Четырёхугольники · урок 15 из 22 · практикум

Практикум: Трапеция

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM8U-015

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Четырехугольники» (22 ч), урок 15/22, единица R01.4. Тип урока — П (практикум к уроку GEOM8U-004).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка свойств 2,5 · сводка построений 3 · ключевая задача 3,5 · схема выбора построения 2.
Практика (33): разминка 2,5 · образцы → сам 2 + 2,5 + 3 + 3 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 17/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Цель практикума — не новые факты, а выбор дополнительного построения: каждая задача урока сводит трапецию к треугольнику и параллелограмму.
Если не успеваете: задание 3 в «Образец → сам» на перенос диагонали и ОГЭ 24 — в ДЗ; ключевую задачу не сокращать.

R01.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать построение

по условию задачи: перенос боковой стороны, диагонали, продолжение через середину (ПР-1)

Сводить трапецию к треугольнику

и параллелограмму, применять их свойства

Доказывать с обоснованием

каждого шага: признак, свойство, аксиома (ПР-1)

Решать задачи ОГЭ

линии 17, 19 и второй части — 23, 24

повторение: R01.1–R01.4, 7 класс

Разминка · устно

Всё, что понадобится сегодня

$BC ∥ A D$ , $∠ A = 7 2^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ . $10 8^{\circ}$
$∠ C = 12 5^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $5 5^{\circ}$
$BC D E$ : $BC ∥ E D$ , $C D ∥ BE$ . Что это за фигура? параллелограмм
Основание треугольника $18$ . Средняя линия? $9$
Гипотенуза $10$ , острый угол $3 0^{\circ}$ . Меньший катет? $5$
Медиана к гипотенузе равна $7$ . Гипотенуза? $14$
Существует ли треугольник со сторонами $3$ , $4$ , $8$ ? нет: $3 + 4 < 8$

R01.4

Сводка · трапеция

Определение и свойства — коротко

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Основания не равны: $BC \neq = A D$ .
$α$ $+$ $β$ $= 18 0^{\circ}$ — углы при боковой стороне.
Биссектриса угла при основании отсекает равнобедренный треугольник.
Высота $h$ — расстояние между основаниями.

R01.4

Сводка · дополнительные построения

Четыре приёма: трапеция → треугольник

1. $CE ∥ A B$

$A BCE$ — параллелограмм

$△ EC D$ : $EC = A B$ , $E D = A D - BC$

2. $CF ∥ B D$

$BCF D$ — параллелограмм

$△ A CF$ : $CF = B D$ , $A F = A D + BC$

3. Высоты $B H$ , $C K$

$BC KH$ — прямоугольник

$HK = BC$ , два прямоугольных $△$

4. $M$ — середина $C D$

$△ BCM = △ KD M$

$DK = BC$ , $A K = A D + BC$

3 мин · теория
1) ABCE: BC ∥ AE и CE ∥ AB ⇒ параллелограмм (определение) ⇒ AE = BC, EC = AB; ED = AD − AE = AD − BC. Углы △ECD: ∠CED = ∠A (соответственные), ∠D.
2) BCFD: BC ∥ DF, CF ∥ BD ⇒ параллелограмм ⇒ DF = BC, CF = BD; AF = AD + DF = AD + BC. Угол ACF равен углу между диагоналями (соответственные при CF ∥ BD).
3) BH ⟂ AD, CK ⟂ AD ⇒ BH ∥ CK, BCKH — прямоугольник ⇒ HK = BC; AH + KD = AD − BC.
4) CM = MD, ∠BMC = ∠KMD (вертикальные), ∠BCM = ∠KDM (накрест лежащие, BC ∥ AK) ⇒ II признак ⇒ DK = BC и BM = MK.
Вопрос: какое построение «складывает» основания, а какое «вычитает»? (2 и 4 — сумма, 1 и 3 — разность.)

R01.4

Образец → сам · углы и диагональ

Равнобедренный треугольник внутри трапеции

Образец: $BC ∥ A D$ , $A B = BC$ , $∠ B = 11 0^{\circ}$ , $∠ D = 7 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A C D$ .

$∠ B A C = ∠ BC A = 3 5^{\circ}$ $△ A BC$ равнобедренный

$∠ C A D = ∠ BC A = 3 5^{\circ}$ накрест лежащие

$∠ A C D = 18 0^{\circ} - 3 5^{\circ} - 7 5^{\circ} = 7 0^{\circ}$

Сам

$BC ∥ A D$ , $A B = BC$ , $∠ B A D = 6 4^{\circ}$ . Найдите $∠ C A D$ . $3 2^{\circ}$
$BC ∥ A D$ , $A B = BC$ , $A C ⊥ C D$ , $∠ C A D = 2 5^{\circ}$ . Найдите $∠ B A D$ и $∠ D$ . $5 0^{\circ}$ и $6 5^{\circ}$
$BC ∥ A D$ , $B D = A D$ , $∠ A = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ CB D$ . $4 0^{\circ}$

2 мин · практика
Образец: в △ABC (AB = BC) углы при основании (180° − 110°) : 2 = 35°; ∠CAD = ∠BCA = 35° (накрест лежащие, BC ∥ AD, секущая AC); в △ACD ∠ACD = 180° − 35° − 75° = 70°. Проверка: ∠C = 35° + 70° = 105° = 180° − 75° ✓.
1) ∠B = 180° − 64° = 116°; ∠BCA = ∠BAC = 32°; ∠CAD = ∠BCA = 32° — диагональ AC — биссектриса ∠A.
2) В △ACD: ∠D = 90° − 25° = 65°. ∠BCA = ∠CAD = 25° (накрест), ∠BAC = ∠BCA = 25° ⇒ ∠BAD = 50°.
3) △ABD равнобедренный (BD = AD): ∠ABD = ∠A = 70°, ∠ADB = 40°; ∠CBD = ∠ADB = 40° (накрест). Проверка: ∠B = 70° + 40° = 110° = 180° − 70° ✓.

R01.4

Образец → сам · перенос боковой стороны

Углы $6 0^{\circ}$ и $3 0^{\circ}$ при большем основании

Образец: $BC = 4$ , $A D = 14$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ D = 3 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .

$CE ∥ A B$ : $EC = A B$ , $E D = 14 - 4 = 10$ $A BCE$ — параллелограмм

$∠ CE D = 6 0^{\circ}$ , $∠ EC D = 9 0^{\circ}$ соответственные; сумма углов

$A B = EC = \frac{1}{2} E D = 5$ катет против $3 0^{\circ}$

Сам

$∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ D = 3 0^{\circ}$ , $A B = 6$ , $BC = 5$ . Найдите $A D$ . $17$
$∠ A = 7 0^{\circ}$ , $∠ D = 4 0^{\circ}$ , $BC = 6$ , $A D = 15$ . Найдите $C D$ . $9$
$BC = 4$ , $A D = 10$ , $A B = C D = 6$ . Найдите $∠ A$ . $6 0^{\circ}$

R01.4

Образец → сам · перенос диагонали

Диагонали и сумма оснований

Образец: $A C = B D = 12$ , угол между диагоналями $∠ A O D = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A D + BC$ .

$CF ∥ B D$ : $CF = 12$ , $A F = A D + BC$ $BCF D$ — параллелограмм

$∠ A CF = ∠ A O D = 6 0^{\circ}$ соответственные

$△ A CF$ равносторонний: $A D + BC = 12$

Сам

$A C = B D = 9$ , $∠ A O D = 6 0^{\circ}$ , $BC = 2$ . Найдите $A D$ . $7$
Диагонали трапеции $6$ и $10$ . В каких пределах сумма оснований? $4 < A D + BC < 16$
$A C = B D = 8$ , $A D + BC = 8$ . Найдите угол между диагоналями. $6 0^{\circ}$

R01.4

Ключевая задача · доказательство

$∠ A + ∠ D = 9 0^{\circ}$ : отрезок между серединами оснований

Дано:

BC ∥ A D

,

∠ A + ∠ D = 9 0^{\circ}

,

M

,

N

— середины

BC

,

A D

.
Доказать:

MN = \frac{1}{2} (A D - BC)

.

1

ME ∥ A B

,

MF ∥ C D

:

A E = BM

,

F D = MC

A BME

,

MC D F

— параллелограммы

2

∠ MEF + ∠ MFE = ∠ A + ∠ D = 9 0^{\circ}

⇒

∠ EMF = 9 0^{\circ}

соответственные углы; сумма углов

△

3

A E = F D

⇒

EN = NF

,

EF = A D - BC

BM = MC

,

A N = N D

4

MN = \frac{1}{2} EF = \frac{1}{2} (A D - BC)

медиана к гипотенузе

3,5 мин · теория (учитель доказывает, класс называет обоснования)
Шаг 1: BM ∥ AE и ME ∥ AB ⇒ ABME — параллелограмм ⇒ AE = BM; так же MCDF ⇒ FD = MC. Это приём 1 сводки, применённый дважды и не из вершины, а из середины M.
Шаг 2: ∠MEF = ∠A, ∠MFE = ∠D (соответственные) ⇒ в △EMF ∠EMF = 180° − 90° = 90°.
Шаг 3: AE = BM = MC = FD. AN = ND ⇒ EN = AN − AE = ND − FD = NF, т. е. N — середина гипотенузы EF; EF = AD − AE − FD = AD − BC.
Шаг 4: медиана прямоугольного треугольника к гипотенузе равна её половине (свойство прямоугольника, GEOM8U-002).
На чертеже: AD = 12, BC = 4, ∠A = 60°, ∠D = 30°, MN = 4 = (12 − 4) : 2 — можно предложить проверить измерением.

R01.4

Образец → сам · задача на доказательство

Продолжаем через середину боковой стороны

Образец: $M$ — середина $C D$ , прямая $BM$ пересекает прямую $A D$ в $K$ . Докажите: $A K = A D + BC$ .

$CM = M D$ , $∠ BMC = ∠ K M D$ условие; вертикальные

$∠ BCM = ∠ KD M$ накрест лежащие, $BC ∥ A K$

$△ BCM = △ KD M$ II признак

$DK = BC$ ⇒ $A K = A D + BC$

Сам: план и обоснования

Докажите: если $BC ∥ A D$ и $BC < A D$ , то $A BC D$ — трапеция. если $A B ∥ C D$ , то параллелограмм и $BC = A D$ — противоречие
$CE ∥ A B$ , $E \in A D$ . Докажите: $P_{A BC D} = P_{EC D} + 2 BC$ . $A B = EC$ , $A E = BC$
Биссектрисы $∠ A$ и $∠ D$ пересекаются в точке $K$ на $BC$ . Докажите: $BC = A B + C D$ . $B K = A B$ , $K C = C D$

R01.4 · R01.3

Образец → сам · комбинированная задача

Средняя линия треугольника внутри трапеции

Образец: $BC = 4$ , $A D = 10$ , $CE ∥ A B$ , $E \in A D$ ; $M$ , $N$ — середины $CE$ и $C D$ . Найдите $MN$ .

$E D = A D - BC = 6$ $A BCE$ — параллелограмм

$MN = \frac{1}{2} E D = 3$ средняя линия $△ EC D$

Сам

$BC = 5$ , $A D = 13$ , $CE ∥ A B$ ; $M$ , $N$ — середины $CE$ , $C D$ . Найдите $MN$ . $4$
$BC = 3$ , $A D = 11$ , $CF ∥ B D$ ; $P$ , $Q$ — середины $C A$ и $CF$ . Найдите $PQ$ . $7$
Как в образце, $MN = 2, 5$ , $BC = 4$ . Найдите $A D$ . $9$

R01.4

Схема-конспект · какое построение выбрать

Что дано → что построить → что получим

В условии	Построение	Получаем
углы при большем основании, боковые стороны	$CE ∥ A B$	$△ EC D$ со сторонами $A B$ , $C D$ , $A D - BC$
диагонали, угол между ними	$CF ∥ B D$	$△ A CF$ со сторонами $A C$ , $B D$ , $A D + BC$
середина боковой стороны	$BM \cap A D = K$	$△ BCM = △ KD M$ , $A K = A D + BC$
$∠ A + ∠ D = 9 0^{\circ}$ , середины оснований	два переноса из $M$	прямоугольный $△$ , $MN = \frac{1}{2} (A D - BC)$
биссектриса угла	накрест лежащие	равнобедренный треугольник

R01.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$CE ∥ A B$ ⇒ $E D = A D + BC$	перепутаны приёмы: перенос боковой стороны отнимает $BC$	$E D = A D - BC$ ; $CF ∥ B D$ ⇒ $A F = A D + BC$
$CE ∥ A B$ ⇒ $EC = C D$	в параллелограмме $A BCE$ сторона $EC$ равна противоположной	$EC = A B$
$BC ∥ A D$ , $A B = C D$ ⇒ $∠ A = ∠ D$	«на рисунке видно»: может быть параллелограмм	нужна трапеция ( $A B ∦ C D$ )
«Углы при основании в сумме $18 0^{\circ}$ »	односторонние — при боковой стороне	$∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$

R01.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $BC = 3$ , $A D = 11$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ D = 3 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .

$CE ∥ A B$ , $E D = 11 + 3 = 14$

$∠ EC D = 9 0^{\circ}$ , $A B = EC = 7$

$E D = 11 - 3 = 8$ , $A B = EC = 4$

б) $A C = B D = 10$ , $∠ A O D = 6 0^{\circ}$ , $BC = 3$ . Найдите $A D$ .

$CF ∥ B D$ , $△ A CF$ равносторонний

$A F = A D - BC = 10$ , $A D = 13$

$A F = A D + BC = 10$ , $A D = 7$

в) $M$ — середина $C D$ , $BM \cap A D = K$ . Докажите: $DK = BC$ .

$CM = M D$ , $BM = M K$ , $∠ BMC = ∠ K M D$ ⇒ $△ BCM = △ KD M$ (I признак)

$BM = M K$ не дано; верно: $∠ BCM = ∠ KD M$ (накрест) ⇒ II признак

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Перенос боковой стороны даёт разность: ED = 8; ∠ECD = 90° верно, EC — катет против 30°: EC = 4 = AB.
б) Перенос диагонали даёт сумму: AF = AD + DF = AD + BC = 10 ⇒ AD = 7.
в) Логический круг: равенство BM = MK — следствие равенства треугольников, его нельзя использовать как данное. Верное доказательство — II признак (сторона CM = MD и два прилежащих угла).

R01.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $∠ C$ на $3 0^{\circ}$ больше $∠ D$ ( $C D$ — боковая). Найдите $∠ C$ . $10 5^{\circ}$
база $BC = 5$ , $A D = 12$ , $A B = 6$ , $C D = 8$ , $CE ∥ A B$ . Найдите $P_{EC D}$ . $21$
база $BC = 4$ , $A D = 9$ , $CF ∥ B D$ , $F$ на прямой $A D$ . Найдите $A F$ . $13$

база $A C = B D = 7$ , $∠ A O D = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A D + BC$ . $7$
база $M$ — середина $C D$ , $BM \cap A D = K$ ; $BC = 6$ , $A D = 10$ . Найдите $A K$ . $16$
база $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ D = 3 0^{\circ}$ , $BC = 5$ , $A B = 4$ . Найдите $A D$ . $13$

R01.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $∠ A + ∠ D = 9 0^{\circ}$ , $BC = 6$ , $A D = 16$ , $M$ и $N$ — середины оснований. Найдите $MN$ . $5$
повыш.Диагонали трапеции $8$ и $15$ . Найдите наибольшее целое значение суммы оснований. $22$
повыш.Биссектрисы $∠ A$ и $∠ D$ пересекаются в точке на $BC$ ; $A B = 7$ , $C D = 9$ . Найдите $BC$ . $16$
из жизниСечение канала — трапеция: ширина по воде $9$ м, по дну $3$ м, откосы под углами $6 0^{\circ}$ и $3 0^{\circ}$ к поверхности воды. Найдите длину крутого откоса. $3$ м

R01.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 17Диагональ $A C$ трапеции $A BC D$ ( $BC ∥ A D$ ) образует с основанием $A D$ угол $2 5^{\circ}$ , а с боковой стороной $C D$ — угол $8 0^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $75$
ОГЭ 17В трапеции $A BC D$ ( $BC ∥ A D$ ) $A B = BC$ , $∠ A BC = 12 4^{\circ}$ . Найдите $∠ C A D$ . $28$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна $18 0^{\circ}$ .
Основания трапеции могут быть равны.
Диагонали трапеции точкой пересечения делятся пополам.
Существует трапеция, у которой три стороны равны.

Ответ: 14

R01.4 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Биссектрисы углов $A$ и $B$ трапеции $A BC D$ ( $BC ∥ A D$ ) пересекаются в точке $F$ стороны $C D$ . Найдите $A B$ , если $A D = 11$ , $BC = 6$ .

$A F \cap BC = K$ : $B K = A B$ $△ A B K$ равнобедренный

$BF$ — медиана, $△ A F D = △ K FC$ ⇒ $C K = A D = 11$

$A B = 6 + 11 = 17$

ОГЭ 24 Диагонали трапеции $A BC D$ ( $BC ∥ A D$ ) пересекаются в точке $O$ , $BO = OC$ . Докажите, что $A O = O D$ .

$∠ OBC = ∠ OCB$ ; $∠ O D A = ∠ OBC$ , $∠ O A D = ∠ OCB$ (накрест)

$∠ O A D = ∠ O D A$ ⇒ $A O = O D$

2 мин · практика
23) Продлим AF до пересечения с прямой BC в K. ∠BKA = ∠KAD (накрест) = ∠BAK ⇒ BK = AB. В равнобедренном △ABK биссектриса BF — медиана: AF = FK. △AFD = △KFC (AF = FK, вертикальные углы при F, ∠FAD = ∠FKC накрест лежащие) ⇒ CK = AD = 11. AB = BK = BC + CK = 6 + 11 = 17. Ответ: 17. (Попутно ∠AFB = 90° и F — середина CD.)
24) BO = OC ⇒ △BOC равнобедренный ⇒ ∠OBC = ∠OCB. ∠ODA = ∠OBC и ∠OAD = ∠OCB — накрест лежащие (BC ∥ AD, секущие BD и AC) ⇒ ∠OAD = ∠ODA ⇒ △AOD равнобедренный, AO = OD. Для 2 баллов — каждое равенство углов с обоснованием.
На уроке — устное обсуждение плана 23; запись 24 полностью — в ДЗ по желанию.

R01.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$BC ∥ A D$ , $∠ D = 4 7^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $13 3^{\circ}$
$BC = 7$ , $A D = 16$ , $A B = 10$ , $C D = 11$ , $CE ∥ A B$ . Найдите $P_{EC D}$ . $30$
$∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ D = 3 0^{\circ}$ , $BC = 6$ , $A D = 16$ . Найдите $A B$ . $5$
$M$ — середина $C D$ , $BM \cap A D = K$ , $A D = 12$ , $A K = 20$ . Найдите $BC$ . $8$

Вариант 2

$BC ∥ A D$ , $∠ A = 8 1^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ . $9 9^{\circ}$
$BC = 5$ , $A D = 13$ , $A C = 9$ , $B D = 12$ , $CF ∥ B D$ . Найдите $P_{A CF}$ . $39$
$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $∠ D = 6 0^{\circ}$ , $BC = 4$ , $A D = 14$ . Найдите $C D$ . $5$
$A C = B D = 15$ , $∠ A O D = 6 0^{\circ}$ , $BC = 6$ . Найдите $A D$ . $9$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какое построение даёт $A D - BC$ , а какое — $A D + BC$ ?
Что делать, если дана середина боковой стороны?
Какое построение было самым полезным сегодня?

Домашнее задание

$∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ D = 3 0^{\circ}$ , $A B = 7$ , $BC = 3$ . Найдите $A D$ .
Диагонали $5$ и $11$ . В каких пределах сумма оснований?
* $∠ A + ∠ D = 9 0^{\circ}$ , $MN = 4$ , $BC = 5$ ( $M$ , $N$ — середины оснований). Найдите $A D$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_parallelogramm_i_trapeciya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-015 · Практикум: Трапеция

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R01 «Четырехугольники», 22 ч · урок 15/22 · тип П (практикум к GEOM8U-004)
Единицы → слайды	R01.4 «Трапеция» → 2, 4–20 · повторение R01.1–R01.3 и 7 класса → 3, 9, 11
Результаты	ПР-1 (распознавать четырёхугольники, пользоваться их свойствами при решении задач, доказывать) → 4–20
Вне урока	равнобедренная трапеция — GEOM8U-016; прямоугольная — GEOM8U-017; средняя линия трапеции — GEOM8U-018 (сл. 11 — подготовка); теорема Пифагора и площади — R03, R04
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: Трапеция

Сегодня вы научитесь

Выбирать построение

Сводить трапецию к треугольнику

Доказывать с обоснованием

Решать задачи ОГЭ

Всё, что понадобится сегодня

Определение и свойства — коротко

Четыре приёма: трапеция → треугольник

1. CE∥AB

2. CF∥BD

3. Высоты BH, CK

4. M — середина CD

Равнобедренный треугольник внутри трапеции

Образец: BC∥AD, AB=BC, ∠B=110∘, ∠D=75∘. Найдите ∠ACD.

Сам

Углы 60∘ и 30∘ при большем основании

Образец: BC=4, AD=14, ∠A=60∘, ∠D=30∘. Найдите AB.

Сам

Диагонали и сумма оснований

Образец: AC=BD=12, угол между диагоналями ∠AOD=60∘. Найдите AD+BC.

Сам

∠A+∠D=90∘: отрезок между серединами оснований

Продолжаем через середину боковой стороны

Образец: M — середина CD, прямая BM пересекает прямую AD в K. Докажите: AK=AD+BC.

Сам: план и обоснования

Средняя линия треугольника внутри трапеции

Образец: BC=4, AD=10, CE∥AB, E∈AD; M, N — середины CE и CD. Найдите MN.

Сам

Что дано → что построить → что получим

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) BC=3, AD=11, ∠A=60∘, ∠D=30∘. Найдите AB.

б) AC=BD=10, ∠AOD=60∘, BC=3. Найдите AD.

в) M — середина CD, BM∩AD=K. Докажите: DK=BC.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-015 · Практикум: Трапеция

1. $CE ∥ A B$

2. $CF ∥ B D$

3. Высоты $B H$ , $C K$

4. $M$ — середина $C D$

Образец: $BC ∥ A D$ , $A B = BC$ , $∠ B = 11 0^{\circ}$ , $∠ D = 7 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A C D$ .

Углы $6 0^{\circ}$ и $3 0^{\circ}$ при большем основании

Образец: $BC = 4$ , $A D = 14$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ D = 3 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .

Образец: $A C = B D = 12$ , угол между диагоналями $∠ A O D = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A D + BC$ .

$∠ A + ∠ D = 9 0^{\circ}$ : отрезок между серединами оснований

Образец: $M$ — середина $C D$ , прямая $BM$ пересекает прямую $A D$ в $K$ . Докажите: $A K = A D + BC$ .

Образец: $BC = 4$ , $A D = 10$ , $CE ∥ A B$ , $E \in A D$ ; $M$ , $N$ — середины $CE$ и $C D$ . Найдите $MN$ .

а) $BC = 3$ , $A D = 11$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ D = 3 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .

б) $A C = B D = 10$ , $∠ A O D = 6 0^{\circ}$ , $BC = 3$ . Найдите $A D$ .

в) $M$ — середина $C D$ , $BM \cap A D = K$ . Докажите: $DK = BC$ .