Четырёхугольники · урок 22 из 22

Обобщение и систематизация по теме «Четырёхугольники»

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM8U-022

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Четырехугольники» (22 ч), урок 22/22, единицы R01.1–R01.11. Тип урока — О (обобщение и систематизация): теория — только сводки, всё остальное — практика.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · классификация 2 · свойства и признаки 2,5 · средние линии и Фалес 3 · центр масс и симметрия 1,5 · дополнительные построения 2.
Практика (33): разминка 1,5 · образцы → сам 2,5 × 6 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 1,5 · база 2,5 · повышенный 2 · ОГЭ 17–19 — 2 · ОГЭ 23–24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Сводки ведут ученики: учитель задаёт вопрос, класс называет свойство или признак, слайд подтверждает. Если не успеваете: ОГЭ 24 и повышенный уровень — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R01.1–R01.11

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Классифицировать

четырёхугольники и различать признаки и свойства каждого вида (ПР-1)

Применять средние линии

теоремы Фалеса и о пропорциональных отрезках (ПР-3)

Использовать центр масс

и центральную симметрию при решении задач (ПР-2, ПР-4)

Выбирать метод

и дополнительное построение — в задачах ОГЭ 17–19, 23–24

0,5 мин · теория
ПР-1: «Распознавать основные виды четырехугольников, их элементы, пользоваться их свойствами при решении геометрических задач. Различать признаки и свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника, доказывать их и уверенно применять при решении геометрических задач».
ПР-2: «Использовать свойства точки пересечения медиан треугольника (центра масс) в решении задач». ПР-3: средняя линия треугольника и трапеции, теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках, практические задачи. ПР-4: центрально-симметричные фигуры.
Урок завершает раздел R01; следующий раздел — подобие треугольников (GEOM8U-023).

R01.1–R01.11

Разминка · устно

Блиц по всей теме

Сумма углов выпуклого четырёхугольника? $36 0^{\circ}$
Угол параллелограмма $7 0^{\circ}$ . Остальные углы? $11 0^{\circ}$ , $7 0^{\circ}$ , $11 0^{\circ}$
Ромб с прямым углом — это… квадрат
Сторона треугольника $18$ . Параллельная ей средняя линия? $9$

Основания трапеции $7$ и $13$ . Средняя линия? $10$
Медиана $15$ . На какие части её делит точка пересечения медиан? $10$ и $5$
Есть ли центр симметрии у равнобедренной трапеции? нет, только ось

R01.1, R01.2, R01.4–R01.6

Схема-конспект · виды четырёхугольников

От четырёхугольника к квадрату

2 мин · теория
Вопросы классу по стрелкам: что добавить к параллелограмму, чтобы получить прямоугольник? ромб? Почему квадрат — и прямоугольник, и ромб? Почему трапеция не параллелограмм (только одна пара параллельных сторон)?
Главная мысль: вид ниже наследует все свойства вида выше. Квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.
Ошибка: «квадрат — не прямоугольник». Квадрат — частный случай прямоугольника и ромба.

R01.1, R01.2, R01.5

Схема-конспект · свойства и признаки

Свойство — «то…», признак — «если…»

Фигура	Свойства: если фигура такая, то…	Признаки: фигура такая, если…
Параллелограмм	противоположные стороны и углы равны; диагонали делятся точкой пересечения пополам	две стороны равны и параллельны; противоположные стороны попарно равны; диагонали делятся пополам
Прямоугольник	все свойства параллелограмма; диагонали равны	параллелограмм с прямым углом; параллелограмм с равными диагоналями
Ромб	диагонали перпендикулярны и делят углы пополам	параллелограмм с равными соседними сторонами; с $⊥$ диагоналями; диагональ — биссектриса угла
Квадрат	все свойства прямоугольника и ромба	прямоугольник с равными соседними сторонами; ромб с прямым углом
Равнобедр. трапеция	углы при основании равны; диагонали равны	трапеция с равными углами при основании; трапеция с равными диагоналями

2,5 мин · теория
Ученики заполняют пустую таблицу в тетради за 1 минуту по памяти, затем сверяют. Признак нужен, чтобы доказать, что фигура данного вида; свойство — чтобы пользоваться тем, что она такого вида.
Обратить внимание: признаки ромба и прямоугольника начинаются со слов «параллелограмм, у которого…». Четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями — не обязательно ромб (дельтоид), с равными диагоналями — не обязательно прямоугольник (равнобедренная трапеция).
Углублённый уровень: все признаки доказаны в GEOM8U-001, -002, -005; спросить, на какие признаки равенства треугольников они опираются.

R01.3, R01.7, R01.8, R01.9

Схема-конспект · средние линии и теорема Фалеса

Четыре теоремы о параллельных отрезках

Средняя линия треугольника

$MN ∥ A C$ , $MN = \frac{A C}{2}$

Средняя линия трапеции

$MN ∥ A D$ , $MN = \frac{a + b}{2}$

Теорема Фалеса

параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки ⇒ и на другой равные

О пропорциональных отрезках

$A A_{1} ∥ B B_{1}$ ⇒

$\frac{O A}{A B} = \frac{O A _{1}}{A _{1} B _{1}}$

3 мин · теория
Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон; трапеции — середины боковых сторон. Вопрос: откуда формула средней линии трапеции? (Диагональ делит её на две средние линии треугольников: b/2 + a/2.)
Теорема Фалеса — основа деления отрезка на n равных частей циркулем и линейкой; теорема о пропорциональных отрезках — её обобщение (отношение отрезков на сторонах угла сохраняется).
Ошибка: применять теорему о пропорциональных отрезках, когда прямые не параллельны.

R01.10, R01.11

Схема-конспект · центр масс и центральная симметрия

Точка пересечения медиан и центр симметрии

Медианы пересекаются в одной точке $G$ — центре масс — и делятся ею в отношении $A G : G A_{1} = 2 : 1$ , считая от вершины.

$X^{'}$ симметрична $X$ относительно $O$ , если $O$ — середина $X X^{'}$ . Центр симметрии есть у параллелограмма (точка пересечения диагоналей), окружности, отрезка.

R01.1, R01.4–R01.7

Схема-конспект · дополнительные построения

Как свести четырёхугольник к знакомым фигурам

Две высоты

$A H = KD = \frac{a - b}{2}$

$CE ∥ A B$

$A BCE$ — параллелограмм, $E D = a - b$

Продолжить бока

треугольник $A P D$ с отрезком $BC ∥ A D$

Удвоить медиану

$M D = BM$ ⇒ $A BC D$ — параллелограмм

2 мин · теория
1) В равнобедренной трапеции высоты BH и CK отсекают равные прямоугольные треугольники; HK = BC, поэтому AH = KD = (a − b)/2.
2) Прямая через вершину меньшего основания параллельно боковой стороне даёт параллелограмм ABCE и треугольник ECD со сторонами c, d и a − b (ОГЭ 23 на сл. 20).
3) Продолжение боковых сторон — путь к подобию (следующий раздел). 4) Удвоение медианы: диагонали BD и AC делятся точкой M пополам ⇒ признак параллелограмма.

R01.1, R01.2

Образец → сам · определяем вид четырёхугольника

Сначала признак — потом свойства

Образец: диагонали $A BC D$ делятся точкой $O$ пополам, $A C = B D = 12$ , $∠ A OB = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .

$A BC D$ — параллелограмм диагонали делятся пополам

$A BC D$ — прямоугольник диагонали равны

$A B = A O = 6$ $△ A OB$ равносторонний

Сам

Диагональ $A C$ параллелограмма — биссектриса $∠ A$ , $A B = 5$ . Вид фигуры и $P$ ? ромб, $P = 20$
Ромб с равными диагоналями — это… квадрат
Угол между диагоналями прямоугольника $6 0^{\circ}$ , меньшая сторона $7$ . Найдите диагональ. $14$

2,5 мин · практика
Образец: признак 3 параллелограмма ⇒ параллелограмм; параллелограмм с равными диагоналями ⇒ прямоугольник; AO = BO = 12 : 2 = 6, в равнобедренном △AOB угол при вершине 60° ⇒ углы при основании (180 − 60) : 2 = 60° ⇒ равносторонний, AB = 6.
1) ∠BAC = ∠CAD = ∠BCA (накрест) ⇒ AB = BC ⇒ ромб; P = 4 · 5 = 20. 2) квадрат (ромб — параллелограмм, равные диагонали ⇒ прямоугольник). 3) Против угла 60° — меньшая сторона; △ равносторонний ⇒ половина диагонали 7, диагональ 14.
Требовать слово-обоснование к каждому шагу: «по признаку…».

R01.4, R01.5, R01.6, R01.7

Образец → сам · трапеция и её высоты

Дополнительное построение в трапеции

Образец: равнобедренная трапеция, $A D = 16$ , $BC = 6$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ , $P$ и среднюю линию.

$A H = KD = \frac{16 - 6}{2} = 5$ $△ A B H = △ D C K$

$∠ A B H = 3 0^{\circ}$ ⇒ $A B = 2 \cdot A H = 10$ катет против $3 0^{\circ}$

$P = 16 + 6 + 2 \cdot 10 = 42$ , $m = \frac{16 + 6}{2} = 11$

Сам

Равнобедренная трапеция: основания $7$ и $15$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите боковую сторону. $8$
Прямоугольная трапеция, $∠ A = 9 0^{\circ}$ , $BC = 5$ , $A D = 12$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $7$
Равнобедренная трапеция: основания $8$ и $14$ , $P = 34$ . Найдите угол при большем основании. $6 0^{\circ}$

R01.1, R01.2, R01.3

Образец → сам · задача на доказательство

Середины сторон четырёхугольника

Образец: $M, N, P, Q$ — середины сторон $A BC D$ . Докажите: $MNPQ$ — параллелограмм.

$MN ∥ A C$ , $MN = \frac{1}{2} A C$ средняя линия $△ A BC$

$QP ∥ A C$ , $QP = \frac{1}{2} A C$ средняя линия $△ A D C$

$MN ∥ QP$ , $MN = QP$ ⇒ параллелограмм

Сам: план и обоснования

Каким будет $MNPQ$ , если $A C = B D$ ? ромб: $MN = NP = \frac{1}{2} A C$
Каким будет $MNPQ$ , если $A C ⊥ B D$ ? прямоугольник: $MN ∥ A C$ , $NP ∥ B D$
Докажите: $P_{MNPQ} = A C + B D$ . $MN + QP = A C$ , $NP + MQ = B D$

2,5 мин · практика
Последний шаг — по признаку 1 (две стороны равны и параллельны). Это теорема Вариньона — работает для любого четырёхугольника (даже невыпуклого). Обоснования: средняя линия треугольника (R01.3) → признак 1 параллелограмма (R01.1).
1) NP — средняя линия △BCD: NP = BD/2 = AC/2 = MN ⇒ параллелограмм с равными соседними сторонами — ромб. 2) MN ∥ AC, NP ∥ BD, AC ⊥ BD ⇒ MN ⊥ NP ⇒ прямоугольник. 3) MN = QP = AC/2, NP = MQ = BD/2 ⇒ P = AC + BD.
Работа в парах: один пишет шаги, второй — обоснования. Задачи 1–2 — для всех, 3 — сильным.

R01.8, R01.9

Образец → сам · пропорциональные отрезки

Параллельные прямые пересекают стороны угла

Образец: $A A_{1} ∥ B B_{1}$ , $O A = 4$ , $A B = 6$ , $O A_{1} = 6$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ .

$\frac{O A}{A B} = \frac{O A _{1}}{A _{1} B _{1}}$ теорема о пропорциональных отрезках

$\frac{4}{6} = \frac{6}{A _{1} B _{1}}$ ⇒ $A_{1} B_{1} = \frac{6 \cdot 6}{4} = 9$

Сам

$A A_{1} ∥ B B_{1}$ , $O A = 5$ , $A B = 10$ , $A_{1} B_{1} = 12$ . Найдите $O A_{1}$ . $6$
В $△ A BC$ : $M \in A B$ , $A M : MB = 2 : 3$ , $MN ∥ BC$ , $N \in A C$ , $A C = 15$ . Найдите $A N$ . $6$
Как разделить отрезок на $7$ равных частей циркулем и линейкой? луч, 7 равных отрезков, параллельные — теорема Фалеса

R01.10

Образец → сам · центр масс треугольника

Медианы делятся в отношении 2 : 1

Образец: медианы $A A_{1} = 18$ и $B B_{1} = 15$ пересекаются в точке $G$ . Найдите $A G$ , $G A_{1}$ , $BG$ , $G B_{1}$ .

$A G = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12$ , $G A_{1} = 6$ $2 : 1$ от вершины

$BG = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10$ , $G B_{1} = 5$

Сам

$G A_{1} = 4$ . Найдите медиану $A A_{1}$ . $12$
$CG = 14$ . Найдите медиану $C C_{1}$ . $21$
Медиана равностороннего треугольника $9$ . Найдите расстояние от $G$ до стороны. $3$

R01.1, R01.11

Образец → сам · клетчатая бумага и симметрия

Центр симметрии параллелограмма

Образец: $A (1; 1)$ , $B (2; 4)$ , $C (7; 4)$ . Найдите центр симметрии $O$ параллелограмма $A BC D$ и вершину $D$ .

$O$ — середина $A C$ : $O (4; 2, 5)$ середина диагонали

$D$ симметрична $B$ относительно $O$ : $D (6; 1)$

Сам: нарисуйте в тетради

$A (2; 5)$ , центр симметрии $O (4; 3)$ . Найдите точку $A^{'}$ . $A^{'} (6; 1)$
Центр симметрии отрезка $A B$ : $A (1; 1)$ , $B (5; 3)$ ? $(3; 2)$
Какие фигуры имеют центр симметрии: ромб, равнобедренная трапеция, равносторонний треугольник, прямоугольник? ромб и прямоугольник

R01.1–R01.11

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
«Диагонали $⊥$ ⇒ ромб»	признак ромба — для параллелограмма; бывает дельтоид	параллелограмм с $⊥$ диагоналями — ромб
средняя линия трапеции $= \frac{a - b}{2}$	это отрезок между серединами диагоналей	$m = \frac{a + b}{2}$
$G$ делит медиану пополам	центр масс делит медиану $2 : 1$	$A G = \frac{2}{3} A A_{1}$
«На рисунке видно, что $A BC D$ — прямоугольник»	рисунок — не обоснование	назвать признак и проверить его условия

R01.3, R01.7, R01.10, R01.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Средняя линия трапеции $12$ , одно основание $8$ . Найдите другое.

$x = \frac{12 + 8}{2} = 10$

$\frac{8 + x}{2} = 12$ ⇒ $x = 16$

б) Медиана $BM = 12$ , $G$ — точка пересечения медиан. Найдите $BG$ .

$BG = \frac{12}{3} = 4$

$BG = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ , а $GM = 4$

в) В $A BC D$ диагонали $A C = B D$ . Докажите, что $A BC D$ — прямоугольник.

«Диагонали равны ⇒ $A BC D$ — прямоугольник»

признак только для параллелограмма; без него неверно (равнобедренная трапеция)

R01.1–R01.10

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаУглы параллелограмма относятся как $1 : 4$ . Найдите больший. $14 4^{\circ}$
базаРомб, $∠ A = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ B A C$ . $3 5^{\circ}$
базаСредняя линия треугольника, параллельная $A C$ , равна $7$ . Найдите $A C$ . $14$

базаОснования трапеции $9$ и $15$ . Найдите среднюю линию. $12$
базаДиагональ прямоугольника $16$ , угол между диагоналями $6 0^{\circ}$ . Меньшая сторона? $8$
базаМедиана $21$ . Расстояние от центра масс до вершины? $14$

R01.4–R01.8

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.В равнобедренной трапеции $A BC D$ диагональ $A C$ — биссектриса $∠ A$ , $BC = 5$ , $A D = 13$ . Найдите периметр. $28$
повыш.Средняя линия трапеции $10$ ; диагональ делит её на отрезки, разность которых $4$ . Найдите основания. $6$ и $14$
повыш.Диагонали четырёхугольника $8$ и $11$ . Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в серединах его сторон. $19$
из жизниСтремянка: верхняя перекладина $30$ см, нижняя $50$ см, между ними ещё три на равных расстояниях. Их длины? $35$ , $40$ , $45$ см

R01.1–R01.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17, 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 17Большее основание равнобедренной трапеции $25$ , боковая сторона $10$ , угол при основании $6 0^{\circ}$ . Найдите меньшее основание. $15$
ОГЭ 17Диагональ прямоугольника образует со стороной угол $3 7^{\circ}$ . Найдите острый угол между диагоналями. $74$
ОГЭ 19Верные утверждения: 1) диагонали ромба перпендикулярны; 2) средняя линия трапеции равна полусумме оснований; 3) любой прямоугольник — квадрат. $12$

ОГЭ 18 Найдите среднюю линию трапеции (клетка $1 \times 1$ ).

$\frac{3 + 7}{2} = 5$

R01.1, R01.4, R01.7 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Прямая через вершину $C$ параллельно $A B$ отсекает от трапеции треугольник с периметром $15$ ; $BC = 4$ . Найдите периметр трапеции.

$A BCE$ — параллелограмм: $A E = 4$ , $CE = A B$

$P = 15 + 4 + 4 = 23$

ОГЭ 24 $P$ , $Q$ — середины диагоналей трапеции, $BC = b$ , $A D = a$ . Докажите: $PQ = \frac{a - b}{2}$ .

$MP = \frac{b}{2}$ ( $△ A BC$ ), $MQ = \frac{a}{2}$ ( $△ A B D$ )

$PQ = MQ - MP = \frac{a - b}{2}$

2 мин · практика
23) ABCE — параллелограмм (AE ∥ BC, CE ∥ AB) ⇒ AE = BC = 4, CE = AB. P(△ECD) = CE + CD + ED = AB + CD + (AD − 4) = 15 ⇒ AB + CD + AD = 19; P(трапеции) = 19 + 4 = 23. Ответ: 23.
24) Полное доказательство: M — середина AB, MN — средняя линия трапеции. MP — средняя линия △ABC (M, P — середины AB, AC) ⇒ MP ∥ BC, MP = b/2; MQ — средняя линия △ABD ⇒ MQ ∥ AD, MQ = a/2. Через M проходит единственная прямая, параллельная AD, поэтому P и Q лежат на MN; так как a > b, P между M и Q ⇒ PQ = (a − b)/2.
На уроке — устный план (2 мин), запись 24 полностью — в ДЗ.

R01.1–R01.10

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Угол параллелограмма $6 4^{\circ}$ . Найдите остальные углы. $11 6^{\circ}$ , $6 4^{\circ}$ , $11 6^{\circ}$
Основания трапеции $8$ и $14$ . Найдите среднюю линию. $11$
Медиана $A A_{1} = 15$ , $G$ — точка пересечения медиан. Найдите $A G$ . $10$
Диагонали четырёхугольника $6$ и $10$ . Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в серединах его сторон. $16$

Вариант 2

Угол параллелограмма $12 8^{\circ}$ . Найдите остальные углы. $5 2^{\circ}$ , $12 8^{\circ}$ , $5 2^{\circ}$
Средняя линия трапеции $13$ , одно основание $9$ . Найдите другое. $17$
$G A_{1} = 6$ , $G$ — точка пересечения медиан. Найдите медиану $A A_{1}$ . $18$
Диагонали четырёхугольника $9$ и $13$ . Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в серединах его сторон. $22$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем признак отличается от свойства?
Какие дополнительные построения в трапеции вы знаете?
В каком отношении центр масс делит медиану?

Домашнее задание

Средняя линия трапеции $15$ , основания относятся как $2 : 3$ . Найдите основания.
Докажите: середины сторон прямоугольника — вершины ромба.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_parallelogramm_i_trapeciya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-022 · Обобщение и систематизация по теме «Четырехугольники»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R01 «Четырехугольники», 22 ч · урок 22/22 · тип О
Единицы → слайды	R01.1 → 4, 5, 8, 9, 11, 14 · R01.2 → 4, 5, 9 · R01.3 → 6, 11, 16 · R01.4–R01.6 → 4, 8, 10 · R01.5 → 5, 18 · R01.7 → 6, 10, 18, 20 · R01.8 → 6, 12, 18 · R01.9 → 6, 12 · R01.10 → 7, 13, 16 · R01.11 → 7, 14 · все единицы → 3, 15, 17, 19, 21
Результаты	ПР-1 → 4, 5, 9, 11 · ПР-2 → 7, 13 · ПР-3 → 6, 10, 12, 18, 20 · ПР-4 → 7, 14
Вне урока	подобие треугольников — GEOM8U-023 и далее (на сл. 8 продолжение боковых сторон трапеции — только как построение); площади — R03; теорема Пифагора — R04
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Обобщение и систематизация по теме «Четырёхугольники»

Сегодня вы научитесь

Классифицировать

Применять средние линии

Использовать центр масс

Выбирать метод

Блиц по всей теме

От четырёхугольника к квадрату

Свойство — «то…», признак — «если…»

Четыре теоремы о параллельных отрезках

Средняя линия треугольника

Средняя линия трапеции

Теорема Фалеса

О пропорциональных отрезках

Точка пересечения медиан и центр симметрии

Как свести четырёхугольник к знакомым фигурам

Две высоты

CE∥AB

Продолжить бока

Удвоить медиану

Сначала признак — потом свойства

Образец: диагонали ABCD делятся точкой O пополам, AC=BD=12, ∠AOB=60∘. Найдите AB.

Сам

Дополнительное построение в трапеции

Образец: равнобедренная трапеция, AD=16, BC=6, ∠A=60∘. Найдите AB, P и среднюю линию.

Сам

Середины сторон четырёхугольника

Образец: M,N,P,Q — середины сторон ABCD. Докажите: MNPQ — параллелограмм.

Сам: план и обоснования

Параллельные прямые пересекают стороны угла

Образец: AA1​∥BB1​, OA=4, AB=6, OA1​=6. Найдите A1​B1​.

Сам

Медианы делятся в отношении 2 : 1

Образец: медианы AA1​=18 и BB1​=15 пересекаются в точке G. Найдите AG, GA1​, BG, GB1​.

Сам

Центр симметрии параллелограмма

Образец: A(1;1), B(2;4), C(7;4). Найдите центр симметрии O параллелограмма ABCD и вершину D.

Сам: нарисуйте в тетради

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Средняя линия трапеции 12, одно основание 8. Найдите другое.

б) Медиана BM=12, G — точка пересечения медиан. Найдите BG.

в) В ABCD диагонали AC=BD. Докажите, что ABCD — прямоугольник.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 18 Найдите среднюю линию трапеции (клетка 1×1).

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-022 · Обобщение и систематизация по теме «Четырехугольники»

$CE ∥ A B$

Образец: диагонали $A BC D$ делятся точкой $O$ пополам, $A C = B D = 12$ , $∠ A OB = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .

Образец: равнобедренная трапеция, $A D = 16$ , $BC = 6$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ , $P$ и среднюю линию.

Образец: $M, N, P, Q$ — середины сторон $A BC D$ . Докажите: $MNPQ$ — параллелограмм.

Образец: $A A_{1} ∥ B B_{1}$ , $O A = 4$ , $A B = 6$ , $O A_{1} = 6$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ .

Образец: медианы $A A_{1} = 18$ и $B B_{1} = 15$ пересекаются в точке $G$ . Найдите $A G$ , $G A_{1}$ , $BG$ , $G B_{1}$ .

Образец: $A (1; 1)$ , $B (2; 4)$ , $C (7; 4)$ . Найдите центр симметрии $O$ параллелограмма $A BC D$ и вершину $D$ .

а) Средняя линия трапеции $12$ , одно основание $8$ . Найдите другое.

б) Медиана $BM = 12$ , $G$ — точка пересечения медиан. Найдите $BG$ .

в) В $A BC D$ диагонали $A C = B D$ . Докажите, что $A BC D$ — прямоугольник.

ОГЭ 18 Найдите среднюю линию трапеции (клетка $1 \times 1$ ).