Четырёхугольники · урок 11 из 22

Центрально-симметричные фигуры

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM8U-011

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Четырехугольники» (22 ч), урок 11/22, единица R01.11. Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · симметричные точки 1,5 · центрально-симметричная фигура 1,5 · теорема о сохранении расстояний 2,5 · центр параллелограмма 2,5 · обратная теорема 1,5 · сводка 2.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 17/18/19 — 2 · ОГЭ 24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец «построение циркулем и линейкой» и ОГЭ 24 — в ДЗ; доказательства теорем не сокращать.

R01.11

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить симметричные точки

и фигуры относительно точки — на чертеже и по координатам (ПР-4)

Распознавать фигуры

с центром симметрии и находить этот центр (ПР-4)

Доказывать свойства

центральной симметрии и то, что центр параллелограмма — точка пересечения диагоналей (ПР-1)

Решать задачи

на вычисление, доказательство и построение, в том числе ОГЭ 19 и 24

повторение: R01.1, R01.10

Разминка · устно

Середина отрезка и параллелограмм

$A (2; 4)$ , $B (6; 0)$ . Найдите середину $A B$ . $(4; 2)$
$M$ — середина $A B$ , $A M = 5$ . Найдите $A B$ . $10$
Диагонали параллелограмма пересекаются в $O$ , $A O = 6$ . Найдите $A C$ . $12$
Признак параллелограмма через диагонали? диагонали делятся точкой пересечения пополам

Как связаны вертикальные углы? они равны
Сколько осей симметрии у квадрата? $4$
В каком отношении медианы делятся точкой пересечения? $2 : 1$ от вершины

2 мин · практика
Ответы: 1) ((2 + 6)/2; (4 + 0)/2) = (4; 2). 2) AB = 2 · 5 = 10. 3) AC = 2 · 6 = 12 (свойство диагоналей). 4) Если диагонали четырёхугольника в точке пересечения делятся пополам, это параллелограмм. 5) Равны. 6) Четыре оси. 7) 2 : 1, считая от вершины (урок GEOM8U-010).
Сегодня середина отрезка — главный инструмент: центр симметрии — середина отрезка между симметричными точками. Повторяем осевую симметрию (вопрос 6), чтобы потом не путать два вида симметрии.

R01.11

Определение · симметрия относительно точки

Точки, симметричные относительно точки $O$

Точки

A

и

A^{'}

симметричны относительно точки $O$ , если

O

— середина отрезка

A A^{'}

. Точка

O

симметрична сама себе.

Построение: луч $A O$ , на нём $O A^{'} = O A$ .

Это поворот на $18 0^{\circ}$ вокруг $O$ .

A^{'} (2 a - x; 2 b - y)

A (x; y)

, центр

O (a; b)

:

O

— середина

A A^{'}

R01.11

Образец → сам · строим на клетчатой бумаге

Треугольник, симметричный относительно точки

Образец: $A (1; 4)$ , $B (3; 5)$ , $C (2; 2)$ , $O (4; 3)$ . Постройте $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

$A^{'} (2 \cdot 4 - 1; 2 \cdot 3 - 4) = (7; 2)$ $O$ — середина $A A^{'}$

$B^{'} (5; 1)$ , $C^{'} (6; 4)$ так же

Сам

$A (3; - 2)$ . Точка, симметричная $A$ относительно начала координат? $(- 3; 2)$
$O (2; 1)$ , $B (- 1; 4)$ . Найдите $B^{'}$ . $B^{'} (5; - 2)$
$A (1; 3)$ и $A^{'} (7; - 1)$ симметричны относительно $O$ . Найдите $O$ . $O (4; 1)$

R01.11

Определение · центр симметрии фигуры

Центрально-симметричная фигура

Фигура центрально-симметрична, если для каждой её точки симметричная ей точка относительно

O

тоже принадлежит фигуре.

O

— центр симметрии.

Иначе: при повороте на $18 0^{\circ}$ вокруг $O$ фигура переходит в себя.

У прямой центров бесконечно много: любая её точка.

1,5 мин · теория
По галерее: отрезок — центр в середине; окружность — в центре; параллелограмм — точка пересечения диагоналей (докажем через 2 слайда); правильный шестиугольник — центр. Треугольник и трапеция (не параллелограмм) центра не имеют.
Вопрос: почему у треугольника нет центра? (Поворот на 180° переводит вершину в точку, которая не является вершиной: у треугольника нечётное число вершин, их нельзя разбить на пары.)
Проверка «на глаз»: поверните тетрадь на 180° — фигура выглядит так же. Это наводящий приём, а не доказательство.

R01.11

Образец → сам · ищем центр симметрии

Где центр и сколько их?

Образец: фигура — две равные окружности с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ (не пересекаются). Найдите центр симметрии.

$O$ — середина $O_{1} O_{2}$ : $O_{1} \mapsto O_{2}$ определение

окружность $(O_{1}, r) \mapsto (O_{2}, r)$ расстояния сохраняются

Сам

Фигура — две параллельные прямые. Сколько центров? бесконечно много: все точки средней прямой
Квадрат и вписанная в него окружность. Сколько центров? один — центр квадрата
Две окружности радиусов $2$ и $3$ с разными центрами. Есть ли центр? нет

2,5 мин · практика
Образец: при симметрии относительно середины O₁O₂ точка O₁ переходит в O₂, а каждая точка первой окружности (на расстоянии r от O₁) — в точку на расстоянии r от O₂, то есть на вторую окружность (и наоборот). Обоснование «расстояния сохраняются» — теорема следующего слайда.
1) Любая точка прямой, равноудалённой от двух данных, — центр симметрии полосы. 2) Центр квадрата совпадает с центром вписанной окружности — один центр. 3) Окружность радиуса 2 может перейти только сама в себя (другая окружность — радиуса 3), значит центр — её центр; то же для второй; центры разные ⇒ центра нет.

R01.11

Свойство · доказательство

Центральная симметрия сохраняет расстояния

Дано:

A \mapsto A^{'}

,

B \mapsto B^{'}

при симметрии относительно

O

.
Доказать:

A^{'} B^{'} = A B

и

A^{'} B^{'} ∥ A B

.

1

O A = O A^{'}

,

OB = O B^{'}

определение симметричных точек

2

∠ A OB = ∠ A^{'} O B^{'}

вертикальные

3

△ A OB

=

△ A^{'} O B^{'}

\Rightarrow A B = A^{'} B^{'}

I признак: две стороны и угол между ними

4

∠ O A B = ∠ O A^{'} B^{'}

\Rightarrow

A B ∥ A^{'} B^{'}

накрест лежащие при секущей

A A^{'}

2,5 мин · теория
Каждый шаг — вопрос «почему?». Цвета записи совпадают с цветами на чертеже: красные/синие чёрточки — равные отрезки, жёлтые дуги — вертикальные углы, бирюзовые двойные дуги — накрест лежащие углы (щелчок), розовые стрелки — параллельность (щелчок).
Следствия (сказать устно): центральная симметрия переводит отрезок в равный отрезок, прямую — в параллельную прямую (или в себя, если прямая проходит через O), угол — в равный угол, треугольник — в равный треугольник. Такое преобразование называют движением.
Если O лежит на прямой AB, треугольника нет: тогда AB = A′B′ проверяется сложением/вычитанием отрезков на прямой (разобрать с сильными).

R01.11 · R01.1

Теорема · доказательство

Параллелограмм центрально-симметричен

Дано:

A BC D

— параллелограмм,

O = A C \cap B D

,

X \in A B

.
Доказать: точка

Y

, симметричная

X

, лежит на

C D

.

1Прямая

XO

пересекает

C D

в

Y

;

A O = OC

свойство диагоналей параллелограмма

2

∠ A OX = ∠ CO Y

,

∠ X A O = ∠ Y CO

вертикальные; накрест лежащие,

A B ∥ C D

3

△ A OX

=

△ CO Y

\Rightarrow

OX = O Y

II признак

4

Y

симметрична

X

; так для всех сторон

\Rightarrow

O

— центропределение центра симметрии

2,5 мин · теория
Формулировка: точка пересечения диагоналей параллелограмма — его центр симметрии. Для точек сторон BC и AD рассуждение такое же (диагональ BD). Внутренняя точка Z: прямая ZO пересекает контур в двух точках, симметричных друг другу (по доказанному), отрезок между ними переходит в себя, значит и образ Z лежит в фигуре.
Следствие: ромб, прямоугольник и квадрат — тоже центрально-симметричны (это параллелограммы).
Ошибка: «O — центр, потому что на рисунке половинки одинаковые». Требуем ссылку на признак равенства треугольников.

R01.11

Образец → сам · свойство на готовом чертеже

Прямая через центр параллелограмма

Образец: прямая через $O$ пересекает $BC$ в $M$ , $A D$ в $N$ ; $BM = 3$ , $MC = 8$ . Найдите $D N$ и $A N$ .

$B \mapsto D$ , $C \mapsto A$ , $M \mapsto N$ симметрия относительно $O$

$D N = BM = 3$ , $A N = CM = 8$ расстояния сохраняются

Сам

$BM : MC = 2 : 5$ , $A D = 21$ . Найдите $A N$ . $15$
$OM = 4, 5$ . Найдите $MN$ . $9$
$S_{A BC D} = 60$ . Найдите площадь $A BMN$ . $30$

R01.11 · R01.1

Образец → сам · задача на доказательство

Центр симметрии в доказательстве

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, прямая через $O$ пересекает $A B$ в $M$ , $C D$ в $N$ . Докажите: $A MCN$ — параллелограмм.

$OM = ON$ $N$ симметрична $M$ (теорема)

$O A = OC$ свойство диагоналей

диагонали $A C$ и $MN$ делятся пополам ⇒ признак 3

Сам: составьте план

Докажите: $BM D N$ — параллелограмм. $OB = O D$ , $OM = ON$ ⇒ признак 3
$E, F \in A C$ , $A E = CF$ . Докажите: $BE = D F$ . $E \mapsto F$ , $B \mapsto D$ ⇒ $BE = D F$
$K$ , $L$ — середины $A B$ и $C D$ . Докажите: $O$ — середина $K L$ . $A B \mapsto C D$ ⇒ $K \mapsto L$

3 мин · практика
Образец: ON = OM, потому что N — точка CD, симметричная M (доказано в теореме: прямая через O пересекает противоположную сторону в симметричной точке). Дальше признак 3 параллелограмма.
1) Диагонали BD и MN четырёхугольника BMDN делятся точкой O пополам ⇒ параллелограмм.
2) OE = OA − AE = OC − CF = OF ⇒ E и F симметричны относительно O; B и D симметричны ⇒ отрезок BE переходит в DF ⇒ BE = DF (теорема о сохранении расстояний). Можно и через равенство △BOE = △DOF.
3) Симметрия переводит отрезок AB в отрезок CD (A ↦ C, B ↦ D), а середину — в середину (AK = KB ⇒ CK′ = K′D) ⇒ K ↦ L ⇒ O — середина KL.

R01.11 · углублённый

Обратная теорема · доказательство

Четырёхугольник с центром симметрии — параллелограмм

Дано: выпуклый

A BC D

имеет центр симметрии

O

.
Доказать:

A BC D

— параллелограмм.

1Вершина переходит в вершинуфигура переходит в себя, углы сохраняются

2

A \neq \mapsto B

иначе

O

— середина стороны

A B

и образ лежит по другую сторону от

A B

3

A \mapsto C

,

B \mapsto D

:

O A = OC

,

OB = O D

определение симметричных точек

4

A BC D

— параллелограммпризнак 3: диагонали делятся пополам

R01.11

Схема-конспект

Фигура → центр симметрии

Фигура	Центр симметрии	Сколько
отрезок	середина	1
окружность, круг	центр окружности	1
параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат	точка пересечения диагоналей	1
правильный $n$ -угольник	центр, если $n$ чётное	1 или 0
прямая; две параллельные прямые	любая точка прямой; средней прямой	бесконечно много
треугольник, трапеция	нет	0

Центральная симметрия = поворот на

18 0^{\circ}

: сохраняет длины и углы, прямую переводит в параллельную.

R01.11 · углублённый

Образец → сам · построение циркулем и линейкой

Отрезок с серединой в данной точке

Образец: внутри угла $ab$ дана точка $O$ . Постройте отрезок $X Y$ , $X \in a$ , $Y \in b$ , с серединой $O$ .

строим $a^{'}$ , симметричную $a$ относительно $O$ $a^{'} ∥ a$

$Y = a^{'} \cap b$ , $X$ симметрична $Y$ $X \in a$ , $OX = O Y$

Сам: опишите построение

Даны точки $A$ , $B$ , $O$ . Постройте параллелограмм с вершинами $A$ , $B$ и центром $O$ . $C$ , $D$ — симметричные $A$ , $B$
Даны прямая $l$ , окружность $ω$ и точка $O$ . Постройте отрезок с концами на $l$ и $ω$ и серединой $O$ . $ω^{'} \cap l$ ; решений 0, 1 или 2

2 мин · практика
Образец: прямую a′ строим по двум точкам — образам двух точек прямой a (например, вершины угла V и любой точки a); каждая — циркулем: луч через O и отложить равный отрезок. Y — точка пересечения a′ с b; X — образ Y, лежит на a (Y ∈ a′ ⇒ её образ ∈ a). O — середина XY по построению.
1) C — симметрична A, D — симметрична B относительно O; ABCD — параллелограмм (диагонали делятся пополам). 2) Строим окружность ω′, симметричную ω (её центр — образ центра ω, радиус тот же); общие точки ω′ и l — концы искомых отрезков; столько же решений, сколько общих точек: 0, 1 или 2.
Метод — «симметрия переносит одну линию к другой»; пригодится в задачах ОГЭ 25.

R01.11

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
«У равностороннего треугольника есть центр симметрии»	поворот на $18 0^{\circ}$ переводит вершину не в вершину	центра нет; фигура переходит в себя при повороте на $12 0^{\circ}$
$O (2; 1)$ , $A (5; 3)$ ⇒ $A^{'} (- 5; - 3)$	это симметрия относительно начала координат	$A^{'} (2 \cdot 2 - 5; 2 \cdot 1 - 3) = (- 1; - 1)$
«Есть ось симметрии — значит, есть и центр»	это разные виды симметрии	у равнобедренной трапеции ось есть, центра нет

R01.11

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A (- 2; 5)$ и $A^{'} (4; 1)$ симметричны относительно $O$ . Найдите $O$ .

$O (\frac{4 - ( - 2 )}{2}; \frac{5 - 1}{2}) = (3; 2)$

середина — полусумма: $O (\frac{- 2 + 4}{2}; \frac{5 + 1}{2}) = (1; 3)$

б) Прямая через $O$ пересекает $BC$ в $M$ , $A D$ в $N$ . Докажите: $BM = D N$ .

$BO = O D$ , $∠ BOM = ∠ D ON$ (вертикальные) ⇒ $△ BOM = △ D ON$ по I признаку

I признак требует двух сторон; добавить $∠ MBO = ∠ N D O$ (накрест) ⇒ II признак

в) «Правильный пятиугольник имеет центр симметрии — точку пересечения его осей».

Повернём на $18 0^{\circ}$ — получим тот же пятиугольник.

вершина переходит в середину стороны: $n = 5$ нечётно, центра нет

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Перепутал середину с половиной разности. Верно O(1; 3); проверка: A′ = (2 · 1 + 2; 2 · 3 − 5) = (4; 1) ✓.
б) Равенство двух элементов (BO = OD и угол) не даёт признака; нужен ещё угол: ∠MBO = ∠NDO — накрест лежащие при BC ∥ AD и секущей BD. Тогда △BOM = △DON по II признаку ⇒ BM = DN. Другое решение — сразу симметрией (слайд 10).
в) «На вид» — не доказательство. Правильный пятиугольник переходит в себя при повороте на 72°, а при повороте на 180° вершина попадает на середину противоположной стороны.

R01.11

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $A (3; - 5)$ . Симметричная точка относительно начала координат? $(- 3; 5)$
база $O (1; 2)$ , $A (4; 7)$ . Найдите $A^{'}$ . $(- 2; - 3)$
база $A \mapsto A^{'}$ , $A A^{'} = 18$ . Найдите $O A$ . $9$

база $A (- 1; 4)$ и $A^{'} (5; - 2)$ симметричны относительно $O$ . Найдите $O$ . $(2; 1)$
базаСколько центров симметрии у прямой? бесконечно много
база $∠ A BC = 4 0^{\circ}$ при симметрии переходит в $∠ A^{'} B^{'} C^{'}$ . Найдите его. $4 0^{\circ}$

R01.11

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A (1; 2)$ , $B (5; 4)$ , $C (7; - 2)$ — вершины параллелограмма $A BC D$ . Найдите $D$ через центр симметрии. $D (3; - 4)$
повыш. $S_{A BC D} = 72$ , прямая через $O$ пересекает $BC$ в $M$ , $A D$ в $N$ . Найдите $S_{A BMN}$ . $36$
повыш.Правильный $n$ -угольник имеет центр симметрии. Чётно ли $n$ ? Объясните. да: вершины разбиваются на пары
из жизниКолесо с $5$ спицами центрально-симметрично? А с $6$ ? с $5$ — нет, с $6$ — да

2,5 мин · практика
1) O — середина AC: (4; 0); D симметрична B: (8 − 5; 0 − 4) = (3; −4). Проверка: AB = (4; 2), DC = (7 − 3; −2 + 4) = (4; 2) ✓.
2) ABMN ↦ CDNM, площади равны: 72 : 2 = 36.
3) Симметрия переводит вершину в вершину, и ни одна вершина не переходит в себя (в себя переходит только O) ⇒ вершины разбиты на пары ⇒ n чётно.
4) Спица переходит в спицу, направленную противоположно; при 5 спицах (через 72°) противоположной нет, при 6 (через 60°) — есть. Так же у снежинок (6 лучей), игральных карт, логотипов.

R01.11 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17, 18 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 17Прямая через точку пересечения диагоналей параллелограмма $A BC D$ пересекает $BC$ в $M$ , $A D$ в $N$ ; $BM = 4$ , $MC = 9$ . Найдите $A N$ . $9$
ОГЭ 18Клетка $1 \times 1$ . Точка $A^{'}$ симметрична $A$ относительно $O$ . Найдите $A A^{'}$ . $10$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Любой параллелограмм имеет центр симметрии.
Центр симметрии отрезка — любая его точка.
Равнобедренная трапеция имеет центр симметрии.
Окружность имеет центр симметрии.

Ответ: 14

R01.11 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линия 24

Вторая часть: доказательство

ОГЭ 24 Точки $E$ и $F$ лежат на сторонах $A B$ и $C D$ параллелограмма $A BC D$ , $A E = CF$ . Докажите, что отрезок $EF$ проходит через точку пересечения диагоналей.

1

A E ∥ CF

,

A E = CF

A B ∥ C D

, условие

2

A ECF

— параллелограммпризнак 1

3его диагонали

A C

и

EF

делятся пополамсвойство диагоналей

4середина

EF

= середина

A C

=

O

O

— середина

A C

в

A BC D

R01.11

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Точка, симметричная $A (2; - 3)$ относительно начала координат? $(- 2; 3)$
$O (2; - 1)$ , $A (5; 1)$ . Найдите $A^{'}$ . $(- 1; - 3)$
Имеет ли центр симметрии правильный восьмиугольник? да
Прямая через $O$ параллелограмма: $M \in BC$ , $N \in A D$ , $BM = 2$ , $MC = 7$ . Найдите $A N$ . $7$

Вариант 2

Точка, симметричная $A (- 4; 1)$ относительно начала координат? $(4; - 1)$
$O (- 1; 3)$ , $A (2; 4)$ . Найдите $A^{'}$ . $(- 4; 2)$
Имеет ли центр симметрии правильный пятиугольник? нет
Прямая через $O$ параллелограмма: $M \in BC$ , $N \in A D$ , $BM = 5$ , $MC = 3$ . Найдите $A N$ . $3$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда точки $A$ и $A^{'}$ симметричны относительно $O$ ?
Где центр симметрии параллелограмма и почему?
Какие четырёхугольники имеют центр симметрии?

Домашнее задание

$A (- 3; 2)$ , $O (1; - 1)$ . Найдите $A^{'}$ .
Какие из букв А, Ж, И, К, Н, О, Ф, Х, Ш центрально-симметричны?
* Постройте отрезок с серединой $O$ и концами на двух данных окружностях.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_parallelogramm_i_trapeciya.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) A′(2 + 3; −2 − 2) = (5; −4). 2) Ж, И, Н, О, Ф, Х (А, К, Ш — только осевая симметрия или никакой). 3) Отразить одну окружность относительно O; точки её пересечения со второй — концы искомого отрезка (0, 1 или 2 решения; бесконечно много, если образ совпал со второй окружностью).
Следующий урок — практикум «Параллелограмм, его признаки и свойства» (GEOM8U-012): центр симметрии — ещё один инструмент для задач.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-011 · Центрально-симметричные фигуры

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R01 «Четырехугольники», 22 ч · урок 11/22 · тип Н
Единицы → слайды	R01.11 «Центрально-симметричные фигуры» → 2, 4–22 · повторение R01.1, R01.10 → 3
Результаты	ПР-4 (распознавать центрально-симметричные фигуры, использовать их свойства) → 4–22 · ПР-1 (свойства и признаки параллелограмма) → 9–12, 20
Вне урока	центр масс — GEOM8U-010; практикум по параллелограмму — GEOM8U-012; осевая симметрия — только для сравнения
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Центрально-симметричные фигуры

Сегодня вы научитесь

Строить симметричные точки

Распознавать фигуры

Доказывать свойства

Решать задачи

Середина отрезка и параллелограмм

Точки, симметричные относительно точки O

Треугольник, симметричный относительно точки

Образец: A(1;4), B(3;5), C(2;2), O(4;3). Постройте △A′B′C′.

Сам

Центрально-симметричная фигура

Где центр и сколько их?

Образец: фигура — две равные окружности с центрами O1​ и O2​ (не пересекаются). Найдите центр симметрии.

Сам

Центральная симметрия сохраняет расстояния

Параллелограмм центрально-симметричен

Прямая через центр параллелограмма

Образец: прямая через O пересекает BC в M, AD в N; BM=3, MC=8. Найдите DN и AN.

Сам

Центр симметрии в доказательстве

Образец: ABCD — параллелограмм, прямая через O пересекает AB в M, CD в N. Докажите: AMCN — параллелограмм.

Сам: составьте план

Четырёхугольник с центром симметрии — параллелограмм

Фигура → центр симметрии

Отрезок с серединой в данной точке

Образец: внутри угла ab дана точка O. Постройте отрезок XY, X∈a, Y∈b, с серединой O.

Сам: опишите построение

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) A(−2;5) и A′(4;1) симметричны относительно O. Найдите O.

б) Прямая через O пересекает BC в M, AD в N. Докажите: BM=DN.

в) «Правильный пятиугольник имеет центр симметрии — точку пересечения его осей».

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-011 · Центрально-симметричные фигуры

Точки, симметричные относительно точки $O$

Образец: $A (1; 4)$ , $B (3; 5)$ , $C (2; 2)$ , $O (4; 3)$ . Постройте $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Образец: фигура — две равные окружности с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$ (не пересекаются). Найдите центр симметрии.

Образец: прямая через $O$ пересекает $BC$ в $M$ , $A D$ в $N$ ; $BM = 3$ , $MC = 8$ . Найдите $D N$ и $A N$ .

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, прямая через $O$ пересекает $A B$ в $M$ , $C D$ в $N$ . Докажите: $A MCN$ — параллелограмм.

Образец: внутри угла $ab$ дана точка $O$ . Постройте отрезок $X Y$ , $X \in a$ , $Y \in b$ , с серединой $O$ .

а) $A (- 2; 5)$ и $A^{'} (4; 1)$ симметричны относительно $O$ . Найдите $O$ .

б) Прямая через $O$ пересекает $BC$ в $M$ , $A D$ в $N$ . Докажите: $BM = D N$ .