Четырёхугольники · урок 16 из 22 · практикум

Практикум: равнобедренная трапеция, её свойства и признаки

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM8U-016

1 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Четырехугольники» (22 ч), урок 16/22, единица R01.5. Тип урока — П (практикум после урока GEOM8U-005).
Теория (12): титул 1 · цели 1 · сводка 2 · три построения 3 · ось симметрии 2,5 · перпендикулярные диагонали 2,5.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 3 + 2,5 + 3 + 2,5 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 17/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: «Образец → сам» на построение — план устно, построение в ДЗ; ОГЭ 24 — в ДЗ.

R01.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать построение

высоты, прямая параллельно боковой стороне или диагонали (ПР-1)

Применять свойства

углы, диагонали, проекции, ось симметрии — с обоснованием

Доказывать признаки

и строить равнобедренную трапецию циркулем и линейкой (ПР-1)

Решать задачи ОГЭ

линии 17, 19 и вторая часть: 23, 24

1 мин · теория
ПР-1: «Распознавать основные виды четырехугольников, их элементы, пользоваться их свойствами при решении геометрических задач. Различать признаки и свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника, доказывать их и уверенно применять при решении геометрических задач».
Виды деятельности ФРП R01: доказывать и использовать при решении задач признаки и свойства равнобокой трапеции.
Урок-практикум: определение, свойства и признаки доказаны на уроке GEOM8U-005; сегодня — короткая сводка, два новых факта углублённого уровня и много задач.

повторение: GEOM8U-005

Разминка · устно

Равнобедренная трапеция $A BC D$ , $BC ∥ A D$

$∠ A = 6 5^{\circ}$ . Чему равен $∠ C$ ? $11 5^{\circ}$
$BC = 4$ , $A D = 12$ . Проекция боковой стороны на $A D$ ? $4$
$A C = 9$ . Чему равна $B D$ ? $9$
Сумма противолежащих углов? $18 0^{\circ}$
Катет против угла $3 0^{\circ}$ , гипотенуза $10$ . Катет? $5$
Прямоугольный треугольник с углом $4 5^{\circ}$ , катет $7$ . Второй катет? $7$

R01.5

Сводка · признаки и свойства

Признаки → равнобедренная трапеция → свойства

Трапеция, и если…

$A B = C D$ (определение)
$∠ A = ∠ D$ или $∠ B = ∠ C$
$A C = B D$
$∠ C A D = ∠ B D A$

⟶

Свойства: то…

$∠ A = ∠ D$ , $∠ B = ∠ C$
$∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$
$A C = B D$ ;
$A O = O D$ , $BO = OC$
$A H = \frac{A D - BC}{2}$
$A K = \frac{A D + BC}{2}$

2 мин · теория
Сводка урока GEOM8U-005: ученики называют пункты по памяти, учитель подтверждает. H и K — основания высот из B и C; AH — проекция боковой стороны, AK — проекция диагонали AC на AD.
Признак 4 (по щелчку) — новый для класса: если ∠CAD = ∠BDA, то △AOD равнобедренный, AO = OD; накрест лежащие углы дают BO = OC; AC = BD ⇒ признак 3. Его доказательство — образец на слайде 12 (задание 1).
Важно: все признаки начинаются со слова «трапеция» — параллелограмм с «равными боковыми сторонами» трапецией не является.

R01.5

Ключевые приёмы · дополнительные построения

Три построения, которые решают задачи

1. Две высоты

прямоугольник $H BC K$ и два равных треугольника

$A H = KD = \frac{a - b}{2}$

2. $CE ∥ A B$

параллелограмм $A BCE$ и треугольник $EC D$ с $CE = C D$

$E D = a - b$ , углы $∠ A = ∠ D$

3. $CE ∥ B D$

параллелограмм $BCE D$ и треугольник $A CE$ с $A C = CE$

$A E = a + b$ , угол $∠ A CE$ — угол между диагоналями

3 мин · теория
Здесь a = AD — большее основание, b = BC — меньшее. Учитель показывает, что даёт каждое построение; по щелчку — главный результат.
1) Высоты: HK = BC, △ABH = △DCK (по гипотенузе и острому углу) ⇒ AH = KD = (a − b)/2, AK = (a + b)/2. Нужно, когда известны углы 30°, 45°, 60°.
2) Перенос боковой стороны: трапеция → параллелограмм + равнобедренный треугольник со сторонами c, c и основанием a − b. Нужно в задачах на построение и когда известны боковые стороны и основания.
3) Перенос диагонали: CE = BD = AC, AE = AD + DE = a + b. Нужно, когда известно что-то о диагоналях (например, AC ⊥ BD — сл. 8).

R01.5

Образец → сам · высота и проекции

Высота делит большее основание

Образец: $B H$ — высота, $A H = 4$ , $HD = 12$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ , $A B$ и $P$ .

$A D = 16$ , $BC = A D - 2 A H = 8$ построение 1

$A B = 2 \cdot A H = 8$ $∠ A B H = 3 0^{\circ}$ , катет против $3 0^{\circ}$

$P = 8 + 16 + 8 + 8 = 40$

Сам

$A H = 3$ , $HD = 10$ , $∠ D = 6 0^{\circ}$ . Найдите $P$ . $32$
$P = 26$ , $BC = 4$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A D$ . $10$
$∠ A = 4 5^{\circ}$ , высота $6$ , $BC = 5$ . Найдите $A D$ . $17$

R01.5

Свойство · доказательство (углублённый уровень)

Ось симметрии равнобедренной трапеции

Дано:

A B = C D

,

M

,

N

— середины

BC

,

A D

;

P = A B \cap C D

.
Доказать:

P

,

M

,

O

,

N

— на одной прямой,

MN ⊥ A D

.

1

PN ⊥ A D

△ A P D

равнобедренный (

∠ A = ∠ D

),

PN

— медиана и высота

2

PM ⊥ BC

∠ PBC = ∠ A = ∠ D = ∠ PCB

(соответственные) ⇒

△ BPC

равнобедренный

3

PM ⊥ A D

⇒

P

,

M

,

N

на одной прямой

BC ∥ A D

; через

P

— один перпендикуляр к

A D

4

ON ⊥ A D

⇒

O \in MN

△ A O D

равнобедренный (

A O = O D

),

ON

— медиана

2,5 мин · теория
Формулировка: прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна основаниям и является её осью симметрии; на ней лежат точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон.
Каждый щелчок подсвечивает элемент чертежа и строку: 1 — PN (розовый), 2 — равные углы при B и C и PM (синий), 4 — точка O и ON (красный).
Следствие (сильным): при симметрии относительно MN точка A переходит в D, B — в C. Отсюда сразу все свойства: AB = CD, ∠A = ∠D, AC = BD. Центральной симметрии (как у параллелограмма) у трапеции нет — урок GEOM8U-011.

R01.5

Свойство · доказательство (углублённый уровень)

Диагонали перпендикулярны ⇒ высота $h = (a + b) : 2$

Дано:

A BC D

— равнобедренная трапеция,

A C ⊥ B D

,

C K ⊥ A D

.
Доказать:

C K = \frac{A D + BC}{2}

.

1

∠ C A D = 4 5^{\circ}

△ A O D

:

A O = O D

,

∠ A O D = 9 0^{\circ}

2

A K = \frac{A D + BC}{2}

проекция диагонали — построение 1

3

∠ A C K = 4 5^{\circ}

⇒

C K = A K = \frac{A D + BC}{2}

△ A C K

— прямоугольный и равнобедренный

2,5 мин · теория
Формулировка: если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, то её высота равна полусумме оснований.
Шаг 1: AO = OD (свойство диагоналей, GEOM8U-005), значит, △AOD — равнобедренный прямоугольный, углы при основании по 45°. Шаг 2: AK = AD − KD = a − (a − b)/2 = (a + b)/2.
Другой путь (построение 3): CE ∥ BD, △ACE — равнобедренный прямоугольный с гипотенузой AE = a + b, высота к гипотенузе равна её половине.
Обратное тоже верно: если h = (a + b)/2, то диагонали перпендикулярны (∠CAK = 45° ⇒ ∠AOD = 90°) — вопрос сильным.

R01.5

Образец → сам · перпендикулярные диагонали

Высота через полусумму оснований

Образец: $A C ⊥ B D$ , $BC = 6$ , $A D = 14$ . Найдите высоту $h$ и $∠ A CB$ .

$h = \frac{14 + 6}{2} = 10$ свойство (сл. 8)

$∠ A CB = ∠ C A D = 4 5^{\circ}$ накрест лежащие, $BC ∥ A D$

Сам

$A C ⊥ B D$ , основания $3$ и $11$ . Найдите высоту. $7$
$A C ⊥ B D$ , высота $9$ , $BC = 4$ . Найдите $A D$ . $14$
$A C ⊥ B D$ , высота $8$ , $A D - BC = 6$ . Найдите основания. $A D = 11$ , $BC = 5$

R01.5

Образец → сам · комбинированная задача

Диагональ перпендикулярна боковой стороне

Образец: $A B = BC = C D = 5$ , $A C ⊥ C D$ . Найдите $∠ A$ и $A D$ .

$∠ B A C = ∠ BC A = ∠ C A D = α$ $A B = BC$ ; накрест

$∠ D = ∠ A = 2 α$ , $α + 2 α = 9 0^{\circ}$ ⇒ $∠ A = 6 0^{\circ}$ $△ A C D$

$A D = 2 \cdot C D = 10$ $C D$ против $∠ C A D = 3 0^{\circ}$

Сам

$A C ⊥ C D$ , $∠ D = 6 0^{\circ}$ , $C D = 7$ . Найдите $A D$ и $BC$ . $A D = 14$ , $BC = 7$
$A C$ — биссектриса $∠ A$ , $A C ⊥ C D$ , $P = 40$ . Найдите $A D$ . $16$
$A C ⊥ C D$ , $∠ C A D = 3 5^{\circ}$ . Найдите $∠ B A C$ . $2 0^{\circ}$

R01.5

Образец → сам · задача на построение

Постройте циркулем и линейкой

Образец: постройте равнобедренную трапецию по основаниям $a > b$ и боковой стороне $c$ .

1) $△ EC D$ по трём сторонам $a - b$ , $c$ , $c$ анализ

2) на луче $D E$ : $D A = a$ ; 3) $CB ∥ D A$ , $CB = b$

$A BCE$ — параллелограмм ⇒ $A B = CE = c = C D$ признак 1

Сам: план построения

По основаниям $a$ , $b$ и углу $α$ при большем основании. $△ EC D$ : сторона $a - b$ , углы $α$ , $α$
По основаниям $a$ , $b$ и диагонали $d$ . $△ A CE$ : $d$ , $d$ , $a + b$ (построение 3)
Основания $10$ и $4$ . При каких $c$ трапеция существует? $c > 3$

2,5 мин · практика
Схема задачи на построение: анализ (какой треугольник строится по данным?) → построение → доказательство → исследование. Анализ: построение 2 со сл. 5 даёт △ECD с известными сторонами.
Исследование образца: △ECD существует, если a − b < 2c (неравенство треугольника).
1) △ECD по стороне ED = a − b и двум прилежащим углам α (II признак), далее как в образце.
2) Построение 3: △ACE по трём сторонам AC = CE = d, AE = a + b; на AE отложить AD = a; через C прямая ∥ AD, CB = b в сторону A. Трапеция равнобедренная по признаку AC = BD (BD = CE как стороны параллелограмма BCED).
3) ED = 6, нужно 6 < 2c ⇒ c > 3.

R01.5

Образец → сам · задача на доказательство

Признак через середину основания

Образец: трапеция $A BC D$ , $M$ — середина $A D$ , $MB = MC$ . Докажите: $A B = C D$ .

$∠ MBC = ∠ MCB$ $△ BMC$ равнобедренный

$∠ A MB = ∠ D MC$ накрест с $∠ MBC$ и $∠ MCB$

$△ A BM = △ D CM$ ⇒ $A B = C D$ I признак

Сам: составьте план

В трапеции $∠ C A D = ∠ B D A$ . Докажите: она равнобедренная. $A O = O D$ , $BO = OC$ ⇒ $A C = B D$
Равнобедренная трапеция, $K, L \in A D$ , $A K = L D$ . Докажите: $B K = C L$ . $△ A B K = △ D C L$ (I признак)
Докажите: перпендикуляр из $O$ к $A D$ делит $A D$ пополам. $△ A O D$ равнобедренный

2,5 мин · практика
Образец: MB = MC ⇒ ∠MBC = ∠MCB. ∠AMB = ∠MBC и ∠DMC = ∠MCB — накрест лежащие при BC ∥ AD (секущие MB и MC). Значит, ∠AMB = ∠DMC. △ABM = △DCM по I признаку: AM = MD, MB = MC, углы между ними равны ⇒ AB = CD.
1) ∠OAD = ∠ODA ⇒ AO = OD. ∠OCB = ∠OAD, ∠OBC = ∠ODA (накрест) ⇒ ∠OBC = ∠OCB ⇒ BO = OC. AC = AO + OC = DO + OB = BD ⇒ признак (равные диагонали).
2) AB = DC, ∠A = ∠D, AK = DL ⇒ △ABK = △DCL ⇒ BK = CL.
3) AO = OD (свойство) ⇒ △AOD равнобедренный, высота к основанию — медиана.
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования. Сильным — все три.

R01.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$BC ∥ A D$ , $A B = C D$ ⇒ равнобедренная трапеция	это может быть параллелограмм	сначала доказать, что $A B ∦ C D$
проекция боковой стороны $= \frac{a + b}{2}$	$\frac{a + b}{2}$ — проекция диагонали	$A H = \frac{a - b}{2}$ , $A K = \frac{a + b}{2}$
диагонали делятся точкой $O$ пополам	это свойство параллелограмма	$A O = O D$ , $BO = OC$
$∠ A = ∠ C$	$∠ A$ и $∠ C$ — при разных основаниях	$∠ A = ∠ D$ , $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$

R01.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A C ⊥ B D$ , основания $6$ и $10$ . Найдите высоту.

$h = \frac{10 - 6}{2} = 2$

$h = \frac{10 + 6}{2} = 8$ — полусумма оснований

б) $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $A B = 8$ , $BC = 5$ . Найдите $A D$ .

$A H = 8 : 2 = 4$

$A D = 5 + 4 = 9$

две проекции: $A D = 5 + 2 \cdot 4 = 13$

в) $M$ — середина $A D$ , $MB = MC$ . «Докажем»: $A B = C D$ .

$△ A BM = △ D CM$ по трём сторонам: $A M = M D$ , $MB = MC$ , $A B = C D$

$A B = C D$ — то, что доказываем; нужен угол: $∠ A MB = ∠ D MC$ , I признак

R01.5

Задания с самопроверкой · база

Равнобедренная трапеция: решите и проверьте

база $∠ B = 11 2^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $6 8^{\circ}$
базаОснования $7$ и $15$ . Найдите проекцию боковой стороны на $A D$ . $4$
базаОснования $7$ и $15$ . Найдите проекцию диагонали на $A D$ . $11$

база $∠ A = 4 5^{\circ}$ , основания $4$ и $10$ . Найдите высоту. $3$
база $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $A B = 12$ , $BC = 9$ . Найдите $A D$ . $21$
база $A O = 7$ , $BO = 3$ . Найдите $A C$ . $10$

R01.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A C$ — биссектриса $∠ A$ , $BC = 6$ , $A D = 12$ . Найдите $∠ A$ . $6 0^{\circ}$
повыш.Тупой угол $13 5^{\circ}$ , высота $5$ , $A D = 17$ . Найдите $BC$ . $7$
повыш. $A C ⊥ B D$ , высота $12$ , $A D = 2 BC$ . Найдите основания. $BC = 8$ , $A D = 16$
из жизниСечение канала — равнобедренная трапеция: дно $4$ м, глубина $2$ м, откосы под углом $4 5^{\circ}$ . Ширина канала по верху? $8$ м

R01.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 17Большее основание равнобедренной трапеции $25$ , боковая сторона $10$ , угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите меньшее основание. $15$
ОГЭ 17Один из углов равнобедренной трапеции равен $5 2^{\circ}$ . Найдите больший угол трапеции. $128$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Диагонали равнобедренной трапеции равны.
Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.
Диагонали равнобедренной трапеции точкой пересечения делятся пополам.

Ответ: 12

R01.5 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Биссектрисы углов $A$ и $D$ при большем основании равнобедренной трапеции $A BC D$ пересекаются в точке $K$ стороны $BC$ . Найдите $BC$ , если $A B = 7$ .

$∠ B K A = ∠ K A D = ∠ B A K$ ⇒ $B K = A B = 7$

так же $C K = C D = 7$ ⇒ $BC = 14$

ОГЭ 24 Докажите, что в равнобедренной трапеции $A BC D$ ( $BC ∥ A D$ ) $∠ A B D = ∠ D C A$ .

$A B = D C$ , $A D$ — общая, $∠ B A D = ∠ C D A$

$△ A B D = △ D C A$ (I) ⇒ $∠ A B D = ∠ D C A$

2 мин · практика
23) ∠BKA = ∠KAD (накрест лежащие, BC ∥ AD, секущая AK), ∠KAD = ∠BAK (биссектриса) ⇒ △ABK равнобедренный, BK = AB = 7. Аналогично ∠CKD = ∠KDA = ∠CDK ⇒ CK = CD = AB = 7. BC = 14. Ответ: 14.
24) Полное решение на 2 балла: AB = DC (определение), ∠BAD = ∠CDA (свойство углов при основании), AD — общая ⇒ △ABD = △DCA по I признаку ⇒ ∠ABD = ∠DCA как соответственные углы. Обязательно назвать признак и обосновать каждое равенство.
На уроке — устное обсуждение плана; запись 24 полностью — в ДЗ по желанию.

R01.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$∠ C = 11 8^{\circ}$ . Найдите $∠ A$ . $6 2^{\circ}$
Основания $6$ и $20$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите высоту. $7$
$A C ⊥ B D$ , основания $5$ и $13$ . Найдите высоту. $9$
$∠ A = 6 0^{\circ}$ , $A B = BC = 6$ . Найдите $A D$ . $12$

Вариант 2

$∠ B = 10 4^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $7 6^{\circ}$
Основания $9$ и $25$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ . Найдите высоту. $8$
$A C ⊥ B D$ , высота $11$ , $BC = 7$ . Найдите $A D$ . $15$
$∠ D = 6 0^{\circ}$ , $C D = 10$ , $A D = 23$ . Найдите $BC$ . $13$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какое построение выбрать, если известны углы? А если что-то о диагоналях?
Чему равна высота при $A C ⊥ B D$ ?
Какие точки лежат на оси симметрии?

Домашнее задание

$A C ⊥ B D$ , основания $9$ и $17$ . Найдите высоту.
$∠ A = 6 0^{\circ}$ , $BC = 10$ , $A D = 24$ . Найдите $A B$ .
* Постройте равнобедренную трапецию по основаниям и высоте.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_parallelogramm_i_trapeciya.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы на вопросы: углы 30°, 45°, 60° — высоты (построение 1); диагонали — перенос диагонали (построение 3); h = (a + b)/2; середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон.
Ответы ДЗ: 1) (9 + 17)/2 = 13. 2) AH = (24 − 10)/2 = 7, AB = 2·7 = 14. 3) Построить AD = a, в середине N восставить перпендикуляр NM = h, через M провести прямую ∥ AD и отложить MB = MC = b/2 — по оси симметрии.
Следующий урок — практикум «Прямоугольная трапеция» (GEOM8U-017).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-016 · Практикум: равнобедренная трапеция, её свойства и признаки

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R01 «Четырехугольники», 22 ч · урок 16/22 · тип П
Единицы → слайды	R01.5 «Равнобедренная трапеция, ее свойства и признаки» → 2–20 · повторение GEOM8U-005 → 3
Результаты	ПР-1 (распознавать четырёхугольники, пользоваться свойствами, доказывать и применять признаки) → 4–20
Вне урока	прямоугольная трапеция — GEOM8U-017; средняя линия трапеции — GEOM8U-018 (длина $\frac{a + b}{2}$ не называется средней линией); теорема Пифагора — R04; вписанная трапеция — R05
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: равнобедренная трапеция, её свойства и признаки

Сегодня вы научитесь

Выбирать построение

Применять свойства

Доказывать признаки

Решать задачи ОГЭ

Равнобедренная трапеция ABCD, BC∥AD

Признаки → равнобедренная трапеция → свойства

Трапеция, и если…

Свойства: то…

Три построения, которые решают задачи

1. Две высоты

2. CE∥AB

3. CE∥BD

Высота делит большее основание

Образец: BH — высота, AH=4, HD=12, ∠A=60∘. Найдите BC, AB и P.

Сам

Ось симметрии равнобедренной трапеции

Диагонали перпендикулярны ⇒ высота h=(a+b):2

Высота через полусумму оснований

Образец: AC⊥BD, BC=6, AD=14. Найдите высоту h и ∠ACB.

Сам

Диагональ перпендикулярна боковой стороне

Образец: AB=BC=CD=5, AC⊥CD. Найдите ∠A и AD.

Сам

Постройте циркулем и линейкой

Образец: постройте равнобедренную трапецию по основаниям a>b и боковой стороне c.

Сам: план построения

Признак через середину основания

Образец: трапеция ABCD, M — середина AD, MB=MC. Докажите: AB=CD.

Сам: составьте план

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) AC⊥BD, основания 6 и 10. Найдите высоту.

б) ∠A=60∘, AB=8, BC=5. Найдите AD.

в) M — середина AD, MB=MC. «Докажем»: AB=CD.

Равнобедренная трапеция: решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-016 · Практикум: равнобедренная трапеция, её свойства и признаки

Равнобедренная трапеция $A BC D$ , $BC ∥ A D$

2. $CE ∥ A B$

3. $CE ∥ B D$

Образец: $B H$ — высота, $A H = 4$ , $HD = 12$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ , $A B$ и $P$ .

Диагонали перпендикулярны ⇒ высота $h = (a + b) : 2$

Образец: $A C ⊥ B D$ , $BC = 6$ , $A D = 14$ . Найдите высоту $h$ и $∠ A CB$ .

Образец: $A B = BC = C D = 5$ , $A C ⊥ C D$ . Найдите $∠ A$ и $A D$ .

Образец: постройте равнобедренную трапецию по основаниям $a > b$ и боковой стороне $c$ .

Образец: трапеция $A BC D$ , $M$ — середина $A D$ , $MB = MC$ . Докажите: $A B = C D$ .

а) $A C ⊥ B D$ , основания $6$ и $10$ . Найдите высоту.

б) $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $A B = 8$ , $BC = 5$ . Найдите $A D$ .

в) $M$ — середина $A D$ , $MB = MC$ . «Докажем»: $A B = C D$ .