Четырёхугольники · урок 17 из 22 · практикум

Практикум: прямоугольная трапеция

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM8U-017

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Четырехугольники» (22 ч), урок 17/22, единица R01.6. Тип урока — П (практикум). Новый материал по прямоугольной трапеции был на уроке GEOM8U-006.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка 2 · главный приём 2 · схема-конспект 1,5 · опорная задача 1 — 2,5 · опорная задача 2 — 2 · учитель решает 1,5.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 17/18 — 2 · ОГЭ 19/24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: задание 3 к образцу 4 и задачу ОГЭ 24 — в ДЗ; доказательства опорных задач не сокращать.

R01.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Сводить задачу к простым фигурам

высота из тупого угла → прямоугольник и прямоугольный треугольник (ПР-1)

Считать по углам 30°, 45°, 60°

основания, высоту, боковую сторону, среднюю линию (ПР-1, ПР-3)

Доказывать и применять опорные задачи

биссектрисы тупого и острого углов, $C D = BC + A D$

Решать задачи ОГЭ

линии 17, 18, 19 и доказательство линии 24

0,5 мин · теория
ПР-1: «Распознавать основные виды четырехугольников, их элементы, пользоваться их свойствами при решении геометрических задач…».
ПР-3: «Владеть понятием средней линии … трапеции, применять их свойства при решении геометрических задач» — средняя линия трапеции изучена на уроке GEOM8U-007, сегодня используется в вычислениях.
Виды деятельности ФРП R01: формулировать определение прямоугольной трапеции, доказывать и использовать её признаки и свойства.

повторение: GEOM8U-006, 016

Разминка · устно

Вспомним всё, что понадобится

На рисунке $∠ C = 12 8^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $5 2^{\circ}$
Сколько прямых углов у прямоугольной трапеции? два: $∠ A$ и $∠ B$
Катет лежит против угла $3 0^{\circ}$ , гипотенуза $22$ . Катет? $11$
Острый угол прямоугольного треугольника $4 5^{\circ}$ , катет $9$ . Другой катет? $9$
Основания трапеции $7$ и $15$ . Средняя линия? $11$
Биссектриса угла при основании трапеции отсекает треугольник… равнобедренный

2 мин · практика
1) ∠C и ∠D — односторонние при BC ∥ AD и секущей CD: 180° − 128° = 52°. 2) Два: ∠A = 90° по определению, ∠B = 180° − 90° = 90°.
3) 22 : 2 = 11 (катет против угла 30°). 4) Второй острый угол тоже 45°, треугольник равнобедренный — 9.
5) (7 + 15) : 2 = 11 (урок GEOM8U-007). 6) Равнобедренный: угол биссектрисы равен накрест лежащему (урок GEOM8U-001, сл. 14).
Все шесть фактов — инструменты сегодняшнего практикума. Высоту CH на рисунке пока не обсуждаем — она главная на сл. 5.

R01.6

Сводка · что мы знаем

Прямоугольная трапеция: определение, свойства, признак

Определение. Трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям:

BC ∥ A D

,

A B ⊥ A D

.

Свойства

$∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}$ , $∠ C + ∠ D = 18 0^{\circ}$

$h = A B$ ; $C H ⊥ A D$ ⇒ $A BC H$ — прямоугольник

$A H = BC$ , $C H = A B$ , $HD = A D - BC$ , $C D > A B$

Признак

$∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}$ и $BC \neq = A D$ ⇒ прямоугольная трапеция

R01.6

Главный приём · высота из тупого угла

Треугольник $C HD$ решает задачу

$∠ D = 4 5^{\circ}$

$HD = C H = A B$

$∠ D = 3 0^{\circ}$

$C H = \frac{C D}{2}$ против $3 0^{\circ}$

$∠ D = 6 0^{\circ}$

$HD = \frac{C D}{2}$ $∠ H C D = 3 0^{\circ}$

A D = BC + HD

,

C H = A B

,

m = \frac{BC + A D}{2}

R01.6

Схема-конспект · алгоритм

Как решать задачу о прямоугольной трапеции

1

Провести высоту $C H ⊥ A D$ из тупого угла

→

2

$A BC H$ — прямоугольник: $A H = BC$ , $C H = A B$

→

3

В $△ C HD$ по углу $D$ найти $C H$ , $HD$ , $C D$

→

4

$A D = BC + HD$ ; средняя линия, углы

Есть биссектриса? Ищи равнобедренный треугольник: угол биссектрисы равен накрест лежащему.

Есть диагональ? Отмечай равные накрест лежащие углы:

∠ BC A = ∠ C A D

,

∠ CB D = ∠ B D A

.

R01.6

Образец → сам · углы и диагональ

Найдите углы на готовом чертеже

Образец: $∠ C A D = 3 5^{\circ}$ , $A C ⊥ C D$ . Найдите $∠ D$ , $∠ C$ и $∠ B A C$ .

$∠ D = 9 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 5 5^{\circ}$ $△ A C D$ прямоугольный

$∠ C = 18 0^{\circ} - 5 5^{\circ} = 12 5^{\circ}$ односторонние

$∠ B A C = 9 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 5 5^{\circ}$ $∠ A$ прямой

Сам

$∠ BC A = 5 0^{\circ}$ , $∠ A C D = 8 0^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $5 0^{\circ}$
$∠ A B D = 6 2^{\circ}$ , $BC = C D$ . Найдите $∠ C$ и $∠ D$ . $12 4^{\circ}$ и $5 6^{\circ}$
$A C$ — биссектриса $∠ C$ , $∠ D = 6 4^{\circ}$ . Найдите $∠ C A D$ . $5 8^{\circ}$

R01.6 · R01.7

Образец → сам · чертёж строим сами

Высота, основание, средняя линия

Образец: $∠ C = 12 0^{\circ}$ , $BC = C D = 10$ . Найдите $A D$ и среднюю линию.

$C H ⊥ A D$ : $A H = BC = 10$ $A BC H$ — прямоугольник

$∠ D = 6 0^{\circ}$ , $HD = \frac{C D}{2} = 5$ $∠ H C D = 3 0^{\circ}$

$A D = 15$ , $m = \frac{10 + 15}{2} = 12, 5$

Сам: сделайте чертёж

$∠ D = 4 5^{\circ}$ , высота $7$ , средняя линия $12$ . Найдите основания. $8, 5$ и $15, 5$
$∠ C = 15 0^{\circ}$ , $A B = 4$ , $BC = 3$ . Найдите $C D$ . $8$
$∠ D = 6 0^{\circ}$ , $C D = 12$ , средняя линия $10$ . Найдите основания. $7$ и $13$

R01.6

Опорная задача 1 · доказательство

Биссектрисы углов $C$ и $D$ пересекаются на $A B$

Дано:

∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}

,

C K

,

DK

— биссектрисы,

K \in A B

Доказать:

∠ C KD = 9 0^{\circ}

,

C D = BC + A D

,

A K = K B

.

1

∠ K C D + ∠ KD C = 9 0^{\circ}

⇒

∠ C KD = 9 0^{\circ}

половины углов

C

и

D

, а

∠ C + ∠ D = 18 0^{\circ}

2

K P ⊥ C D

;

△ K BC = △ K PC

⇒

CP = BC

,

K P = K B

по гипотенузе

K C

и острому углу:

∠ BC K = ∠ PC K

3

△ K A D = △ K P D

⇒

D P = A D

,

K P = K A

по гипотенузе

KD

и острому углу

∠ A DK = ∠ P DK

4

C D = CP + P D = BC + A D

,

K A = K P = K B

из п. 2 и 3

2,5 мин · теория
Учитель доказывает, класс называет обоснования. Первый щелчок по чертежу показывает перпендикуляр KP и пары равных треугольников (цвет треугольника = цвет строки).
Вывод запомнить: «биссектрисы углов при наклонной стороне сходятся на прямой стороне ⇒ наклонная сторона равна сумме оснований, а точка K — середина высоты».
Углублённый уровень: K равноудалена от всех четырёх сторон (KB = KP = KA), значит в такую трапецию можно вписать окружность с центром K — к этому вернёмся в теме R05.

R01.6 · R01.7

Образец → сам · применяем опорную задачу

Наклонная сторона = сумма оснований

Образец: биссектрисы $∠ C$ и $∠ D$ пересекаются в точке $K \in A B$ ; $BC = 2$ , $A D = 8$ . Найдите $C D$ , среднюю линию и $∠ C KD$ .

$C D = BC + A D = 10$ опорная задача 1

$m = \frac{2 + 8}{2} = 5$ средняя линия трапеции

$∠ C KD = 9 0^{\circ}$ полусумма $∠ C + ∠ D$

Сам

Биссектрисы $∠ C$ и $∠ D$ пересекаются на $A B$ ; $BC = 3$ , $C D = 10$ . Найдите $A D$ . $7$
То же условие, $∠ D = 6 0^{\circ}$ , $A D = 9$ . Найдите $BC$ и $C D$ . $BC = 3$ , $C D = 12$
То же условие, $P = 40$ , $A B = 8$ . Найдите среднюю линию. $8$

R01.6

Опорная задача 2 · доказательство

Обратное утверждение: $M$ — середина $A B$ , $∠ CM D = 9 0^{\circ}$

Дано:

∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}

,

A M = MB

,

∠ CM D = 9 0^{\circ}

.
Доказать:

C D = BC + A D

.

1Продлим

CM

до пересечения с прямой

A D

в точке

E

;

△ MBC = △ M A E

II признак:

MB = M A

, вертикальные углы при

M

,

∠ B = ∠ M A E = 9 0^{\circ}

2

MC = ME

,

A E = BC

соответственные элементы равных треугольников

3

D M

— медиана и высота

△ C D E

⇒

C D = D E

треугольник равнобедренный

4

C D = D E = A D + A E = A D + BC

R01.6

Образец → сам · задача на доказательство

План доказательства и обоснования

Образец: в прямоугольной трапеции $A BC D$ ( $∠ A = 9 0^{\circ}$ ) $C D = A D$ . Докажите: $A C$ — биссектриса $∠ C$ .

$∠1 = ∠2$ $△ A C D$ равнобедренный, $C D = A D$

$∠3 = ∠1$ накрест лежащие, $BC ∥ A D$ , секущая $A C$

$∠3 = ∠2$ ⇒ $A C$ — биссектриса $∠ C$

Сам: составьте план

Обратное: $A C$ — биссектриса $∠ C$ . Докажите: $A D = C D$ . $∠ C A D = ∠ BC A = ∠ A C D$ ⇒ $△ A C D$ равнобедренный
$A C$ — биссектриса $∠ C$ , $∠ D = 6 0^{\circ}$ . Докажите: $A D = 2 BC$ . $△ A C D$ равносторонний, $HD = A D /2$ ⇒ $BC = A H = A D /2$
$C H ⊥ A D$ , $A C = C D$ . Докажите: $A D = 2 BC$ . $C H$ — медиана: $A H = HD$ , $A H = BC$

3 мин · практика
Образец: последняя строка — вывод по определению биссектрисы. Обратить внимание: дуги одного цвета — равные углы.
1) ∠BCA = ∠ACD (биссектриса), ∠BCA = ∠CAD (накрест) ⇒ ∠CAD = ∠ACD ⇒ △ACD равнобедренный с основанием AC ⇒ AD = CD.
2) ∠C = 120°, ∠ACD = 60° = ∠D, ∠CAD = ∠BCA = 60° ⇒ △ACD равносторонний, CD = AD. Высота CH: ∠HCD = 30° ⇒ HD = CD/2 = AD/2 ⇒ BC = AH = AD − HD = AD/2.
3) В равнобедренном △ACD (AC = CD) высота CH — медиана: AH = HD; ABCH — прямоугольник: AH = BC ⇒ AD = 2BC.
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования. Всем — 1 и 3, сильным — все три.

R01.6 · ОГЭ, ч. 2

Учитель решает · задача повышенной трудности

$A B = BC = \frac{1}{2} A D$ : докажите $A C ⊥ C D$ и найдите $∠ D$

1

M

— середина

A D

:

A BCM

— квадрат

A M = BC

,

A M ∥ BC

,

∠ A = 9 0^{\circ}

,

A B = BC

2

CM = A B = A M = M D

стороны квадрата;

M

— середина

A D

3

∠ A C D = 9 0^{\circ}

медиана

CM

равна половине стороны

A D

:

∠ M A C = ∠ MC A

,

∠ MC D = ∠ M D C

, их сумма

9 0^{\circ}

4

∠ D = 4 5^{\circ}

△ CM D

прямоугольный равнобедренный:

CM = M D

,

∠ CM D = 9 0^{\circ}

R01.6 · ОГЭ 18

Образец → сам · строим на клетчатой бумаге

Достройте прямоугольную трапецию

Образец: $A (1; 1)$ , $B (1; 5)$ , $C (4; 5)$ . Найдите $D$ на прямой $y = 1$ , чтобы $∠ D = 4 5^{\circ}$ , и среднюю линию.

$C H = 4$ клетки ⇒ $HD = 4$ $∠ D = 4 5^{\circ}$

$D (8; 1)$ , $m = \frac{3 + 7}{2} = 5$

Сам: нарисуйте в тетради

$A (0; 0)$ , $B (0; 3)$ , $D (7; 0)$ . Найдите $C$ , чтобы $∠ D = 4 5^{\circ}$ . $C (4; 3)$
$A (1; 1)$ , $B (1; 6)$ , $C (3; 6)$ . Найдите $D$ , чтобы средняя линия была $6$ . $D (11; 1)$
$A (0; 0)$ , $B (0; 4)$ , $C (3; 4)$ , $D (7; 0)$ . Найдите $∠ D$ и среднюю линию. $4 5^{\circ}$ и $5$

R01.6

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$∠ D = 4 5^{\circ}$ ⇒ $C D = C H$	$C D$ — гипотенуза $△ C HD$ , она больше катета	равны катеты: $HD = C H$
$∠ D = 3 0^{\circ}$ ⇒ $HD = \frac{C D}{2}$	против угла $3 0^{\circ}$ лежит катет $C H$ , а не $HD$	$C H = A B = \frac{C D}{2}$
средняя линия $= \frac{A B + C D}{2}$	$A B$ и $C D$ — боковые стороны, а не основания	$m = \frac{BC + A D}{2}$
биссектрисы $C$ и $D$ сходятся на $A B$ ⇒ $A B = BC + A D$	сумме оснований равна наклонная сторона	$C D = BC + A D$

R01.6

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $∠ C = 13 5^{\circ}$ , $A B = 6$ , $BC = 5$ . Найдите $A D$ .

$∠ D = 4 5^{\circ}$ , $HD = C H = 6$

$A D = A B + HD = 12$

$A H = BC$ : $A D = 5 + 6 = 11$

б) $∠ C A D = 4 0^{\circ}$ , $A C ⊥ C D$ . Найдите $∠ B A C$ и $∠ C$ .

$∠ B A C = ∠ C A D = 4 0^{\circ}$ (накрест лежащие)

$∠ D = 5 0^{\circ}$ , $∠ C = 13 0^{\circ}$

накрест: $∠ BC A = ∠ C A D$ ; $∠ B A C = 9 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 5 0^{\circ}$

в) Биссектрисы $∠ C$ , $∠ D$ пересекаются в $K \in A B$ , $K P ⊥ C D$ . Доказательство:

« $△ K BC = △ K PC$ : $K C$ — общая, $K B = K P$ »

$K B = K P$ ещё не доказано; верно: по гипотенузе $K C$ и острому углу $∠ BC K = ∠ PC K$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 минута в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Первая строка верна (∠D = 180° − 135° = 45°, HD = CH = AB = 6), ошибка во второй: AH = BC = 5, а не AB. AD = 5 + 6 = 11.
б) Ошибка в первой строке: при BC ∥ AD и секущей AC накрест лежат ∠BCA и ∠CAD. Верно: ∠BAC = 90° − 40° = 50°. Вторая строка верна: ∠D = 50°, ∠C = 130° (= 40° + 90°).
в) Логический круг: равенство KB = KP — следствие равенства треугольников, его нельзя брать в обоснование. Правильно — признак по гипотенузе и острому углу (опорная задача 1, шаг 2).

R01.6

Задания с самопроверкой · база

Прямоугольная трапеция $A BC D$ , $∠ A = 9 0^{\circ}$

база $∠ C = 11 7^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $6 3^{\circ}$
база $BC = 5$ , $A D = 12$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $7$
база $∠ D = 3 0^{\circ}$ , $A B = 6$ . Найдите $C D$ . $12$

база $∠ C = 12 0^{\circ}$ , $C D = 14$ , $BC = 4$ . Найдите $A D$ . $11$
база $∠ D = 4 5^{\circ}$ , $A B = 6$ , $A D = 15$ . Найдите среднюю линию. $12$
базаОстрый угол в $4$ раза меньше тупого. Найдите острый угол. $3 6^{\circ}$

R01.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A C ⊥ C D$ , $∠ D = 6 0^{\circ}$ , $A D = 24$ . Найдите $BC$ и среднюю линию. $18$ и $21$
повыш.Биссектриса $∠ C$ пересекает $A D$ в точке $E$ ; $∠ D = 6 0^{\circ}$ , $C D = 10$ , $BC = 7$ . Найдите $A E$ . $2$
повыш. $M$ — середина $C D$ , $∠ M A D = 2 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A MB$ . $5 0^{\circ}$
из жизниПрофиль насыпи — прямоугольная трапеция: высота $4$ м, верх $3$ м, откос под углом $4 5^{\circ}$ . Найдите ширину основания. $7$ м

R01.6 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17 и 18

Ответ — одно число

ОГЭ 17Основания прямоугольной трапеции $6$ и $11$ , острый угол $4 5^{\circ}$ . Найдите меньшую боковую сторону. $5$
ОГЭ 17В прямоугольной трапеции острый угол $6 0^{\circ}$ , большая боковая сторона $14$ , большее основание $20$ . Найдите меньшее основание. $13$

ОГЭ 18 Клетка $1 \times 1$ . Найдите среднюю линию трапеции.

Ответ: 6

R01.6 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 19 и 24

Утверждения и доказательство

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

У прямоугольной трапеции два прямых угла.
Прямоугольная трапеция может быть равнобедренной.
Высота прямоугольной трапеции равна её меньшей боковой стороне.

Ответ: 13

ОГЭ 24 В прямоугольной трапеции $A BC D$ ( $∠ A = 9 0^{\circ}$ , $BC ∥ A D$ ) точка $M$ — середина $C D$ . Докажите, что $M A = MB$ .

$N$ — середина $A B$ ; $MN$ — средняя линия ⇒ $MN ∥ A D$

$A D ⊥ A B$ ⇒ $MN ⊥ A B$

$△ A NM = △ BNM$ (две стороны и угол: $A N = NB$ , $MN$ — общая, $∠ A NM = ∠ BNM = 9 0^{\circ}$ )

⇒ $M A = MB$

2 мин · практика
19) 1 — верно (∠A = ∠B = 90°); 2 — неверно (тогда ∠D = ∠A = 90° и AB ∥ CD — получится прямоугольник); 3 — верно (AB ⊥ основаниям). Ответ: 13.
24) Полное решение на 2 балла: назвать среднюю линию и её свойство (параллельна основаниям, урок GEOM8U-007), перпендикулярность, признак равенства треугольников. Другой способ — продлить BM до пересечения с прямой AD (как в опорной задаче 2) и применить медиану к гипотенузе.
На уроке — устное обсуждение плана, запись — в ДЗ по желанию. Этот факт использован в повышенном задании 3 (сл. 18).

R01.6

Самостоятельная работа · 4 минуты

Прямоугольная трапеция $A BC D$ , $∠ A = 9 0^{\circ}$ , $BC ∥ A D$

Вариант 1

$∠ D = 5 2^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $12 8^{\circ}$
$BC = 6$ , $A D = 15$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $9$
$∠ C = 12 0^{\circ}$ , $C D = 8$ , $A D = 13$ . Найдите $BC$ и среднюю линию. $9$ и $11$
Биссектрисы $∠ C$ и $∠ D$ пересекаются на $A B$ ; $BC = 5$ , $A D = 11$ . Найдите $C D$ . $16$

Вариант 2

$∠ C = 14 1^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $3 9^{\circ}$
$A B = 7$ , $BC = 4$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A D$ . $11$
$∠ C = 12 0^{\circ}$ , $C D = 10$ , $BC = 6$ . Найдите $A D$ и среднюю линию. $11$ и $8, 5$
Биссектрисы $∠ C$ и $∠ D$ пересекаются на $A B$ ; $C D = 15$ , $BC = 4$ . Найдите $A D$ . $11$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

С какого построения начинается почти каждая задача?
Какой катет $△ C HD$ равен половине $C D$ при $∠ D = 3 0^{\circ}$ ? При $6 0^{\circ}$ ?
Чему равна $C D$ , если биссектрисы $∠ C$ и $∠ D$ сходятся на $A B$ ?

Домашнее задание

$∠ D = 4 5^{\circ}$ , $BC = 4$ , $A B = 9$ . Найдите $A D$ и среднюю линию.
$A C ⊥ C D$ , $∠ D = 6 0^{\circ}$ , $A D = 16$ . Найдите $BC$ .
* $M$ — середина $A B$ , $∠ CM D = 9 0^{\circ}$ , $BC = 3$ , $C D = 10$ . Найдите $A D$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_parallelogramm_i_trapeciya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-017 · Практикум: прямоугольная трапеция

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R01 «Четырехугольники», 22 ч · урок 17/22 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R01.6 «Прямоугольная трапеция» → 2, 4–22 · R01.7 «Средняя линия трапеции» (применение) → 8, 10, 14, 19, 20 · повторение GEOM8U-006, 016 → 3
Результаты	ПР-1 (свойства и признаки четырёхугольников) → 4–22 · ПР-3 (средняя линия трапеции) → 8, 10, 14, 19, 20
Вне урока	углы, отличные от 30°, 45°, 60° (теорема Пифагора) — R04; вписанная окружность в трапецию — R05; практикум «Средняя линия трапеции» — GEOM8U-018
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: прямоугольная трапеция

Сегодня вы научитесь

Сводить задачу к простым фигурам

Считать по углам 30°, 45°, 60°

Доказывать и применять опорные задачи

Решать задачи ОГЭ

Вспомним всё, что понадобится

Прямоугольная трапеция: определение, свойства, признак

Свойства

Признак

Треугольник CHD решает задачу

∠D=45∘

∠D=30∘

∠D=60∘

Как решать задачу о прямоугольной трапеции

Найдите углы на готовом чертеже

Образец: ∠CAD=35∘, AC⊥CD. Найдите ∠D, ∠C и ∠BAC.

Сам

Высота, основание, средняя линия

Образец: ∠C=120∘, BC=CD=10. Найдите AD и среднюю линию.

Сам: сделайте чертёж

Биссектрисы углов C и D пересекаются на AB

Наклонная сторона = сумма оснований

Образец: биссектрисы ∠C и ∠D пересекаются в точке K∈AB; BC=2, AD=8. Найдите CD, среднюю линию и ∠CKD.

Сам

Обратное утверждение: M — середина AB, ∠CMD=90∘

План доказательства и обоснования

Образец: в прямоугольной трапеции ABCD (∠A=90∘) CD=AD. Докажите: AC — биссектриса ∠C.

Сам: составьте план

AB=BC=21​AD: докажите AC⊥CD и найдите ∠D

Достройте прямоугольную трапецию

Образец: A(1;1), B(1;5), C(4;5). Найдите D на прямой y=1, чтобы ∠D=45∘, и среднюю линию.

Сам: нарисуйте в тетради

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) ∠C=135∘, AB=6, BC=5. Найдите AD.

б) ∠CAD=40∘, AC⊥CD. Найдите ∠BAC и ∠C.

в) Биссектрисы ∠C, ∠D пересекаются в K∈AB, KP⊥CD. Доказательство:

Прямоугольная трапеция ABCD, ∠A=90∘

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Утверждения и доказательство

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Прямоугольная трапеция ABCD, ∠A=90∘, BC∥AD

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-017 · Практикум: прямоугольная трапеция

Треугольник $C HD$ решает задачу

$∠ D = 4 5^{\circ}$

$∠ D = 3 0^{\circ}$

$∠ D = 6 0^{\circ}$

Образец: $∠ C A D = 3 5^{\circ}$ , $A C ⊥ C D$ . Найдите $∠ D$ , $∠ C$ и $∠ B A C$ .

Образец: $∠ C = 12 0^{\circ}$ , $BC = C D = 10$ . Найдите $A D$ и среднюю линию.

Биссектрисы углов $C$ и $D$ пересекаются на $A B$

Образец: биссектрисы $∠ C$ и $∠ D$ пересекаются в точке $K \in A B$ ; $BC = 2$ , $A D = 8$ . Найдите $C D$ , среднюю линию и $∠ C KD$ .

Обратное утверждение: $M$ — середина $A B$ , $∠ CM D = 9 0^{\circ}$

Образец: в прямоугольной трапеции $A BC D$ ( $∠ A = 9 0^{\circ}$ ) $C D = A D$ . Докажите: $A C$ — биссектриса $∠ C$ .

$A B = BC = \frac{1}{2} A D$ : докажите $A C ⊥ C D$ и найдите $∠ D$

Образец: $A (1; 1)$ , $B (1; 5)$ , $C (4; 5)$ . Найдите $D$ на прямой $y = 1$ , чтобы $∠ D = 4 5^{\circ}$ , и среднюю линию.

а) $∠ C = 13 5^{\circ}$ , $A B = 6$ , $BC = 5$ . Найдите $A D$ .

б) $∠ C A D = 4 0^{\circ}$ , $A C ⊥ C D$ . Найдите $∠ B A C$ и $∠ C$ .

в) Биссектрисы $∠ C$ , $∠ D$ пересекаются в $K \in A B$ , $K P ⊥ C D$ . Доказательство:

Прямоугольная трапеция $A BC D$ , $∠ A = 9 0^{\circ}$

Прямоугольная трапеция $A BC D$ , $∠ A = 9 0^{\circ}$ , $BC ∥ A D$