Четырёхугольники · урок 18 из 22 · практикум

Средняя линия трапеции: практикум

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM8U-018

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 11,5 мин · практика 33,5 мин (74 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Четырехугольники» (22 ч), урок 18/22, единица R01.7. Тип урока — П (практикум после урока GEOM8U-007).
Теория (11,5): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка 2 · свойство «отрезок между основаниями» 2 · проекция диагонали 3 · биссектрисы при боковой стороне 3,5.
Практика (33,5): разминка 2,5 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 17/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: задачу «сам» 3 на доказательство и ОГЭ 24 — в ДЗ; доказательства на теоретических слайдах не сокращать.

R01.7

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Решать обратные задачи

находить основания по средней линии и её частям (ПР-3)

Видеть среднюю линию

в отрезках между основаниями и в проекции диагонали

Доказывать

свойство биссектрис углов при боковой стороне и пользоваться им (ПР-3)

Решать задачи ОГЭ

линии 17, 19, 23 и 24 на трапецию

повторение: уроки 3, 7, 17

Разминка · устно

Средняя линия и её части

$BC = 5$ , $A D = 13$ . Найдите $MN$ . $9$
Найдите $MP$ и $PQ$ . $2, 5$ и $4$
$MN = 11$ , $BC = 8$ . Найдите $A D$ . $14$
$∠ A = 6 4^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ . $11 6^{\circ}$
Гипотенуза $14$ . Медиана к ней? $7$
Катет против угла $3 0^{\circ}$ , гипотенуза $10$ ? $5$

R01.7

Сводка правил

Что мы знаем о средней линии трапеции

Теорема

$MN ∥ A D ∥ BC$ , $MN = \frac{a + b}{2}$

Части между диагоналями

$MP = QN = \frac{b}{2}$ , $PQ = \frac{a - b}{2}$

Признак

прямая через середину боковой стороны $∥$ основаниям делит другую боковую сторону пополам

R01.7

Образец → сам · обратная задача

Основания по сумме и разности

Образец: $MN = 15$ , $PQ = 4$ . Найдите основания трапеции.

$a + b = 2 \cdot 15 = 30$ теорема о средней линии

$a - b = 2 \cdot 4 = 8$ $PQ = \frac{a - b}{2}$

$a = 19$ , $b = 11$ сложили и вычли

Сам

Диагонали делят $MN$ на части $3$ , $4$ , $3$ . Найдите основания. $14$ и $6$
Основания относятся как $2 : 5$ , $PQ = 6$ . Найдите $MN$ . $14$
$MN = 18$ , $MP : PQ = 2 : 5$ . Найдите основания. $28$ и $8$

R01.7

Свойство · доказательство

Средняя линия делит пополам отрезок между основаниями

Дано:

X \in BC

,

Y \in A D

,

X Y \cap MN = T

.
Доказать:

XT = T Y

.

1

A BX Y

— трапеция,

BX ∥ A Y

X

и

Y

лежат на основаниях

2прямая

MN

проходит через середину

A B

и

∥ A Y

теорема о средней линии

A BC D

3

T

— середина

X Y

:

XT = T Y

признак средней линии для трапеции

A BX Y

Следствие:

MN

делит высоту пополам; расстояние от

MN

до основания

= \frac{h}{2}

.

2 мин · теория
Формулировка: средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок с концами на основаниях. Первый щелчок подсвечивает трапецию ABXY.
Если XY ∥ AB, то ABXY — параллелограмм; прямая через середину AB параллельно BX делит XY пополам по тому же рассуждению (через середину диагонали параллелограмма — средняя линия △ABY и △BXY). Частный случай — высота: середина высоты лежит на MN.
Отсюда MT — средняя линия △ABY или трапеции ABXY: MT = (BX + AY)/2. Это правило — в образце на следующем слайде.

R01.7

Образец → сам · отрезок из вершины

Средняя линия режет отрезок $B K$

Образец: $BC = 6$ , $A D = 16$ , $A K = 10$ , $B K \cap MN = T$ . Найдите $MT$ и $TN$ .

$T$ — середина $B K$ ⇒ $MT = \frac{A K}{2} = 5$ ср. линия $△ A B K$

$TN = \frac{BC + KD}{2} = \frac{6 + 6}{2} = 6$ трапеция $K BC D$

проверка: $5 + 6 = 11 = \frac{16 + 6}{2}$

Сам

Высота трапеции $12$ . Найдите расстояние от $MN$ до большего основания. $6$
$A D = 20$ , $BC = 8$ , $B K ∥ C D$ , $K \in A D$ . $B K \cap MN = T$ . Найдите $MT$ . $6$
$A D = 18$ , $BC = 10$ , $B H$ — высота, $A H = 3$ . $B H \cap MN = T$ . Найдите $MT$ и $TN$ . $1, 5$ и $12, 5$

R01.7 · R01.5

Свойство · доказательство

Проекция диагонали равнобедренной трапеции

Дано:

A B = C D

,

A D = a

,

BC = b

,

B K ⊥ A D

,

C H ⊥ A D

.
Доказать:

A H = \frac{a + b}{2}

,

HD = \frac{a - b}{2}

.

1

KH = BC = b

BC HK

— прямоугольник

2

△ A B K = △ D C H

⇒

A K = HD

по гипотенузе и острому углу:

A B = C D

,

∠ A = ∠ D

3

HD = \frac{a - b}{2}

A K + HD = a - b

4

A H = a - \frac{a - b}{2} = \frac{a + b}{2} = MN

3 мин · теория
Формулировка: в равнобедренной трапеции высота из вершины меньшего основания делит большее основание на отрезки (a + b)/2 и (a − b)/2; больший равен средней линии.
Шаг 2: углы при основании равнобедренной трапеции равны (урок GEOM8U-005). Первый щелчок подсвечивает равные треугольники.
Вопрос: где ещё встречались полусумма и полуразность? (MN и PQ.) Отрезок AH — проекция диагонали AC на основание AD.
Для неравнобедренной трапеции AH ≠ MN в общем случае — частая ошибка.

R01.7 · R01.5

Образец → сам · равнобедренная трапеция

Высота через проекцию диагонали

Образец: трапеция равнобедренная, $∠ C A D = 4 5^{\circ}$ , высота $C H = 9$ . Найдите $MN$ .

$∠ A C H = 4 5^{\circ}$ ⇒ $A H = C H = 9$ $△ A C H$ равнобедренный

$MN = A H = 9$ проекция диагонали

Сам

Равнобедренная, $A D = 15$ , $BC = 5$ , $C H$ — высота. Найдите $A H$ и $HD$ . $10$ и $5$
Равнобедренная, $∠ C A D = 4 5^{\circ}$ , $MN = 11$ . Найдите высоту. $11$
Равнобедренная, $A D = 21$ , боковая $12$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $MN$ . $15$

R01.7

Теорема · доказательство

Биссектрисы углов при боковой стороне

Дано:

A K

,

B K

— биссектрисы

∠ A

,

∠ B

;

MN

— средняя линия.
Доказать:

∠ A K B = 9 0^{\circ}

,

K \in MN

.

1

∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}

⇒

∠ A K B = 9 0^{\circ}

односторонние; половины углов в сумме

9 0^{\circ}

2

M K = M A = \frac{A B}{2}

медиана к гипотенузе

△ A K B

3

∠ M K A = ∠ M A K = ∠ K A D

△ A M K

равнобедренный;

A K

— биссектриса

4

M K ∥ A D

⇒

K \in MN

накрест лежащие; через

M

одна прямая

∥ A D

3,5 мин · теория
Формулировка: биссектрисы углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, перпендикулярны и пересекаются на средней линии; MK = AB/2.
Шаг 2: медиана прямоугольного треугольника к гипотенузе равна её половине (свойство прямоугольника, урок GEOM8U-002). Шаг 4: MK ∥ AD, а прямая MN — единственная прямая через M, параллельная AD (аксиома параллельных) ⇒ K лежит на MN.
Вопрос: верно ли это для биссектрис углов A и D? (Нет: ∠A + ∠D ≠ 180° в общем случае.) Для углов C и D — да: NL = CD/2.

R01.7

Образец → сам · комбинированная задача

Две пары биссектрис на средней линии

Образец: $A B = 10$ , $C D = 14$ , $BC = 6$ , $A D = 20$ . Биссектрисы $∠ A, ∠ B$ пересекаются в $K$ , $∠ C, ∠ D$ — в $L$ . Найдите $K L$ .

$M K = \frac{10}{2} = 5$ , $N L = \frac{14}{2} = 7$ теорема

$K L = MN - M K - N L = 13 - 12 = 1$

Сам

Биссектрисы $∠ A$ и $∠ B$ пересекаются в $K$ , $A B = 18$ . Найдите $M K$ . $9$
Биссектрисы $∠ A$ и $∠ B$ пересекаются на стороне $C D$ ; $A B = 16$ , $BC = 3$ . Найдите $A D$ . $13$
$K = L$ (обе пары биссектрис — в одной точке), $A B = 8$ , $C D = 12$ . Найдите периметр. $40$

R01.7

Образец → сам · задача на доказательство

План доказательства и обоснования

Образец: прямая $BN$ пересекает прямую $A D$ в $K$ . Докажите: $MN = \frac{A K}{2} = \frac{A D + BC}{2}$ .

$△ BCN = △ KD N$ II признак: $CN = N D$ , вертик., накрест

$BN = N K$ , $DK = BC$ соответственные элементы

$MN = \frac{A K}{2} = \frac{A D + BC}{2}$ ср. линия $△ A B K$

Сам: составьте план

Докажите: $M$ , $P$ , $Q$ , $N$ лежат на одной прямой. $MP ∥ A D$ , $MQ ∥ A D$ ⇒ одна прямая; так же для $N$
$∠ A NB = 9 0^{\circ}$ . Докажите: $A B = A D + BC$ . $NM$ — медиана к гипотенузе: $MN = \frac{A B}{2}$
$A B = A D + BC$ . Докажите: $A N$ — биссектриса $∠ A$ . $A M = MN$ ⇒ $∠ M A N = ∠ MN A = ∠ N A D$

3 мин · практика
Образец — второе доказательство теоремы о средней линии. △BCN = △KDN: CN = ND, ∠BNC = ∠KND (вертикальные), ∠BCN = ∠KDN (накрест лежащие при BC ∥ AK и секущей CD) ⇒ BN = NK, DK = BC. M и N — середины AB и BK ⇒ MN — средняя линия △ABK: MN ∥ AK, MN = AK/2 = (AD + BC)/2.
1) MP — средняя линия △ABC ⇒ MP ∥ BC ∥ AD; MQ — средняя линия △ABD ⇒ MQ ∥ AD; через M одна прямая, параллельная AD ⇒ M, P, Q на одной прямой; это прямая MN (теорема о средней линии).
2) В прямоугольном △ANB медиана NM к гипотенузе равна AB/2; MN = (AD + BC)/2 ⇒ AB = AD + BC.
3) MN = (AD + BC)/2 = AB/2 = AM ⇒ △AMN равнобедренный, ∠MAN = ∠MNA; ∠MNA = ∠NAD (накрест, MN ∥ AD) ⇒ ∠MAN = ∠NAD.
Работа в парах; сильным — все три, остальным — 1 и 2.

R01.7

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$T = B K \cap MN$ ⇒ $MT = TN$	$MN$ делит пополам отрезок $B K$ , а не себя	$BT = T K$ , $MT = \frac{A K}{2}$
Биссектрисы $∠ A$ и $∠ D$ пересекаются на $MN$	$∠ A + ∠ D \neq = 18 0^{\circ}$ : углы не при одной боковой стороне	так ведут себя $∠ A, ∠ B$ и $∠ C, ∠ D$
$A H = \frac{a - b}{2}$ в равнобедренной трапеции	$H$ — основание высоты из $C$ , перепутаны отрезки	$A H = \frac{a + b}{2}$ , $HD = \frac{a - b}{2}$
Прямая через середину $A B$ — средняя линия	нужно ещё $∥$ основаниям (признак)	через середину $A B$ и $∥ A D$

R01.7

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Равнобедренная, $A D = 18$ , $BC = 8$ , $C H$ — высота. Найдите $A H$ .

$A H = \frac{18 - 8}{2} = 5$

$5$ — это $HD$ ; $A H = \frac{18 + 8}{2} = 13$

б) Биссектрисы $∠ A$ , $∠ B$ пересекаются в $K \in MN$ , $A B = 12$ , $MN = 15$ . Найдите $K N$ .

$M K = A B = 12$

$K N = 15 - 12 = 3$

$M K = \frac{A B}{2} = 6$ , $K N = 9$

в) $A D = 20$ , $BC = 10$ , $B K ∥ C D$ , $T = B K \cap MN$ . Найдите $MT$ .

$MN = 15$ , $T$ — середина $MN$

$MT = 7, 5$

$A K = 20 - 10 = 10$ , $MT = \frac{A K}{2} = 5$

R01.7

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаВысота $14$ . Расстояние от $MN$ до основания? $7$
база $MN = 13$ , $PQ = 3$ . Найдите основания. $16$ и $10$
базаРавнобедренная, $A D = 22$ , $BC = 8$ , $C H$ — высота. Найдите $A H$ . $15$

базаБиссектрисы $∠ A$ , $∠ B$ пересекаются в $K$ , $A B = 15$ . Найдите $M K$ . $7, 5$
база $A D = 24$ , $BC = 10$ , $A K = 8$ , $T = B K \cap MN$ . Найдите $MT$ и $TN$ . $4$ и $13$
база $MP = PQ$ , $MN = 12$ . Найдите основания. $16$ и $8$

R01.7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Равнобедренная трапеция, $∠ C A D = 4 5^{\circ}$ , $A D = 20$ , $BC = 8$ . Найдите высоту. $14$
повыш. $MN = 10$ делит трапецию на две трапеции, их средние линии относятся как $2 : 3$ . Найдите основания. $6$ и $14$
повыш. $P = 40$ , обе пары биссектрис углов при боковых сторонах пересекаются в одной точке. Найдите $MN$ . $10$
из жизниСтремянка: ножки внизу разведены на $80$ см, вверху $40$ см. Длина ступеньки посередине высоты? $60$ см

R01.7 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 17Основания трапеции равны $3$ и $9$ . Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей. $4, 5$
ОГЭ 17Средняя линия трапеции равна $11$ , а меньшее основание равно $5$ . Найдите большее основание. $17$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
Средняя линия трапеции параллельна её боковым сторонам.
Средняя линия трапеции делит пополам каждую её диагональ.

Ответ: 13

R01.7 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Биссектрисы углов $A$ и $B$ трапеции $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ) пересекаются в точке $K$ стороны $C D$ . Найдите $A B$ , если $A D = 10$ , $BC = 4$ .

$K \in MN \cap C D$ ⇒ $K = N$ теорема о биссектрисах

$MN = \frac{10 + 4}{2} = 7 = \frac{A B}{2}$

$A B = 14$

ОГЭ 24 $N$ — середина $C D$ трапеции $A BC D$ , прямая $A N$ пересекает прямую $BC$ в точке $K$ . Докажите, что $B K = A D + BC$ .

$D N = NC$ , $∠ A N D = ∠ K NC$ (вертик.), $∠ A D N = ∠ K CN$ (накрест, $A D ∥ B K$ )

$△ A D N = △ K CN$ (II) ⇒ $C K = A D$

$B K = BC + C K = BC + A D$

2,5 мин · практика
23) По теореме урока точка пересечения биссектрис углов A и B лежит на средней линии и MK = AB/2. Она же лежит на CD ⇒ это N. MN = (10 + 4)/2 = 7 = AB/2 ⇒ AB = 14. Оформление на 2 балла: сослаться на теорему или доказать её (∠AKB = 90°, медиана KM = AB/2).
24) Полное решение на 2 балла: △ADN = △KCN по стороне DN = NC и двум прилежащим углам (вертикальные при N; накрест лежащие при AD ∥ BK и секущей CD) ⇒ CK = AD; K лежит на продолжении BC за точку C ⇒ BK = BC + CK = BC + AD. Следствие: MN — средняя линия △ABK, MN = BK/2.
На уроке — устное обсуждение плана; запись 24 полностью — в ДЗ по желанию.

R01.7

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Высота трапеции $9$ . Расстояние от $MN$ до основания? $4, 5$
$MN = 14$ , $PQ = 5$ . Найдите основания. $19$ и $9$
Равнобедренная, $A D = 26$ , $BC = 10$ , $C H$ — высота. Найдите $A H$ и $HD$ . $18$ и $8$
Биссектрисы $∠ A$ , $∠ B$ пересекаются в $K$ , $A B = 16$ , $MN = 20$ . Найдите $K N$ . $12$

Вариант 2

Расстояние от $MN$ до основания $6$ . Найдите высоту. $12$
$MN = 17$ , $PQ = 7$ . Найдите основания. $24$ и $10$
Равнобедренная, $A D = 30$ , $BC = 14$ , $C H$ — высота. Найдите $A H$ и $HD$ . $22$ и $8$
Биссектрисы $∠ C$ , $∠ D$ пересекаются в $L$ , $C D = 18$ , $MN = 21$ . Найдите $M L$ . $12$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти основания по $MN$ и $PQ$ ?
Чему равна проекция диагонали равнобедренной трапеции?
Где пересекаются биссектрисы углов при боковой стороне?

Домашнее задание

$MN = 16$ , $PQ = 6$ . Найдите основания.
Равнобедренная, $∠ C A D = 4 5^{\circ}$ , $A D = 25$ , $BC = 9$ . Найдите высоту.
* Биссектрисы $∠ A$ и $∠ B$ пересекаются на $C D$ . Докажите: $A B = A D + BC$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_parallelogramm_i_trapeciya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-018 · Практикум: Средняя линия трапеции

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R01 «Четырехугольники», 22 ч · урок 18/22 · тип П
Единицы → слайды	R01.7 «Средняя линия трапеции» → 2, 4–20 · R01.5 (равнобедренная трапеция) → 8, 9 · повторение уроков 3, 7, 17 → 3
Результаты	ПР-3 (средняя линия трапеции, применение свойств) → 4–20 · ПР-1 (свойства четырёхугольников) → 8–12
Вне урока	теорема Фалеса — GEOM8U-008, практикум GEOM8U-019; площадь трапеции — R03; теорема Пифагора — R04 (в задачах не используется)
Время	теория 11,5 мин · практика 33,5 мин (74 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Средняя линия трапеции: практикум

Сегодня вы научитесь

Решать обратные задачи

Видеть среднюю линию

Доказывать

Решать задачи ОГЭ

Средняя линия и её части

Что мы знаем о средней линии трапеции

Теорема

Части между диагоналями

Признак

Основания по сумме и разности

Образец: MN=15, PQ=4. Найдите основания трапеции.

Сам

Средняя линия делит пополам отрезок между основаниями

Средняя линия режет отрезок BK

Образец: BC=6, AD=16, AK=10, BK∩MN=T. Найдите MT и TN.

Сам

Проекция диагонали равнобедренной трапеции

Высота через проекцию диагонали

Образец: трапеция равнобедренная, ∠CAD=45∘, высота CH=9. Найдите MN.

Сам

Биссектрисы углов при боковой стороне

Две пары биссектрис на средней линии

Образец: AB=10, CD=14, BC=6, AD=20. Биссектрисы ∠A,∠B пересекаются в K, ∠C,∠D — в L. Найдите KL.

Сам

План доказательства и обоснования

Образец: прямая BN пересекает прямую AD в K. Докажите: MN=2AK​=2AD+BC​.

Сам: составьте план

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Равнобедренная, AD=18, BC=8, CH — высота. Найдите AH.

б) Биссектрисы ∠A, ∠B пересекаются в K∈MN, AB=12, MN=15. Найдите KN.

в) AD=20, BC=10, BK∥CD, T=BK∩MN. Найдите MT.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-018 · Практикум: Средняя линия трапеции

Образец: $MN = 15$ , $PQ = 4$ . Найдите основания трапеции.

Средняя линия режет отрезок $B K$

Образец: $BC = 6$ , $A D = 16$ , $A K = 10$ , $B K \cap MN = T$ . Найдите $MT$ и $TN$ .

Образец: трапеция равнобедренная, $∠ C A D = 4 5^{\circ}$ , высота $C H = 9$ . Найдите $MN$ .

Образец: $A B = 10$ , $C D = 14$ , $BC = 6$ , $A D = 20$ . Биссектрисы $∠ A, ∠ B$ пересекаются в $K$ , $∠ C, ∠ D$ — в $L$ . Найдите $K L$ .

Образец: прямая $BN$ пересекает прямую $A D$ в $K$ . Докажите: $MN = \frac{A K}{2} = \frac{A D + BC}{2}$ .

а) Равнобедренная, $A D = 18$ , $BC = 8$ , $C H$ — высота. Найдите $A H$ .

б) Биссектрисы $∠ A$ , $∠ B$ пересекаются в $K \in MN$ , $A B = 12$ , $MN = 15$ . Найдите $K N$ .

в) $A D = 20$ , $BC = 10$ , $B K ∥ C D$ , $T = B K \cap MN$ . Найдите $MT$ .