Четырёхугольники · урок 9 из 22

Теорема о пропорциональных отрезках

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM8U-009

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Четырехугольники» (22 ч), урок 9/22, единица R01.9. Тип урока — Н.
Теория (13): титул 0,5 · цели 0,5 · отношение и пропорциональные отрезки 1,5 · теорема 1,5 · доказательство 3 · следствия 2 · деление отрезка 2,5 · схема-конспект 1,5.
Практика (32): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 15/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Нужны циркуль, линейка и угольник (проводить параллельные прямые) у доски и у учеников. Если не успеваете: образец 5 (клетчатая бумага) и ОГЭ 24 — в ДЗ; доказательство теоремы не сокращать.

R01.9

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Доказывать теорему

о пропорциональных отрезках, опираясь на теорему Фалеса (ПР-3)

Составлять пропорции

верно: «часть к части» и «часть к целому» на обеих сторонах угла

Строить

деление отрезка в данном отношении и четвёртый пропорциональный отрезок

Решать задачи

в треугольнике и трапеции, в том числе ОГЭ 15, 23, 24 (ПР-3)

0,5 мин · теория
ПР-3: «Владеть понятием средней линии треугольника и трапеции, применять их свойства при решении геометрических задач. Использовать теорему Фалеса и теорему о пропорциональных отрезках, применять их для решения практических задач».
Виды деятельности ФРП R01: доказывать и использовать при решении задач теоремы Фалеса и о пропорциональных отрезках; проводить деление отрезка на равные части с помощью циркуля и линейки.

повторение: R01.3, R01.8

Разминка · устно

Теорема Фалеса и пропорции

$O A = A B = BC$ , $A A_{1} ∥ B B_{1} ∥ C C_{1}$ , $O A_{1} = 3$ . Найдите $O C_{1}$ . $9$ — теорема Фалеса
А чему равен $B_{1} C_{1}$ ? $3$
Решите: $\frac{x}{6} = \frac{4}{3}$ . $x = 8$
Отношение отрезков $12$ см и $18$ см? $2 : 3$
Отрезок $20$ см разделили в отношении $2 : 3$ . Части? $8$ и $12$ см
Сторона треугольника $14$ . Средняя линия, параллельная ей? $7$
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ⇒ $a d = ?$ $b c$

R01.9

Определение · отношение отрезков

Пропорциональные отрезки

Отношение отрезков — отношение их длин, измеренных одной единицей.

A B

и

C D

пропорциональны

A_{1} B_{1}

и

C_{1} D_{1}

, если

\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{C D}{C _{1} D _{1}}

.

\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Перестановка средних членов: $\frac{A B}{C D} = \frac{A _{1} B _{1}}{C _{1} D _{1}} = \frac{2}{3}$

R01.9

Теорема о пропорциональных отрезках

Параллельные прямые «переносят» отношение

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

A A_{1} ∥ B B_{1} \Rightarrow \frac{O A}{A B} = \frac{O A _{1}}{A _{1} B _{1}}

часть к целому: $\frac{O A}{OB} = \frac{O A _{1}}{O B _{1}}$

коротко: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ — одинаково на обеих сторонах

R01.9

Теорема · доказательство

Сводим к теореме Фалеса

Дано: угол

O

,

A A_{1} ∥ B B_{1}

.
Доказать:

\frac{O A}{A B} = \frac{O A _{1}}{A _{1} B _{1}}

.

1Отрезок

δ

укладывается в

O A

ровно

m

раз, в

A B

—

n

разобщая мера; на чертеже

m = 2

,

n = 3

2

O B_{1}

делится на

m + n

равных отрезков

δ_{1}

через точки деления — прямые

∥ A A_{1}

; теорема Фалеса

3

O A_{1} = m δ_{1}

,

A_{1} B_{1} = n δ_{1}

прямые

A A_{1}

и

B B_{1}

— среди проведённых

4

\frac{O A}{A B} = \frac{m δ}{n δ} = \frac{m}{n} = \frac{O A _{1}}{A _{1} B _{1}}

и так же

\frac{O A}{OB} = \frac{m}{m + n} = \frac{O A _{1}}{O B _{1}}

3 мин · теория
Шаг 1 открывает на чертеже деление OB на 5 равных частей δ (чёрточки), шаг 2 — пунктирные параллели и деление OB₁ на 5 равных частей δ₁ (двойные чёрточки).
Каждый шаг — вопрос классу «почему?». Шаг 2: почему части на OB₁ равны? (Теорема Фалеса: равные отрезки на одной стороне угла, параллельные прямые.)
Углублённый уровень: мы доказали случай, когда у OA и AB есть общая мера (отношение — рациональное число). Если общей меры нет, берут δ = OA/k: тогда AB лежит между n·δ и (n+1)·δ, и то же на другой стороне; отношения OA/AB и OA₁/A₁B₁ лежат между одними и теми же числами k/(n+1) и k/n при любом k, значит, равны. Подробно — по желанию сильных учеников.

R01.9

Образец → сам · прямое применение

Найдите отрезки на другой стороне угла

Образец: $A A_{1} ∥ B B_{1}$ , $O A = 6$ , $A B = 4$ , $O A_{1} = 9$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ и $O B_{1}$ .

$\frac{O A}{A B} = \frac{O A _{1}}{A _{1} B _{1}}$ теорема о пропорц. отрезках

$\frac{6}{4} = \frac{9}{A _{1} B _{1}}$ , $A_{1} B_{1} = \frac{4 \cdot 9}{6} = 6$ свойство пропорции

$O B_{1} = 9 + 6 = 15$

Сам ( $A A_{1} ∥ B B_{1}$ )

$O A = 5$ , $OB = 15$ , $O A_{1} = 4$ . Найдите $O B_{1}$ и $A_{1} B_{1}$ . $12$ и $8$
$O A : A B = 3 : 4$ , $O B_{1} = 21$ . Найдите $O A_{1}$ и $A_{1} B_{1}$ . $9$ и $12$
$O A = 8$ , $A B = 6$ , $A_{1} B_{1} = 9$ . Найдите $O A_{1}$ . $12$

R01.9

Следствия · треугольник и трапеция

Где «спрятан» угол

В треугольнике:

MN ∥ A C

— две параллельные прямые пересекают стороны угла

B

.

\frac{BM}{M A} = \frac{BN}{NC}

В трапеции:

MN ∥ A D

; прямые

A B

и

D C

пересекаются в точке

S

— снова угол.

\frac{A M}{MB} = \frac{D N}{NC}

2 мин · теория
Главный случай для задач — прямая, параллельная стороне треугольника: сама сторона AC и прямая MN — две параллельные прямые, пересекающие стороны угла B.
Трапеция: по щелчку на чертеже продолжаются боковые стороны до точки S. Для угла S то же доказательство (общая мера + теорема Фалеса) работает для трёх параллельных прямых BC, MN, AD: SB : BM : MA = SC : CN : ND, откуда AM : MB = DN : NC. Короткое доказательство без продолжения сторон — через диагональ, это задача ОГЭ 24 в конце урока.
Общая формулировка (углублённый уровень): параллельные прямые отсекают на любых двух прямых пропорциональные отрезки (если прямые параллельны — отрезки просто равны, это параллелограммы).

R01.9

Образец → сам · прямая, параллельная стороне

Отношение задано — найдите отрезки

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 3 : 2$ , $BC = 20$ . Найдите $BN$ и $NC$ .

$\frac{BN}{NC} = \frac{BM}{M A} = \frac{3}{2}$ угол $B$ , $MN ∥ A C$

$BN = 3 x$ , $NC = 2 x$ , $5 x = 20$ , $x = 4$

$BN = 12$ , $NC = 8$

Сам ( $MN ∥ A C$ )

$BM = 6$ , $M A = 4$ , $NC = 6$ . Найдите $BN$ . $9$
$BN : NC = 5 : 3$ , $A B = 24$ . Найдите $A M$ . $9$
$A B = 12$ , $BC = 18$ , $A M = 4$ . Найдите $BN$ . $12$

R01.9

Построение · деление отрезка в отношении

Разделите $A B$ в отношении $2 : 3$

1Луч

A X

; циркулем 5 равных отрезков

A C_{1} = C_{1} C_{2} = \dots = C_{4} C_{5}

2 + 3 = 5

частей

2Проводим

C_{5} B

3Через

C_{2}

— прямую

∥ C_{5} B

, она пересекает

A B

в точке

M

построение параллельной прямой

4

\frac{A M}{MB} = \frac{A C _{2}}{C _{2} C _{5}} = \frac{2}{3}

теорема о пропорциональных отрезках, угол

A

2,5 мин · теория
Каждый шаг построения открывается вместе с элементом чертежа. Параллельную прямую строим циркулем и линейкой (равные накрест лежащие углы — построение угла, равного данному, 7 класс) или угольником с линейкой.
Деление на n равных частей (ФРП: «проводить деление отрезка на равные части») — частный случай: параллели проводят через все точки C₁…Cₙ₋₁.
Вопрос: как разделить AB в отношении 3 : 2? (Тот же чертёж, параллель через C₃.)

R01.9

Образец → сам · построение циркулем и линейкой

Четвёртый пропорциональный отрезок

Образец: даны отрезки $a$ , $b$ , $c$ . Постройте $x$ : $\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$ .

угол $O$ ; $O A = a$ , $A B = b$ , $OC = c$ откладываем циркулем

$A C$ ; через $B$ — прямая $∥ A C$ , точка $D$

$\frac{O A}{A B} = \frac{OC}{C D}$ ⇒ $x = C D$ теорема

Сам: постройте в тетради

Разделите отрезок $10$ см в отношении $1 : 4$ . Сколько частей отложить, через какую точку параллель? 5 частей, через $C_{1}$ ; $2$ и $8$ см
$a = 2$ см, $b = 3$ см, $c = 4$ см. Постройте $x$ и проверьте линейкой. $x = 6$ см
Разделите отрезок $12$ см на три части в отношении $1 : 2 : 3$ . 6 частей, параллели через $C_{1}$ и $C_{3}$ ; $2$ , $4$ , $6$ см

2,5 мин · практика
Образец: отрезок x, для которого a : b = c : x, называют четвёртым пропорциональным к a, b, c. Вычислением x = bc/a; построение даёт его без вычислений.
1) 1 + 4 = 5 равных частей на вспомогательном луче, C₅ соединяем с концом B, параллель через C₁: 10 · 1/5 = 2 и 8 см.
2) x = 3 · 4 : 2 = 6 см — проверка измерением; расхождение до 1–2 мм допустимо.
3) 1 + 2 + 3 = 6 частей; параллели через C₁ и C₃ (1 и 1 + 2): 12 : 6 = 2 ⇒ 2, 4, 6 см. На уроке — устно план, построение 3 — по желанию.

R01.9

Схема-конспект

Что запомнить

Теорема

Угол $O$ , $A A_{1} ∥ B B_{1}$ :

$\frac{O A}{A B} = \frac{O A _{1}}{A _{1} B _{1}}$ , $\frac{O A}{OB} = \frac{O A _{1}}{O B _{1}}$

Треугольник и трапеция

$MN ∥ A C$ : $\frac{BM}{M A} = \frac{BN}{NC}$

$MN ∥ A D$ : $\frac{A M}{MB} = \frac{D N}{NC}$

Деление в отношении $m : n$

$m + n$ равных частей на луче → последнюю точку соединить с концом → параллель через точку $C_{m}$

Нельзя

$\frac{MN}{A C} = \frac{BM}{M A}$ — отрезки на параллельных прямых не входят в теорему

R01.9

Образец → сам · комбинированная задача

Две параллели и параллелограмм

Образец: $A M : MB = 1 : 2$ , $MN ∥ BC$ , $N K ∥ A B$ , $BC = 12$ . Найдите $MN$ .

$A N : NC = A M : MB = 1 : 2$ угол $A$ , $MN ∥ BC$

$C K : K B = CN : N A = 2 : 1$ , $K B = 4$ угол $C$ , $N K ∥ A B$

$MB K N$ — параллелограмм ⇒ $MN = K B = 4$

Сам (тот же чертёж)

$A M : MB = 2 : 3$ , $BC = 15$ . Найдите $MN$ . $6$
$MN = 5$ , $BC = 20$ . Найдите $A M : MB$ . $1 : 3$
Докажите: $MN = BC \cdot \frac{A M}{A B}$ . $MN = K B = BC \cdot \frac{A N}{A C} = BC \cdot \frac{A M}{A B}$

R01.9

Образец → сам · клетчатая бумага

Линии сетки — готовые параллели

Образец: $A (1; 1)$ , $B (7; 4)$ ; вертикаль $x = 3$ пересекает $A B$ в точке $C$ . Найдите $A C : CB$ .

вертикали сетки параллельны угол $A$ : луч $A B$ и горизонталь

$A C : CB = 2 : 4 = 1 : 2$ теорема

Сам: нарисуйте в тетради

$A (0; 0)$ , $B (8; 5)$ . В каком отношении вертикаль $x = 6$ делит $A B$ ? $3 : 1$
$A (0; 1)$ , $B (6; 4)$ . Найдите точку $M$ на $A B$ , $A M : MB = 1 : 2$ . $M (2; 2)$
$A (0; 0)$ , $B (9; 6)$ . Найдите точку, делящую $A B$ в отношении $2 : 1$ от $A$ . $(6; 4)$

R01.9

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$\frac{BM}{M A} = \frac{BN}{BC}$	слева часть к части, справа часть к целому	$\frac{BM}{M A} = \frac{BN}{NC}$ или $\frac{BM}{B A} = \frac{BN}{BC}$
$\frac{MN}{A C} = \frac{BM}{M A}$	теорема — об отрезках на сторонах угла, а не на параллелях	$\frac{MN}{A C} = \frac{BM}{B A}$ (образец 4)
«На рисунке прямые параллельны — применим теорему»	параллельность нужно знать из условия или доказать	сначала $MN ∥ A C$ , потом пропорция
$A M : MB = 2 : 3$ ⇒ $A M = \frac{2}{3} A B$	$2 : 3$ — отношение частей, а не части к целому	$A M = \frac{2}{2 + 3} A B = \frac{2}{5} A B$

R01.9

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $MN ∥ A C$ , $BM = 4$ , $M A = 6$ , $BC = 15$ . Найдите $BN$ .

$\frac{4}{6} = \frac{BN}{15}$

$BN = 10$

$\frac{BN}{BC} = \frac{BM}{B A} = \frac{4}{10}$ , $BN = 6$

б) $MN ∥ A C$ , $BM = 3$ , $M A = 6$ , $A C = 12$ . Найдите $MN$ .

$\frac{MN}{A C} = \frac{BM}{M A} = \frac{1}{2}$

$MN = 6$

$\frac{MN}{A C} = \frac{BM}{B A} = \frac{3}{9}$ , $MN = 4$

в) Разделить $A B$ в отношении $2 : 3$ , считая от $A$ .

Отложил на луче $A X$ 5 равных частей, соединил $C_{5}$ с $B$ , параллель провёл через $C_{3}$ .

через $C_{3}$ получится $3 : 2$ ; нужна точка $C_{2}$

R01.9

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $A A_{1} ∥ B B_{1}$ , $O A = 4$ , $A B = 6$ , $O A_{1} = 6$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ . $9$
база $A A_{1} ∥ B B_{1}$ , $O A = 3$ , $OB = 12$ , $O B_{1} = 20$ . Найдите $O A_{1}$ . $5$
база $MN ∥ A C$ , $BM = 5$ , $M A = 10$ , $BN = 4$ . Найдите $NC$ . $8$

база $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 2 : 5$ , $BC = 21$ . Найдите $BN$ . $6$
база $MN ∥ A C$ , $A B = 16$ , $BM = 12$ , $NC = 3$ . Найдите $BN$ . $9$
базаОтрезок $18$ см разделили в отношении $4 : 5$ . Найдите части. $8$ и $10$ см

R01.9

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $MN ∥ A C$ ( $M \in A B$ , $N \in BC$ ), $A M = 3$ , $BN = 8$ , $NC = 4$ . Найдите $A B$ . $9$
повыш.Трапеция $A BC D$ , $MN ∥ A D$ ( $M \in A B$ , $N \in C D$ ), $A M = 4$ , $MB = 6$ , $C D = 15$ . Найдите $D N$ . $6$
повыш. $MN ∥ A C$ , $BM = x$ , $M A = 3$ , $BN = 8$ , $NC = x - 2$ . Найдите $x$ . $6$
из жизниКак разделить полоску бумаги в отношении $2 : 3$ с помощью тетради в линейку? концы — на линии 0 и 5, точка — на линии 2

2,5 мин · практика
1) BM/MA = BN/NC = 2 ⇒ BM = 6, AB = 9.
2) AM/MB = DN/NC (следствие для трапеции) ⇒ DN = 15 · 4/10 = 6.
3) x/3 = 8/(x − 2) ⇒ x² − 2x − 24 = 0 ⇒ x = 6 (корень −4 не подходит: длина). Проверка: 6/3 = 8/4 = 2. Квадратное уравнение решаем разложением (x − 6)(x + 4) = 0 или подбором.
4) Линии тетради — равноотстоящие параллельные прямые. Кладём полоску наискосок: один конец на линию 0, другой — на линию 5; линия 2 отмечает точку деления (теорема о пропорциональных отрезках; линии 1, 2, 3, 4 делят полоску на 5 равных частей — Фалес).

R01.9 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15Прямая, параллельная стороне $A C$ треугольника $A BC$ , пересекает $A B$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ ; $BM = 14$ , $M A = 7$ , $BN = 18$ . Найдите $NC$ . $9$
ОГЭ 15То же построение: $A B = 30$ , $BM = 18$ , $BC = 25$ . Найдите $BN$ . $15$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки.
Если $MN ∥ A C$ , то $MN : A C = BM : M A$ .
Через точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная данной.

Ответ: 13

R01.9 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Трапеция: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 $A D = 20$ , $BC = 10$ — основания трапеции, $MN ∥ A D$ , $A M : MB = 2 : 3$ . Найдите $MN$ .

$△ A BC$ : $MP = \frac{2}{5} BC = 4$ ; $△ A C D$ : $PN = \frac{3}{5} A D = 12$

$MN = 4 + 12 = 16$

ОГЭ 24 В трапеции $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ), $MN ∥ A D$ , $M \in A B$ , $N \in C D$ . Докажите: $A M : MB = D N : NC$ .

угол $A$ : $A M : MB = A P : PC$ ; угол $C$ : $CP : P A = CN : N D$

$A M : MB = A P : PC = D N : NC$

2 мин · практика
23) P = MN ∩ AC. В △ABC MP ∥ BC ⇒ MP = BC · AM/AB = 10 · 2/5 = 4 (образец 4: отрезок на параллели — часть к целому). AP : PC = AM : MB = 2 : 3 ⇒ CP/CA = 3/5. В △ACD PN ∥ AD ⇒ PN = AD · CP/CA = 20 · 3/5 = 12. MN = 16. Проверка: MN = (3 · 20 + 2 · 10)/5 = 16.
24) Полное решение на 2 балла: провести диагональ AC, P — точка пересечения с MN; дважды применить теорему о пропорциональных отрезках (углы A и C) и указать параллельность MP ∥ BC, PN ∥ AD (MN ∥ AD ∥ BC). Обязательно назвать теорему.
На уроке — устное обсуждение плана (2 мин), запись 24 полностью — в ДЗ по желанию.

R01.9

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A A_{1} ∥ B B_{1}$ , $O A = 6$ , $A B = 9$ , $O A_{1} = 4$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ . $6$
$MN ∥ A C$ , $BM : M A = 3 : 4$ , $BC = 28$ . Найдите $BN$ . $12$
$MN ∥ A C$ , $A B = 20$ , $A M = 5$ , $BN = 9$ . Найдите $NC$ . $3$
Отрезок $24$ см разделили в отношении $1 : 2 : 3$ . Найдите части. $4$ , $8$ , $12$ см

Вариант 2

$A A_{1} ∥ B B_{1}$ , $O A = 8$ , $A B = 6$ , $A_{1} B_{1} = 9$ . Найдите $O A_{1}$ . $12$
$MN ∥ A C$ , $BM : M A = 2 : 5$ , $BC = 35$ . Найдите $BN$ . $10$
$MN ∥ A C$ , $A B = 24$ , $A M = 6$ , $BN = 12$ . Найдите $NC$ . $4$
Отрезок $30$ см разделили в отношении $2 : 3 : 5$ . Найдите части. $6$ , $9$ , $15$ см

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Сформулируйте теорему о пропорциональных отрезках.
Почему нельзя писать $\frac{BM}{M A} = \frac{BN}{BC}$ ?
Как разделить отрезок в отношении $3 : 4$ ?

Домашнее задание

$MN ∥ A C$ , $BM = 9$ , $M A = 6$ , $BC = 25$ . Найдите $BN$ .
Постройте $x$ : $2 : 5 = 4 : x$ (см).
* Трапеция: $A D = a$ , $BC = b$ , $MN ∥ A D$ , $A M : MB = m : n$ . Найдите $MN$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_parallelogramm_i_trapeciya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-009 · Теорема о пропорциональных отрезках

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R01 «Четырехугольники», 22 ч · урок 9/22 · тип Н
Единицы → слайды	R01.9 «Теорема о пропорциональных отрезках» → 2, 4–22 · повторение R01.3, R01.8 (средняя линия, теорема Фалеса) → 3
Результаты	ПР-3 (использовать теорему Фалеса и теорему о пропорциональных отрезках, применять их для решения практических задач) → 4–22
Вне урока	центр масс треугольника — GEOM8U-010; подобие треугольников и MN/AC через подобие — R02 (GEOM8U-023); отношение MN/AC получено без подобия (сл. 13) как задача; случай несоизмеримых отрезков — только в заметках (сл. 6)
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Теорема о пропорциональных отрезках

Сегодня вы научитесь

Доказывать теорему

Составлять пропорции

Строить

Решать задачи

Теорема Фалеса и пропорции

Пропорциональные отрезки

Параллельные прямые «переносят» отношение

Сводим к теореме Фалеса

Найдите отрезки на другой стороне угла

Образец: AA1​∥BB1​, OA=6, AB=4, OA1​=9. Найдите A1​B1​ и OB1​.

Сам (AA1​∥BB1​)

Где «спрятан» угол

Отношение задано — найдите отрезки

Образец: MN∥AC, BM:MA=3:2, BC=20. Найдите BN и NC.

Сам (MN∥AC)

Разделите AB в отношении 2:3

Четвёртый пропорциональный отрезок

Образец: даны отрезки a, b, c. Постройте x: ba​=xc​.

Сам: постройте в тетради

Что запомнить

Теорема

Треугольник и трапеция

Деление в отношении m:n

Нельзя

Две параллели и параллелограмм

Образец: AM:MB=1:2, MN∥BC, NK∥AB, BC=12. Найдите MN.

Сам (тот же чертёж)

Линии сетки — готовые параллели

Образец: A(1;1), B(7;4); вертикаль x=3 пересекает AB в точке C. Найдите AC:CB.

Сам: нарисуйте в тетради

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) MN∥AC, BM=4, MA=6, BC=15. Найдите BN.

б) MN∥AC, BM=3, MA=6, AC=12. Найдите MN.

в) Разделить AB в отношении 2:3, считая от A.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Трапеция: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-009 · Теорема о пропорциональных отрезках

Образец: $A A_{1} ∥ B B_{1}$ , $O A = 6$ , $A B = 4$ , $O A_{1} = 9$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ и $O B_{1}$ .

Сам ( $A A_{1} ∥ B B_{1}$ )

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 3 : 2$ , $BC = 20$ . Найдите $BN$ и $NC$ .

Сам ( $MN ∥ A C$ )

Разделите $A B$ в отношении $2 : 3$

Образец: даны отрезки $a$ , $b$ , $c$ . Постройте $x$ : $\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$ .

Деление в отношении $m : n$

Образец: $A M : MB = 1 : 2$ , $MN ∥ BC$ , $N K ∥ A B$ , $BC = 12$ . Найдите $MN$ .

Образец: $A (1; 1)$ , $B (7; 4)$ ; вертикаль $x = 3$ пересекает $A B$ в точке $C$ . Найдите $A C : CB$ .

а) $MN ∥ A C$ , $BM = 4$ , $M A = 6$ , $BC = 15$ . Найдите $BN$ .

б) $MN ∥ A C$ , $BM = 3$ , $M A = 6$ , $A C = 12$ . Найдите $MN$ .

в) Разделить $A B$ в отношении $2 : 3$ , считая от $A$ .