Подобие · урок 1 из 16

Подобие треугольников, коэффициент подобия

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM8U-023

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Паспорт: R02 «Подобие» (16 ч), урок 1/16, единица R02.1. Тип урока — Н.
Теория (13,5): титул 0,5 · цели 0,5 · пропорциональные отрезки 1,5 · определение 2,5 · коэффициент и запись 2 · лемма 3 · периметры и элементы 2 · схема 1,5.
Практика (31,5): разминка 2,5 · образцы → сам 2,5 × 5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2 · ОГЭ 15/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 3,5 · итог 1.
Если не успеваете: образец 5 (доказательство) и ОГЭ 24 — в ДЗ; доказательство леммы не сокращать.

R02.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Определять подобие

называть соответственные углы и сходственные стороны (ПР-5)

Находить коэффициент

и неизвестные стороны, периметры подобных треугольников

Доказывать лемму

прямая, параллельная стороне, отсекает подобный треугольник

Решать задачи

на вычисление и доказательство, в том числе ОГЭ 15, 23, 24 (ПР-5)

повторение: R01.8–R01.9

Разминка · устно

Отношения и пропорции

$A C ∥ B D$ , $O A = 3$ , $A B = 6$ , $OC = 4$ . Найдите $C D$ . $8$
Найдите $x$ : $\frac{x}{6} = \frac{4}{3}$ . $8$
$A B = 12$ см, $C D = 4$ см. Чему равно $A B : C D$ ? $3$
$2 : 5 = 6 : x$ . Найдите $x$ . $15$
Два угла одного треугольника $5 0^{\circ}$ и $7 0^{\circ}$ , другого — $5 0^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$ . Что общего? все три угла равны
Масштаб карты $1 : 100000$ . Сколько км в 3 см? $3$ км

R02.1

Понятие · пропорциональные отрезки

Отношение отрезков

Отношение отрезков

A B

и

C D

— отношение их длин

A B : C D

.

Отрезки

A B

и

C D

пропорциональны отрезкам

A_{1} B_{1}

и

C_{1} D_{1}

, если

\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{C D}{C _{1} D _{1}}

На рисунке: $\frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ — пропорциональны.

R02.1

Определение

Подобные треугольники

Треугольники подобны, если их углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого.

$∠ A = ∠ A_{1}$ , $∠ B = ∠ B_{1}$ , $∠ C = ∠ C_{1}$

\frac{A B}{A _{1} B _{1}}

=

\frac{BC}{B _{1} C _{1}}

=

\frac{C A}{C _{1} A _{1}}

= k

Запись: $△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$

2,5 мин · теория
Сходственные стороны — стороны, лежащие против равных углов (AB против ∠C и A₁B₁ против ∠C₁ и т. д.). Цвет стороны на чертеже совпадает с цветом в пропорции.
На чертеже k = 1,5: стороны △ABC в полтора раза длиннее сходственных сторон △A₁B₁C₁, углы — те же (одинаковые дуги).
Важно: в определении два условия — равенство углов И пропорциональность сторон. Признаки подобия (следующий урок) покажут, что достаточно части условий.
Знак «∼» читается «подобен».

R02.1

Понятие · коэффициент подобия

Порядок букв — это соответствие

Коэффициент подобия

$k = \frac{A B}{A _{1} B _{1}}$ — отношение сходственных сторон для $△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$

Порядок букв

$△ A BC \sim △ MN K$ : $A \leftrightarrow M$ , $B \leftrightarrow N$ , $C \leftrightarrow K$ ; значит $\frac{A B}{MN} = \frac{BC}{N K} = \frac{A C}{M K}$

Значение $k$

$k > 1$ — первый больше, $k < 1$ — меньше; $k = 1$ — треугольники равны

Обратно

$△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC$ с коэффициентом $\frac{1}{k}$

2 мин · теория
Договорённость урока (как в учебнике Атанасяна): для △ABC ∼ △A₁B₁C₁ коэффициент — отношение стороны первого треугольника к сходственной стороне второго.
Вопрос: △ABC ∼ △MNK. Какая сторона сходственна AC? (MK.) Какой угол равен ∠B? (∠N.)
Если k = 1, все сходственные стороны равны — равенство треугольников есть частный случай подобия.
Углублённый уровень: подобие транзитивно — если △1 ∼ △2 с k₁ и △2 ∼ △3 с k₂, то △1 ∼ △3 с k₁k₂ (доказывают на сл. 13).

R02.1

Образец → сам · стороны по коэффициенту

Найдите стороны подобного треугольника

Образец: $△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC$ , $A B = 4$ , $BC = 6$ , $A C = 7$ , $A_{1} B_{1} = 10$ . Найдите $k$ , $B_{1} C_{1}$ , $A_{1} C_{1}$ .

$k = \frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{10}{4} = 2, 5$ сходственные стороны

$B_{1} C_{1} = 2, 5 \cdot 6 = 15$ , $A_{1} C_{1} = 2, 5 \cdot 7 = 17, 5$

Сам

$△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC$ , $k = 3$ , $A B = 5$ , $BC = 7$ , $A C = 8$ . Найдите стороны $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ . $15$ , $21$ , $24$
$△ A BC \sim △ K L M$ , $A B = 12$ , $BC = 15$ , $A C = 18$ , $K L = 8$ . Найдите $L M$ и $K M$ . $10$ и $12$
Стороны треугольника $4$ , $6$ , $9$ . Наибольшая сторона подобного ему — $27$ . Найдите остальные. $12$ и $18$

R02.1

Образец → сам · соответствие по равным углам

Какие стороны сходственные?

Образец: $∠ A = ∠ K$ , $∠ B = ∠ M$ , треугольники подобны. $A B = 6$ , $BC = 9$ , $A C = 12$ , $K M = 4$ . Найдите $MP$ , $K P$ .

$△ A BC \sim △ K MP$ порядок букв — по равным углам

$k = \frac{A B}{K M} = \frac{6}{4} = 1, 5$

$MP = 9 : 1, 5 = 6$ , $K P = 12 : 1, 5 = 8$

Сам

$△ A BC \sim △ PRS$ , $A B = 10$ , $BC = 14$ , $PR = 5$ . Найдите $RS$ . $7$
$△ A BC \sim △ D EF$ . Запишите равные углы и пропорцию сторон. $∠ A = ∠ D$ , $∠ B = ∠ E$ , $∠ C = ∠ F$ ; $A B : D E = BC : EF = A C : D F$
$△ A BC \sim △ MN K$ , $A C = 6$ , $M K = 4$ , $MN = 5$ . Найдите $A B$ . $7, 5$

R02.1

Лемма · доказательство

Лемма о подобных треугольниках

Дано:

△ A BC

,

M \in A B

,

N \in BC

,

MN ∥ A C

.
Доказать:

△ MBN \sim △ A BC

.

1

∠ B

— общий;

∠ BMN = ∠ A

,

∠ BNM = ∠ C

соответственные при

MN ∥ A C

2

\frac{BM}{B A} = \frac{BN}{BC}

теорема о пропорциональных отрезках (угол

B

,

MN ∥ A C

)

3

N K ∥ A B

⇒

A MN K

— параллелограмм,

MN = A K

;

\frac{BN}{BC} = \frac{A K}{A C}

та же теорема для угла

C

4

\frac{BM}{B A} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{A C}

⇒

△ MBN \sim △ A BC

по определению

3 мин · теория
Каждый шаг — вопрос классу «почему?». Шаг 3 по щелчку достраивает на чертеже NK ∥ AB и параллелограмм AMNK (заливка).
Подробно шаг 3: в угле C прямые NK и BA параллельны, поэтому CN/CB = CK/CA; вычитая из 1, получаем BN/BC = AK/AC, а AK = MN (противоположные стороны параллелограмма).
Лемма верна и тогда, когда прямая пересекает продолжения сторон (за вершиной B) — это используем в задачах с трапецией (образец 4).
Ошибка: писать BM/MA = MN/AC — отношение берётся к целой стороне BA, а не к её части.

R02.1

Образец → сам · применяем лемму

Отрезок, параллельный стороне

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM = 4$ , $M A = 6$ , $A C = 15$ . Найдите $MN$ .

$△ MBN \sim △ A BC$ лемма

$\frac{MN}{A C} = \frac{BM}{B A} = \frac{4}{4 + 6} = 0, 4$ к целой стороне

$MN = 0, 4 \cdot 15 = 6$

Сам

$MN ∥ A C$ , $BM = 5$ , $A B = 15$ , $A C = 12$ . Найдите $MN$ . $4$
$MN ∥ A C$ , $BN = 6$ , $NC = 3$ , $MN = 10$ . Найдите $A C$ . $15$
$MN ∥ A C$ , $A C = 20$ , $MN = 8$ , $A B = 15$ . Найдите $A M$ . $9$

R02.1

Теорема · отношение периметров

Периметры и элементы подобных треугольников

Дано:

△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}

, коэффициент

k

.
Доказать:

\frac{P}{P _{1}} = k

.

1

A B = k A_{1} B_{1}

,

BC = k B_{1} C_{1}

,

C A = k C_{1} A_{1}

определение подобия

2

P = k (A_{1} B_{1} + B_{1} C_{1} + C_{1} A_{1}) = k P_{1}

сложили и вынесли

k

Так же относятся сходственные высоты, медианы, биссектрисы:

\frac{h}{h _{1}} = k

— докажем на следующем уроке.

R02.1

Образец → сам · комбинированная задача

Трапеция: продлим боковые стороны

Образец: $A BC D$ — трапеция, $BC = 4$ , $A D = 10$ , $A B = 6$ ; прямые $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ . Найдите $EB$ .

$△ EBC \sim △ E A D$ лемма, $BC ∥ A D$

$\frac{EB}{EB + 6} = \frac{4}{10}$ ⇒ $10 EB = 4 EB + 24$

$EB = 4$

Сам

Трапеция: $BC = 3$ , $A D = 7$ , $A B = 8$ . Найдите $EB$ . $6$
Трапеция: $EB = 5$ , $A B = 10$ , $BC = 4$ . Найдите $A D$ . $12$
$MN ∥ A C$ , $BM : M A = 1 : 2$ , $P_{A BC} = 27$ . Найдите $P_{MBN}$ . $9$

R02.1

Образец → сам · задача на доказательство

План доказательства и обоснования

Образец: $MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$ . Докажите: $BM \cdot NC = BN \cdot M A$ .

$\frac{B A}{BM} = \frac{BC}{BN}$ лемма

$\frac{M A}{BM} = \frac{NC}{BN}$ вычли 1 из обеих частей

$BM \cdot NC = BN \cdot M A$ свойство пропорции

Сам: составьте план

Трапеция $A BC D$ , $A B \cap C D = E$ . Докажите: $\frac{EB}{E A} = \frac{BC}{A D}$ . лемма для $△ E A D$ , $BC ∥ A D$
$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ и $A B = A_{1} B_{1}$ . Докажите: треугольники равны. $k = 1$ ⇒ стороны равны ⇒ III признак
$△1 \sim △2$ ( $k_{1}$ ), $△2 \sim △3$ ( $k_{2}$ ). Докажите: $△1 \sim △3$ . углы равны; $k = k_{1} k_{2}$

2,5 мин · практика
Образец: из леммы BM/BA = BN/BC, переворачиваем дроби и вычитаем 1 из обеих частей — получаем MA/BM = NC/BN; по основному свойству пропорции BM · NC = BN · MA.
1) △EBC ∼ △EAD (лемма: BC ∥ AD, прямая BC отсекает от △EAD треугольник EBC) ⇒ EB/EA = BC/AD.
2) k = AB/A₁B₁ = 1 ⇒ BC = B₁C₁, CA = C₁A₁ ⇒ равны по III признаку (или сразу: углы и стороны соответственно равны).
3) Углы △1 равны углам △2, а те — углам △3; AB/A₂B₂ = (AB/A₁B₁)·(A₁B₁/A₂B₂) = k₁k₂ — одно и то же для всех трёх пар сторон.
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования.

R02.1

Схема-конспект

Как получить подобие → что оно даёт

Как получить

по определению: углы равны и стороны пропорциональны
лемма: прямая $∥$ стороне
признаки — урок 2

⟶

$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$

коэффициент $k$

⟶

Что даёт

$∠ A = ∠ A_{1}$ , $∠ B = ∠ B_{1}$ , $∠ C = ∠ C_{1}$
$\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{BC}{B _{1} C _{1}} = \dots = k$
$\frac{P}{P _{1}} = k$ , $\frac{h}{h _{1}} = k$

R02.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$MN ∥ A C$ ⇒ $\frac{MN}{A C} = \frac{BM}{M A}$	сторона $△ A BC$ — вся $B A$ , а не её часть	$\frac{MN}{A C} = \frac{BM}{B A}$
$△ A BC \sim △ K MN$ ⇒ $\frac{A B}{K N}$	сходственные стороны — по порядку букв	$\frac{A B}{K M} = \frac{BC}{MN} = \frac{A C}{K N}$
$k = 2$ ⇒ периметр больше в $4$ раза	периметр — сумма сторон, каждая в $k$ раз больше	$P : P_{1} = k = 2$
«Стороны $2, 3, 4$ и $4, 6, 7$ — подобны: все больше»	отношения сходственных сторон разные	$\frac{4}{2} = \frac{6}{3} \neq = \frac{7}{4}$ — не подобны

R02.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $MN ∥ A C$ , $BM = 3$ , $M A = 6$ , $A C = 12$ . Найдите $MN$ .

$\frac{MN}{12} = \frac{3}{6}$

$MN = 6$

$\frac{MN}{12} = \frac{3}{9}$ , $MN = 4$

б) $△ A BC \sim △ D EF$ , $A B = 4$ , $BC = 6$ , $A C = 8$ , $D E = 6$ . Найдите $EF$ .

$k = \frac{D E}{A B} = 1, 5$

$EF = 1, 5 \cdot A C = 12$

$EF \leftrightarrow BC$ :
$EF = 1, 5 \cdot 6 = 9$

в) $△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $k = 3$ , $P_{A BC} = 36$ . Найдите $P_{A_{1} B_{1} C_{1}}$ .

$P_{1} = 36 \cdot 3 = 108$

$\frac{P}{P _{1}} = k$ ⇒
$P_{1} = 36 : 3 = 12$

R02.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $k = 2$ , $A_{1} B_{1} = 3, 5$ . Найдите $A B$ . $7$
база $△ A BC \sim △ D EF$ , $∠ A = 4 0^{\circ}$ , $∠ B = 7 5^{\circ}$ . Найдите $∠ F$ . $6 5^{\circ}$
базаСтороны $5$ , $6$ , $8$ . Подобный треугольник вдвое меньше. Его стороны? $2, 5$ ; $3$ ; $4$

базаПериметры подобных треугольников $18$ и $27$ , сторона меньшего $4$ . Сходственная сторона большего? $6$
база $MN ∥ A C$ , $BM = 3$ , $B A = 9$ , $A C = 12$ . Найдите $MN$ . $4$
базаСходственные стороны относятся как $3 : 5$ , периметр большего $40$ . Периметр меньшего? $24$

R02.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Стороны треугольника $6$ , $8$ , $10$ . Периметр подобного ему треугольника $36$ . Найдите его стороны. $9$ , $12$ , $15$
повыш. $MN ∥ A C$ , $A M = 4$ , $MB = 6$ , $BN = 9$ . Найдите $NC$ . $6$
повыш.Трапеция: $A D = 12$ , $BC = 8$ , прямые $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ , $EB = 10$ . Найдите $A B$ . $5$
из жизниМодель треугольной кровли в масштабе $1 : 50$ имеет стороны $12$ , $12$ и $16$ см. Найдите периметр настоящей кровли в метрах. $20$ м

R02.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15Прямая, параллельная стороне $A C$ треугольника $A BC$ , пересекает стороны $A B$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ . $A B = 30$ , $A C = 25$ , $MN = 20$ . Найдите $A M$ . $6$
ОГЭ 15То же условие: $A B = 70$ , $A C = 49$ , $MN = 28$ . Найдите $A M$ . $30$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

У подобных треугольников соответственные углы равны.
Все равнобедренные треугольники подобны.
Отношение периметров подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Любые два равносторонних треугольника подобны.

Ответ: 14

R02.1 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Основания трапеции $A BC D$ равны $BC = 6$ и $A D = 15$ , $C D = 9$ . Прямые $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$ . Найдите $E D$ .

$△ EBC \sim △ E A D$ лемма, $BC ∥ A D$

$\frac{E D - 9}{E D} = \frac{6}{15}$

$E D = 15$

ОГЭ 24 Через точку $M$ стороны $A B$ треугольника $A BC$ проведены $MN ∥ A C$ и $M K ∥ BC$ ( $N \in BC$ , $K \in A C$ ). Докажите: $△ MBN \sim △ A M K$ .

лемма: $△ MBN \sim △ A BC$ , так как $MN ∥ A C$ ; $△ A M K \sim △ A BC$ , так как $M K ∥ BC$

оба подобны $△ A BC$ ⇒ $△ MBN \sim △ A M K$

R02.1

Самостоятельная работа · 3,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $A B = 6$ , $BC = 8$ , $A_{1} B_{1} = 9$ . Найдите $B_{1} C_{1}$ . $12$
$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $∠ A = 5 0^{\circ}$ , $∠ C_{1} = 6 0^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ . $7 0^{\circ}$
$MN ∥ A C$ , $BM = 4$ , $M A = 8$ , $A C = 18$ . Найдите $MN$ . $6$
Периметры подобных треугольников $15$ и $25$ , сторона большего $10$ . Сходственная сторона меньшего? $6$

Вариант 2

$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $A B = 10$ , $A_{1} B_{1} = 4$ , $B_{1} C_{1} = 6$ . Найдите $BC$ . $15$
$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $∠ B = 3 5^{\circ}$ , $∠ C_{1} = 10 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A$ . $4 5^{\circ}$
$MN ∥ A C$ , $BN = 6$ , $NC = 3$ , $A C = 12$ . Найдите $MN$ . $8$
Периметры подобных треугольников $24$ и $36$ , сторона меньшего $6$ . Сходственная сторона большего? $9$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие треугольники называют подобными?
Как по записи $△ A BC \sim △ MN K$ найти сходственные стороны?
Чему равно отношение периметров?

Домашнее задание

Стороны $4$ , $7$ , $9$ ; наименьшая сторона подобного — $12$ . Найдите остальные.
$MN ∥ A C$ , $A M = 3$ , $MB = 9$ , $A C = 16$ . Найдите $MN$ .
* Докажите: медиана $B D$ делит пополам любой отрезок $MN ∥ A C$ с концами на $A B$ и $BC$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_podobnye_treugolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-023 · Подобие треугольников, коэффициент подобия

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R02 «Подобие», 16 ч · урок 1/16 · тип Н
Единицы → слайды	R02.1 «Подобие треугольников, коэффициент подобия» → 2, 4–22 · повторение R01.8–R01.9 → 3
Результаты	ПР-5 (понятия подобия треугольников, коэффициента подобия, соответственных элементов) → 4–22; ПР-6 (практические задачи) → 18
Вне урока	признаки подобия — GEOM8U-024; практические задачи — GEOM8U-025; преобразование подобия — GEOM8U-026; отношение площадей — R03; доказательство для высот, медиан, биссектрис — после признаков
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Подобие треугольников, коэффициент подобия

Сегодня вы научитесь

Определять подобие

Находить коэффициент

Доказывать лемму

Решать задачи

Отношения и пропорции

Отношение отрезков

Подобные треугольники

Порядок букв — это соответствие

Коэффициент подобия

Порядок букв

Значение k

Обратно

Найдите стороны подобного треугольника

Образец: △A1​B1​C1​∼△ABC, AB=4, BC=6, AC=7, A1​B1​=10. Найдите k, B1​C1​, A1​C1​.

Сам

Какие стороны сходственные?

Образец: ∠A=∠K, ∠B=∠M, треугольники подобны. AB=6, BC=9, AC=12, KM=4. Найдите MP, KP.

Сам

Лемма о подобных треугольниках

Отрезок, параллельный стороне

Образец: MN∥AC, BM=4, MA=6, AC=15. Найдите MN.

Сам

Периметры и элементы подобных треугольников

Трапеция: продлим боковые стороны

Образец: ABCD — трапеция, BC=4, AD=10, AB=6; прямые AB и CD пересекаются в E. Найдите EB.

Сам

План доказательства и обоснования

Образец: MN∥AC, M∈AB, N∈BC. Докажите: BM⋅NC=BN⋅MA.

Сам: составьте план

Как получить подобие → что оно даёт

Как получить

Что даёт

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) MN∥AC, BM=3, MA=6, AC=12. Найдите MN.

б) △ABC∼△DEF, AB=4, BC=6, AC=8, DE=6. Найдите EF.

в) △ABC∼△A1​B1​C1​, k=3, PABC​=36. Найдите PA1​B1​C1​​.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-023 · Подобие треугольников, коэффициент подобия

Значение $k$

Образец: $△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC$ , $A B = 4$ , $BC = 6$ , $A C = 7$ , $A_{1} B_{1} = 10$ . Найдите $k$ , $B_{1} C_{1}$ , $A_{1} C_{1}$ .

Образец: $∠ A = ∠ K$ , $∠ B = ∠ M$ , треугольники подобны. $A B = 6$ , $BC = 9$ , $A C = 12$ , $K M = 4$ . Найдите $MP$ , $K P$ .

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM = 4$ , $M A = 6$ , $A C = 15$ . Найдите $MN$ .

Образец: $A BC D$ — трапеция, $BC = 4$ , $A D = 10$ , $A B = 6$ ; прямые $A B$ и $C D$ пересекаются в $E$ . Найдите $EB$ .

Образец: $MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$ . Докажите: $BM \cdot NC = BN \cdot M A$ .

а) $MN ∥ A C$ , $BM = 3$ , $M A = 6$ , $A C = 12$ . Найдите $MN$ .

б) $△ A BC \sim △ D EF$ , $A B = 4$ , $BC = 6$ , $A C = 8$ , $D E = 6$ . Найдите $EF$ .

в) $△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $k = 3$ , $P_{A BC} = 36$ . Найдите $P_{A_{1} B_{1} C_{1}}$ .