Четырёхугольники · урок 10 из 22

Центр масс треугольника

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM8U-010

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Четырехугольники» (22 ч), урок 10/22, единица R01.10. Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · центр масс пластинки 2 · теорема о медианах 3 · правило рычага 1,5 · метод масс 1,5 · пример учителя 2 · схема 1,5.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 15/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец 5 (клетчатая бумага) и ОГЭ 24 — в ДЗ; доказательство теоремы не сокращать.
Реквизит (по желанию): треугольник из картона и карандаш — опыт на слайде 4.

R01.10

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Доказывать теорему

медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $2 : 1$

Находить отрезки медиан

по свойству центра масс — в задачах на вычисление (ПР-2)

Пользоваться методом масс

правило рычага и связь геометрии с физикой

Решать задачи ОГЭ

на вычисление и доказательство, линии 15, 23, 24

повторение: R01.3, R01.9

Разминка · устно

Медиана, средняя линия, пропорции

Как называется отрезок $BM$ ? медиана
$A C = 14$ . Найдите $K L$ . $7$ — средняя линия
Разделите отрезок $12$ в отношении $2 : 1$ . $8$ и $4$
Диагонали параллелограмма точкой пересечения… делятся пополам
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 16$ . Найдите медиану $CM$ . $8$
Стороны угла пересечены параллельными прямыми: на одной стороне отрезки $3$ и $6$ , на другой первый — $4$ . Второй? $8$

R01.10

Понятие · опыт и рассуждение

Где у треугольника центр масс

Центр масс (центр тяжести) пластинки — точка, опираясь на которую пластинка находится в равновесии.

Разрежем треугольник на узкие полоски, параллельные $BC$ . Каждая уравновешена в своей середине.

Середины полосок лежат на медиане $A A_{1}$ ⇒ центр масс — на $A A_{1}$ .

Так же он на медианах $B B_{1}$ и $C C_{1}$ ⇒ медианы пересекаются в одной точке $G$ .

2 мин · теория
Опыт: картонный треугольник уравновесить на острие карандаша. Затем провести медианы — точка опоры совпадает с точкой их пересечения (по возможности показать заранее подготовленную модель).
Почему середины полосок лежат на медиане: прямая AA₁ делит пополам каждый отрезок, параллельный BC, — это следует из теоремы о пропорциональных отрезках (прошлый урок): отрезки полоски по разные стороны от AA₁ пропорциональны BA₁ и A₁C, а BA₁ = A₁C.
Это физическое рассуждение, а не доказательство. Строгое доказательство — на следующем слайде.

R01.10

Теорема · доказательство

Медианы пересекаются в одной точке и делятся ею $2 : 1$

Дано:

A A_{1}

,

B B_{1}

— медианы,

A A_{1} \cap B B_{1} = G

.
Доказать:

A G : G A_{1} = BG : G B_{1} = 2 : 1

; медиана

C C_{1}

проходит через

G

.

1

A_{1} B_{1} ∥ A B

,

A_{1} B_{1} = \frac{1}{2} A B

средняя линия

△ A BC

2

P

,

Q

— середины

A G

,

BG

:

PQ ∥ A B

,

PQ = \frac{1}{2} A B

средняя линия

△ A BG

3

PQ A_{1} B_{1}

— параллелограмм

A_{1} B_{1} ∥ PQ

и

A_{1} B_{1} = PQ

— признак 1

4

A P = PG = G A_{1}

,

BQ = QG = G B_{1}

диагонали параллелограмма делятся пополам

5

C C_{1}

делит

A A_{1}

в отношении

2 : 1

— в той же точке

G

применяем п. 1–4 к медианам

A A_{1}

и

C C_{1}

3 мин · теория
Формулировка: медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины. Эту точку называют центроидом или центром масс треугольника.
Каждый шаг — вопрос классу «почему?». Цвета на чертеже совпадают с записью: A₁B₁ — розовая, PQ — бирюзовая, параллелограмм закрашен. Последний щелчок — чёрточки равных отрезков.
Шаг 5 подробно: медианы AA₁ и CC₁ по доказанному пересекаются в точке, делящей AA₁ в отношении 2 : 1 от A. На отрезке AA₁ такая точка одна — это G. Значит, все три медианы проходят через G.
Следствия: $A G = \frac{2}{3} A A_{1}$ , $G A_{1} = \frac{1}{3} A A_{1}$ .

R01.10

Образец → сам · на готовом чертеже

Отрезки медиан: $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{3}$

Образец: $A A_{1} = 15$ , $BG = 8$ , $G C_{1} = 3$ . Найдите $A G$ , $G A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ .

$A G = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10$ , $G A_{1} = 5$ теорема, $2 : 1$

$G B_{1} = 8 : 2 = 4$ , $B B_{1} = 12$ $BG = 2 G B_{1}$

$CG = 2 \cdot 3 = 6$ , $C C_{1} = 9$ $C C_{1} = 3 G C_{1}$

Сам

$C C_{1} = 27$ . Найдите $CG$ и $G C_{1}$ . $18$ и $9$
$BG = 7$ . Найдите $G B_{1}$ и $B B_{1}$ . $3, 5$ и $10, 5$
$G A_{1} = 2, 5$ . Найдите $A A_{1}$ . $7, 5$

R01.10

Образец → сам · чертёж строим сами

Центр масс и средняя линия вместе

Образец: медианы $A A_{1}$ и $B B_{1}$ пересекаются в точке $G$ ; $A B = 12$ , $G A_{1} = 4$ , $G B_{1} = 5$ . Найдите $P_{△ A GB}$ и $A_{1} B_{1}$ .

$A G = 2 \cdot 4 = 8$ , $BG = 2 \cdot 5 = 10$ теорема, $2 : 1$

$P_{△ A GB} = 8 + 10 + 12 = 30$

$A_{1} B_{1} = \frac{1}{2} A B = 6$ средняя линия

Сам

$A G = 6$ , $BG = 9$ , $A B = 10$ . Найдите $P_{△ A_{1} G B_{1}}$ . $12, 5$
$P_{△ A GB} = 26$ . Найдите $P_{△ A_{1} G B_{1}}$ . $13$
$A G - G A_{1} = 6$ . Найдите медиану $A A_{1}$ . $18$

R01.10 · физика

Метод масс · правило рычага

Центр масс двух грузов

m_{1} \cdot d_{1}

=

m_{2} \cdot d_{2}

Центр масс $O$ грузов $m_{1}$ в $A$ и $m_{2}$ в $B$ лежит на $A B$ и делит его так: $\frac{A O}{OB} = \frac{m _{2}}{m _{1}}$ .

Ближе к тяжёлому грузу: $2 \cdot d = 1 \cdot 2 d$ .

Замена: два груза можно заменить одним — массой $m_{1} + m_{2}$ в точке $O$ .

R01.10 · физика

Метод масс · второе доказательство

Три равных груза в вершинах

Поместим в

A

,

B

,

C

по 1 кг. Где центр масс системы?

1

1 + 1

в

B

и

C

→

2

в

A_{1}

равные грузы — центр в середине

BC

2

1

в

A

и

2

в

A_{1}

→ центр делит

A A_{1}

как

2 : 1

правило рычага:

A G : G A_{1} = 2 : 1

3Группируем иначе — тот же центр лежит на

B B_{1}

и

C C_{1}

центр масс системы один ⇒ медианы проходят через

G

R01.10 · метод масс

Метод масс · пример учителя

Когда массы разные

A A_{1}

— медиана,

K \in A C

,

A K : K C = 1 : 2

,

B K \cap A A_{1} = O

. Найдите

A O : O A_{1}

и

BO : O K

.

1

m_{B} = m_{C} = 1

,

m_{A} = 2

A_{1}

— середина

BC

;

2 \cdot A K = 1 \cdot K C

2

m_{A_{1}} = 2

,

m_{K} = 3

замена двух грузов одним

3

A O : O A_{1} = 2 : 2 = 1 : 1

,

BO : O K = 3 : 1

правило рычага на

A A_{1}

и на

B K

R01.10

Схема-конспект

Центр масс треугольника: всё на одном слайде

Теорема о медианах

три медианы — через одну точку $G$
$A G : G A_{1} = 2 : 1$ от вершины
$A G = \frac{2}{3} A A_{1}$ , $G A_{1} = \frac{1}{3} A A_{1}$
$G$ — центр масс пластинки и трёх равных грузов в вершинах

Метод масс

$m_{1} d_{1} = m_{2} d_{2}$ — ближе к тяжёлому
два груза → один, массой $m_{1} + m_{2}$
середина отрезка — равные массы
деление $p : q$ — массы $q$ и $p$

Опорные факты

средняя линия: $∥$ , половина
параллелограмм: диагонали пополам
медиана к гипотенузе — её половина

R01.10

Образец → сам · комбинированная задача

Центр масс прямоугольного треугольника

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 18$ , $G$ — точка пересечения медиан. Найдите $CG$ .

$CM = \frac{1}{2} A B = 9$ медиана к гипотенузе

$CG = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$ теорема о медианах

Сам

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $CG = 10$ . Найдите гипотенузу $A B$ . $30$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $BC = 6$ . Найдите $CG$ . $4$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ , $CG = 4$ . Найдите $BC$ . $6$

R01.10

Образец → сам · задача на доказательство

Равные медианы — равнобедренный треугольник

Образец: $A A_{1} = B B_{1}$ — медианы. Докажите: $A C = BC$ .

$A G = BG$ , $G B_{1} = G A_{1}$ $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{3}$ равных медиан

$△ A G B_{1} = △ BG A_{1}$ I признак, углы при $G$ вертикальные

$A B_{1} = B A_{1}$ ⇒ $A C = 2 A B_{1} = 2 B A_{1} = BC$

Сам: план и обоснования

Обратное: $A C = BC$ . Докажите: $A A_{1} = B B_{1}$ . $△ A B B_{1} = △ B A A_{1}$ (I признак)
Докажите: медиана $A A_{1}$ делит среднюю линию $B_{1} C_{1}$ пополам. средние линии $△ A B A_{1}$ и $△ A C A_{1}$

3 мин · практика
Образец: по теореме AG = ⅔AA₁ = ⅔BB₁ = BG и GA₁ = ⅓AA₁ = ⅓BB₁ = GB₁; ∠AGB₁ = ∠BGA₁ (вертикальные) ⇒ △AGB₁ = △BGA₁ (две стороны и угол между ними) ⇒ AB₁ = BA₁ ⇒ AC = BC.
1) AB — общая, ∠A = ∠B (углы при основании равнобедренного), AB₁ = AC/2 = BC/2 = BA₁ ⇒ △ABB₁ = △BAA₁ по I признаку ⇒ BB₁ = AA₁.
2) Пусть K = AA₁ ∩ B₁C₁. C₁ — середина AB и C₁K ∥ BA₁ ⇒ по теореме Фалеса K — середина AA₁, и C₁K — средняя линия △ABA₁: C₁K = BA₁/2. Так же KB₁ — средняя линия △ACA₁: KB₁ = A₁C/2. BA₁ = A₁C ⇒ C₁K = KB₁.
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования. Задание 2 понадобится на слайде «повышенный уровень».

R01.10

Образец → сам · строим на клетчатой бумаге

Найдите центр масс по клеткам

Образец: $A (1; 1)$ , $B (9; 1)$ , $C (2; 7)$ . Найдите центр масс $G$ .

$M (5; 1)$ — середина $A B$ медиана $CM$

от $C$ к $M$ : $3$ вправо, $6$ вниз; $\frac{2}{3}$ пути — $2$ и $4$ ⇒ $G (4; 3)$

Сам: нарисуйте в тетради

$A (0; 0)$ , $B (6; 0)$ , $C (0; 9)$ . Найдите $G$ . $G (2; 3)$
$A (2; 1)$ , $B (8; 3)$ , $C (5; 8)$ . Найдите $G$ . $G (5; 4)$
$A (1; 2)$ , $B (7; 2)$ , $G (4; 4)$ . Найдите вершину $C$ . $C (4; 8)$

2 мин · практика
Образец: медиана CM, M(5; 1); сдвиг от C к M — (3; −6); две трети — (2; −4); G = (2 + 2; 7 − 4) = (4; 3). Проверка по второй медиане: середина AC — (1,5; 4), от B(9; 1) к ней (−7,5; 3), ⅔ — (−5; 2): G = (4; 3) ✓.
1) M(3; 0), от C(0; 9): (3; −9), ⅔ — (2; −6) ⇒ G(2; 3). 2) Середина AB — (5; 2), от C(5; 8): (0; −6), ⅔ — (0; −4) ⇒ G(5; 4).
3) M(4; 2) — середина AB; GM = ⅓ CM, значит C отстоит от M втрое дальше, чем G: G − M = (0; 2) ⇒ C = M + 3·(0; 2) = (4; 8).
Практическое применение — найти точку подвеса треугольной пластинки: она уравновешивается в G.

R01.10

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$A G : G A_{1} = 1 : 2$	отношение $2 : 1$ считают от вершины	$A G = 2 G A_{1}$
медиана $12$ ⇒ $G A_{1} = 6$	$G$ — не середина медианы	$G A_{1} = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$ , $A G = 8$
центр масс — точка пересечения биссектрис (высот)	центр масс уравновешивает пластинку — он на медианах	центр масс — точка пересечения медиан
грузы $1$ и $1$ заменили грузом $1$	при замене массы складываются	в середине — груз $2$

R01.10

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Медиана $BM = 18$ , $O$ — центр масс. Найдите $BO$ .

$BO = 18 : 3 = 6$

$6$ — это $OM$ ; $BO = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12$

б) $G A_{1} = 4$ . Найдите медиану $A A_{1}$ .

$A G = 2 \cdot 4 = 8$

$A A_{1} = A G = 8$

$A A_{1} = A G + G A_{1} = 12$

в) Метод масс: грузы по $1$ в $A$ , $B$ , $C$ . Найдите $A G : G A_{1}$ .

в $A_{1}$ — груз $1$ ⇒ $A G : G A_{1} = 1 : 1$

в $A_{1}$ — груз $2$ ⇒ $A G : G A_{1} = 2 : 1$

R01.10

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаМедиана $24$ . Найдите $A G$ и $G A_{1}$ . $16$ и $8$
база $A G = 14$ . Найдите медиану $A A_{1}$ . $21$
база $G A_{1} = 3, 5$ . Найдите $A G$ . $7$

база $A A_{1} = 12$ , $B B_{1} = 18$ . Найдите $A G + G B_{1}$ . $14$
база $BG = 10$ . Найдите медиану $B B_{1}$ . $15$
базаСумма трёх медиан $36$ . Найдите $A G + BG + CG$ . $24$

R01.10

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Через центр масс $G$ треугольника $A BC$ проведена прямая $∥ A C$ , она пересекает $A B$ в точке $K$ ; $A B = 15$ . Найдите $A K$ . $5$
повыш. $A B = BC$ , медиана $BM = 12$ . Найдите расстояние от центра масс до прямой $A C$ . $4$
повыш. $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ — середины сторон. Докажите: центр масс $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ совпадает с центром масс $△ A BC$ . медианы $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ лежат на медианах $△ A BC$
из жизниТреугольный лист фанеры поднимают на одном тросе так, чтобы он висел горизонтально. Медиана листа $90$ см. Где закрепить трос? в точке $G$ , $60$ см от вершины

2,5 мин · практика
1) Медиана BM, BG : GM = 2 : 1. Стороны угла B пересечены параллельными прямыми KG и AM ⇒ по теореме о пропорциональных отрезках BK : KA = BG : GM = 2 : 1 ⇒ AK = 15 : 3 = 5.
2) В равнобедренном треугольнике медиана к основанию — высота: BM ⊥ AC, расстояние = GM = 12 : 3 = 4.
3) Медиана A₁ треугольника A₁B₁C₁ идёт в середину B₁C₁; по заданию 2 со слайда 13 эта середина лежит на AA₁ ⇒ медиана A₁B₁C₁ из A₁ лежит на AA₁. Так же для B₁ и C₁. Три медианы малого треугольника лежат на медианах большого и пересекаются в той же точке G.
4) Лист висит горизонтально, если трос закреплён в центре масс: ⅔ · 90 = 60 см от вершины по медиане (или на пересечении двух медиан).

R01.10 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15В треугольнике $A BC$ медианы пересекаются в точке $O$ , медиана $BM = 27$ . Найдите $BO$ . $18$
ОГЭ 15Медианы $A A_{1}$ и $C C_{1}$ треугольника $A BC$ пересекаются в точке $O$ , $O A_{1} = 7$ . Найдите $A A_{1}$ . $21$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Точка пересечения медиан делит каждую медиану пополам.
Медиана треугольника делит противоположную сторону пополам.

Ответ: 13

R01.10 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Центр масс внутри параллелограмма

ОГЭ 23 $A BC D$ — параллелограмм, $E$ — середина $BC$ , $B D = 24$ , $A E \cap B D = K$ . Найдите $DK$ .

$O$ — середина $A C$ ⇒ $BO$ , $A E$ — медианы $△ A BC$ ⇒ $K$ — центр масс: $B K = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ , $DK = 16$

ОГЭ 24 $E$ и $F$ — середины $BC$ и $C D$ параллелограмма $A BC D$ . Докажите, что $A E$ и $A F$ делят диагональ $B D$ на три равные части.

$BO = O D = \frac{1}{2} B D$ — диагонали делятся пополам

$K$ — центр масс $△ A BC$ : $B K = \frac{2}{3} BO = \frac{1}{3} B D$

$L$ — центр масс $△ A C D$ : $D L = \frac{1}{3} B D$

$K L = B D - \frac{2}{3} B D = \frac{1}{3} B D$ ⇒ $B K = K L = L D$

2 мин · практика
23) Диагонали параллелограмма делятся пополам: O — середина AC и BD, BO = 12. В △ABC отрезки BO и AE — медианы, K — их точка пересечения, BK = ⅔ · 12 = 8, DK = 24 − 8 = 16. Ответ: 16.
24) Полное решение на 2 балла: назвать, почему BO и AE (DO и AF) — медианы (O — середина AC по свойству параллелограмма, E и F — середины по условию), сослаться на теорему о точке пересечения медиан. Проверено вычислением на координатах: BK = BD/3, BL = 2BD/3.
На уроке — устное обсуждение плана, запись 24 полностью — в ДЗ по желанию.

R01.10

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Медиана $A A_{1} = 15$ . Найдите $A G$ . $10$
$G A_{1} = 4$ . Найдите медиану $A A_{1}$ . $12$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 24$ . Найдите $CG$ . $8$
$A G = 10$ , $BG = 8$ , $A B = 13$ . Найдите $P_{△ A_{1} G B_{1}}$ . $15, 5$

Вариант 2

Медиана $B B_{1} = 21$ . Найдите $BG$ . $14$
$G B_{1} = 6$ . Найдите медиану $B B_{1}$ . $18$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 30$ . Найдите $CG$ . $10$
$A G = 12$ , $BG = 6$ , $A B = 16$ . Найдите $P_{△ A_{1} G B_{1}}$ . $17$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

В каком отношении центр масс делит медиану — и от какой точки?
Почему пластинка уравновешена в точке пересечения медиан?
Что происходит с массами при замене двух грузов одним?

Домашнее задание

Медиана $33$ . Найдите отрезки, на которые её делит центр масс.
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 21$ . Найдите $CG$ .
* $A BC D$ — параллелограмм, $M$ — середина $A D$ , $BM \cap A C = K$ , $A C = 15$ . Найдите $A K$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_parallelogramm_i_trapeciya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-010 · Центр масс треугольника

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R01 «Четырехугольники», 22 ч · урок 10/22 · тип Н
Единицы → слайды	R01.10 «Центр масс треугольника» → 2, 4–22 · повторение R01.3, R01.9 → 3
Результаты	ПР-2 (свойства точки пересечения медиан, центр масс) → 4–22; вид деятельности «метод масс, связь с физикой» → 8–10
Вне урока	центральная симметрия — GEOM8U-011; подобие треугольников — R02; площади частей, на которые медианы делят треугольник, — R03
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Центр масс треугольника

Сегодня вы научитесь

Доказывать теорему

Находить отрезки медиан

Пользоваться методом масс

Решать задачи ОГЭ

Медиана, средняя линия, пропорции

Где у треугольника центр масс

Медианы пересекаются в одной точке и делятся ею 2:1

Отрезки медиан: 32​ и 31​

Образец: AA1​=15, BG=8, GC1​=3. Найдите AG, GA1​, BB1​, CC1​.

Сам

Центр масс и средняя линия вместе

Образец: медианы AA1​ и BB1​ пересекаются в точке G; AB=12, GA1​=4, GB1​=5. Найдите P△AGB​ и A1​B1​.

Сам

Центр масс двух грузов

Три равных груза в вершинах

Когда массы разные

Центр масс треугольника: всё на одном слайде

Теорема о медианах

Метод масс

Опорные факты

Центр масс прямоугольного треугольника

Образец: ∠C=90∘, AB=18, G — точка пересечения медиан. Найдите CG.

Сам

Равные медианы — равнобедренный треугольник

Образец: AA1​=BB1​ — медианы. Докажите: AC=BC.

Сам: план и обоснования

Найдите центр масс по клеткам

Образец: A(1;1), B(9;1), C(2;7). Найдите центр масс G.

Сам: нарисуйте в тетради

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Медиана BM=18, O — центр масс. Найдите BO.

б) GA1​=4. Найдите медиану AA1​.

в) Метод масс: грузы по 1 в A, B, C. Найдите AG:GA1​.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Центр масс внутри параллелограмма

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-010 · Центр масс треугольника

Медианы пересекаются в одной точке и делятся ею $2 : 1$

Отрезки медиан: $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{3}$

Образец: $A A_{1} = 15$ , $BG = 8$ , $G C_{1} = 3$ . Найдите $A G$ , $G A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ .

Образец: медианы $A A_{1}$ и $B B_{1}$ пересекаются в точке $G$ ; $A B = 12$ , $G A_{1} = 4$ , $G B_{1} = 5$ . Найдите $P_{△ A GB}$ и $A_{1} B_{1}$ .

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 18$ , $G$ — точка пересечения медиан. Найдите $CG$ .

Образец: $A A_{1} = B B_{1}$ — медианы. Докажите: $A C = BC$ .

Образец: $A (1; 1)$ , $B (9; 1)$ , $C (2; 7)$ . Найдите центр масс $G$ .

а) Медиана $BM = 18$ , $O$ — центр масс. Найдите $BO$ .

б) $G A_{1} = 4$ . Найдите медиану $A A_{1}$ .

в) Метод масс: грузы по $1$ в $A$ , $B$ , $C$ . Найдите $A G : G A_{1}$ .