Четырёхугольники · урок 12 из 22 · практикум

Практикум: параллелограмм, его признаки и свойства

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM8U-012

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Четырехугольники» (22 ч), урок 12/22, единица R01.1. Тип урока — П (практикум после изучения всей темы «Параллелограмм… центрально-симметричные фигуры», уроки 1–11).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · опорный конспект 2,5 · ключевые конфигурации 2,5 · разбор у доски: доказательство 3 · разбор у доски: ОГЭ 23 двумя способами 3.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2 + 3 + 2 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 2,5 · повышенный 2,5 · ОГЭ 17/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 1,5 · самостоятельная 4 · итог 1.
Новой теории нет: конспект и конфигурации — опора для задач. Нужны циркуль и линейка (образец 5) и тетрадь в клетку (образец 6).
Если не успеваете: задание 3 в образцах 5 и 6 и ОГЭ 24 — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R01.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Применять свойства

углы, стороны, диагонали, высоты — в задачах на вычисление (ПР-1)

Выбирать признак

и доказывать, что четырёхугольник — параллелограмм (ПР-1)

Видеть конфигурации

биссектриса, высоты, прямая через центр симметрии (ПР-1, ПР-4)

Строить и решать ОГЭ

циркулем и линейкой; задачи ОГЭ 17, 19, 23, 24

0,5 мин · теория
ПР-1: «Распознавать основные виды четырехугольников, их элементы, пользоваться их свойствами при решении геометрических задач. Различать признаки и свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника, доказывать их и уверенно применять при решении геометрических задач».
ПР-4: «Распознавать центрально-симметричные фигуры и использовать их свойства при решении задач» — параллелограмм симметричен относительно точки пересечения диагоналей (урок GEOM8U-011).
Виды деятельности ФРП R01: решать задачи с использованием свойств и признаков параллелограмма; использовать цифровые ресурсы для исследования свойств фигур (тренажёр в ДЗ).

повторение: уроки 1 и 11

Разминка · устно

Параллелограмм и центральная симметрия

Какая точка симметрична $A$ относительно $O$ ? $C$
$M \in A B$ , $A M = 2$ . Где лежит $M^{'}$ и чему равно $C M^{'}$ ? на $C D$ , $C M^{'} = 2$
$B D = 18$ . Найдите $O D$ . $9$
$∠ A = 3 8^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ и $∠ C$ . $14 2^{\circ}$ и $3 8^{\circ}$
Стороны $5$ и $8$ . Найдите периметр. $26$
«Если $A O = OC$ и $BO = O D$ , то $A BC D$ — параллелограмм» — признак или свойство? признак
Есть ли у параллелограмма общего вида ось симметрии? нет

R01.1

Опорный конспект

Признаки → параллелограмм → свойства

Признаки: если…

две стороны равны и параллельны
противоположные стороны попарно равны
диагонали делятся точкой пересечения пополам
противоположные углы попарно равны

⟶

параллелограмм

⟶

Свойства: то…

$A B = C D$ , $BC = A D$
$∠ A = ∠ C$ , $∠ B = ∠ D$
$∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$
$A O = OC$ , $BO = O D$
$O$ — центр симметрии

2,5 мин · теория
Повторение уроков 1 и 11 без доказательств — по вопросам классу: «Какой признак нужен, если известны диагонали? А если две стороны?»
Правило практикума: признак — чтобы доказать, что фигура параллелограмм; свойство — чтобы пользоваться этим. В каждой задаче сначала спрашиваем: «Дано, что это параллелограмм, или это надо доказать?»
Признак 4 (по углам) доказан на уроке 1 как задача: 2∠A + 2∠B = 360° ⇒ ∠A + ∠B = 180° ⇒ BC ∥ AD; аналогично AB ∥ CD.
Центр симметрии: при симметрии относительно O вершина A переходит в C, B — в D, сторона AB — в CD (урок 11).

R01.1

Ключевые конфигурации

Четыре факта, которые решают задачи

1. Биссектриса угла

отсекает равнобедренный треугольник: $A B = B K$

2. Соседние углы

биссектрисы перпендикулярны: $∠ A K B = 9 0^{\circ}$

3. Противоположные углы

биссектрисы параллельны: $A K ∥ CM$

4. Прямая через $O$

делится точкой $O$ пополам: $O K = OM$

2,5 мин · теория
1) ∠BAK = ∠KAD (биссектриса) = ∠BKA (накрест лежащие, BC ∥ AD, секущая AK) ⇒ △ABK равнобедренный, AB = BK.
2) ∠A + ∠B = 180° ⇒ ½∠A + ½∠B = 90° ⇒ в △ABK третий угол ∠AKB = 90°.
3) ∠BKA = ∠KAD = ½∠A (накрест лежащие при BC ∥ AD) и ∠BCM = ½∠C = ½∠A ⇒ ∠BKA = ∠BCM — соответственные углы при прямых AK, CM и секущей BC ⇒ AK ∥ CM. Если AB = BC (ромб), биссектрисы совпадают с диагональю AC.
4) Центральная симметрия относительно O переводит прямую BC в AD, точку K — в M ⇒ OK = OM (или △BOK = △DOM по II признаку). Следствие: любая прямая через O делит параллелограмм на две равные части.
Каждый факт будет нужен в образцах 2, 4 и на ОГЭ 23. Записать четыре факта в тетрадь словами.

R01.1

Образец → сам · высота, углы, периметр

Высота отсекает прямоугольный треугольник

Образец: $B H ⊥ A D$ , $A H = 3$ , $HD = 9$ , $∠ A B H = 3 0^{\circ}$ . Найдите углы и $P$ .

$∠ A = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ , $∠ B = 12 0^{\circ}$ $△ A B H$ ; односторонние

$A B = 2 \cdot A H = 6$ катет против угла $3 0^{\circ}$

$P = 2 (6 + 12) = 36$ $A D = 3 + 9$

Сам

$B H ⊥ A D$ , $∠ A B H = 4 0^{\circ}$ . Найдите углы параллелограмма. $5 0^{\circ}$ и $13 0^{\circ}$
$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $A B = 10$ , $A D = 15$ . Найдите высоту $B H$ и $P$ . $B H = 5$ , $P = 50$
Высоты $B H ⊥ A D$ и $B K ⊥ C D$ образуют угол $5 0^{\circ}$ . Найдите углы параллелограмма. $5 0^{\circ}$ и $13 0^{\circ}$

2,5 мин · практика
Образец разбирает учитель по щелчкам (каждый шаг — «почему?»), задания 1–3 ученики решают сами, ответы — по щелчку.
1) В △ABH ∠A = 90° − 40° = 50°; ∠B = 180° − 50° = 130°.
2) В △ABH катет BH лежит против угла 30° ⇒ BH = 10 : 2 = 5; P = 2(10 + 15) = 50.
3) В четырёхугольнике BHDK: ∠H = ∠K = 90°, ∠HBK = 50° ⇒ ∠D = 360° − 90° − 90° − 50° = 130°, ∠A = 50°. Вывод: угол между высотами из вершины тупого угла равен острому углу параллелограмма.
Ошибка: считать, что высота BH делит угол B пополам.

R01.1

Образец → сам · две биссектрисы

Биссектрисы соседних углов

Образец: $A K$ , $D M$ — биссектрисы, $K, M \in BC$ , $A B = 7$ , $A D = 10$ . Найдите $K M$ и угол между $A K$ и $D M$ .

$B K = A B = 7$ , $CM = C D = 7$ факт 1

$BM = 10 - 7 = 3$ , $K M = B K - BM = 4$

угол между биссектрисами $9 0^{\circ}$ факт 2

Сам

Биссектрисы $∠ A$ и $∠ D$ пересекают $BC$ в $K$ и $M$ ; $A B = 4$ , $BC = 11$ . Найдите $K M$ . $3$
То же при $A B = 6$ , $BC = 10$ . $2$
Биссектрисы $∠ A$ и $∠ B$ пересекаются на стороне $C D$ , $P = 36$ . Найдите стороны. $A D = 6$ , $A B = 12$

2,5 мин · практика
Образец: при AB = 7 > BC : 2 = 5 биссектрисы пересекаются внутри параллелограмма, точки K и M «заходят» друг за друга: KM = 7 + 7 − 10 = 4. Попросить проверить по рисунку порядок точек B, M, K, C.
1) BK = 4, CM = 4, точки не перекрываются (4 + 4 < 11): KM = 11 − 8 = 3.
2) BK = CM = 6, 6 + 6 > 10 ⇒ KM = 12 − 10 = 2.
3) Пусть K ∈ CD: △ADK и △BCK равнобедренные ⇒ DK = AD, CK = BC = AD ⇒ AB = CD = 2AD; P = 2(AD + 2AD) = 6AD = 36 ⇒ AD = 6, AB = 12.
Совет: всегда сравнивать 2AB и BC — от этого зависит, какой из двух случаев на чертеже.

R01.1

Образец → сам · периметры треугольников

Диагонали делятся пополам — периметры сравниваем

Образец: $P_{A BC D} = 40$ , $P_{△ BOC} - P_{△ A OB} = 4$ . Найдите стороны.

$(BO + OC + BC) - (A O + BO + A B) = BC - A B$ $OC = A O$

$BC - A B = 4$ , $BC + A B = 20$

$A B = 8$ , $BC = 12$

Сам

$P_{△ A O D} - P_{△ A OB} = 6$ , $P_{A BC D} = 56$ . Найдите стороны. $A B = 11$ , $A D = 17$
$A C + B D = 30$ , $A B = 9$ . Найдите $P_{△ CO D}$ . $24$
$P_{A BC D} = 34$ , $P_{△ A B D} = 27$ . Найдите $B D$ . $10$

R01.1 · R01.11

Разбор у доски · доказательство

Две прямые через центр симметрии

Дано:

A BC D

— параллелограмм,

O = A C \cap B D

; прямые через

O

:

M \in A B

,

N \in C D

;

K \in BC

,

L \in A D

.
Доказать:

M K N L

— параллелограмм.

1

OM = ON

△ A OM = △ CON

:

A O = OC

, вертикальные углы, накрест лежащие при

A B ∥ C D

2

O K = O L

так же

△ BO K = △ D O L

(II признак)

3диагонали

MN

и

K L

четырёхугольника

M K N L

делятся точкой

O

пополам

4

M K N L

— параллелограммпризнак 3

3 мин · теория (учитель доказывает у доски, класс отвечает «почему?»)
Шаг 1 подробно: AO = OC (свойство 2), ∠AOM = ∠CON (вертикальные), ∠MAO = ∠NCO (накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей AC) ⇒ △AOM = △CON по II признаку ⇒ OM = ON.
Короткий путь (углублённый уровень, урок 11): симметрия относительно O переводит прямую AB в CD, значит, точка M прямой MN переходит в точку N ⇒ O — середина MN. Предложить классу оба способа.
Обратить внимание: признак выбираем по тому, что знаем, — здесь известны диагонали, поэтому признак 3.

R01.1

Образец → сам · задача на доказательство

Какой признак выбрать?

Образец: $B K$ , $D M$ — биссектрисы углов $B$ и $D$ , $K \in A D$ , $M \in BC$ . Докажите: $B KD M$ — параллелограмм.

$∠ A B K = \frac{1}{2} ∠ B = \frac{1}{2} ∠ D = ∠ C D M$ свойство углов

$△ A B K = △ C D M$ ⇒ $A K = CM$ II признак: $A B = C D$ , $∠ A = ∠ C$

$KD = BM$ , $KD ∥ BM$ ⇒ признак 1

Сам: план и обоснования

$E \in A B$ , $F \in C D$ , $A E = CF$ . Докажите: $D EBF$ — параллелограмм. $EB = D F$ , $EB ∥ D F$ ⇒ признак 1
$B H ⊥ A C$ , $D P ⊥ A C$ . Докажите: $B HD P$ — параллелограмм. $△ A B H = △ C D P$ ⇒ $B H = D P$ , $B H ∥ D P$
$A BC D$ и $A K CM$ — параллелограммы с общей диагональю $A C$ . Докажите: $B KD M$ — параллелограмм. $O$ — середина $B D$ и $K M$ ⇒ признак 3

3 мин · практика (работа в парах: один пишет план, другой — обоснования)
Образец: KD = AD − AK = BC − CM = BM (AD = BC — свойство 1), KD ∥ BM, так как AD ∥ BC ⇒ признак 1. Можно и по факту 3: BK ∥ DM (биссектрисы противоположных углов) ⇒ BKDM — параллелограмм по определению.
1) EB = AB − AE = CD − CF = DF; EB ∥ DF (лежат на AB ∥ CD) ⇒ признак 1.
2) △ABH = △CDP по гипотенузе и острому углу: AB = CD, ∠BAH = ∠DCP (накрест лежащие при AB ∥ CD, секущая AC) ⇒ BH = DP; BH ∥ DP (два перпендикуляра к одной прямой) ⇒ признак 1.
3) Диагонали параллелограмма ABCD делятся точкой O — серединой AC — пополам: O — середина BD; так же у AKCM: O — середина KM. У четырёхугольника BKDM диагонали BD и KM делятся точкой O пополам ⇒ признак 3.

R01.1

Образец → сам · построение циркулем и линейкой

Постройте параллелограмм

Образец: по диагоналям $d_{1}$ , $d_{2}$ и углу $α$ между ними.

угол $α$ с вершиной $O$ ; стороны продлить за $O$

$O A = OC = \frac{d _{1}}{2}$ , $OB = O D = \frac{d _{2}}{2}$ циркулем

$A BC D$ — параллелограмм признак 3

Сам: опишите построение

По сторонам $a$ , $b$ и диагонали $d$ . $△ A B D$ по трём сторонам, $C$ — засечками (признак 2)
По стороне $a$ и диагоналям $d_{1}$ , $d_{2}$ . $△ A OB$ : $a$ , $\frac{d _{1}}{2}$ , $\frac{d _{2}}{2}$ ; продлить $A O$ , $BO$
Когда задача 2 не имеет решения? если $a \geq \frac{d _{1} + d _{2}}{2}$ или $a \leq \frac{∣ d _{1} - d _{2} ∣}{2}$

2 мин · практика (у учеников циркуль и линейка)
Образец: середину отрезка d₁ находим серединным перпендикуляром (7 класс) и откладываем половину циркулем от O в обе стороны; так же d₂. Обоснование — признак 3: диагонали делятся точкой пересечения пополам.
1) Строим △ABD по трём сторонам AB = a, AD = b, BD = d; из B — дуга радиуса b, из D — дуга радиуса a, их пересечение по другую сторону от BD — точка C. BC = AD, CD = AB ⇒ признак 2.
2) △AOB по трём сторонам a, d₁/2, d₂/2; на продолжениях AO и BO за точку O откладываем OC = AO, OD = BO ⇒ признак 3.
3) Треугольник AOB существует, только если |d₁ − d₂|/2 < a < (d₁ + d₂)/2 (неравенство треугольника); иначе решения нет.

R01.1 · R01.11

Образец → сам · клетчатая бумага

Центр симметрии и четвёртая вершина

Образец: $A (1; 1)$ , $B (3; 5)$ , $C (9; 5)$ — вершины параллелограмма $A BC D$ . Найдите $O$ и $D$ .

$O$ — середина $A C$ : $O (5; 3)$ свойство 2

$D$ симметрична $B$ относительно $O$ : $D (7; 1)$

Сам: нарисуйте в тетради

$A (0; 0)$ , $B (1; 4)$ , $C (7; 4)$ . Найдите $O$ и $D$ . $O (3, 5; 2)$ , $D (6; 0)$
$A (2; 1)$ , $B (3; 5)$ , $C (8; 5)$ . Найдите $D$ . $D (7; 1)$
$A (0; 0)$ , $B (2; 3)$ , $C (7; 4)$ , $D (5; 1)$ . Параллелограмм ли $A BC D$ ? да: середины $A C$ и $B D$ совпадают

R01.1 · ОГЭ

Разбор у доски · ОГЭ 23 двумя способами

Биссектриса и продолжение стороны

Биссектриса

∠ A

пересекает

BC

в точке

K

, а продолжение

D C

— в точке

F

;

A B = 6

,

A D = 10

. Найдите

C K

и

CF

.

1

B K = A B = 6

,

C K = 4

факт 1:

△ A B K

равнобедренный

2

∠ C K F = ∠ B K A = ∠ B A K = ∠ CF K

вертикальные; накрест лежащие при

A B ∥ D F

3

△ K CF

равнобедренный:

CF = C K = 4

2′Иначе:

△ A D F

равнобедренный,

D F = A D = 10

,

CF = 10 - 6 = 4

∠ D F A = ∠ B A F = ∠ F A D

3 мин · теория (учитель решает, ученики подсказывают обоснования)
Способ 1: ∠BAK = ∠KAD (биссектриса) = ∠BKA (накрест лежащие при BC ∥ AD) ⇒ BK = AB = 6, CK = 10 − 6 = 4. ∠CKF = ∠BKA (вертикальные), ∠CFK = ∠BAK (накрест лежащие при AB ∥ DF, секущая AF) ⇒ ∠CKF = ∠CFK ⇒ CF = CK = 4.
Способ 2: ∠DFA = ∠BAF (накрест) = ∠FAD ⇒ △ADF равнобедренный: DF = AD = 10, CF = DF − DC = 10 − 6 = 4. Два способа дают одно число — самопроверка.
Оформление на ОГЭ 23: каждое равенство углов — с названием (биссектриса, накрест лежащие, вертикальные). Ответ: CK = 4, CF = 4.

R01.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
«Биссектриса $∠ A$ делит $BC$ пополам»	она отсекает равнобедренный треугольник, а не середину	$B K = A B$
«Угол между высотами из вершины $B$ равен $∠ B$ »	в четырёхугольнике $B HDK$ два прямых угла	$∠ H B K = 18 0^{\circ} - ∠ B = ∠ A$
$P_{△ A OB} = A B + A C + B D$	$O$ делит диагонали пополам	$P_{△ A OB} = A B + \frac{A C + B D}{2}$
«Есть центр симметрии — есть и ось»	у параллелограмма общего вида осей нет	центр — $O$ ; оси — у ромба и прямоугольника

R01.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Биссектрисы $∠ A$ и $∠ D$ пересекают $BC$ в $K$ и $M$ , $A B = 5$ , $BC = 8$ . Найдите $K M$ .

$B K = CM = 5$ , $K M = 8 - 5 - 5 = - 2$ — решения нет

биссектрисы пересекаются внутри: $K M = 5 + 5 - 8 = 2$

б) $A C = 10$ , $B D = 16$ , $A B = 7$ . Найдите $P_{△ A OB}$ .

$P = 10 + 16 + 7 = 33$

$A O = 5$ , $BO = 8$ , $P = 5 + 8 + 7 = 20$

в) В четырёхугольнике $A BC D$ известно: $A O = OC$ . Найдите $∠ C$ , если $∠ A = 7 0^{\circ}$ .

Диагонали делятся пополам ⇒ параллелограмм ⇒ $∠ C = 7 0^{\circ}$

про $BO = O D$ ничего не известно — признак 3 неприменим, $∠ C$ найти нельзя

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Ученик не учёл второй случай: 2AB = 10 > BC = 8, отрезки BK и CM перекрываются, M лежит между B и K: KM = BK + CM − BC = 2.
б) В периметр △AOB входят половины диагоналей: AO = 5, BO = 8 ⇒ P = 20.
в) Признак 3 требует, чтобы пополам делились обе диагонали. Контрпример: A(−2; 0), B(1; 2), C(2; 0), D(−2; −4): O(0; 0) — середина AC, но BO ≠ OD, и ∠A ≈ 124°, ∠C ≈ 108°. Ошибка «признак без всех условий».

R01.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $∠ A - ∠ B = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $11 5^{\circ}$
базаВ $△ A B D$ : $∠ A B D = 7 0^{\circ}$ , $∠ A D B = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ BC D$ . $7 0^{\circ}$
базаБиссектриса $∠ A$ : $B K = 4$ , $K C = 6$ . Найдите $P$ . $28$

база $A C = 20$ , $B D = 12$ , $A D = 15$ . Найдите $P_{△ BOC}$ . $31$
база $P = 46$ , одна сторона на $7$ больше другой. Найдите стороны. $8$ и $15$
база $A (1; 2)$ , $B (4; 6)$ , $C (9; 6)$ . Найдите $D$ . $D (6; 2)$

R01.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Угол между высотами, проведёнными из вершины тупого угла, равен $3 6^{\circ}$ . Найдите больший угол параллелограмма. $14 4^{\circ}$
повыш.Биссектриса тупого угла $B$ делит $A D$ в отношении $A K : KD = 2 : 1$ , $P = 40$ . Найдите стороны. $8$ и $12$
повыш. $B D ⊥ A D$ , $A B = 12$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $6$
из жизниКак рулеткой проверить, что рама с четырьмя сторонами — параллелограмм? противоположные стороны попарно равны (признак 2)

2,5 мин · практика
1) Угол между высотами из вершины тупого угла равен острому углу параллелограмма: 36°; больший угол 180° − 36° = 144°.
2) △ABK равнобедренный (∠ABK = ∠KBC = ∠AKB): AB = AK = 2x, AD = 3x; P = 2(2x + 3x) = 10x = 40, x = 4: AB = 8, AD = 12.
3) △ABD прямоугольный (∠D = 90°), ∠ABD = 30° ⇒ AD = AB : 2 = 6 (катет против 30°), BC = AD = 6.
4) Измерить две пары противоположных сторон: равны попарно ⇒ параллелограмм (признак 2). Другой способ — найти середины диагоналей (натянуть два шнура): если середины совпадают — признак 3. Одна пара равных сторон недостаточна.

R01.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 17Два угла параллелограмма относятся как $3 : 7$ . Найдите больший угол. $126$
ОГЭ 17Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы $3 0^{\circ}$ и $4 5^{\circ}$ . Найдите больший угол. $105$
ОГЭ 17Периметр параллелограмма $46$ , одна сторона на $3$ меньше другой. Найдите бо́льшую сторону. $13$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Четырёхугольник с двумя параллельными сторонами — параллелограмм.
Параллелограмм имеет центр симметрии.
Биссектриса угла параллелограмма делит противоположную сторону пополам.

Ответ: 13

R01.1 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Биссектрисы углов $A$ и $D$ параллелограмма $A BC D$ пересекаются в точке $K$ , лежащей на стороне $BC$ . Найдите $BC$ , если $A B = 13$ .

$B K = A B = 13$ , $C K = C D = 13$ факт 1 дважды

$BC = 26$

ОГЭ 24 На диагонали $B D$ параллелограмма $A BC D$ отмечены точки $E$ и $F$ , $BE = D F$ . Докажите, что $A E = CF$ .

$A B = C D$ , $BE = D F$ , $∠ A BE = ∠ C D F$ (накрест, $A B ∥ C D$ )

$△ A BE = △ C D F$ (I) ⇒ $A E = CF$

R01.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$∠ A = 6 4^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ и $∠ C$ . $11 6^{\circ}$ , $6 4^{\circ}$
Биссектрисы $∠ A$ и $∠ D$ пересекают $BC$ в $K$ и $M$ ; $A B = 6$ , $BC = 15$ . Найдите $K M$ . $3$
$P = 50$ , $P_{△ BOC} - P_{△ A OB} = 5$ . Найдите стороны. $10$ и $15$
Высоты из вершины тупого угла образуют угол $4 0^{\circ}$ . Найдите углы. $4 0^{\circ}$ и $14 0^{\circ}$

Вариант 2

$∠ B = 10 3^{\circ}$ . Найдите $∠ A$ и $∠ D$ . $7 7^{\circ}$ , $10 3^{\circ}$
Биссектрисы $∠ A$ и $∠ D$ пересекают $BC$ в $K$ и $M$ ; $A B = 5$ , $BC = 8$ . Найдите $K M$ . $2$
$P = 44$ , $P_{△ A O D} - P_{△ A OB} = 4$ . Найдите стороны. $9$ и $13$
Высоты из вершины тупого угла образуют угол $5 5^{\circ}$ . Найдите углы. $5 5^{\circ}$ и $12 5^{\circ}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как выбрать признак параллелограмма в задаче?
Чему равен угол между высотами из вершины тупого угла?
Какой факт помогает в задачах с биссектрисой?

Домашнее задание

Биссектрисы $∠ A$ и $∠ D$ : $A B = 9$ , $BC = 14$ . Найдите $K M$ .
$P = 60$ , $P_{△ A O D} - P_{△ CO D} = 6$ . Найдите стороны.
* Докажите: биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_parallelogramm_i_trapeciya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-012 · Практикум: параллелограмм, его признаки и свойства

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R01 «Четырехугольники», 22 ч · урок 12/22 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R01.1 «Параллелограмм, его признаки и свойства» → 2, 4–21 · повторение R01.1 и R01.11 «Центрально-симметричные фигуры» → 3, 9, 12
Результаты	ПР-1 (свойства и признаки параллелограмма, доказательство и применение) → 4–21 · ПР-4 (центрально-симметричные фигуры) → 3, 5, 9, 12
Вне урока	прямоугольник, ромб, квадрат — практикум GEOM8U-013; площадь параллелограмма — R03
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: параллелограмм, его признаки и свойства

Сегодня вы научитесь

Применять свойства

Выбирать признак

Видеть конфигурации

Строить и решать ОГЭ

Параллелограмм и центральная симметрия

Признаки → параллелограмм → свойства

Признаки: если…

Свойства: то…

Четыре факта, которые решают задачи

1. Биссектриса угла

2. Соседние углы

3. Противоположные углы

4. Прямая через O

Высота отсекает прямоугольный треугольник

Образец: BH⊥AD, AH=3, HD=9, ∠ABH=30∘. Найдите углы и P.

Сам

Биссектрисы соседних углов

Образец: AK, DM — биссектрисы, K,M∈BC, AB=7, AD=10. Найдите KM и угол между AK и DM.

Сам

Диагонали делятся пополам — периметры сравниваем

Образец: PABCD​=40, P△BOC​−P△AOB​=4. Найдите стороны.

Сам

Две прямые через центр симметрии

Какой признак выбрать?

Образец: BK, DM — биссектрисы углов B и D, K∈AD, M∈BC. Докажите: BKDM — параллелограмм.

Сам: план и обоснования

Постройте параллелограмм

Образец: по диагоналям d1​, d2​ и углу α между ними.

Сам: опишите построение

Центр симметрии и четвёртая вершина

Образец: A(1;1), B(3;5), C(9;5) — вершины параллелограмма ABCD. Найдите O и D.

Сам: нарисуйте в тетради

Биссектриса и продолжение стороны

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Биссектрисы ∠A и ∠D пересекают BC в K и M, AB=5, BC=8. Найдите KM.

б) AC=10, BD=16, AB=7. Найдите P△AOB​.

в) В четырёхугольнике ABCD известно: AO=OC. Найдите ∠C, если ∠A=70∘.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-012 · Практикум: параллелограмм, его признаки и свойства

4. Прямая через $O$

Образец: $B H ⊥ A D$ , $A H = 3$ , $HD = 9$ , $∠ A B H = 3 0^{\circ}$ . Найдите углы и $P$ .

Образец: $A K$ , $D M$ — биссектрисы, $K, M \in BC$ , $A B = 7$ , $A D = 10$ . Найдите $K M$ и угол между $A K$ и $D M$ .

Образец: $P_{A BC D} = 40$ , $P_{△ BOC} - P_{△ A OB} = 4$ . Найдите стороны.

Образец: $B K$ , $D M$ — биссектрисы углов $B$ и $D$ , $K \in A D$ , $M \in BC$ . Докажите: $B KD M$ — параллелограмм.

Образец: по диагоналям $d_{1}$ , $d_{2}$ и углу $α$ между ними.

Образец: $A (1; 1)$ , $B (3; 5)$ , $C (9; 5)$ — вершины параллелограмма $A BC D$ . Найдите $O$ и $D$ .

а) Биссектрисы $∠ A$ и $∠ D$ пересекают $BC$ в $K$ и $M$ , $A B = 5$ , $BC = 8$ . Найдите $K M$ .

б) $A C = 10$ , $B D = 16$ , $A B = 7$ . Найдите $P_{△ A OB}$ .

в) В четырёхугольнике $A BC D$ известно: $A O = OC$ . Найдите $∠ C$ , если $∠ A = 7 0^{\circ}$ .