Подобие · урок 3 из 16

Применение подобия при решении практических задач

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM8U-025

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Подобие» (16 ч), урок 3/16, единица R02.3. Тип урока — Н.
Теория (13): титул 0,5 · цели 0,5 · план решения 1,5 · тень от Солнца 2 · фонарь 2 · зеркало 1,5 · недоступная точка 1,5 · сводка 1,5 · дополнительно (метод подобия) 2.
Практика (32): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 3 + 2,5 + 3 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 2 · задача из жизни 1 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: слайд «Дополнительно» (построение) — коротко, без записи; задание 3 «сам» к визиру и ОГЭ 23 — в ДЗ.
Нужны: рулетка или метровая линейка, карандаш (визир), по желанию — маленькое зеркальце.

R02.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить модель

реальной задачи: предмет — отрезок, луч — прямая (ПР-11)

Находить подобные треугольники

и называть признак подобия (ПР-5)

Измерять недоступное

высоту и расстояние — по тени, фонарю, зеркалу, визиру (ПР-6)

Доказывать и решать

задачи с вложенным подобием, в том числе ОГЭ 15 и 23

0,5 мин · теория
ПР-6: «Применять подобие в практических задачах».
ПР-5: «…Пользоваться признаками подобия треугольников при решении геометрических задач…».
ПР-11: «Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия и тригонометрии…» (тригонометрия — позже, сегодня только подобие).
Вид деятельности ФРП R02: «Применять полученные знания при решении геометрических и практических задач».

повторение: R02.1–R02.2

Разминка · устно

Признаки подобия и пропорции

$MN ∥ A C$ . Почему $△ MBN \sim △ A BC$ ? по двум углам
$BM = 2$ , $B A = 6$ . Чему равен $k$ ? $k = \frac{1}{3}$
$A C = 12$ . Найдите $MN$ . $4$
Решите: $\frac{x}{4} = \frac{9}{6}$ . $6$
Подобны ли прямоугольные треугольники с катетами $3, 4$ и $6, 8$ ? да, $k = 2$
$250$ см — это сколько метров? $2, 5$ м

R02.3

Новое · план решения практической задачи

От реальности к модели и обратно

1

Рисунок-модель

предмет — отрезок $⊥$ земле, луч света — прямая

2

Два треугольника

назвать признак подобия

3

Соответствие

вершин: $△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$

4

Пропорция

сходственные стороны, неизвестное — $x$

5

Ответ и проверка

единицы, правдоподобие

Чаще всего — признак по двум углам: прямой угол + общий, вертикальный или «равный по физике» угол.

1,5 мин · теория
Этот план — для всех задач урока; в каждом образце будем называть номер шага.
Шаг 1: в жизни нет «треугольников» — их создаём сами: дерево, столб, человек — вертикальные отрезки; земля — прямая; луч света, луч зрения — прямые.
Шаг 3: соответствие вершин записываем в том же порядке — иначе ошибка в пропорции (разбор ошибок, сл. 16).
Шаг 5: дерево не может быть 300 м, человек не 0,5 м — проверка на правдоподобие ловит перепутанные отношения.

R02.3

Способ 1 · тень от Солнца · обоснование

Высота дерева по длине его тени

Дано: шест

h

и его тень

l

; тень дерева

L

.
Найти: высоту дерева

H

.

1

∠ C = ∠ C_{1} = 9 0^{\circ}

дерево и шест вертикальны

2

∠ A = ∠ A_{1}

лучи Солнца параллельны — соответственные углы

3

△ A BC

\sim

△ A_{1} B_{1} C_{1}

по двум углам

4

\frac{H}{h} = \frac{L}{l}

,

H = \frac{h \cdot L}{l}

сходственные стороны пропорциональны

2 мин · теория
По преданию, так Фалес Милетский измерил высоту египетской пирамиды (VI в. до н. э.).
Вопрос к шагу 2: почему лучи параллельны? (Солнце очень далеко — лучи, приходящие к дереву и к шесту, практически параллельны.) Ответ — соответственные углы при параллельных прямых и секущей «земля».
Измерения проводят в одно и то же время: через час длина тени изменится.
Удобная запись: «во сколько раз тень дерева длиннее тени шеста, во столько раз дерево выше шеста».

R02.3

Образец → сам · прямое применение

Тень от Солнца

Образец: шест $1, 2$ м даёт тень $1, 6$ м, а дерево — $14$ м. Найдите высоту дерева.

треугольники подобны прямые углы, лучи $∥$

$\frac{H}{1 , 2} = \frac{14}{1 , 6}$ высота : высота = тень : тень

$H = \frac{1 , 2 \cdot 14}{1 , 6} = 10, 5$ м

Сам

Человек ростом $1, 8$ м отбрасывает тень $2, 7$ м, столб — $6$ м. Высота столба? $4$ м
Дом высотой $15$ м даёт тень $20$ м. Какую тень даёт дерево высотой $6$ м? $8$ м
Шест $1$ м даёт тень $1, 25$ м. Тень столба: $5$ м на земле и ещё $0, 8$ м на стене. Высота столба? $4, 8$ м

2,5 мин · практика
Образец разбирает учитель (шаги по щелчку), затем ученики решают 1–3 в тетради, каждое — с рисунком-моделью.
1) H = 1,8 · 6 : 2,7 = 4 м. 2) Обратная задача: l = 6 · 20 : 15 = 8 м.
3) Углублённый: 5 м тени на земле соответствуют высоте 1 · 5 : 1,25 = 4 м; часть тени на вертикальной стене равна «остатку» высоты столба (стена ∥ столбу, луч отсекает на ней отрезок той же высоты, что и над точкой 4 м) ⇒ 4 + 0,8 = 4,8 м. Типичная ошибка: (5 + 0,8) : 1,25 = 4,64 м — сложили тени на земле и на стене.

R02.3

Способ 2 · тень от фонаря · обоснование

Вложенные треугольники с общим углом

Фонарь не Солнце: лучи расходятся из одной точки

L

.

1

△ TF K

\sim

△ TO L

∠ T

— общий,

∠ F = ∠ O = 9 0^{\circ}

2

\frac{TF}{TO} = \frac{F K}{O L}

:

\frac{x}{x + d} = \frac{h}{H}

катет большого треугольника —

x + d

3

H x = h x + h d

,

x = \frac{h d}{H - h}

основное свойство пропорции

R02.3

Образец → сам · обратная задача, уравнение

Тень от фонаря

Образец: фонарь на высоте $6$ м, человек ростом $1, 8$ м стоит в $7$ м от столба. Найдите длину тени.

$\frac{x}{x + 7} = \frac{1 , 8}{6} = \frac{3}{10}$ общий угол, прямые углы

$10 x = 3 x + 21$ , $x = 3$ м проверка: $3 : 10 = 0, 3$

Сам

Фонарь $4, 5$ м, человек $1, 5$ м, тень $2$ м. Как далеко человек от столба? $4$ м
Человек $1, 7$ м стоит в $6$ м от столба, тень $3$ м. Высота фонаря? $5, 1$ м
Человек $1, 8$ м в $4$ м от столба, тень $2$ м. Он отошёл ещё на $3$ м. Новая тень? $3, 5$ м

R02.3

Способ 3 · зеркало · обоснование

Высота по отражению в зеркале

Зеркало

M

на земле; наблюдатель отходит, пока не увидит в нём верхушку

A

.

1

∠ D = ∠ B = 9 0^{\circ}

человек и столб вертикальны

2

∠ EM D = ∠ A MB

угол падения равен углу отражения (физика)

3

△ E D M \sim △ A BM

по двум углам

4

\frac{H}{h} = \frac{b}{a}

,

H = \frac{h b}{a}

h

— высота глаз, а не рост

R02.3

Способ 4 · недоступная точка · обоснование

Ширина реки без переправы

B

— дерево на том берегу,

A B ⊥

берегу. Вешки:

C

,

D

; от

D

идём под прямым углом до

E

, пока

E

,

C

,

B

не на одной прямой.

1

∠ A = ∠ D = 9 0^{\circ}

по построению

2

∠ A CB = ∠ D CE

вертикальные

3

△ A BC \sim △ D EC

,

A B = \frac{D E \cdot A C}{C D}

по двум углам

R02.3

Образец → сам · модель строим сами

Река и зеркало

Образец: $A C = 24$ м, $C D = 8$ м, $D E = 5$ м. Найдите ширину реки $A B$ .

$△ A BC \sim △ D EC$ прямые и вертикальные углы

$\frac{A B}{5} = \frac{24}{8} = 3$ , $A B = 15$ м

Сам: сначала рисунок

Глаза на высоте $1, 5$ м, до зеркала $1, 2$ м, от зеркала до столба $4$ м. Высота столба? $5$ м
Зеркало в $10$ м от дерева высотой $6$ м. Где встать (глаза $1, 5$ м), чтобы увидеть верхушку? в $2, 5$ м от зеркала
Река: $A C = 30$ м, $C D = 6$ м, $D E = 4$ м. Найдите $A B$ . $20$ м

R02.3

Образец → сам · задача на доказательство

Тросы между двумя столбами

Образец: столбы $a$ и $b$ ; тросы $A D$ и $CB$ пересекаются в $O$ . Докажите: $x = \frac{ab}{a + b}$ .

$△ D O H \sim △ D A B$ : $\frac{x}{a} = \frac{HD}{B D}$ $∠ D$ общий, прямые

$△ BO H \sim △ BC D$ : $\frac{x}{b} = \frac{B H}{B D}$ $∠ B$ общий

сложим: $\frac{x}{a} + \frac{x}{b} = \frac{B H + HD}{B D} = 1$ ⇒ $x = \frac{ab}{a + b}$

Сам

Столбы $4$ м и $12$ м. На какой высоте пересекаются тросы? $3$ м
Столбы по $5$ м. Найдите $x$ . Зависит ли ответ от расстояния между столбами? $2, 5$ м; не зависит
$x = 2, 4$ м, один столб $4$ м. Найдите другой. $6$ м

3 мин · практика
План доказательства: две пары вложенных треугольников (общий угол при D и при B, прямые углы при H, B, D) ⇒ два отношения ⇒ сложить, так как BH + HD = BD.
Неожиданный вывод: высота точки пересечения не зависит от расстояния между столбами. Эквивалентная запись: 1/x = 1/a + 1/b.
1) 4 · 12 : 16 = 3 м. 2) 25 : 10 = 2,5 м; от расстояния не зависит (формула его не содержит). 3) 1/b = 1/2,4 − 1/4 = 5/12 − 3/12 = 1/6 ⇒ b = 6 м.
На чертеже-образце в масштабе a = 6, b = 3, BD = 8 ⇒ x = 2.

R02.3

Образец → сам · измерения: визир

Карандаш на вытянутой руке

Образец: карандаш $15$ см в $60$ см от глаза закрывает башню в $120$ м. Высота башни?

общий угол при глазе, карандаш $∥$ башне подобие

$\frac{H}{0 , 15} = \frac{120}{0 , 6} = 200$ , $H = 30$ м всё в метрах

Сам

Отрезок $1$ см на линейке в $60$ см от глаза закрывает дом высотой $12$ м. Далеко ли дом? $720$ м
Глаза на $1, 6$ м; верх шеста $2$ м (в $1$ м от глаз) и верх дерева (в $9$ м) — на одной прямой. Высота дерева? $5, 2$ м
Монета $2, 3$ см в $2, 5$ м от глаза закрывает Луну ( $384400$ км). Диаметр Луны? $\approx 3500$ км

2 мин · практика
Образец: «треугольник зрения» с вершиной в глазу; карандаш и башня — параллельные отрезки ⇒ подобие по двум углам (общий угол, соответственные). Чертёж — схема, не в масштабе.
1) L = 12 · 0,6 : 0,01 = 720 м (перевести 1 см = 0,01 м).
2) Ловушка: подобны треугольники с вершиной в глазу и катетами «над глазами»: (H − 1,6) : (2 − 1,6) = 9 : 1 ⇒ H − 1,6 = 3,6 ⇒ H = 5,2 м. Ошибка: H : 2 = 9 : 1 ⇒ 18 м.
3) D = 0,023 · 384 400 : 2,5 ≈ 3536 км ≈ 3500 км (табличное значение 3474 км — точность метода хорошая).

R02.3

Сводка · пять способов

Модель → признак → пропорция

Способ	Равные углы	Треугольники	Пропорция
Тень от Солнца	прямые + соответственные (лучи $∥$ )	рядом	$\frac{H}{h} = \frac{L}{l}$
Тень от фонаря	прямые + общий угол	вложены	$\frac{x}{x + d} = \frac{h}{H}$
Зеркало	прямые + угол падения = углу отражения	по разные стороны	$\frac{H}{h} = \frac{b}{a}$
Недоступная точка	прямые + вертикальные	«бабочка»	$\frac{A B}{D E} = \frac{A C}{C D}$
Визир	общий + соответственные	вложены	$\frac{H}{a} = \frac{L}{l}$

R02.3 · углублённый

Дополнительно · метод подобия в построении

Треугольник по двум углам и высоте

Построить:

△ A BC

, где

∠ A = α

,

∠ B = β

, высота

C H = h

.

1

△ A_{1} B_{1} C

с углами

α

,

β

— любого размераформа верна, размер — нет

2на высоте из

C

откладываем

C H = h

3через

H

— прямая

∥ A_{1} B_{1}

пересекает стороны в

A

и

B

4

△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C

по двум углам ⇒ углы

α

,

β

и высота

h

2 мин · теория
Сверх обязательного минимума углублённого курса — метод подобия: сначала строим фигуру «нужной формы», затем подбираем размер. Так работают чертёжники и картографы (масштаб).
Обоснование шага 4: ∠C — общий, ∠CAB = ∠CA₁B₁ (соответственные при AB ∥ A₁B₁) ⇒ углы нового треугольника α и β; высота CH = h по построению.
Исследование: решение есть при α + β < 180°, и оно единственно (с точностью до равенства).
Если не успеваете — показать только чертёж и шаги 1 и 4.

R02.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$\frac{H}{14} = \frac{1 , 6}{1 , 2}$	в пропорции высота к тени — соответствие перепутано	$\frac{H}{1 , 2} = \frac{14}{1 , 6}$
фонарь: $\frac{x}{d} = \frac{h}{H}$	катет большого треугольника — от конца тени до столба	$\frac{x}{x + d} = \frac{h}{H}$
$\frac{H}{15} = \frac{120}{60}$ , $H = 30$ см	смешаны сантиметры и метры	$\frac{H}{0 , 15} = \frac{120}{0 , 6}$ , $H = 30$ м
«треугольники подобны — видно на рисунке»	подобие доказывают признаком	назвать два равных угла и причину

R02.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Глаза — $1, 5$ м, до зеркала $2$ м, от зеркала до дерева $6$ м. Высота дерева?

$\frac{H}{1 , 5} = \frac{2}{6}$ , $H = 0, 5$ м

$\frac{H}{1 , 5} = \frac{6}{2}$ , $H = 4, 5$ м

б) Фонарь $4, 8$ м, человек $1, 6$ м стоит в $6$ м от столба. Тень?

$\frac{x}{6} = \frac{1 , 6}{4 , 8}$ , $x = 2$ м

$\frac{x}{x + 6} = \frac{1}{3}$ , $x = 3$ м

в) Река. « $△ A BC \sim △ D EC$ , так как $∠ A = ∠ D = 9 0^{\circ}$ и $∠ B = ∠ E$ — видно на рисунке»

$∠ A CB = ∠ D CE$ — вертикальные; это и есть второй угол

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Перепутаны отношения: высота дерева : высота глаз = расстояние от зеркала до дерева : расстояние до наблюдателя. H = 1,5 · 6 : 2 = 4,5 м. Ответ 0,5 м неправдоподобен — шаг 5 плана.
б) Взят катет d вместо x + 6: 3x = x + 6 ⇒ x = 3 м.
в) Равенство ∠B = ∠E — следствие подобия, а не его причина (логический круг); обоснование — вертикальные углы при C.

R02.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаШест $2$ м даёт тень $1, 5$ м, дерево — $6$ м. Высота дерева? $8$ м
базаДом $12$ м даёт тень $9$ м. Тень человека ростом $1, 6$ м? $1, 2$ м
базаФонарь $6$ м, человек $1, 5$ м в $9$ м от столба. Тень? $3$ м

базаГлаза $1, 5$ м, до зеркала $1, 2$ м, до столба от зеркала $4$ м. Высота столба? $5$ м
базаРека: $A C = 30$ м, $C D = 6$ м, $D E = 4$ м. Ширина $A B$ ? $20$ м
базаПлечи шлагбаума $0, 8$ м и $3, 2$ м. Короткое опустилось на $0, 5$ м. Подъём длинного? $2$ м

R02.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Столбы $8$ м и $2$ м соединены тросами крест-накрест (верх одного — с низом другого). На какой высоте тросы пересекаются? $1, 6$ м
повыш.Человек ростом $1, 7$ м у фонаря отбрасывает тень $1, 7$ м. Отойдя ещё на $2$ м, тень стала $2, 7$ м. Высота фонаря? $5, 1$ м
повыш.Глаза на $1, 5$ м. Зеркало в $10$ м от дерева $6$ м. На каком расстоянии от зеркала встать? $2, 5$ м
из жизниПроектор в $3$ м от стены даёт изображение шириной $1, 8$ м. Ширина при $4, 5$ м? $2, 7$ м

R02.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 23

Ответ — одно число; ч. 2 — с решением

ОГЭ 15Человек ростом $1, 7$ м стоит в $8$ шагах от столба с фонарём. Тень человека — $4$ шага. На какой высоте (в м) фонарь? $5, 1$
ОГЭ 15Короткое плечо шлагбаума $1$ м, длинное — $3$ м. На какую высоту (в м) поднимется конец длинного плеча, если конец короткого опустится на $0, 5$ м? $1, 5$

ОГЭ 23 Основания трапеции $4$ и $12$ . Через точку $O$ пересечения диагоналей проведён отрезок $MN ∥$ основаниям. Найдите $MN$ .

$MO = NO = \frac{4 \cdot 12}{4 + 12} = 3$ как у тросов

$MN = 6$

R02.3

Задача из жизни · практическая работа

Измерьте высоту школы или дерева

Объект	Способ	Измерено	Высота
пример: дерево	тень	$h = 1, 2$ , $l = 1, 6$ , $L = 14$	$10, 5$ м
1.	тень
2.	зеркало
3.	визир

Измерьте одну высоту двумя способами и сравните. Почему ответы не совпали точно?

R02.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Шест $1, 5$ м даёт тень $2$ м, башня — $36$ м. Высота башни? $27$ м
Фонарь $5, 4$ м, человек $1, 8$ м в $8$ м от столба. Тень? $4$ м
Глаза $1, 6$ м, до зеркала $2$ м, от зеркала до дерева $7, 5$ м. Высота дерева? $6$ м
Столбы $3$ м и $6$ м, тросы крест-накрест. Высота их пересечения? $2$ м

Вариант 2

Человек $1, 6$ м даёт тень $2, 4$ м, дом — $27$ м. Высота дома? $18$ м
Фонарь $6$ м, человек $1, 5$ м, его тень $3$ м. Расстояние до столба? $9$ м
Река: $A C = 40$ м, $C D = 10$ м, $D E = 6$ м. Ширина $A B$ ? $24$ м
Столбы $10$ м и $15$ м, тросы крест-накрест. Высота их пересечения? $6$ м

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему треугольники «тени» подобны?
Чем задача с фонарём отличается от задачи с Солнцем?
Какой признак подобия нужен чаще всего?

Домашнее задание

Столб $3$ м даёт тень $4, 5$ м, здание — $27$ м. Высота здания?
Фонарь $4, 2$ м, человек $1, 4$ м в $5$ м от столба. Тень?
* Докажите: в трапеции точка пересечения диагоналей делит отрезок $MN ∥$ основаниям пополам.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_primenenie_podobiya.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы на вопросы: прямые углы + параллельные лучи (соответственные углы) ⇒ по двум углам; лучи фонаря выходят из одной точки — треугольники вложены, катет большого x + d; первый признак — по двум углам.
Ответы ДЗ: 1) 3 · 27 : 4,5 = 18 м. 2) x : (x + 5) = 1,4 : 4,2 = 1 : 3 ⇒ x = 2,5 м. 3*) MO = NO = ab/(a + b) — по образцу «тросы» для треугольников ABD и ACD (или △BCD и △BCA): MO/BC = AO/AC = AD/(AD + BC), NO/BC = DO/DB = AD/(AD + BC).
Практическая работа (сл. 21) — по желанию, на оценку.
Следующий урок — GEOM8U-026 «Введение понятия преобразования подобия и подобных фигур».

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-025 · Применение подобия при решении практических задач

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R02 «Подобие», 16 ч · урок 3/16 · тип Н
Единицы → слайды	R02.3 «Применение подобия при решении практических задач» → 2, 4–23 · повторение R02.1–R02.2 → 3
Результаты	ПР-6 (применять подобие в практических задачах) → 5–14, 18–22 · ПР-5 (признаки подобия) → 3, 5, 7, 9, 10, 12, 17 · ПР-11 (математические модели реальных задач) → 4, 11, 13, 21
Вне урока	преобразование подобия, подобные фигуры — GEOM8U-026; пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике и тригонометрия — далее по курсу; метод подобия в построении — слайд «Дополнительно» (15)
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Применение подобия при решении практических задач

Сегодня вы научитесь

Строить модель

Находить подобные треугольники

Измерять недоступное

Доказывать и решать

Признаки подобия и пропорции

От реальности к модели и обратно

Рисунок-модель

Два треугольника

Соответствие

Пропорция

Ответ и проверка

Высота дерева по длине его тени

Тень от Солнца

Образец: шест 1,2 м даёт тень 1,6 м, а дерево — 14 м. Найдите высоту дерева.

Сам

Вложенные треугольники с общим углом

Тень от фонаря

Образец: фонарь на высоте 6 м, человек ростом 1,8 м стоит в 7 м от столба. Найдите длину тени.

Сам

Высота по отражению в зеркале

Ширина реки без переправы

Река и зеркало

Образец: AC=24 м, CD=8 м, DE=5 м. Найдите ширину реки AB.

Сам: сначала рисунок

Тросы между двумя столбами

Образец: столбы a и b; тросы AD и CB пересекаются в O. Докажите: x=a+bab​.

Сам

Карандаш на вытянутой руке

Образец: карандаш 15 см в 60 см от глаза закрывает башню в 120 м. Высота башни?

Сам

Модель → признак → пропорция

Треугольник по двум углам и высоте

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Глаза — 1,5 м, до зеркала 2 м, от зеркала до дерева 6 м. Высота дерева?

б) Фонарь 4,8 м, человек 1,6 м стоит в 6 м от столба. Тень?

в) Река. «△ABC∼△DEC, так как ∠A=∠D=90∘ и ∠B=∠E — видно на рисунке»

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число; ч. 2 — с решением

Измерьте высоту школы или дерева

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-025 · Применение подобия при решении практических задач

Образец: шест $1, 2$ м даёт тень $1, 6$ м, а дерево — $14$ м. Найдите высоту дерева.

Образец: фонарь на высоте $6$ м, человек ростом $1, 8$ м стоит в $7$ м от столба. Найдите длину тени.

Образец: $A C = 24$ м, $C D = 8$ м, $D E = 5$ м. Найдите ширину реки $A B$ .

Образец: столбы $a$ и $b$ ; тросы $A D$ и $CB$ пересекаются в $O$ . Докажите: $x = \frac{ab}{a + b}$ .

Образец: карандаш $15$ см в $60$ см от глаза закрывает башню в $120$ м. Высота башни?

а) Глаза — $1, 5$ м, до зеркала $2$ м, от зеркала до дерева $6$ м. Высота дерева?

б) Фонарь $4, 8$ м, человек $1, 6$ м стоит в $6$ м от столба. Тень?

в) Река. « $△ A BC \sim △ D EC$ , так как $∠ A = ∠ D = 9 0^{\circ}$ и $∠ B = ∠ E$ — видно на рисунке»