Четырёхугольники · урок 14 из 22 · практикум

Практикум: средняя линия треугольника

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM8U-014

1 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Четырехугольники» (22 ч), урок 14/22, единица R01.3. Тип урока — П (практикум): теория — сводка и два метода, остальное — решение задач.
Теория (12): титул 1 · цели 0,5 · сводка 3 · где искать среднюю линию 1,5 · метод «середина диагонали» 3 · дополнительно (середины сторон и диагоналей) 3.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 × 5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 15/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Теория уже доказана на уроке GEOM8U-003; сегодня — новые типы задач: медиана и средняя линия, обратные задачи на периметр, доказательства с дополнительным построением, восстановление треугольника по серединам.
Если не успеваете: слайд «Дополнительно» показать за 1 мин без доказательства, образец на клетчатой бумаге — в ДЗ.

R01.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Видеть среднюю линию

в треугольнике и четырёхугольнике, достраивать нужную середину (ПР-3)

Решать обратные задачи

периметры, медианы, координаты середин (ПР-3)

Доказывать

с опорой на теорему и обратную ей, методом «середина диагонали» (ПР-1)

Решать задачи ОГЭ

линии 15 и 19, вычисление 23 и доказательство 24

R01.3 · R01.2

Разминка · устно

$M$ и $N$ — середины $A B$ и $BC$

$A C = 18$ . Найдите $MN$ . $9$
$MN = 6, 5$ . Найдите $A C$ . $13$
Найдите $∠ BMN$ . $5 0^{\circ}$ — соответственные
Стороны $6$ , $8$ , $10$ . Периметр треугольника из средних линий? $12$
Угол между диагоналями ромба? $9 0^{\circ}$
Медиана к гипотенузе $7$ . Гипотенуза? $14$

R01.3

Сводка · что мы знаем о средней линии

Определение, теорема, обратная теорема

Средняя линия — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

MN ∥ A C

,

MN = \frac{A C}{2}

Обратная: $M$ — середина $A B$ , $MN ∥ A C$ , $N \in BC$ ⇒ $N$ — середина $BC$ .

Следствия: три средние линии дают 4 равных треугольника; $P_{△ MN K} = \frac{P _{△ A BC}}{2}$ ; медиана к гипотенузе равна её половине.

3 мин · теория
Ученики проговаривают формулировки, учитель открывает строки. Вопрос: как доказывали теорему? (Продлили MN за N на NE = MN: △MBN = △ECN ⇒ CE ∥ AB, CE = AM ⇒ AMEC — параллелограмм ⇒ MN ∥ AC, 2MN = AC; урок GEOM8U-003.)
Первый щелчок — пунктиром ещё две средние линии MK и KN: треугольник разбит на 4 равных, каждый подобен исходному с коэффициентом 1/2 (слово «подобен» — заранее, это тема R02).
Обратная теорема — главный инструмент сегодняшних доказательств: «через середину стороны параллельно другой стороне» ⇒ попадаем в середину третьей.

R01.3

Схема · где искать среднюю линию

Четыре ситуации в задачах

Две середины

соединяем — средняя линия

Середина + параллель

попали в середину третьей стороны

Середины в четырёхугольнике

отметь середину диагонали

Перпендикуляр на биссектрису

продли до стороны: появится середина

R01.3

Образец → сам · медиана и средняя линия

Средняя линия делит медиану пополам

Образец: $B K$ — медиана, $B K = 10$ , $A C = 16$ , $MN$ — средняя линия. Найдите $MP$ , $PN$ , $BP$ .

$MP ∥ A K$ , $M$ — середина $A B$ ⇒ $P$ — середина $B K$ обратная теорема

$MP = \frac{A K}{2} = 4$ , $PN = \frac{K C}{2} = 4$ , $BP = 5$ средние линии $△ A B K$ , $△ K BC$

Сам

$A C = 22$ , $B K = 13$ . Найдите $MP$ и $BP$ . $5, 5$ и $6, 5$
$B H$ — высота, $B H = 12$ . На каком расстоянии от $A C$ лежит $MN$ ? $6$
$K \in A C$ — не середина, $A K = 10$ , $K C = 6$ . Найдите $MP$ и $PN$ . $5$ и $3$

2,5 мин · практика
Образец: MN ∥ AC (теорема), значит MP ∥ AK; в △ABK прямая через середину M параллельно AK проходит через середину BK (обратная теорема) ⇒ BP = PK = 5. MP — средняя линия △ABK: MP = AK/2 = 8 : 2 = 4; PN — средняя линия △KBC: PN = KC/2 = 4. Проверка: MP + PN = 8 = AC/2 ✓.
1) AK = 11, MP = 5,5; BP = 13 : 2 = 6,5.
2) MN пересекает BH в её середине (то же рассуждение для △ABH) ⇒ расстояние от MN до AC равно 12 : 2 = 6.
3) Рассуждение не зависит от того, где K на AC: MP = AK/2 = 5, PN = KC/2 = 3 (сумма 8 = AC/2 ✓). Вывод: средняя линия делит пополам любой отрезок от B до AC.

R01.3

Образец → сам · обратная задача на периметр

По периметрам найдите сторону

Образец: $P_{△ A BC} = 50$ , $P_{A MNC} = 37$ , $MN ∥ A C$ — средняя линия. Найдите $A C$ .

$A M + NC = \frac{A B + BC}{2} = \frac{50 - A C}{2}$ , $MN = \frac{A C}{2}$ середины, теорема

$37 = 25 + A C$ ⇒ $A C = 12$ $P_{A MNC} = \frac{P}{2} + A C$

Сам

$P_{△ A BC} = 40$ , $P_{A MNC} = 29$ . Найдите $A C$ . $9$
$P_{A MNC}$ на $10$ больше $P_{△ MBN}$ . Найдите $MN$ . $5$
Средняя линия $MN$ на $6$ меньше $A C$ . Найдите $A C$ . $12$

R01.3

Метод · середина диагонали (учитель доказывает)

Отрезок между серединами противоположных сторон

Дано:

A BC D

,

M

,

N

— середины

A B

,

C D

.
Доказать:

MN \leq \frac{A D + BC}{2}

.

1

M K ∥ BC

,

M K = \frac{BC}{2}

K

— середина

A C

; средняя линия

△ A BC

2

K N ∥ A D

,

K N = \frac{A D}{2}

средняя линия

△ A C D

3

MN \leq M K + K N = \frac{A D + BC}{2}

неравенство треугольника; равенство ⇔

K \in MN

⇔

BC ∥ A D

3 мин · теория
Каждый шаг — вопрос классу «почему?». Цвета: бирюзовый — MK ∥ BC, фиолетовый — KN ∥ AD, розовый пунктир — MN.
Равенство: K лежит на MN ⇔ MK и KN на одной прямой ⇔ BC ∥ AD (обе параллельны MN). Тогда ABCD — трапеция и MN — её средняя линия: MN = (AD + BC)/2 — это теорема урока GEOM8U-007, сегодня мы её получили «бесплатно».
Также MN > |AD − BC|/2 (вторая часть неравенства треугольника для △MKN).
Приём «отметь середину диагонали» работает всегда, когда даны середины двух противоположных сторон.

R01.3

Образец → сам · доказательство с дополнительным построением

$A B = C D$ : что можно доказать

Образец: $A B = C D$ ; $M$ , $N$ , $K$ — середины $BC$ , $A D$ , $A C$ . Докажите: $△ M K N$ — равнобедренный.

$K M = \frac{A B}{2}$ , $K N = \frac{C D}{2}$ средние линии $△ A BC$ , $△ A C D$

$A B = C D$ ⇒ $K M = K N$ ⇒ $△ M K N$ — равнобедренный

Сам

Там же докажите: $MN$ образует равные углы с $A B$ и $C D$ . $∠ K MN = ∠ K NM$ , $K M ∥ A B$ , $K N ∥ C D$
$M$ , $N$ — середины $A B$ , $C D$ ; $BC = 12$ , $A D = 18$ . Оцените $MN$ . $3 < MN \leq 15$
Там же $BC = 8$ , $A D = 6$ , $MN = 7$ . Докажите: $BC ∥ A D$ . $M K + K N = 4 + 3 = MN$ ⇒ $K \in MN$

2,5 мин · практика
Образец: KM соединяет середины AC и BC ⇒ KM ∥ AB, KM = AB/2; KN соединяет середины AC и AD ⇒ KN ∥ CD, KN = CD/2. AB = CD ⇒ KM = KN.
1) В равнобедренном △MKN ∠KMN = ∠KNM. KM ∥ AB ⇒ угол между MN и AB равен ∠KMN; KN ∥ CD ⇒ угол между MN и CD равен ∠KNM. Значит, углы равны. (Классическая задача: «прямая через середины BC и AD образует равные углы с равными сторонами».)
2) K — середина AC: MK = BC/2 = 6, KN = AD/2 = 9. Неравенство треугольника: 9 − 6 < MN ≤ 6 + 9, т. е. 3 < MN ≤ 15; MN = 15 только если BC ∥ AD.
3) MK = 4, KN = 3, MK + KN = 7 = MN ⇒ K на отрезке MN ⇒ MK и KN лежат на одной прямой; MK ∥ BC, KN ∥ AD ⇒ BC ∥ AD (по слайду «метод»).

R01.3 · сверх ФРП

Дополнительно · середины сторон и диагоналей

Три отрезка пересекаются в одной точке

Дано:

K, L, M, N

— середины сторон

A BC D

;

P

,

Q

— середины

A C

,

B D

.
Доказать:

K M

,

L N

,

PQ

проходят через одну точку

O

.

1

K L MN

— параллелограмм ⇒

K M

,

L N

делятся в

O

пополам

K L ∥ A C ∥ NM

,

K L = NM = \frac{A C}{2}

; признак 1

2

K QMP

— параллелограмм

K Q ∥ A D ∥ PM

,

K Q = PM = \frac{A D}{2}

— средние линии

△ A B D

,

△ A C D

3

PQ

проходит через середину

O

отрезка

K M

диагонали параллелограмма

K QMP

делятся пополам

3 мин · теория
Утверждение сверх ФРП (теорема Вариньона и её следствие); для класса — образец, как одна теорема о средней линии превращается в цепочку доказательств.
Шаг 1 — теорема Вариньона (урок GEOM8U-003): KL и NM — средние линии △ABC и △ACD. Шаг 2: KQ — средняя линия △ABD (середины AB и BD), PM — средняя линия △ACD (середины AC и CD) ⇒ KQ ∥ PM и KQ = PM ⇒ KQMP — параллелограмм (признак 1), его диагонали KM и PQ делятся пополам.
Итог: точка O — общая середина KM, LN и PQ (на физике — центр масс четырёх равных грузов в вершинах; урок GEOM8U-010).

R01.3

Образец → сам · восстановление по серединам

Найдите вершины по серединам сторон

Образец: $M (3; 4)$ , $N (6; 4)$ , $K (4; 1)$ — середины $A B$ , $BC$ , $A C$ . Найдите $A$ , $B$ , $C$ .

$MBN K$ — параллелограмм: от $K$ к $N$ так же, как от $M$ к $B$ ⇒ $B (5; 7)$ $K N ∥ A B$ , $K N = MB$

так же $A (1; 1)$ , $C (7; 1)$ проверка: середины совпали

Сам: в тетради на клетках

$M (2; 5)$ , $N (5; 5)$ , $K (3; 2)$ — середины $A B$ , $BC$ , $A C$ . Найдите вершины. $A (0; 2)$ , $B (4; 8)$ , $C (6; 2)$
$B (2; 6)$ , середины $M (3; 4)$ и $N (6; 5)$ сторон $A B$ , $BC$ . Найдите $A$ и $C$ . $A (4; 2)$ , $C (10; 4)$
Как построить треугольник по серединам сторон циркулем и линейкой? через каждую — параллельно отрезку двух других

2,5 мин · практика
Образец: KN — средняя линия ⇒ KN ∥ AB и KN = AB/2 = MB ⇒ MBNK — параллелограмм (признак 1) ⇒ B = M + (N − K) = (3 + 2; 4 + 3) = (5; 7). Аналогично A = M + (K − N) = (3 − 2; 4 − 3) = (1; 1), C = N + (K − M) = (6 + 1; 4 − 3) = (7; 1). Проверка: середина AB (3; 4), BC (6; 4), AC (4; 1) ✓.
1) B = M + N − K = (4; 8), A = M + K − N = (0; 2), C = N + K − M = (6; 2). Проверка: (2; 5), (5; 5), (3; 2) ✓.
2) A = 2M − B = (4; 2), C = 2N − B = (10; 4). Проверка: MN = (3; 1), AC = (6; 2) — MN ∥ AC и вдвое короче ✓.
3) Через каждую из трёх точек проводим прямую, параллельную отрезку, соединяющему две другие; три прямые пересекаются в вершинах. Обоснование — обратная теорема (или признак параллелограмма, как в образце). Треугольник единственный.

R01.3

Образец → сам · прямоугольный треугольник

Средняя линия и медиана к гипотенузе

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $M$ , $N$ — середины $A B$ , $A C$ . Найдите $P_{△ CMN}$ .

$MN = 6$ , $MN ∥ BC$ ⇒ $MN ⊥ A C$ средняя линия

$CM = A M = 10$ , $CN = 8$ ⇒ $P = 24$ $MN$ — медиана и высота $△ A MC$

Сам: начертите сами

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 26$ , $A C = 24$ , $BC = 10$ ; $M$ , $N$ — середины $A B$ , $BC$ . Найдите $P_{△ CMN}$ . $30$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $M$ , $N$ — середины $A B$ , $A C$ , $MN = 4$ . Найдите $CM$ . $8$
$CM$ — медиана, $C H$ — высота, $∠ MC H = 2 0^{\circ}$ . Найдите острые углы. $5 5^{\circ}$ и $3 5^{\circ}$

R01.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
«Средняя линия равна половине любой стороны»	только той, которой она параллельна	$MN ∥ A C$ ⇒ $MN = \frac{A C}{2}$
$M$ — середина $A B$ , $MN = \frac{A C}{2}$ ⇒ средняя линия	равенство длин — не признак; «на рисунке видно» — не довод	нужна вторая середина или $MN ∥ A C$
$P_{A MNC} = P_{△ A BC} - P_{△ MBN}$	$MN$ входит в оба периметра	$P_{A MNC} = \frac{P}{2} + A C$
$MN = \frac{A D + BC}{2}$ в любом четырёхугольнике	равенство — только при $A D ∥ BC$	иначе $MN < \frac{A D + BC}{2}$

R01.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A B = 8$ , $BC = 12$ , $A C = 14$ ; $M$ , $N$ — середины $A B$ , $BC$ . Найдите $P_{△ MBN}$ .

$MN = 7$

$P = 8 + 12 + 7 = 27$

$MB = 4$ , $BN = 6$ : $P = 17$

б) $M$ — середина $A B$ , $N \in BC$ , $MN = \frac{A C}{2}$ .

«Значит, $MN$ — средняя линия и $N$ — середина $BC$ »

длина — не признак: нужно $MN ∥ A C$

в) $M$ , $N$ — середины $A B$ , $C D$ четырёхугольника; $BC = 6$ , $A D = 10$ .

$MN = \frac{6 + 10}{2} = 8$

$2 < MN \leq 8$ ; $8$ — только если $BC ∥ A D$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) MN = 7 — верно; ошибка: взяты целые стороны AB и BC вместо половин. MB = 4, BN = 6, P = 4 + 6 + 7 = 17 = 34 : 2 ✓.
б) Признак средней линии — «середина + параллельность», не «середина + длина». Ошибка логическая (обратное утверждение без доказательства).
в) Формула средней линии трапеции применена к произвольному четырёхугольнику. Через середину K диагонали AC: MK = 3, KN = 5 ⇒ 5 − 3 < MN ≤ 5 + 3.

R01.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаСредняя линия равностороннего треугольника $5$ . Найдите периметр. $30$
база $A B = 9$ , $BC = 12$ , $A C = 15$ , $MN ∥ A C$ . Найдите $P_{△ MBN}$ . $18$
базаСредние линии $4$ , $5$ , $6$ . Найдите $P_{△ A BC}$ . $30$

база $∠ A = 7 0^{\circ}$ , $∠ C = 4 0^{\circ}$ , $MN ∥ A C$ . Найдите $∠ MNC$ . $14 0^{\circ}$
базаМедиана $B K = 11$ пересекает среднюю линию $MN$ в $P$ . Найдите $BP$ . $5, 5$
базаСредняя линия и параллельная ей сторона в сумме $27$ . Найдите среднюю линию. $9$

R01.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 2 5^{\circ}$ , $CM$ — медиана. Найдите $∠ BMC$ . $5 0^{\circ}$
повыш.Из $A$ на биссектрису внешнего угла $B$ опущен перпендикуляр $A H$ , $M$ — середина $A C$ , $A B = 7$ , $BC = 15$ . Найдите $H M$ . $11$
повыш. $M$ , $N$ — середины $A B$ , $BC$ , $K$ — любая точка $A C$ . Докажите: $MN$ делит $B K$ пополам. $MN ∥ A K$ ⇒ обратная теорема в $△ A B K$
из жизниНожки стремянки по $2$ м, их середины связаны верёвкой $0, 6$ м. Расстояние между ножками на полу? $1, 2$ м

2,5 мин · практика
1) CM = MB ⇒ ∠MCB = ∠B = 65° ⇒ ∠BMC = 180° − 2 · 65° = 50° (или внешний угол △AMC: 25° + 25°).
2) Продлим AH до пересечения с прямой BC в D (за точкой B): BH — биссектриса и высота △ABD ⇒ BD = AB = 7, H — середина AD; DC = DB + BC = 22; HM — средняя линия △ADC ⇒ HM = 11 = (AB + BC)/2.
3) MN ∥ AC ⇒ MN ∥ AK; в △ABK прямая через середину M параллельно AK пересекает BK в середине (обратная теорема).
4) Верёвка — средняя линия треугольника «ножка — ножка — пол»: 0,6 · 2 = 1,2 м. Поэтому верёвку и ставят: она держит ножки, не давая разъехаться.

R01.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15Точки $M$ и $N$ — середины сторон $A B$ и $BC$ треугольника $A BC$ , $A B = 21$ , $BC = 22$ , $A C = 28$ . Найдите $MN$ . $14$
ОГЭ 15Средняя линия треугольника, параллельная стороне $A C$ , отсекает треугольник с периметром $23$ . Найдите периметр $△ A BC$ . $46$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Средняя линия треугольника делит пополам медиану, проведённую к параллельной ей стороне.
Периметр треугольника из средних линий равен периметру данного треугольника.

Ответ: 12

R01.3 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Из вершины $A$ на биссектрису угла $B$ опущен перпендикуляр $A H$ , $M$ — середина $A C$ . Найдите $H M$ , если $A B = 10$ , $BC = 26$ .

$△ A B D$ : $B H$ — биссектриса и высота ⇒ $B D = 10$ , $A H = HD$

$H M = \frac{D C}{2} = \frac{26 - 10}{2} = 8$

ОГЭ 24 $B H$ — высота $△ A BC$ , $M$ , $N$ — середины $A B$ , $BC$ . Докажите: $∠ M H N = ∠ A BC$ .

$H M = MB$ , $H N = NB$ — медианы к гипотенузам $△ A B H$ , $△ CB H$

$△ M H N = △ MBN$ (III) ⇒ $∠ M H N = ∠ A BC$

2,5 мин · практика
23) Продлим AH до пересечения с BC в точке D. В △ABD BH — биссектриса и высота ⇒ △ABD равнобедренный, BD = AB = 10 и BH — медиана: AH = HD. DC = 26 − 10 = 16. HM соединяет середины AD и AC ⇒ средняя линия △ADC: HM = 16 : 2 = 8. Ответ: 8.
24) Решение на 2 балла: △ABH прямоугольный, HM — медиана к гипотенузе ⇒ HM = AB/2 = MB; аналогично HN = BC/2 = NB; MN — общая ⇒ △MHN = △MBN по трём сторонам ⇒ ∠MHN = ∠MBN = ∠ABC. Назвать признак и обосновать каждое равенство.
На уроке — устное обсуждение плана; запись 24 полностью — в ДЗ по желанию.

R01.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$M$ , $N$ — середины $A B$ , $BC$ , $A C = 23$ . Найдите $MN$ . $11, 5$
$P_{△ A BC} = 42$ , $P_{A MNC} = 33$ , $MN ∥ A C$ . Найдите $A C$ . $12$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 18$ . Найдите медиану $CM$ . $9$
$A BC D$ : $M$ , $N$ , $K$ — середины $A B$ , $C D$ , $A C$ ; $BC = 10$ , $A D = 14$ . Найдите $M K$ и $K N$ . $5$ и $7$

Вариант 2

$M$ , $N$ — середины $A B$ , $BC$ , $A C = 27$ . Найдите $MN$ . $13, 5$
$P_{△ A BC} = 56$ , $P_{A MNC} = 43$ , $MN ∥ A C$ . Найдите $A C$ . $15$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , медиана $CM = 6, 5$ . Найдите $A B$ . $13$
$A BC D$ : $M$ , $N$ , $K$ — середины $A B$ , $C D$ , $A C$ ; $BC = 16$ , $A D = 8$ . Найдите $M K$ и $K N$ . $8$ и $4$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем признак средней линии отличается от теоремы?
Какую точку отметить, если даны середины противоположных сторон четырёхугольника?
Чему равен $P_{A MNC}$ ?

Домашнее задание

$P_{△ A BC} = 60$ , $P_{A MNC} = 45$ . Найдите $A C$ .
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 4 0^{\circ}$ , $CM$ — медиана. Найдите $∠ BMC$ .
* Из $A$ на биссектрисы внутреннего и внешнего углов $B$ опущены перпендикуляры $A H$ и $A E$ . Докажите: $H$ и $E$ лежат на средней линии, параллельной $BC$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_parallelogramm_i_trapeciya.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) 45 = 30 + AC ⇒ AC = 15. 2) CM = AM ⇒ ∠MCA = 40°, ∠BMC — внешний угол △AMC: 40° + 40° = 80°. 3) Продлим AH до D на прямой BC: BD = AB, H — середина AD; в △ABD прямая через середины AB и AD параллельна BD, т. е. BC ⇒ H лежит на средней линии △ABC, параллельной BC (через середину AB). Аналогично для E (D′ на продолжении CB за B).
Следующий урок — практикум «Трапеция» (GEOM8U-015); средняя линия трапеции — GEOM8U-007 и GEOM8U-018: слайд «метод» уже показал, откуда она берётся.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-014 · Практикум: средняя линия треугольника

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R01 «Четырехугольники», 22 ч · урок 14/22 · тип П
Единицы → слайды	R01.3 «Средняя линия треугольника» → 2–20 · повторение R01.2 (ромб, прямоугольник) → 3
Результаты	ПР-3 (средняя линия треугольника, применение свойств) → 4–20 · ПР-1 (четырёхугольники, их свойства) → 8–10, 19
Вне урока	теория средней линии — GEOM8U-003; трапеция — GEOM8U-015; средняя линия трапеции — GEOM8U-007, GEOM8U-018; центр масс — GEOM8U-010, GEOM8U-021; подобие — R02; слайд 10 — сверх ФРП («Дополнительно»)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: средняя линия треугольника

Сегодня вы научитесь

Видеть среднюю линию

Решать обратные задачи

Доказывать

Решать задачи ОГЭ

M и N — середины AB и BC

Определение, теорема, обратная теорема

Четыре ситуации в задачах

Две середины

Середина + параллель

Середины в четырёхугольнике

Перпендикуляр на биссектрису

Средняя линия делит медиану пополам

Образец: BK — медиана, BK=10, AC=16, MN — средняя линия. Найдите MP, PN, BP.

Сам

По периметрам найдите сторону

Образец: P△ABC​=50, PAMNC​=37, MN∥AC — средняя линия. Найдите AC.

Сам

Отрезок между серединами противоположных сторон

AB=CD: что можно доказать

Образец: AB=CD; M, N, K — середины BC, AD, AC. Докажите: △MKN — равнобедренный.

Сам

Три отрезка пересекаются в одной точке

Найдите вершины по серединам сторон

Образец: M(3;4), N(6;4), K(4;1) — середины AB, BC, AC. Найдите A, B, C.

Сам: в тетради на клетках

Средняя линия и медиана к гипотенузе

Образец: ∠C=90∘, M, N — середины AB, AC. Найдите P△CMN​.

Сам: начертите сами

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) AB=8, BC=12, AC=14; M, N — середины AB, BC. Найдите P△MBN​.

б) M — середина AB, N∈BC, MN=2AC​.

в) M, N — середины AB, CD четырёхугольника; BC=6, AD=10.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-014 · Практикум: средняя линия треугольника

$M$ и $N$ — середины $A B$ и $BC$

Образец: $B K$ — медиана, $B K = 10$ , $A C = 16$ , $MN$ — средняя линия. Найдите $MP$ , $PN$ , $BP$ .

Образец: $P_{△ A BC} = 50$ , $P_{A MNC} = 37$ , $MN ∥ A C$ — средняя линия. Найдите $A C$ .

$A B = C D$ : что можно доказать

Образец: $A B = C D$ ; $M$ , $N$ , $K$ — середины $BC$ , $A D$ , $A C$ . Докажите: $△ M K N$ — равнобедренный.

Образец: $M (3; 4)$ , $N (6; 4)$ , $K (4; 1)$ — середины $A B$ , $BC$ , $A C$ . Найдите $A$ , $B$ , $C$ .

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $M$ , $N$ — середины $A B$ , $A C$ . Найдите $P_{△ CMN}$ .

а) $A B = 8$ , $BC = 12$ , $A C = 14$ ; $M$ , $N$ — середины $A B$ , $BC$ . Найдите $P_{△ MBN}$ .

б) $M$ — середина $A B$ , $N \in BC$ , $MN = \frac{A C}{2}$ .

в) $M$ , $N$ — середины $A B$ , $C D$ четырёхугольника; $BC = 6$ , $A D = 10$ .