3$	в $k$ раз относятся только сходственные высоты	высота к $A_{1} B_{1}$ равна $3$

R02.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Трапеция: $BC = 6$ , $A D = 9$ , $A C = 20$ . Найдите $A O$ .

$\frac{A O}{OC} = \frac{6}{9}$

$A O = 20 \cdot \frac{6}{15} = 8$

$\frac{A O}{OC} = \frac{A D}{BC} = \frac{9}{6}$ , $A O = 12$

б) $∠ A K M = ∠ C$ , $A K = 3$ , $A B = 8$ , $A C = 6$ . Найдите $A M$ .

$\frac{A K}{A B} = \frac{A M}{A C}$

$A M = \frac{3 \cdot 6}{8} = 2, 25$

$\frac{A K}{A C} = \frac{A M}{A B}$ , $A M = 4$

в) $\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{BC}{B _{1} C _{1}} = 2$ , $∠ A = ∠ A_{1}$ .

«Треугольники подобны по II признаку»

угол $A$ не между этими сторонами: нужен $∠ B = ∠ B_{1}$

R02.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $△ A BC \sim △ MN K$ , $k = 1, 5$ , медиана из $A$ равна $9$ . Медиана из $M$ ? $6$
базаПериметры подобных треугольников относятся как $2 : 3$ , их сумма $50$ . Найдите периметры. $20$ и $30$
база $A B ∥ C D$ , $A D \cap BC = O$ , $O A = 4$ , $O D = 10$ , $OB = 5$ . Найдите $OC$ . $12, 5$

базаТрапеция: $BC = 5$ , $A D = 15$ , $B D = 24$ . Найдите $OB$ . $6$
база $D \in A C$ , $∠ A B D = ∠ C$ , $A B = 6$ , $A C = 9$ . Найдите $A D$ . $4$
базаСходственные стороны $6$ и $8$ , биссектриса меньшего — $4, 5$ . Сходственная биссектриса большего? $6$

R02.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Трапеция: $BC = 6$ , $A D = 10$ ; через точку $O$ пересечения диагоналей проведён $MN ∥ A D$ . Найдите $MN$ . $7, 5$
повыш. $A A_{1}$ , $B B_{1}$ — высоты, $A C = 15$ , $BC = 12$ , $C B_{1} = 6$ . Найдите $C A_{1}$ и $A_{1} B_{1} : A B$ . $7, 5$ ; $1 : 2$
повыш. $△ A BC$ : $A B = 8$ , $BC = 12$ , $A C = 10$ , $D \in A C$ , $∠ A B D = ∠ C$ . Найдите $B D$ . $9, 6$
повыш.Стороны треугольника $4$ , $6$ , $8$ , медиана к стороне $8$ равна $10$ . Периметр подобного ему $27$ . Найдите сходственную медиану. $1, 510$

R02.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15Диагонали $A C$ и $B D$ трапеции $A BC D$ пересекаются в точке $O$ . $BC = 3$ , $A D = 5$ , $A C = 24$ . Найдите $A O$ . $15$
ОГЭ 15Отрезки $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $O$ , $A C ∥ B D$ , $A O = 6$ , $OB = 15$ , $A C = 8$ . Найдите $B D$ . $20$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Отношение сходственных медиан подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, то треугольники подобны.
Диагонали трапеции делят её на четыре подобных треугольника.

Ответ: 12

R02.1 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 В $△ A BC$ $A C = 16$ , $BC = 12$ . Точка $D$ на $A C$ , $∠ CB D = ∠ A$ , $B D = 6$ . Найдите $C D$ и $A B$ .

$△ CB D \sim △ C A B$ : $\frac{CB}{C A} = \frac{C D}{CB} = \frac{B D}{A B} = \frac{3}{4}$

$C D = 9$ , $A B = 8$

ОГЭ 24 Диагонали трапеции $A BC D$ с основаниями $BC$ и $A D$ пересекаются в точке $O$ . Докажите: $O A \cdot OB = OC \cdot O D$ .

$∠ BOC = ∠ D O A$ — вертикальные, $∠ OBC = ∠ O D A$ — накрест лежащие

$△ BOC \sim △ D O A$ ⇒ $\frac{OB}{O D} = \frac{OC}{O A}$

свойство пропорции: $O A \cdot OB = OC \cdot O D$

R02.1

Самостоятельная работа · 3,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$△ A BC \sim △ K L M$ , $A B = 10$ , $K L = 4$ , медиана из $K$ равна $3$ . Медиана из $A$ ? $7, 5$
Трапеция: $BC = 4$ , $A D = 12$ , $A C = 20$ . Найдите $A O$ . $15$
$∠ A K M = ∠ C$ ( $K \in A B$ , $M \in A C$ ), $A K = 4$ , $A C = 8$ , $A B = 10$ . Найдите $A M$ . $5$
Периметры подобных треугольников относятся как $3 : 4$ , их разность $6$ . Найдите периметры. $18$ и $24$

Вариант 2

$△ A BC \sim △ K L M$ , $A B = 6$ , $K L = 9$ , биссектриса из $A$ равна $4$ . Биссектриса из $K$ ? $6$
Трапеция: $BC = 6$ , $A D = 9$ , $B D = 25$ . Найдите $O D$ . $15$
$∠ A K M = ∠ C$ ( $K \in A B$ , $M \in A C$ ), $A M = 6$ , $A B = 12$ , $A C = 9$ . Найдите $A K$ . $4, 5$
Периметры подобных треугольников относятся как $2 : 5$ , их сумма $42$ . Найдите периметры. $12$ и $30$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как отличить «песочные часы» от антипараллельной прямой?
Почему при $∠ A K M = ∠ C$ точка $K$ соответствует $C$ ?
Во сколько раз отличаются сходственные медианы?

Домашнее задание

Трапеция $BC = 5$ , $A D = 20$ ; $MN ∥ A D$ через $O$ . Найдите $MN$ .
$D \in A C$ , $∠ A B D = ∠ C$ , $A D = 4$ , $D C = 5$ . Найдите $A B$ .
* Докажите: $∠ C A_{1} B_{1} = ∠ C A B$ ( $A A_{1}$ , $B B_{1}$ — высоты).
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_podobnye_treugolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-027 · Практикум: подобие треугольников, коэффициент подобия

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R02 «Подобие», 16 ч · урок 5/16 · тип П
Единицы → слайды	R02.1 «Подобие треугольников, коэффициент подобия» → 2, 4–21 · повторение R02.1–R02.2 → 3
Результаты	ПР-5 (подобие, коэффициент, соответственные элементы, признаки) → 4–21; ПР-6 (практические задачи) → 12
Вне урока	практикум по признакам — GEOM8U-028; практические задачи — GEOM8U-029; пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике — следующие практикумы R02.1; отношение площадей — R03
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: подобие треугольников, коэффициент подобия

Сегодня вы научитесь

Видеть пары

Записывать соответствие

Работать с коэффициентом

Решать и доказывать

Вспомним подобие и признаки

Что мы знаем о подобных треугольниках

Определение

Коэффициент

Периметры

I признак

II признак

III признак и лемма

Сходственные медианы относятся как k

Высоты, медианы, периметры — в k раз

Образец: △ABC∼△A1​B1​C1​, AB=14, A1​B1​=10,5, высота CH=12, PABC​=42. Найдите C1​H1​ и PA1​B1​C1​​.

Сам

Где искать подобные треугольники

«Песочные часы»

Параллельная

Антипараллельная

Диагонали трапеции делятся в отношении оснований

Образец: ABCD — трапеция, BC=4, AD=10, диагонали пересекаются в O, AC=7. Найдите AO и OC.

Сам

Общий угол — но соответствие «перекрёстное»

Образец: K∈AB, M∈AC, ∠AKM=∠ACB, AB=12, AC=9, AK=6. Найдите AM.

Сам (чертёж — в тетради)

Высоты отсекают подобный треугольник

Образец: AA1​, BB1​ — высоты остроугольного △ABC. Докажите: △A1​CB1​∼△ACB.

Сам: план и обоснования

Отрезок через точку пересечения диагоналей

Проектор, камера-обскура, фонарь

Образец: кадр высотой 24 мм — в 6 см от объектива, экран — в 3 м. Какой высоты изображение?

Сам

Задача на подобие — за пять шагов

Найти пару

Доказать подобие

Соответствие

Пропорция

Ответ

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Трапеция: BC=6, AD=9, AC=20. Найдите AO.

б) ∠AKM=∠C, AK=3, AB=8, AC=6. Найдите AM.

в) A1​B1​AB​=B1​C1​BC​=2, ∠A=∠A1​.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-027 · Практикум: подобие треугольников, коэффициент подобия

Сходственные медианы относятся как $k$

Высоты, медианы, периметры — в $k$ раз

Образец: $△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $A B = 14$ , $A_{1} B_{1} = 10, 5$ , высота $C H = 12$ , $P_{A BC} = 42$ . Найдите $C_{1} H_{1}$ и $P_{A_{1} B_{1} C_{1}}$ .

Образец: $A BC D$ — трапеция, $BC = 4$ , $A D = 10$ , диагонали пересекаются в $O$ , $A C = 7$ . Найдите $A O$ и $OC$ .

Образец: $K \in A B$ , $M \in A C$ , $∠ A K M = ∠ A CB$ , $A B = 12$ , $A C = 9$ , $A K = 6$ . Найдите $A M$ .

Образец: $A A_{1}$ , $B B_{1}$ — высоты остроугольного $△ A BC$ . Докажите: $△ A_{1} C B_{1} \sim △ A CB$ .

Образец: кадр высотой $24$ мм — в $6$ см от объектива, экран — в $3$ м. Какой высоты изображение?

а) Трапеция: $BC = 6$ , $A D = 9$ , $A C = 20$ . Найдите $A O$ .

б) $∠ A K M = ∠ C$ , $A K = 3$ , $A B = 8$ , $A C = 6$ . Найдите $A M$ .

в) $\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{BC}{B _{1} C _{1}} = 2$ , $∠ A = ∠ A_{1}$ .