Четырёхугольники · урок 19 из 22 · практикум

Практикум: теорема Фалеса

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM8U-019

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Четырехугольники» (22 ч), урок 19/22, единица R01.8. Тип урока — П (практикум). Теория и доказательство теоремы — на уроке GEOM8U-008; сегодня новые типы задач.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка 2 · «ступени» 2 · обратное утверждение 2,5 · приём «дополнительная параллельная» 3 · схема-конспект 2.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 17/19 — 1,5 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: «Образец → сам» на построение (сл. 12) и ОГЭ 24 — в ДЗ; доказательство обратного утверждения (сл. 8) не сокращать — на нём держится сл. 9.
Нужны циркуль, линейка, угольник.

R01.8

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить отрезки параллельных

в угле и трапеции — правило «ступеней» (ПР-3)

Доказывать параллельность

обратным утверждением к теореме Фалеса

Проводить нужную параллельную

дополнительное построение в задачах ОГЭ 23–24

Строить циркулем и линейкой

точку на прямой по заданной доле отрезка

0,5 мин · теория
ПР-3: «Владеть понятием средней линии треугольника и трапеции, применять их свойства при решении геометрических задач. Использовать теорему Фалеса и теорему о пропорциональных отрезках, применять их для решения практических задач».
Виды деятельности ФРП R01: «Доказывать и использовать при решении задач теоремы Фалеса и о пропорциональных отрезках», «Проводить деление отрезка на равные части с помощью циркуля и линейки». Теорема о пропорциональных отрезках — следующий урок (GEOM8U-020).

повторение: R01.3, R01.7, R01.8

Разминка · устно

Теорема Фалеса и средние линии

$O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3}$ , $A_{i} B_{i}$ параллельны, $O B_{3} = 12$ . $B_{2} B_{3}$ ? $4$
Там же $B_{1} B_{3} = 10$ . $O B_{3}$ ? $15$
Сторона треугольника $18$ . Его средняя линия, параллельная ей? $9$
Средняя линия трапеции $12$ , одно основание $7$ . Другое? $17$
Сколько равных отрезков отложить на луче, чтобы разделить $A B$ на 6 частей? $6$
Если $A_{1} B_{1} ∦ A_{2} B_{2}$ , верна ли теорема Фалеса? нет

R01.8

Сводка · теорема Фалеса

Что дано и что получаем

Параллельные прямые, отсекающие на прямой

a

равные отрезки, отсекают равные отрезки и на прямой

b

.

A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = A_{3} A_{4}

$A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2} ∥ A_{3} B_{3} ∥ A_{4} B_{4}$

$\Rightarrow$ $B_{1} B_{2} = B_{2} B_{3} = B_{3} B_{4}$

Следствие: прямая через середину стороны $△$ , параллельная другой стороне, — средняя линия.

2 мин · теория
Короткое повторение урока GEOM8U-008: формулировка, условие параллельности, следствие для треугольника и трапеции. Доказательство не повторяем — спросить у одного ученика план (через параллелограммы и равные треугольники).
Три вопроса классу: 1) Равен ли B₁B₂ отрезку A₁A₂? (Нет, в общем случае.) 2) Можно ли, чтобы a и b пересекались? (Да — это угол, первой точкой может быть вершина.) 3) Что, если отрезки на a не равны? (Это теорема о пропорциональных отрезках — следующий урок.)

R01.8

Правило «ступеней» · вывод

Отрезки параллельных прямых в трапеции

1. На $C D$ отрезки тоже равны теорема Фалеса

2. Средний из трёх соседних — средняя линия: $x_{2} = \frac{x _{1} + x _{3}}{2}$ средняя линия трапеции

3. Значит, длины растут на одно и то же число $d$

x_{k} = a + k \cdot d, d = \frac{b - a}{n}

Угол — это «трапеция» с $a = 0$ : $x_{k} = k \cdot x_{1}$ .

2 мин · теория
Боковая сторона AB разделена на n = 4 равные части, через точки деления — прямые, параллельные основаниям. По теореме Фалеса CD тоже разделена на 4 равные части, поэтому каждая «полоска» из двух соседних — трапеция, а средний отрезок — её средняя линия: x₂ = (x₁ + x₃)/2, x₁ = (a + x₂)/2 и т. д.
Из x₂ − x₁ = x₃ − x₂ следует: разности равны. От a до b — n шагов, поэтому d = (b − a)/n. На чертеже a = 4, b = 12, n = 4: d = 2, отрезки 6, 8, 10.
Угол (a = 0): первый отрезок — x₁, далее 2x₁, 3x₁, … (x₁ — средняя линия треугольника, дальше — средние линии трапеций).
Сильным: обосновать, что n-й отрезок равен b (проверка формулы).

R01.8

Образец → сам · отрезки параллельных в угле

Найдите отрезки параллельных прямых

Образец: $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3}$ , $A_{i} B_{i}$ параллельны, $A_{1} B_{1} = 4$ . Найдите $A_{2} B_{2}$ , $A_{3} B_{3}$ .

$O B_{1} = B_{1} B_{2}$ ⇒ $A_{1} B_{1}$ — средняя линия Фалес

$A_{2} B_{2} = 2 \cdot 4 = 8$ $△ O A_{2} B_{2}$

$A_{3} B_{3} = 2 \cdot 8 - 4 = 12$ средняя линия трапеции

Сам

Тот же чертёж, $A_{3} B_{3} = 15$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ и $A_{2} B_{2}$ . $5$ и $10$
Четыре равных отрезка от вершины, $A_{1} B_{1} + A_{4} B_{4} = 20$ . Найдите $A_{4} B_{4}$ . $16$
Три равных отрезка, $A_{2} B_{2} = 9$ . Найдите $A_{1} B_{1} + A_{3} B_{3}$ . $18$

2,5 мин · практика
Образец: по теореме Фалеса OB₁ = B₁B₂ = B₂B₃. A₁, B₁ — середины OA₂, OB₂ ⇒ A₁B₁ — средняя линия △OA₂B₂, A₂B₂ = 8. A₂, B₂ — середины боковых сторон трапеции A₁B₁B₃A₃ ⇒ 8 = (4 + A₃B₃)/2, A₃B₃ = 12. Ступени: 4, 8, 12.
1) x, 2x, 3x: 3x = 15 ⇒ 5 и 10. 2) x + 4x = 20 ⇒ x = 4, A₄B₄ = 16. 3) A₂B₂ — средняя линия трапеции A₁B₁B₃A₃ ⇒ A₁B₁ + A₃B₃ = 2 · 9 = 18 (проверка: 4,5 + 13,5).
Ошибка: прибавлять к отрезкам параллельных отрезки сторон угла (OB₁ и т. п.) — это разные отрезки (сл. 14).

R01.8

Образец → сам · «ступени» в трапеции

Боковая сторона на $n$ равных частей

Образец: $A B$ разделена на 4 равные части, через точки деления — прямые $∥ A D$ . $BC = 5$ , $A D = 17$ .

$d = \frac{17 - 5}{4} = 3$ 4 шага от $BC$ до $A D$

$8, 11, 14$ проверка: $11 = \frac{5 + 17}{2}$

Сам

5 частей, основания $3$ и $23$ . Найдите сумму четырёх отрезков. $52$
4 части, $BC = 6$ , ближайший к $BC$ отрезок равен $10$ . Найдите $A D$ . $22$
3 части, $A D = 20$ , ближайший к $A D$ отрезок равен $16$ . Найдите $BC$ . $8$

R01.8

Обратное утверждение · доказательство

Равные отрезки и одна пара параллельных

Дано:

A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3}

,

B_{1} B_{2} = B_{2} B_{3}

,

A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2}

. Доказать:

A_{3} B_{3} ∥ A_{2} B_{2}

.

2,5 мин · теория
Метод — «единственность»: строим нужную параллельную прямую и доказываем, что она проходит через данную точку. Шаг 3: на луче от B₂ в сторону B₃ есть ровно одна точка на расстоянии B₂B₃.
Важно: одна пара параллельных прямых должна быть дана. Только из A₁A₂ = A₂A₃ и B₁B₂ = B₂B₃ параллельность не следует — контрпример: a ∥ b, на a шаг 1 см, на b шаг 2 см (прямые A₁B₁, A₂B₂ не параллельны). Для угла с вершиной O роль «первой параллельной» не нужна: OA₁ = A₁A₂, OB₁ = B₁B₂ ⇒ A₁B₁ ∥ A₂B₂ (теорема о средней линии).
Применение — следующий слайд: соответствующие точки деления боковых сторон трапеции дают отрезки, параллельные основаниям.

R01.8

Образец → сам · задача на доказательство

Докажите параллельность и равенство

Образец: $A BC D$ — трапеция, $BM = MN = N A$ , $C K = K L = L D$ . Докажите: $M K ∥ A D$ .

через $M$ , $N$ — прямые $∥ A D$ до $C D$ : $K^{'}$ , $L^{'}$

$C K^{'} = K^{'} L^{'} = L^{'} D$ Фалес: $BC ∥ M K^{'} ∥ N L^{'} ∥ A D$

$C K^{'} = \frac{C D}{3} = C K$ ⇒ $K^{'} = K$ , $M K ∥ A D$

Сам: план и обоснования

$△ A BC$ : $A M = MN = NB$ , $A P = PQ = QC$ . Докажите: $NQ ∥ BC$ . через $M$ , $N$ прямые $∥ BC$ ; Фалес в $∠ A$ ⇒ проходят через $P$ , $Q$
$M K$ — средняя линия трапеции, $X \in BC$ , $Y \in A D$ . Докажите: $M K$ делит $X Y$ пополам. Фалес для $A B$ и $X Y$ : $BC ∥ M K ∥ A D$
$M$ — середина $A B$ , $MN ∥ BC$ , $A D$ — медиана. Докажите: $MN$ делит $A D$ пополам. Фалес в $∠ B A D$ : $A M = MB$

3 мин · практика
Образец — то же рассуждение «единственности», что на сл. 8: параллельные через M и N делят CD на три равные части, значит, первая из них проходит через K (CK = CD/3). Аналогично NL ∥ AD. Вывод: отрезки, соединяющие соответствующие точки деления боковых сторон, параллельны основаниям — к ним применимо правило «ступеней».
1) Прямые через M и N, параллельные BC, вместе с BC отсекают на AB равные отрезки AM = MN = NB ⇒ на AC — равные: AP′ = P′Q′ = Q′C ⇒ Q′ = Q (AQ′ = 2/3 AC = AQ) ⇒ NQ ∥ BC. Аналогично MP ∥ BC.
2) Прямые BC, MK, AD параллельны и отсекают на AB равные отрезки BM = MA ⇒ по теореме Фалеса (для прямых AB и XY) отсекают равные отрезки на XY. Частный случай: средняя линия делит высоту трапеции пополам.
3) В угле BAD прямые MN и BD (отрезок BC содержит D) параллельны, AM = MB ⇒ отрезок AD делится точкой пересечения пополам.
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования. Сильным — все три; остальным — 1 и 3.

R01.8

Приём · дополнительная параллельная прямая

Нет параллельных — проведите их сами

Дано:

A D

— медиана

△ A BC

,

E \in A C

,

A E : EC = 1 : 2

,

BE \cap A D = O

. Доказать:

A O = O D

.

3 мин · теория (учитель решает у доски, класс отвечает «почему?»)
Идея приёма: теорема Фалеса работает только при параллельных прямых, поэтому проводим параллельную прямую через середину или точку деления — так, чтобы получились два угла с равными отрезками. Здесь: через середину D стороны BC параллельно BE.
Шаг 2: угол C, прямые DF и BE параллельны, CD = DB ⇒ CF = FE. Шаг 3: EC = 2AE ⇒ EF = FC = AE. Шаг 4: угол A, прямые EO и FD параллельны, AE = EF ⇒ AO = OD.
Бонус (понадобится в ОГЭ 23, сл. 19): EO — средняя линия △AFD, FD — средняя линия △CBE ⇒ EO = FD/2 = BE/4, BO = 3/4 BE.
Ошибка: проводить параллельную «через что-нибудь». Подсказка-алгоритм: через середину (точку деления) параллельно отрезку, на котором ищем точку.

R01.8

Образец → сам · дополнительное построение

Медиана и прямая через её середину

Образец: $K$ — середина медианы $BM$ , $A K \cap BC = P$ , $BC = 18$ . Найдите $BP$ .

$MN ∥ A P$ : $CN = NP$ Фалес в $∠ C$ , $CM = M A$

$BP = PN$ Фалес в $∠ B$ , $B K = K M$

$BP = PN = NC$ , $BP = 6$

Сам

Тот же чертёж, $PC = 14$ . Найдите $BC$ . $21$
$A D$ — медиана, $O$ — середина $A D$ , $BO \cap A C = E$ , $A C = 27$ . Найдите $EC$ . $18$
$M$ — середина $A B$ , $K$ — середина $CM$ , $B K \cap A C = P$ , $A C = 12$ . Найдите $A P$ . $8$

3 мин · практика
Образец: проводим MN ∥ AP (N ∈ BC). Угол C: CM = MA, MN ∥ AP ⇒ CN = NP. Угол B: BK = KM, KP ∥ MN ⇒ BP = PN. Итого BC = 3 части, BP = 18 : 3 = 6, PC = 12.
1) PC = 2 части = 14 ⇒ часть 7, BC = 21. 2) Это образец с другой медианой: E делит AC так, что AE = AC/3 = 9, EC = 18 (через D провести DF ∥ BE). 3) Медиана CM, K — её середина, прямая из B ⇒ точка P отсекает треть стороны от вершины C: CP = 4, AP = 8 (через M провести MN ∥ BP, N ∈ AC).
Общий вывод (запомнить): прямая из вершины через середину медианы отсекает на третьей стороне треть, считая от вершины, из которой проведена медиана.

R01.8

Образец → сам · задача на построение

Точка на продолжении отрезка

Образец: постройте на прямой $A B$ точку $C$ , для которой $A C = \frac{4}{3} A B$ .

луч $A X$ : $A P_{1} = P_{1} P_{2} = P_{2} P_{3} = P_{3} P_{4}$

$P_{3} B$ ; через $P_{4}$ — прямая $∥ P_{3} B$ до $A B$ : точка $C$

$A B$ — 3 части, $BC$ — ещё одна Фалес

Сам: циркулем и линейкой

Постройте $C$ : $A C = \frac{5}{2} A B$ . 5 отрезков; $P_{2} B$ ; через $P_{5}$ — прямая $∥ P_{2} B$
Постройте отрезок $\frac{A B}{3} + \frac{C D}{2}$ . $A B$ на 3, $C D$ на 2 части; отложить подряд
Раствор циркуля менять нельзя (он меньше $A B$ ). Разделите $A B$ на 3 части. можно: отрезки на луче — любой длины, лишь бы равные

2,5 мин · практика
Образец: прямые через P₁, P₂, параллельные P₃B, разбили бы AB на 3 равные части (теорема Фалеса для прямых AX и AB), а прямая через P₄ отсекает за точкой B ещё такую же часть ⇒ BC = AB/3, AC = 4/3 AB.
1) На луче 5 равных отрезков, соединяем P₂ с B (AB — 2 части), через P₅ — прямая ∥ P₂B до прямой AB: AC = 5 частей по AB/2. 2) Каждый отрезок делим построением (Фалес), затем откладываем циркулем на одной прямой подряд. 3) Длина отрезков на луче в теореме Фалеса не важна — важно только их равенство.
Ошибка: соединить с B точку P₄ (тогда AC = AB).

R01.8

Схема-конспект

Как увидеть теорему Фалеса в задаче

1. Найдите

две прямые или угол
параллельные прямые, пересекающие их
нет параллельных — проведите через середину

⟶

2. Проверьте

отрезки на одной прямой равны и идут подряд
параллельность дана или доказана

⟶

3. Получите

равные отрезки на другой прямой
ступени:
$x_{k} = a + k \cdot \frac{b - a}{n}$
обратно: равные отрезки + одна пара $∥$ ⇒ все $∥$

R01.8

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$A_{3} B_{3} = A_{1} B_{1} + B_{1} B_{3}$	складывают отрезки параллельных и отрезки стороны угла	$A_{3} B_{3} = 3 \cdot A_{1} B_{1}$ (ступени)
каждый отрезок в трапеции $= \frac{a + b}{2}$	полусумма — только для средней линии	$x_{k} = a + k \cdot \frac{b - a}{n}$
$A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3}$ , $B_{1} B_{2} = B_{2} B_{3}$ ⇒ $A_{i} B_{i}$ параллельны	обратное верно, если одна пара прямых уже параллельна	нужно ещё $A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2}$
« $F$ — середина $EC$ , видно по рисунку»	«на рисунке видно» — не обоснование	Фалес в $∠ C$ : $C D = D B$ , $D F ∥ BE$

R01.8

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Боковая сторона на 3 части, основания $6$ и $18$ . Найдите отрезки.

$x_{1} = \frac{6 + 18}{2} = 12$

$x_{2} = \frac{12 + 18}{2} = 15$

$d = \frac{18 - 6}{3} = 4$ : отрезки $10$ и $14$

б) $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3}$ , $A_{i} B_{i}$ параллельны, $A_{1} B_{1} = 5$ , $O B_{3} = 12$ . Найдите $A_{3} B_{3}$ .

$B_{1} B_{3} = 8$ , $A_{3} B_{3} = 5 + 8 = 13$

$A_{3} B_{3} = 3 \cdot 5 = 15$ ; $O B_{3}$ — лишнее данное

в) $K$ — середина медианы $BM$ , $A K \cap BC = P$ .

« $B K = K M$ , по теореме Фалеса $BP = PC$ »

нет параллельных; с $MN ∥ A P$ : $BP = \frac{1}{3} BC$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Ученик взял среднюю линию всей трапеции, но при n = 3 её среди отрезков нет. Шаг d = 4: 6, 10, 14, 18. Проверка: 10 = (6 + 14)/2 ✓.
б) Сложены отрезок параллельной прямой и отрезок стороны угла. Верно: ступени от вершины — 5, 10, 15. Данное OB₃ = 12 в задаче не нужно (ловушка).
в) Для теоремы Фалеса в угле B нужны параллельные прямые, пересекающие BM и BC; KP и MC не параллельны. Решение — сл. 11: BP = BC/3, PC = 2/3 BC.

R01.8

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаУгол $O$ : 4 равных отрезка от вершины, прямые $∥$ , $A_{1} B_{1} = 3$ . Найдите $A_{4} B_{4}$ . $12$
базаТам же $A_{2} B_{2} = 7$ . Найдите $A_{3} B_{3}$ . $10, 5$
базаТрапеция, боковая сторона на 3 части, основания $7$ и $16$ . Отрезки? $10$ и $13$

база6 частей, основания $4$ и $22$ . Средний (третий) отрезок? $13$
база $A B$ делят на 9 частей. Через какую $P_{k}$ провести прямую $∥ P_{9} B$ , чтобы $A C : CB = 4 : 5$ ? $P_{4}$
база $M$ — середина $A B$ , $MN ∥ BC$ , $MN = 6, 5$ . Найдите $BC$ . $13$

R01.8

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Боковая сторона трапеции на 5 равных частей, через точки деления — прямые $∥$ основаниям. Сумма всех шести отрезков (с основаниями) $72$ , меньшее основание $2$ . Найдите большее. $22$
повыш. $K$ — середина медианы $BM$ $△ A BC$ , $A K \cap BC = P$ , $A P = 20$ . Найдите $A K$ . $15$
повыш.На $BC$ : $B D = D E = EC$ ; через $D$ и $E$ — прямые $∥ A B$ до $A C$ в точках $K$ и $L$ ; $A B = 12$ . Найдите $DK + E L$ . $12$
из жизниПрямая тропа на склоне идёт от высоты $120$ м до $180$ м, её длина $900$ м. Сколько метров тропы между высотами $140$ и $150$ м? $150$ м

2,5 мин · практика
1) Шесть отрезков: 2, 2 + d, …, 2 + 5d; сумма 12 + 15d = 72 ⇒ d = 4, большее основание 2 + 20 = 22 (или 3 · (a + b) = 72).
2) Как на сл. 11: MN ∥ AP. KP — средняя линия △BMN ⇒ KP = MN/2; MN — средняя линия △CAP ⇒ MN = AP/2. Значит, KP = AP/4 = 5, AK = 15.
3) Угол C, три равных отрезка от вершины C на CB, прямые EL, DK, BA параллельны ⇒ ступени: EL = 4, DK = 8, AB = 12. DK + EL = 12.
4) Горизонтали (уровни 120, 130, …, 180 м) в вертикальном сечении — параллельные прямые через равные промежутки по высоте ⇒ по теореме Фалеса делят тропу на 6 равных участков по 150 м; между 140 и 150 м — один участок.

R01.8 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 17Основания трапеции $4$ и $10$ . Боковую сторону разделили на 3 равные части и через точки деления провели прямые, параллельные основаниям. Найдите больший из отрезков этих прямых внутри трапеции. $8$
ОГЭ 17Каждую боковую сторону трапеции разделили на 4 равные части и соединили соответствующие точки. Основания $6$ и $14$ . Найдите сумму длин трёх отрезков. $30$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Параллельные прямые, отсекающие на одной стороне угла равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой.
Отрезки параллельных прямых между сторонами угла равны.
Прямая через середины двух сторон треугольника параллельна третьей.

Ответ: 13

R01.8 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 $A D$ — медиана $△ A BC$ , $E \in A C$ , $A E : EC = 1 : 2$ , $BE \cap A D = O$ , $BE = 16$ . Найдите $BO$ .

$D F ∥ BE$ : $A O = O D$ , $A E = EF$ приём сл. 10

$F D = 8$ , $EO = 4$ средние линии $△ CBE$ , $△ A F D$

$BO = 16 - 4 = 12$

ОГЭ 24 $BM = MN = N A$ , $C K = K L = L D$ на боковых сторонах трапеции $A BC D$ . Докажите: $M K + N L = BC + A D$ .

$M K ∥ N L ∥ A D$ образец сл. 9

$2 M K = BC + N L$ , $2 N L = M K + A D$ средние линии

сложим: $M K + N L = BC + A D$

2 мин · практика
23) Дополнительное построение DF ∥ BE (F ∈ AC): по сл. 10 AE = EF = FC и AO = OD. FD — средняя линия △CBE (D, F — середины CB, CE) ⇒ FD = 8. EO — средняя линия △AFD (E, O — середины AF, AD) ⇒ EO = 4. BO = 16 − 4 = 12. Ответ: 12.
24) Полное решение на 2 балла: доказать MK ∥ NL ∥ AD (теорема Фалеса + единственность параллельной, сл. 9); тогда BCLN и MKDA — трапеции, MK и NL — их средние линии (M, K — середины BN, CL; N, L — середины MA, KD). Сложить два равенства: 2MK + 2NL = BC + AD + MK + NL.
На уроке — устный план (2 мин), полная запись 24 — в ДЗ по желанию.

R01.8

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Угол: 3 равных отрезка от вершины, прямые $∥$ , $A_{1} B_{1} = 6$ . Найдите $A_{3} B_{3}$ . $18$
Боковая сторона трапеции на 4 части, основания $3$ и $15$ . Найдите отрезки. $6$ , $9$ , $12$
$K$ — середина медианы $BM$ , $A K \cap BC = P$ , $BC = 24$ . Найдите $PC$ . $16$
Как построить $C$ на прямой $A B$ : $A C = \frac{3}{2} A B$ ? 3 отрезка; $P_{2} B$ ; через $P_{3} ∥ P_{2} B$

Вариант 2

Угол: 4 равных отрезка от вершины, прямые $∥$ , $A_{4} B_{4} = 20$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ . $5$
Боковая сторона трапеции на 3 части, основания $5$ и $20$ . Найдите отрезки. $10$ и $15$
$K$ — середина медианы $BM$ , $A K \cap BC = P$ , $BP = 9$ . Найдите $BC$ . $27$
Как построить $C$ на прямой $A B$ : $A C = \frac{5}{3} A B$ ? 5 отрезков; $P_{3} B$ ; через $P_{5} ∥ P_{3} B$

4 мин · практика
Вариант 1: 1) ступени 6, 12, 18. 2) d = (15 − 3) : 4 = 3: 6, 9, 12. 3) BP = PN = NC = 8 ⇒ PC = 16. 4) На луче 3 равных отрезка, соединить P₂ с B (AB — 2 части), через P₃ — прямая ∥ P₂B до прямой AB.
Вариант 2: 1) 4x = 20 ⇒ 5. 2) d = (20 − 5) : 3 = 5: 10 и 15. 3) BP — треть ⇒ BC = 27. 4) 5 отрезков, соединить P₃ с B, через P₅ — прямая ∥ P₃B.
В задании 3 требовать запись дополнительного построения и двух ссылок на теорему Фалеса. Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3». Взаимопроверка по ответам (по щелчку).

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти отрезки параллельных в трапеции («ступени»)?
Когда верно обратное утверждение?
Через какую точку проводят дополнительную параллельную?

Домашнее задание

Боковая сторона на 5 частей, основания $2$ и $27$ . Найдите отрезки.
$A D$ — медиана, $A E : EC = 1 : 2$ , $BE \cap A D = O$ , $OE = 3$ . Найдите $BE$ .
* Сторона на $n$ частей: докажите, что сумма отрезков равна $\frac{( n - 1 ) ( a + b )}{2}$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_parallelogramm_i_trapeciya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-019 · Практикум: Теорема Фалеса

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R01 «Четырехугольники», 22 ч · урок 19/22 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R01.8 «Теорема Фалеса» → 2, 4–21 · повторение R01.3, R01.7, R01.8 → 3
Результаты	ПР-3 (средние линии, теорема Фалеса, практические задачи) → 4–21; вид деятельности «деление отрезка на равные части циркулем и линейкой» → 12, 20
Вне урока	теория и доказательство теоремы Фалеса — GEOM8U-008; теорема о пропорциональных отрезках — GEOM8U-009, GEOM8U-020 (упомянута на сл. 4, 21); центр масс треугольника — R01.10
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: теорема Фалеса

Сегодня вы научитесь

Находить отрезки параллельных

Доказывать параллельность

Проводить нужную параллельную

Строить циркулем и линейкой

Теорема Фалеса и средние линии

Что дано и что получаем

Отрезки параллельных прямых в трапеции

Найдите отрезки параллельных прямых

Образец: OA1​=A1​A2​=A2​A3​, Ai​Bi​ параллельны, A1​B1​=4. Найдите A2​B2​, A3​B3​.

Сам

Боковая сторона на n равных частей

Образец: AB разделена на 4 равные части, через точки деления — прямые ∥AD. BC=5, AD=17.

Сам

Равные отрезки и одна пара параллельных

Докажите параллельность и равенство

Образец: ABCD — трапеция, BM=MN=NA, CK=KL=LD. Докажите: MK∥AD.

Сам: план и обоснования

Нет параллельных — проведите их сами

Медиана и прямая через её середину

Образец: K — середина медианы BM, AK∩BC=P, BC=18. Найдите BP.

Сам

Точка на продолжении отрезка

Образец: постройте на прямой AB точку C, для которой AC=34​AB.

Сам: циркулем и линейкой

Как увидеть теорему Фалеса в задаче

1. Найдите

2. Проверьте

3. Получите

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Боковая сторона на 3 части, основания 6 и 18. Найдите отрезки.

б) OA1​=A1​A2​=A2​A3​, Ai​Bi​ параллельны, A1​B1​=5, OB3​=12. Найдите A3​B3​.

в) K — середина медианы BM, AK∩BC=P.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-019 · Практикум: Теорема Фалеса

Образец: $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3}$ , $A_{i} B_{i}$ параллельны, $A_{1} B_{1} = 4$ . Найдите $A_{2} B_{2}$ , $A_{3} B_{3}$ .

Боковая сторона на $n$ равных частей

Образец: $A B$ разделена на 4 равные части, через точки деления — прямые $∥ A D$ . $BC = 5$ , $A D = 17$ .

Образец: $A BC D$ — трапеция, $BM = MN = N A$ , $C K = K L = L D$ . Докажите: $M K ∥ A D$ .

Образец: $K$ — середина медианы $BM$ , $A K \cap BC = P$ , $BC = 18$ . Найдите $BP$ .

Образец: постройте на прямой $A B$ точку $C$ , для которой $A C = \frac{4}{3} A B$ .

а) Боковая сторона на 3 части, основания $6$ и $18$ . Найдите отрезки.

б) $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3}$ , $A_{i} B_{i}$ параллельны, $A_{1} B_{1} = 5$ , $O B_{3} = 12$ . Найдите $A_{3} B_{3}$ .

в) $K$ — середина медианы $BM$ , $A K \cap BC = P$ .