Четырёхугольники · урок 20 из 22 · практикум

Практикум: теорема о пропорциональных отрезках

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM8U-020

1 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 11,5 мин · практика 33,5 мин (74 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Четырехугольники» (22 ч), урок 20/22, единица R01.9. Тип урока — П (практикум после урока Н GEOM8U-009).
Теория (11,5): титул 1 · цели 0,5 · сводка 3 · схема 1,5 · обратная теорема 2,5 · метод параллельной 3.
Практика (33,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 15/17/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Новое по сравнению с уроком 9: обратная теорема, метод параллельной прямой (отношения отрезков чевиан), трапеция с обратной задачей, задачи из жизни. Если не успеваете: образец 6 (рулетка) и ОГЭ 24 — в ДЗ; обратную теорему и метод не сокращать.

R01.9

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать пропорцию

«часть : часть» или «часть : целое» — и находить отрезки (ПР-3)

Доказывать параллельность

обратной теоремой о пропорциональных отрезках

Проводить параллельную

чтобы найти, в каком отношении делятся отрезки в треугольнике

Решать практические задачи

трапеция, разметка, пандус, ОГЭ 23–24 (ПР-3)

повторение: уроки 8–9, 19

Разминка · устно

Пропорции и параллельные прямые

$x : 6 = 4 : 3$ . Найдите $x$ . $8$
$20$ разделили в отношении $3 : 2$ . Части? $12$ и $8$
$BM : M A = 2 : 3$ . Какая часть $B A$ — это $BM$ ? $\frac{2}{5}$
По чертежу $A A_{1} ∥ B B_{1}$ : найдите $A_{1} B_{1}$ . $6$
По чертежу: найдите $O B_{1}$ . $10$
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ⇒ $\frac{a + b}{b} = ?$ $\frac{c + d}{d}$
$4 : x = x : 9$ , $x > 0$ . Найдите $x$ . $6$

R01.9

Сводка · теорема и следствия

Параллельные прямые переносят отношение

Теорема. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

\frac{O A}{A B} = \frac{O A _{1}}{A _{1} B _{1}}, \frac{O A}{OB} = \frac{O A _{1}}{O B _{1}}

Отрезки на параллелях — только «часть : целое»: $\frac{A A _{1}}{B B _{1}} = \frac{O A}{OB}$

Обобщение: параллельные прямые отсекают пропорциональные отрезки на любых двух прямых.

3 мин · теория
Повторяем формулировки урока 9 (GEOM8U-009) — без нового доказательства. Цвета: фиолетовые отрезки от вершины, оранжевые — между параллелями.
Свойство отрезков на параллелях доказано на уроке 9 (образец 4: через A₁ — прямая, параллельная OB, и параллелограмм). Подчеркнуть: в нём отношение берётся от вершины угла (OA : OB), а не «часть : часть».
Обобщение: если две прямые пересекаются — это стороны угла (или вертикальных углов); если они параллельны — между параллелями получаются параллелограммы, отрезки равны и пропорция верна тоже.
Вопрос: OA = 3, AB = 6, BB₁ = 12. Чему равен AA₁? (AA₁/BB₁ = OA/OB = 3/9 ⇒ AA₁ = 4.)

R01.9

Схема · где спрятан угол

Три типичные конфигурации

Треугольник

$MN ∥ A C$ : $\frac{BM}{M A} = \frac{BN}{NC}$

$\frac{MN}{A C} = \frac{BM}{B A}$

Трапеция

диагональ $A C$ : угол $A$ и угол $C$

$\frac{A M}{MB} = \frac{D N}{NC}$

Пучок параллелей

любые две секущие

$a : b = c : d$

R01.9

Образец → сам · пучок параллельных прямых

Найдите отрезки на второй секущей

Образец: $a ∥ b ∥ c$ , $A_{1} A_{2} = 4$ , $A_{2} A_{3} = 6$ , $B_{1} B_{3} = 15$ . Найдите $B_{1} B_{2}$ и $B_{2} B_{3}$ .

$B_{1} B_{2} : B_{2} B_{3} = 4 : 6 = 2 : 3$ параллели → пропорция

$15 : (2 + 3) = 3$ одна часть

$B_{1} B_{2} = 6$ , $B_{2} B_{3} = 9$

Сам

$A_{1} A_{2} = 5$ , $A_{2} A_{3} = 3$ , $B_{1} B_{2} = 7, 5$ . Найдите $B_{2} B_{3}$ . $4, 5$
$A_{1} A_{3} = 20$ , $B_{1} B_{2} = 6$ , $B_{2} B_{3} = 9$ . Найдите $A_{1} A_{2}$ . $8$
$A_{1} A_{2} : A_{2} A_{3} = 3 : 5$ , $B_{1} B_{3} = 32$ . Найдите $B_{1} B_{2}$ и $B_{2} B_{3}$ . $12$ и $20$

R01.9

Образец → сам · обратная задача: отрезки на параллелях

По отрезкам на параллелях найдите сторону

Образец: $MN ∥ A C$ , $MN = 8$ , $A C = 12$ , $M A = 5$ . Найдите $A B$ .

$\frac{BM}{B A} = \frac{MN}{A C} = \frac{2}{3}$ отрезки на параллелях

$\frac{M A}{B A} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ $M A = B A - BM$

$A B = 3 \cdot 5 = 15$

Сам ( $MN ∥ A C$ )

$MN = 6$ , $A C = 15$ , $BN = 4$ . Найдите $NC$ . $6$
$BM : M A = 3 : 2$ , $MN = 12$ . Найдите $A C$ . $20$
$A B = 12$ , $A C = 18$ , $A M = MN$ . Найдите $MN$ . $7, 2$

R01.9

Обратная теорема · доказательство (учитель)

Когда прямая параллельна стороне

Дано:

M \in B A

,

N \in BC

,

\frac{BM}{M A} = \frac{BN}{NC}

.
Доказать:

MN ∥ A C

.

1Пусть

MN ∦ A C

; проведём

M N_{1} ∥ A C

через точку — единственная параллельная

2

\frac{B N _{1}}{N _{1} C} = \frac{BM}{M A} = \frac{BN}{NC}

теорема о пропорциональных отрезках

3

\frac{BC}{N _{1} C} = \frac{BC}{NC}

⇒

N_{1} C = NC

прибавили 1 к обеим частям

4

N_{1} = N

— противоречие ⇒

MN ∥ A C

2,5 мин · теория
Доказательство от противного. Шаг 3: из BN₁/N₁C = BN/NC получаем (BN₁ + N₁C)/N₁C = (BN + NC)/NC, т. е. BC/N₁C = BC/NC ⇒ N₁C = NC; точки N₁ и N лежат на отрезке BC на одном расстоянии от C ⇒ совпадают.
Важно: условие — отношение отрезков на сторонах угла (BM : MA и BN : NC, или BM : BA и BN : BC). Равенство BM/BA = MN/AC параллельность не гарантирует (будет в разборе ошибок).
Частный случай: BM = MA, BN = NC ⇒ MN ∥ AC — ещё одно доказательство параллельности средней линии.

R01.9

Образец → сам · задача на доказательство

План доказательства и обоснования

Образец: $A BC D$ — трапеция ( $A D ∥ BC$ ), $A M : MB = D N : NC$ . Докажите: $MN ∥ A D$ .

$P \in A C$ , $MP ∥ BC$ ⇒ $\frac{A P}{PC} = \frac{A M}{MB}$ теорема, угол $A$

$\frac{CP}{P A} = \frac{CN}{N D}$ ⇒ $PN ∥ A D$ обратная, угол $C$

$MP ∥ A D$ , $PN ∥ A D$ ⇒ $M, P, N$ на одной прямой аксиома

Сам: составьте план

На сторонах угла $O$ : $O A = 3$ , $A B = 2$ , $O A_{1} = 6$ , $A_{1} B_{1} = 4$ . Докажите: $A A_{1} ∥ B B_{1}$ . $\frac{3}{2} = \frac{6}{4}$ ⇒ обратная теорема
$BM : M A = BN : NC = 1 : 2$ , $A C = 18$ . Докажите $MN ∥ A C$ , найдите $MN$ . обратная теорема; $MN = 6$
Докажите обратной теоремой, что средняя линия треугольника параллельна стороне. $BM : M A = BN : NC = 1$

2,5 мин · практика
Образец: шаг 1 — MP ∥ BC, значит в угле A по теореме AP : PC = AM : MB. Шаг 2 — CP : PA = MB : AM = NC : DN (условие), в угле C по обратной теореме PN ∥ AD. Шаг 3 — MP ∥ BC ∥ AD; через точку P проходит одна прямая, параллельная AD ⇒ MP и PN лежат на одной прямой ⇒ MN ∥ AD.
1) OA/AB = 3/2 и OA₁/A₁B₁ = 6/4 = 3/2: точки A и A₁ делят стороны OB и OB₁ угла O в одном отношении ⇒ по обратной теореме (△OBB₁) AA₁ ∥ BB₁.
2) Обратная теорема ⇒ MN ∥ AC; MN/AC = BM/BA = 1/3 ⇒ MN = 6. 3) Середины: BM/MA = 1 = BN/NC ⇒ MN ∥ AC.
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования.

R01.9 · углублённый

Метод · проведи параллельную (учитель показывает)

В каком отношении делятся отрезки?

Дано:

A M

— медиана

△ A BC

,

K \in A C

,

A K : K C = 1 : 2

,

P = A M \cap B K

.
Найти:

A P : PM

и

BP : P K

.

1

MT ∥ B K

,

T \in A C

дополнительное построение

2

CT = T K

⇒

A K = K T = TC

угол

C

:

CM = MB

, теорема Фалеса

3

A P : PM = A K : K T = 1 : 1

угол

A

:

P K ∥ MT

4

P K = \frac{1}{2} MT = \frac{1}{4} B K

⇒

BP : P K = 3 : 1

отрезки на параллелях: угол

A

, затем угол

C

3 мин · теория
Идея метода: параллельная прямая создаёт угол, в котором работает теорема о пропорциональных отрезках. Параллель проводим через «удобную» точку (середину) к той прямой, отношение на которой ищем.
Шаг 2: в угле C прямые MT и BK параллельны, CM = MB ⇒ CT = TK; KC = 2AK ⇒ KT = TC = AK.
Шаг 4: в угле A: PK/MT = AK/AT = 1/2; в угле C: MT/BK = CM/CB = 1/2 ⇒ PK = BK/4, BP = 3BK/4.
Связь со следующим уроком (центр масс, GEOM8U-021): этим же методом доказывают, что медианы делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1.

R01.9 · углублённый

Образец → сам · метод параллельной прямой

Найдите отношение отрезков

Образец: $BM$ — медиана, $K$ — середина $BM$ , $A K$ пересекает $BC$ в $P$ . Найдите $BP : PC$ .

$MT ∥ A P$ ⇒ $PT = TC$ угол $C$ , $A M = MC$

$BP = PT$ угол $B$ , $B K = K M$ , $K P ∥ MT$

$BP : PC = 1 : 2$

Сам

То же, но $B K : K M = 2 : 1$ . Найдите $BP : PC$ . $1 : 1$
То же ( $B K = K M$ ). Найдите $A K : K P$ . $3 : 1$
$A M$ — медиана, $K \in A C$ , $A K : K C = 1 : 3$ , $P = A M \cap B K$ . Найдите $A P : PM$ . $2 : 3$

R01.9

Образец → сам · трапеция (комбинированная)

Отрезок, параллельный основаниям

Образец: $A D = 15$ , $BC = 6$ , $MN ∥ A D$ , $A M : MB = 1 : 2$ . Найдите $MN$ .

$MP = \frac{1}{3} BC = 2$ угол $A$ : $\frac{MP}{BC} = \frac{A M}{A B}$

$PN = \frac{2}{3} A D = 10$ угол $C$ : $\frac{PN}{A D} = \frac{CP}{C A} = \frac{BM}{B A}$

$MN = 2 + 10 = 12$

Сам ( $MN ∥ A D$ )

$A D = 20$ , $BC = 8$ , $A M : MB = 3 : 1$ . Найдите $MN$ . $11$
$A D = 14$ , $BC = 4$ , $MN = 10$ . Найдите $A M : MB$ . $2 : 3$
$A D = 18$ , $BC = 6$ , $MN = 14$ , $A B = 12$ . Найдите $A M$ . $4$

R01.9 · практика

Образец → сам · задача из жизни

Рулетка вместо вычислений

Образец: доску шириной $47$ см распилить вдоль на 3 равные полосы.

рулетку наискосок: $0$ и $60$ на краях $60$ делится на $3$

метки $20$ и $40$ → линии, параллельные краям Фалес

полосы равны: по $47 : 3 \approx 15, 7$ см

Сам

Доска $37$ см — на 4 равные полосы. Какие деления рулетки взять? $0$ и $40$ ; метки $10$ , $20$ , $30$
Доска $50$ см — в отношении $2 : 3 : 4$ , концы рулетки $0$ и $54$ . Метки? $12$ и $30$
Пандус длиной $6$ м поднимается на $0, 9$ м. Высота вертикальной опоры в $2$ м от начала пандуса? $0, 3$ м

2 мин · практика
Образец: края доски параллельны, линии разреза проводим параллельно краям (угольником от края). Пучок параллельных прямых отсекает на рулетке равные отрезки (20, 20, 20) ⇒ и на ширине доски — равные (теорема Фалеса / обобщённая теорема).
1) Любое число больше 37, кратное 4: 40 ⇒ метки 10, 20, 30.
2) 2 + 3 + 4 = 9 частей, 54 : 9 = 6 ⇒ метки 2 · 6 = 12 и 5 · 6 = 30. Ширины полос: 50 · 2/9 ≈ 11,1; 16,7; 22,2 см.
3) Опоры вертикальны, значит параллельны; угол — при начале пандуса. Отрезки на параллелях: h/0,9 = 2/6 ⇒ h = 0,3 м.

R01.9

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$\frac{BM}{B A} = \frac{MN}{A C}$ ⇒ $MN ∥ A C$	обратная теорема — только об отрезках на сторонах угла	$\frac{BM}{M A} = \frac{BN}{NC}$ ⇒ $MN ∥ A C$
Метод параллельной: $A P : PM = A K : K C$	$P K ∥ MT$ , значит второй отрезок — до точки $T$	$A P : PM = A K : K T$
Трапеция, $A M : MB = 1 : 2$ : $MP = \frac{2}{3} BC$	$MP$ лежит в угле $A$ — доля от вершины $A$	$MP = \frac{A M}{A B} \cdot BC = \frac{1}{3} BC$
$a ∥ b ∥ c$ ⇒ отрезки на секущих равны	равны, только если равны на одной секущей (Фалес)	отрезки пропорциональны

R01.9

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Трапеция: $A D = 12$ , $BC = 3$ , $MN ∥ A D$ , $A M : MB = 1 : 2$ . Найдите $MN$ .

$MP = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2$ , $PN = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$

$MN = 6$

$MP = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$ , $PN = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ , $MN = 9$

б) $A M$ — медиана, $A K : K C = 1 : 4$ , $P = A M \cap B K$ . Найдите $A P : PM$ .

$MT ∥ B K$ , $A P : PM = A K : K C = 1 : 4$

$K T = TC = 2$ (если $A K = 1$ ) ⇒ $A P : PM = A K : K T = 1 : 2$

в) $BM = 2$ , $M A = 4$ , $MN = 3$ , $A C = 9$ , $N \in BC$ . Верно ли, что $MN ∥ A C$ ?

$\frac{BM}{B A} = \frac{MN}{A C} = \frac{1}{3}$ ⇒ $MN ∥ A C$

такого признака нет; нужно $\frac{BM}{M A} = \frac{BN}{NC}$ — данных мало

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Доли перепутаны: MP — в угле A (доля AM/AB = 1/3), PN — в угле C (доля CP/CA = BM/BA = 2/3). MN = 1 + 8 = 9. Проверка: 9 ближе к 12, так как M ближе к A ✓.
б) Через M проведена MT ∥ BK; в угле C: CM = MB ⇒ CT = TK = 2. В угле A отношение AP : PM равно AK : KT = 1 : 2, а не AK : KC.
в) Вывод не следует: равенство BM/BA = MN/AC выполняется и для «наклонного» отрезка MN той же длины (две точки N на прямой BC). Ответ: «не обязательно».

R01.9

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $a ∥ b ∥ c$ отсекают на одной секущей $6$ и $9$ , на другой первый отрезок $4$ . Второй? $6$
база $MN ∥ A C$ , $BM = 6$ , $M A = 4$ , $BC = 20$ . Найдите $BN$ . $12$
база $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 1 : 3$ , $A C = 24$ . Найдите $MN$ . $6$

база $MN ∥ A C$ , $MN = 9$ , $A C = 15$ , $A B = 20$ . Найдите $BM$ . $12$
базаТрапеция: $A D = 12$ , $BC = 4$ , $MN ∥ A D$ , $A M = MB$ . Найдите $MN$ . $8$
базаТрапеция: $A D = 16$ , $BC = 4$ , $MN ∥ A D$ , $A M : MB = 1 : 3$ . Найдите $MN$ . $13$

R01.9

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A M$ — медиана $△ A BC$ , $K \in A C$ , $A K : K C = 2 : 1$ , $P = A M \cap B K$ . Найдите $A P : PM$ и $BP : P K$ . $4 : 1$ и $3 : 2$
повыш. $A B = 10$ , $BC = 15$ , $A C = 20$ ; $M \in A B$ , $N \in BC$ , $BM = 4$ , $BN = 6$ . Найдите $MN$ . $8$
повыш.Ромб $A MN K$ вписан в $△ A BC$ ( $M \in A B$ , $N \in BC$ , $K \in A C$ ), $A B = 10$ , $A C = 15$ . Найдите сторону ромба. $6$
из жизниСтропило длиной $6$ м лежит над пролётом $4, 8$ м; вертикальные стойки — через каждые $1, 2$ м по горизонтали. На какие части стойки делят стропило? по $1, 5$ м

R01.9 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15, 17 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15Прямая, параллельная стороне $A C$ треугольника $A BC$ , пересекает $A B$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ ; $A B = 21$ , $A C = 28$ , $MN = 12$ . Найдите $A M$ . $12$
ОГЭ 17Основания трапеции $A BC D$ : $A D = 13$ , $BC = 5$ . Прямая, параллельная основаниям, пересекает $A B$ в $M$ , $C D$ в $N$ , $A M : MB = 3 : 1$ . Найдите $MN$ . $7$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Если $MN ∥ A C$ , то $\frac{BM}{M A} = \frac{BN}{NC}$ .
Если $\frac{BM}{B A} = \frac{MN}{A C}$ , то $MN ∥ A C$ .
Параллельные прямые отсекают на двух пересекающих их прямых пропорциональные отрезки.

Ответ: 13

R01.9 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Отрезок $B K$ ( $K \in A C$ ) делит медиану $A M$ треугольника $A BC$ в точке $P$ , $BP : P K = 4 : 1$ . Найдите $A K : K C$ .

$MT ∥ B K$ ; $A K = x$ , $K C = y$ ⇒ $K T = TC = \frac{y}{2}$

$\frac{P K}{MT} = \frac{x}{x + y /2}$ , $MT = \frac{B K}{2}$ , $P K = \frac{B K}{5}$

$5 x = 2 x + y$ , $y = 3 x$ : $A K : K C = 1 : 3$

ОГЭ 24 Прямая, параллельная основаниям трапеции $A BC D$ , пересекает $A B$ в $M$ , $C D$ в $N$ . Докажите: $A M : MB = D N : NC$ .

$P = MN \cap A C$ ; угол $A$ : $MP ∥ BC$ ⇒ $\frac{A M}{MB} = \frac{A P}{PC}$

угол $C$ : $PN ∥ A D$ ⇒ $\frac{A P}{PC} = \frac{D N}{NC}$

2 мин · практика
23) Через M — MT ∥ BK. В угле C: CM = MB ⇒ CT = TK = y/2. В угле A: PK/MT = AK/AT = x/(x + y/2); в угле C: MT = BK/2. PK = BK/5 ⇒ x/(x + y/2) = 2/5 ⇒ 5x = 2x + y ⇒ y = 3x. Ответ: AK : KC = 1 : 3. Проверка: AP : PM = x : (3x/2) = 2 : 3; координатами BP : PK = 4 : 1 ✓.
24) Полное решение на 2 балла: провести диагональ AC, P — точка пересечения с MN; MP ∥ BC и PN ∥ AD (MN ∥ AD ∥ BC); дважды применить теорему о пропорциональных отрезках (углы A и C) и указать параллельность. Это прямое утверждение к образцу 3 (там — обратное).
На уроке — устное обсуждение плана, запись 24 полностью — в ДЗ по желанию.

R01.9

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$MN ∥ A C$ , $BM = 8$ , $M A = 4$ , $BN = 10$ . Найдите $NC$ . $5$
$MN ∥ A C$ , $BM : M A = 2 : 3$ , $A C = 25$ . Найдите $MN$ . $10$
Трапеция: $A D = 17$ , $BC = 5$ , $MN ∥ A D$ , $A M : MB = 1 : 3$ . Найдите $MN$ . $14$
$BM = 3$ , $M A = 6$ , $BN = 4$ , $NC = 8$ , $A C = 18$ . Найдите $MN$ . $6$

Вариант 2

$MN ∥ A C$ , $BM = 9$ , $M A = 6$ , $BN = 12$ . Найдите $NC$ . $8$
$MN ∥ A C$ , $BM : M A = 3 : 1$ , $A C = 20$ . Найдите $MN$ . $15$
Трапеция: $A D = 19$ , $BC = 7$ , $MN ∥ A D$ , $A M : MB = 1 : 2$ . Найдите $MN$ . $15$
$BM = 4$ , $M A = 8$ , $BN = 5$ , $NC = 10$ , $A C = 21$ . Найдите $MN$ . $7$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда отрезки на параллелях пропорциональны сторонам?
Как доказать, что $MN ∥ A C$ , по отношениям?
Через какую точку проводят параллельную в методе?

Домашнее задание

$A M$ — медиана, $A K : K C = 3 : 2$ . Найдите $A P : PM$ и $BP : P K$ .
Трапеция: $A D = 21$ , $BC = 9$ , $A M : MB = 2 : 1$ . Найдите $MN$ .
* $A BC D$ — параллелограмм, $K$ — середина $BC$ , $A K \cap B D = P$ . Найдите $BP : P D$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_parallelogramm_i_trapeciya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-020 · Практикум: теорема о пропорциональных отрезках

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R01 «Четырехугольники», 22 ч · урок 20/22 · тип П
Единицы → слайды	R01.9 «Теорема о пропорциональных отрезках» → 2, 4–21 · повторение (теорема Фалеса R01.8, пропорции) → 3
Результаты	ПР-3 (использовать теорему Фалеса и теорему о пропорциональных отрезках, применять их для решения практических задач) → 4–21
Вне урока	центр масс треугольника — GEOM8U-021 (метод параллельной готовит к нему); подобие треугольников — R02; обратная теорема и метод параллельной — применение R01.9 углублённого уровня
Время	теория 11,5 мин · практика 33,5 мин (74 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: теорема о пропорциональных отрезках

Сегодня вы научитесь

Выбирать пропорцию

Доказывать параллельность

Проводить параллельную

Решать практические задачи

Пропорции и параллельные прямые

Параллельные прямые переносят отношение

Три типичные конфигурации

Треугольник

Трапеция

Пучок параллелей

Найдите отрезки на второй секущей

Образец: a∥b∥c, A1​A2​=4, A2​A3​=6, B1​B3​=15. Найдите B1​B2​ и B2​B3​.

Сам

По отрезкам на параллелях найдите сторону

Образец: MN∥AC, MN=8, AC=12, MA=5. Найдите AB.

Сам (MN∥AC)

Когда прямая параллельна стороне

План доказательства и обоснования

Образец: ABCD — трапеция (AD∥BC), AM:MB=DN:NC. Докажите: MN∥AD.

Сам: составьте план

В каком отношении делятся отрезки?

Найдите отношение отрезков

Образец: BM — медиана, K — середина BM, AK пересекает BC в P. Найдите BP:PC.

Сам

Отрезок, параллельный основаниям

Образец: AD=15, BC=6, MN∥AD, AM:MB=1:2. Найдите MN.

Сам (MN∥AD)

Рулетка вместо вычислений

Образец: доску шириной 47 см распилить вдоль на 3 равные полосы.

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Трапеция: AD=12, BC=3, MN∥AD, AM:MB=1:2. Найдите MN.

б) AM — медиана, AK:KC=1:4, P=AM∩BK. Найдите AP:PM.

в) BM=2, MA=4, MN=3, AC=9, N∈BC. Верно ли, что MN∥AC?

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-020 · Практикум: теорема о пропорциональных отрезках

Образец: $a ∥ b ∥ c$ , $A_{1} A_{2} = 4$ , $A_{2} A_{3} = 6$ , $B_{1} B_{3} = 15$ . Найдите $B_{1} B_{2}$ и $B_{2} B_{3}$ .

Образец: $MN ∥ A C$ , $MN = 8$ , $A C = 12$ , $M A = 5$ . Найдите $A B$ .

Сам ( $MN ∥ A C$ )

Образец: $A BC D$ — трапеция ( $A D ∥ BC$ ), $A M : MB = D N : NC$ . Докажите: $MN ∥ A D$ .

Образец: $BM$ — медиана, $K$ — середина $BM$ , $A K$ пересекает $BC$ в $P$ . Найдите $BP : PC$ .

Образец: $A D = 15$ , $BC = 6$ , $MN ∥ A D$ , $A M : MB = 1 : 2$ . Найдите $MN$ .

Сам ( $MN ∥ A D$ )

Образец: доску шириной $47$ см распилить вдоль на 3 равные полосы.

а) Трапеция: $A D = 12$ , $BC = 3$ , $MN ∥ A D$ , $A M : MB = 1 : 2$ . Найдите $MN$ .

б) $A M$ — медиана, $A K : K C = 1 : 4$ , $P = A M \cap B K$ . Найдите $A P : PM$ .

в) $BM = 2$ , $M A = 4$ , $MN = 3$ , $A C = 9$ , $N \in BC$ . Верно ли, что $MN ∥ A C$ ?