Четырёхугольники · урок 13 из 22 · практикум

Практикум: прямоугольник, ромб, квадрат, их признаки и свойства

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM8U-013

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Четырехугольники» (22 ч), урок 13/22, единица R01.2. Тип урока — П (практикум): новые определения не вводятся, теория — сводка и два следствия, остальное — задачи.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · сводка 2,5 · высоты ромба 2 · медиана к гипотенузе 2,5 · метод «как доказать» 1,5 · демонстрация (биссектрисы параллелограмма) 3.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 17/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Опора — урок GEOM8U-002 (определения, свойства и признаки с доказательствами). Задачи сегодня — новых типов: высоты ромба, медиана прямоугольного треугольника, доказательства «это квадрат», клетчатая бумага без измерений.
Если не успеваете: образец на клетчатой бумаге и ОГЭ 24 — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R01.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать нужный факт

свойство или признак прямоугольника, ромба, квадрата (ПР-1)

Решать задачи на вычисление

углы, диагонали, высоты ромба, медиана к гипотенузе

Доказывать вид фигуры

«это прямоугольник / ромб / квадрат» — с обоснованием каждого шага (ПР-1)

Решать задачи ОГЭ

линии 17, 19, 18 (клетки), 23 и 24

повторение: GEOM8U-002, 012

Разминка · устно

Ромб, прямоугольник, квадрат — за минуту

$A BC D$ — ромб, $∠ B A C = 2 5^{\circ}$ . Найдите $∠ B A D$ . $5 0^{\circ}$
Найдите $∠ A BC$ . $13 0^{\circ}$
Найдите $∠ A OB$ . $9 0^{\circ}$
Прямоугольник, $A C = 10$ . Найдите $BO$ . $5$
Параллелограмм с равными диагоналями — это… прямоугольник
Ромб с прямым углом — это… квадрат
Катет лежит против угла $3 0^{\circ}$ , гипотенуза $12$ . Катет? $6$

R01.2

Сводка · свойства и признаки

Что добавляется к параллелограмму

Фигура	Свойства (кроме свойств параллелограмма)	Признаки
прямоугольник	все углы $9 0^{\circ}$ ; диагонали равны: $A O = BO = CO = D O$	параллелограмм + прямой угол; параллелограмм + равные диагонали; * три прямых угла
ромб	все стороны равны; диагонали $⊥$ и делят углы пополам; высоты равны	параллелограмм + равные соседние стороны, или $A C ⊥ B D$ , или диагональ — биссектриса угла; * четыре равные стороны
квадрат	всё, что у прямоугольника и у ромба; диагональ со стороной — $4 5^{\circ}$	и прямоугольник, и ромб: например, прямоугольник с равными соседними сторонами или ромб с прямым углом

2,5 мин · теория
Сводку класс восстанавливает устно по вопросам учителя, затем сверяет с таблицей. Звёздочкой — признаки, где «параллелограмм» доказывать не нужно (углублённый уровень, доказаны на уроке GEOM8U-002).
Главное правило практикума: в каждом признаке, кроме отмеченных *, первое условие — «параллелограмм». Свойство применяем только к фигуре, вид которой уже известен.
Новое в строке «ромб»: высоты равны — докажем на слайде 6.

R01.2

Образец → сам · прямоугольник на готовом чертеже

Перпендикуляр к диагонали

Образец: $A BC D$ — прямоугольник, $B H ⊥ A C$ , $∠ H BO = 3 0^{\circ}$ , $A B < BC$ . Найдите $∠ A CB$ .

$∠ A BO = ∠ B A O = α$ $O A = OB$

$∠ A B H = 9 0^{\circ} - α$ $△ A B H$ прямоугольный

$α - (9 0^{\circ} - α) = 3 0^{\circ}$ , $α = 6 0^{\circ}$ , $∠ A CB = 3 0^{\circ}$

Сам

То же, но $∠ H BO = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ B A C$ . $6 5^{\circ}$
$B H ⊥ A C$ , $∠ A B H : ∠ H BC = 1 : 2$ . Найдите $∠ H BO$ . $3 0^{\circ}$
$∠ A OB = 6 0^{\circ}$ , $A C = 16$ , $B H ⊥ A C$ . Найдите $A H$ . $4$

2,5 мин · практика
Образец: OA = OB (диагонали прямоугольника равны и делятся пополам) ⇒ ∠ABO = ∠BAO = α. В △ABH ∠ABH = 90° − α. Так как AB < BC, α > 45° и луч BH лежит между BA и BO: ∠HBO = α − (90° − α) = 2α − 90° = 30° ⇒ α = 60°; ∠ACB = 90° − 60° = 30°.
1) 2α − 90° = 40° ⇒ α = 65°. 2) ∠ABH = 30°, ∠HBC = 60°; α = 90° − 30° = 60°; ∠HBO = 2 · 60° − 90° = 30°. 3) △AOB равнобедренный с углом 60° — равносторонний, AB = AO = 8; BH — высота и медиана ⇒ AH = AO : 2 = 4.
Вопрос: зачем в условии AB < BC? (Если AB > BC, то ∠HBO = 90° − 2α — другой ответ. Чертёж без условия — двусмысленный.)

R01.2

Свойство · высоты ромба

Высоты ромба равны

Дано:

A BC D

— ромб,

B H ⊥ A D

,

B K ⊥ C D

.
Доказать:

B H = B K

,

∠ H B K = ∠ A

.

1

A B = CB

,

∠ A = ∠ C

стороны ромба; противоположные углы параллелограмма

2

△ A B H

=

△ CB K

по гипотенузе и острому углу

3

B H = B K

соответственные катеты

4

∠ H B K

= 36 0^{\circ} - 2 \cdot 9 0^{\circ} - ∠ D = ∠ A

сумма углов

B HDK

;

∠ A + ∠ D = 18 0^{\circ}

2 мин · теория
Обратить внимание: высоты проведены из вершины тупого угла B — их основания лежат на сторонах. Щелчок 3 — равные высоты на чертеже, щелчок 4 — угол между высотами.
Следствия (записать): 1) угол между высотами ромба, проведёнными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба; 2) точка O пересечения диагоналей равноудалена от всех сторон ромба (диагонали — биссектрисы углов), расстояние = h : 2.
Связь с прошлым уроком: если угол ромба 30°, то высота равна половине стороны (катет против угла 30°).

R01.2

Образец → сам · высота ромба

Ромб с углом $3 0^{\circ}$

Образец: $A BC D$ — ромб, $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $P = 40$ . Найдите высоту ромба.

$A B = 40 : 4 = 10$ все стороны равны

$B H = A B : 2 = 5$ катет против угла $3 0^{\circ}$

Сам

Высота ромба $6$ , острый угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $P$ . $48$
Высота ромба вдвое меньше его стороны. Найдите углы ромба. $3 0^{\circ}$ и $15 0^{\circ}$
Из вершины $B$ тупого угла: $B H ⊥ A D$ , $B K ⊥ C D$ , $∠ H B K = 3 0^{\circ}$ , $B H = 4$ . Найдите $P$ . $32$

R01.2

Следствие · доказательство через прямоугольник

Медиана к гипотенузе равна её половине

Дано:

△ A BC

,

∠ C = 9 0^{\circ}

,

A M = MB

.
Доказать:

CM = \frac{1}{2} A B

.

1Продлим:

M D = CM

;

A M = MB

диагонали

C D

и

A B

делятся пополам ⇒

A CB D

— параллелограмм

2

∠ C = 9 0^{\circ}

⇒

A CB D

— прямоугольникпризнак: параллелограмм с прямым углом

3

C D = A B

⇒

CM = \frac{1}{2} A B

диагонали прямоугольника равны

Обратно: если

CM = \frac{1}{2} A B

, то

∠ C = 9 0^{\circ}

— в параллелограмме

A CB D

диагонали равны.

2,5 мин · теория
Это следствие свойства диагоналей прямоугольника; на углублённом уровне доказываем и обратное утверждение. Итог: MA = MB = MC — середина гипотенузы равноудалена от всех вершин.
Обратное: CM = MA = MB, D — точка на продолжении CM, MD = CM ⇒ ACBD — параллелограмм (диагонали делятся пополам) с равными диагоналями CD = AB ⇒ прямоугольник ⇒ ∠C = 90°.
Следствие для задач: CM делит △ABC на два равнобедренных треугольника: ∠MCA = ∠A, ∠MCB = ∠B.

R01.2

Образец → сам · чертёж строим сами

Угол между медианой и высотой

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 3 5^{\circ}$ . Найдите угол между медианой $CM$ и высотой $C H$ .

$∠ MC A = ∠ A = 3 5^{\circ}$ $CM = A M$

$∠ H C A = 9 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 5 5^{\circ}$ $△ A H C$

$∠ H CM = 5 5^{\circ} - 3 5^{\circ} = 2 0^{\circ}$

Сам: начните с чертежа

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна $7$ . Найдите гипотенузу. $14$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 2 8^{\circ}$ , $CM$ — медиана. Найдите $∠ BMC$ . $5 6^{\circ}$
Угол между медианой и высотой из вершины прямого угла $4 0^{\circ}$ . Найдите острые углы. $2 5^{\circ}$ и $6 5^{\circ}$

R01.2

Метод · как доказать вид фигуры

Три шага: параллелограмм → особый → квадрат

1. Параллелограмм?

две стороны равны и параллельны; стороны попарно равны; диагонали делятся пополам

⟶

2. Добавить условие

прямоугольник: прямой угол или $A C = B D$

ромб: соседние стороны равны, $A C ⊥ B D$ или диагональ — биссектриса

⟶

3. Квадрат

доказаны оба условия шага 2

Короткий путь*: три прямых угла ⇒ прямоугольник; четыре равные стороны ⇒ ромб — шаг 1 не нужен.

R01.2

Доказательство · решает учитель

Биссектрисы углов параллелограмма образуют прямоугольник

Дано:

A BC D

— параллелограмм,

A B \neq = A D

; биссектрисы его углов образуют

K L MN

.
Доказать:

K L MN

— прямоугольник.

1

∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}

соседние углы параллелограмма

2

∠ K A B

+

∠ K B A

= 9 0^{\circ}

половины углов

A

и

B

3

∠ A K B = 9 0^{\circ}

⇒

∠ N K L = 9 0^{\circ}

сумма углов

△ A K B

; вертикальные углы

4так же

∠ L = ∠ M = ∠ N = 9 0^{\circ}

⇒ прямоугольникпризнак*: три прямых угла

3 мин · теория (учитель доказывает у доски, класс отвечает на «почему?»)
Первый щелчок закрашивает KLMN; далее — шаги с обоснованиями и прямые углы на чертеже. Порядок точек: A–K–N на биссектрисе ∠A, B–K–L на биссектрисе ∠B, поэтому ∠NKL и ∠AKB вертикальные.
Условие AB ≠ AD нужно: у ромба все четыре биссектрисы проходят через одну точку (диагонали), и прямоугольника нет.
Продолжение (задание «сам» на сл. 12): если ABCD — прямоугольник, то KLMN — квадрат.

R01.2

Образец → сам · задача на доказательство

Докажите, что это квадрат

Образец: $A BC D$ — квадрат, $A K = B L = CM = D N$ . Докажите: $K L MN$ — квадрат.

$K B = L C = M D = N A$ сторона − равные отрезки

$△ A K N = △ B L K = \dots$ I признак

$K L = L M = MN = N K$ ⇒ ромб*

$∠ A K N + ∠ B K L = 9 0^{\circ}$ ⇒ $∠ N K L = 9 0^{\circ}$ ⇒ квадрат

Сам: план и обоснования

Докажите: биссектрисы углов прямоугольника ( $A B \neq = A D$ ) образуют квадрат. прямоугольник (сл. 11) и $K N = K L$
$A BC D$ — ромб, $K \in A B$ , $M \in A D$ , $A K = A M$ . Докажите: $K M ⊥ A C$ . $A C$ — биссектриса в равнобедренном $△ A K M$
Точка $O$ пересечения диагоналей $A BC D$ равноудалена от всех вершин. Докажите: прямоугольник. диагонали делятся пополам и равны

3 мин · практика
Образец: KB = AB − AK, LC = BC − BL, … — равны. △AKN = △BLK = △CML = △DNM по I признаку (катеты AK = BL = …, NA = KB = …, прямой угол между ними) ⇒ KL = LM = MN = NK ⇒ ромб (четыре равные стороны). ∠BKL = ∠ANK (из равенства треугольников), ∠AKN + ∠ANK = 90° ⇒ ∠AKN + ∠BKL = 90° ⇒ ∠NKL = 180° − 90° = 90° ⇒ ромб с прямым углом — квадрат.
1) KLMN — прямоугольник (сл. 11). △AKB и △BLC — прямоугольные равнобедренные (углы 45°), △AND тоже. AN = DN, BL = CL, а △BLC = △AND (BC = AD, углы по 45°) ⇒ AN = BL. Тогда KN = AN − AK = BL − BK = KL (AK = BK). Прямоугольник с равными соседними сторонами — квадрат.
2) △AKM равнобедренный (AK = AM); AC — биссектриса ∠A (свойство ромба) ⇒ в равнобедренном треугольнике биссектриса — высота ⇒ KM ⊥ AC.
3) OA = OB = OC = OD ⇒ диагонали делятся пополам ⇒ параллелограмм; AC = 2 OA = 2 OB = BD ⇒ прямоугольник.
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования. Сильным — все три; остальным — 2 и 3.

R01.2

Образец → сам · клетчатая бумага

Определите вид по клеткам

Образец: $A (1; 1)$ , $B (4; 2)$ , $C (3; 5)$ , $D (0; 4)$ . Какой это четырёхугольник?

$A \to B$ и $D \to C$ : $3$ вправо, $1$ вверх ⇒ параллелограмм

$B \to C$ : $1$ влево, $3$ вверх — «повёрнутый» сдвиг ⇒ $A B = BC$ , $∠ B = 9 0^{\circ}$

Ответ: квадрат

Сам: нарисуйте в тетради

$A (1; 3)$ , $B (3; 6)$ , $C (5; 3)$ , $D (3; 0)$ . Вид? ромб (не квадрат)
$A (0; 2)$ , $B (2; 0)$ , $C (6; 4)$ , $D (4; 6)$ . Вид? прямоугольник
$A (1; 1)$ , $B (3; 4)$ , $C (6; 2)$ . Найдите $D$ квадрата $A BC D$ . $D (4; - 1)$

2 мин · практика
Образец: одинаковые сдвиги A→B и D→C ⇒ AB ∥ DC, AB = DC ⇒ параллелограмм (признак 1). Прямоугольные треугольники-«ступеньки» с катетами 3 и 1 равны ⇒ AB = BC; их острые углы в сумме 90° ⇒ ∠B = 90°. Параллелограмм с прямым углом и равными соседними сторонами — квадрат. Длины по клеткам не измеряем — только сравниваем сдвиги.
1) Середины AC и BD — (3; 3) ⇒ параллелограмм; AC горизонтальна, BD вертикальна ⇒ ромб; AC = 4, BD = 6 — диагонали не равны ⇒ не квадрат.
2) A→B: (2; −2), D→C: (2; −2) ⇒ параллелограмм; A→B идёт по диагоналям клеток вниз, B→C — вверх ⇒ ∠B = 90° ⇒ прямоугольник; AB — 2 диагонали клетки, BC — 4 ⇒ не квадрат.
3) A→B: (2; 3), «повёрнутый» B→C: (3; −2) ✓. D = A + (C − B) = (1 + 3; 1 − 2) = (4; −1).

R01.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
«В прямоугольном треугольнике медиана равна половине стороны»	только медиана к гипотенузе	$CM = \frac{1}{2} A B$ , $A B$ — гипотенуза
Прямоугольник, $∠ A OB = 5 0^{\circ}$ ⇒ $∠ O A B = 2 5^{\circ}$	$5 0^{\circ}$ — угол при вершине равнобедренного $△ A OB$	$∠ O A B = (18 0^{\circ} - 5 0^{\circ}) : 2 = 6 5^{\circ}$
«Угол между высотами ромба из тупого угла равен тупому углу»	$∠ H B K = 36 0^{\circ} - 18 0^{\circ} - ∠ D$	он равен острому углу ромба
«Ромб с равными диагоналями — прямоугольник, но не квадрат»	фигура и ромб, и прямоугольник	это квадрат

R01.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $CM$ — медиана, $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $∠ BMC$ .

$CM = A M$ ⇒ $∠ MC A = 3 0^{\circ}$

$∠ BMC = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 15 0^{\circ}$

$∠ BMC = 3 0^{\circ} + 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ — внешний угол $△ A MC$

б) $A C = B D$ , $A C ⊥ B D$ . «Докажем», что $A BC D$ — квадрат.

Диагонали равны ⇒ прямоугольник; перпендикулярны ⇒ ромб; значит, квадрат.

не доказано, что $A BC D$ — параллелограмм; нужно ещё: диагонали делятся пополам

в) Ромб, $∠ A BC = 12 0^{\circ}$ , $B D = 10$ . Найдите $P$ .

$∠ B A D = ∠ A BC = 12 0^{\circ}$

$△ A B D$ тупоугольный — сторону не найти

$∠ B A D = 6 0^{\circ}$ (соседние) ⇒ $△ A B D$ равносторонний, $P = 40$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Первая строка верна, ошибка во второй: 180° − 30° — это не смежный угол. ∠BMC — внешний угол △AMC при вершине M: ∠BMC = ∠MAC + ∠MCA = 60°. (Проверка: △BMC равносторонний — ∠B = 60°, MB = MC.)
б) Пропущен шаг «параллелограмм». Контрпример: дельтоид с равными перпендикулярными диагоналями, где одна делит другую не пополам.
в) ∠A и ∠B — соседние, ∠BAD = 180° − 120° = 60°; AB = AD ⇒ △ABD равносторонний, AB = BD = 10, P = 40.

R01.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаПрямоугольник, $∠ C A D = 3 4^{\circ}$ . Найдите $∠ CO D$ . $6 8^{\circ}$
базаРомб, $P = 52$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $B D$ . $13$
базаКвадрат, $A C = 12$ . Найдите $OB$ . $6$

базаГипотенуза $22$ . Найдите медиану к гипотенузе. $11$
базаРомб, высота $5$ , острый угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $P$ . $40$
базаПрямоугольник: угол между диагоналями $6 0^{\circ}$ , диагональ $20$ . Меньшая сторона? $10$

R01.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Ромб $A BC D$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $O H ⊥ A B$ , $H B = 2$ . Найдите $P$ . $32$
повыш.В $△ A BC$ медиана $BM = \frac{1}{2} A C$ , $∠ A = 5 2^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $3 8^{\circ}$
повыш.Внутри квадрата $A BC D$ построен равносторонний $△ A E D$ . Найдите $∠ EBC$ . $1 5^{\circ}$
из жизниКак проверить рулеткой (без угольника), что плитка — квадрат? все стороны равны и диагонали равны

R01.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 17Диагональ $B D$ ромба $A BC D$ образует со стороной $A B$ угол $3 4^{\circ}$ . Найдите угол $B A D$ . Ответ дайте в градусах. $112$
ОГЭ 17Диагональ прямоугольника делит его угол в отношении $1 : 2$ , меньшая сторона равна $6$ . Найдите диагональ. $12$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Диагонали квадрата делят его углы пополам.
Четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями — ромб.
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Ответ: 13

R01.2 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 $K$ — середина стороны $BC$ прямоугольника $A BC D$ , $∠ A KD = 9 0^{\circ}$ , $A B = 7$ . Найдите периметр $A BC D$ .

$A K = DK$ , $∠ K A D = 4 5^{\circ}$ $△ A B K = △ D C K$

$B K = A B = 7$ $∠ B K A = 4 5^{\circ}$

$P = 2 (7 + 14) = 42$

ОГЭ 24 $E$ — середина стороны $A B$ параллелограмма $A BC D$ , $EC = E D$ . Докажите, что $A BC D$ — прямоугольник.

$EB = E A$ , $EC = E D$ , $BC = A D$ ⇒ $△ EBC = △ E A D$ III признак

$∠ B = ∠ A$ , $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$ ⇒ $∠ A = 9 0^{\circ}$

2 мин · практика
23) △ABK = △DCK (I признак: AB = DC, BK = KC, ∠B = ∠C = 90°) ⇒ AK = DK ⇒ △AKD прямоугольный равнобедренный ⇒ ∠KAD = 45°; ∠BKA = ∠KAD = 45° (накрест, BC ∥ AD) ⇒ △ABK равнобедренный, BK = AB = 7, BC = 14, P = 2(7 + 14) = 42. Ответ: 42.
24) Полное решение на 2 балла: △EBC = △EAD по трём сторонам (EB = EA — E середина; EC = ED — дано; BC = AD — свойство параллелограмма) ⇒ ∠B = ∠A; соседние углы параллелограмма в сумме 180° ⇒ ∠A = 90° ⇒ параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.
На уроке — устное обсуждение плана; запись 24 полностью — в ДЗ по желанию.

R01.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Прямоугольник, $∠ B D A = 2 5^{\circ}$ . Найдите острый угол между диагоналями. $5 0^{\circ}$
Ромб: высота $8$ , острый угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $P$ . $64$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 3 6^{\circ}$ , $CM$ — медиана. Найдите $∠ BCM$ . $5 4^{\circ}$
Параллелограмм, $O A = OB$ , $A B = A D$ . Какая это фигура? квадрат

Вариант 2

Прямоугольник, $∠ C A D = 3 8^{\circ}$ . Найдите острый угол между диагоналями. $7 6^{\circ}$
Ромб: высота $9$ , острый угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $P$ . $72$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ B = 2 8^{\circ}$ , $CM$ — медиана. Найдите $∠ A CM$ . $6 2^{\circ}$
Диагонали равны, перпендикулярны и делятся пополам. Какая это фигура? квадрат

4 мин · практика
Вариант 1: 1) OA = OD ⇒ ∠OAD = 25°, ∠AOD = 130°, острый угол 50°. 2) Сторона 16, P = 64. 3) CM = MB ⇒ ∠BCM = ∠B = 90° − 36° = 54°. 4) OA = OB ⇒ AC = BD ⇒ прямоугольник; AB = AD ⇒ ромб ⇒ квадрат.
Вариант 2: 1) ∠AOD = 180° − 76° = 104°, острый угол 76°. 2) Сторона 18, P = 72. 3) ∠A = 62°, CM = MA ⇒ ∠ACM = 62°. 4) Делятся пополам ⇒ параллелограмм; равны ⇒ прямоугольник; ⊥ ⇒ ромб ⇒ квадрат.
В задании 4 требовать названия признаков. Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3». Взаимопроверка по ответам (по щелчку).

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чему равен угол между высотами ромба из тупого угла?
Какая медиана прямоугольного треугольника равна половине стороны?
Три шага доказательства «это квадрат»?

Домашнее задание

Ромб: высота $11$ , $∠ B = 15 0^{\circ}$ . Найдите $P$ .
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , угол между медианой и высотой из $C$ равен $1 4^{\circ}$ . Найдите острые углы.
* Биссектрисы углов прямоугольника $6 \times 10$ образуют квадрат. Найдите его диагональ.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_pryamougolnik_romb_kvadrat.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) острый угол 30°, сторона 22, P = 88. 2) 90° − 2x = 14° ⇒ x = 38°, углы 38° и 52°. 3) Биссектрисы углов при стороне длины 6 пересекаются на расстоянии 3 от неё (прямоугольный равнобедренный треугольник); две такие вершины квадрата лежат на одной прямой, параллельной стороне 10 ⇒ диагональ 10 − 3 − 3 = 4.
Следующий урок — практикум «Средняя линия треугольника» (GEOM8U-014). Вопрос на дом: какую фигуру образуют середины сторон ромба?

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-013 · Практикум: Прямоугольник, ромб, квадрат, их признаки и свойства

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R01 «Четырехугольники», 22 ч · урок 13/22 · тип П
Единицы → слайды	R01.2 «Прямоугольник, ромб, квадрат, их признаки и свойства» → 2, 4–21 · повторение (GEOM8U-002, 012, 7 класс) → 3
Результаты	ПР-1 (распознавать четырёхугольники, различать признаки и свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника, доказывать и применять) → 4–21
Вне урока	средняя линия — GEOM8U-003, 014; трапеция — GEOM8U-004–007, 015–016; теорема Пифагора — R04 (длины по клеткам не вычисляются); площади — R03
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: прямоугольник, ромб, квадрат, их признаки и свойства

Сегодня вы научитесь

Выбирать нужный факт

Решать задачи на вычисление

Доказывать вид фигуры

Решать задачи ОГЭ

Ромб, прямоугольник, квадрат — за минуту

Что добавляется к параллелограмму

Перпендикуляр к диагонали

Образец: ABCD — прямоугольник, BH⊥AC, ∠HBO=30∘, AB<BC. Найдите ∠ACB.

Сам

Высоты ромба равны

Ромб с углом 30∘

Образец: ABCD — ромб, ∠A=30∘, P=40. Найдите высоту ромба.

Сам

Медиана к гипотенузе равна её половине

Угол между медианой и высотой

Образец: ∠C=90∘, ∠A=35∘. Найдите угол между медианой CM и высотой CH.

Сам: начните с чертежа

Три шага: параллелограмм → особый → квадрат

1. Параллелограмм?

2. Добавить условие

3. Квадрат

Биссектрисы углов параллелограмма образуют прямоугольник

Докажите, что это квадрат

Образец: ABCD — квадрат, AK=BL=CM=DN. Докажите: KLMN — квадрат.

Сам: план и обоснования

Определите вид по клеткам

Образец: A(1;1), B(4;2), C(3;5), D(0;4). Какой это четырёхугольник?

Сам: нарисуйте в тетради

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) ∠C=90∘, CM — медиана, ∠A=30∘. Найдите ∠BMC.

б) AC=BD, AC⊥BD. «Докажем», что ABCD — квадрат.

в) Ромб, ∠ABC=120∘, BD=10. Найдите P.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-013 · Практикум: Прямоугольник, ромб, квадрат, их признаки и свойства

Образец: $A BC D$ — прямоугольник, $B H ⊥ A C$ , $∠ H BO = 3 0^{\circ}$ , $A B < BC$ . Найдите $∠ A CB$ .

Ромб с углом $3 0^{\circ}$

Образец: $A BC D$ — ромб, $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $P = 40$ . Найдите высоту ромба.

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 3 5^{\circ}$ . Найдите угол между медианой $CM$ и высотой $C H$ .

Образец: $A BC D$ — квадрат, $A K = B L = CM = D N$ . Докажите: $K L MN$ — квадрат.

Образец: $A (1; 1)$ , $B (4; 2)$ , $C (3; 5)$ , $D (0; 4)$ . Какой это четырёхугольник?

а) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $CM$ — медиана, $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $∠ BMC$ .

б) $A C = B D$ , $A C ⊥ B D$ . «Докажем», что $A BC D$ — квадрат.

в) Ромб, $∠ A BC = 12 0^{\circ}$ , $B D = 10$ . Найдите $P$ .