Четырёхугольники · урок 8 из 22

Теорема Фалеса

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM8U-008

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Четырехугольники» (22 ч), урок 8/22, единица R01.8. Тип урока — Н.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · формулировка 2,5 · доказательство 3 · следствия 1,5 · построение 2,5 · схема 1,5.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 3 + 3 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 17/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец на клетчатой бумаге и ОГЭ 24 — в ДЗ; доказательство теоремы не сокращать.
Нужны циркуль, линейка, угольник (построение на сл. 10–11).

R01.8

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Формулировать и доказывать

теорему Фалеса — с обоснованием каждого шага (ПР-3)

Применять следствия

к треугольнику и трапеции: середины сторон, отрезки на боковой стороне

Делить отрезок на n равных частей

циркулем и линейкой, без измерений

Решать задачи

на вычисление, доказательство и построение, в том числе ОГЭ 23–24

повторение: R01.1, R01.3, R01.7

Разминка · устно

Параллельные прямые и средние линии

$MN$ — средняя линия, $A C = 14$ . Найдите $MN$ . $7$
Какой стороне параллельна $MN$ ? $A C$
Основания трапеции $6$ и $14$ . Средняя линия? $10$
Средняя линия трапеции $9$ , одно основание $5$ . Другое? $13$
$A B ∥ C D$ , $BC ∥ A D$ . Что можно сказать про $A B$ и $C D$ ? $A B = C D$
Отрезки параллельных прямых между двумя параллельными прямыми… равны

R01.8

Теорема Фалеса · формулировка

Равные отрезки на одной прямой — равные на другой

Если на прямой

a

отложить подряд равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые до прямой

b

, то на

b

они отсекут равные отрезки.

A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = A_{3} A_{4}

A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2} ∥ A_{3} B_{3} ∥ A_{4} B_{4}

\Rightarrow

B_{1} B_{2} = B_{2} B_{3} = B_{3} B_{4}

2,5 мин · теория
Формулировка учебника: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.
Важно: прямые a и b могут пересекаться (стороны угла — тогда первой точкой может быть вершина) или быть параллельными (тогда получаются параллелограммы и утверждение очевидно).
Вопрос: равен ли B₁B₂ отрезку A₁A₂? (Нет, в общем случае нет — равны отрезки на одной прямой между собой.) Что будет, если прямые A₁B₁, A₂B₂ не параллельны? (Теорема неверна — нарисовать «веер».)
Фалес Милетский (VI в. до н. э.) — по преданию, измерил высоту пирамиды по её тени.

R01.8

Теорема Фалеса · доказательство

Через параллелограммы и равные треугольники

Дано:

A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3}

,

A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2} ∥ A_{3} B_{3}

.
Доказать:

B_{1} B_{2} = B_{2} B_{3}

.

1Через

B_{2}

проведём

EF ∥ a

через точку вне прямой — единственная параллельная

2

E B_{2} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = B_{2} F

A_{1} A_{2} B_{2} E

,

A_{2} A_{3} F B_{2}

— параллелограммы

3

∠1 = ∠2

,

∠3 = ∠4

вертикальные; накрест лежащие при

A_{1} B_{1} ∥ A_{3} B_{3}

4

△ B_{1} E B_{2} = △ B_{3} F B_{2} \Rightarrow B_{1} B_{2} = B_{2} B_{3}

II признак: сторона и два прилежащих угла

3 мин · теория
Шаг 2 подробно: A₁A₂B₂E — параллелограмм по определению (EB₂ ∥ A₁A₂ по построению, A₁E ∥ A₂B₂ по условию) ⇒ EB₂ = A₁A₂ (противоположные стороны). Так же B₂F = A₂A₃. Это и есть разминка № 6.
Шаг 3: E, B₂, F лежат на одной прямой, B₁, B₂, B₃ — тоже ⇒ ∠1 и ∠2 вертикальные. ∠3 и ∠4 — накрест лежащие при параллельных прямых A₁B₁, A₃B₃ и секущей EF.
Для большего числа отрезков то же рассуждение применяют к каждой паре соседних: B₁B₂ = B₂B₃, B₂B₃ = B₃B₄, …
Вопрос классу на каждом шаге: «почему?» Ответ — серая строка под шагом. Цвет дуг и чёрточек на чертеже совпадает с цветом в записи.

R01.8

Образец → сам · теорема на готовом чертеже

Отрезки на сторонах угла

Образец: $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3}$ , $A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2} ∥ A_{3} B_{3}$ , $O B_{3} = 15$ . Найдите $O B_{2}$ .

$O B_{1} = B_{1} B_{2} = B_{2} B_{3}$ теорема Фалеса (вершина $O$ — первая точка)

$O B_{1} = 15 : 3 = 5$ три равные части

$O B_{2} = 2 \cdot 5 = 10$

Сам (тот же чертёж)

$B_{1} B_{2} = 3, 5$ . Найдите $O B_{3}$ . $10, 5$
Отложено четыре равных отрезка: $O A_{1} = \dots = A_{3} A_{4}$ , прямые параллельны, $O B_{4} = 18$ . Найдите $B_{1} B_{3}$ . $9$
Обратная: $O B_{1} = B_{1} B_{2}$ , $A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2}$ , $O A_{2} = 11$ . Найдите $O A_{1}$ . $5, 5$

2,5 мин · практика
Образец разбирает учитель (по щелчку — шаги с обоснованием), затем ученики решают 1–3 в тетради.
1) OB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ = 3,5 ⇒ OB₃ = 3 · 3,5 = 10,5.
2) Четыре равные части по 18 : 4 = 4,5; B₁B₃ = 2 · 4,5 = 9.
3) Теорему применяем «в другую сторону»: равные отрезки теперь на OB, параллельные прямые пересекают OA ⇒ OA₁ = A₁A₂ = 11 : 2 = 5,5. Теорема не различает, какая из прямых «первая».
Типичная ошибка: считать OB₁ = OA₁ (отрезки на разных сторонах угла не равны).

R01.8

Следствия теоремы Фалеса

Середина стороны и параллельная прямая

$M$ — середина $A B$ , $MN ∥ BC$ $\Rightarrow$ $N$ — середина $A C$ , $MN$ — средняя линия

$M$ — середина $A B$ , $M K ∥ A D$ $\Rightarrow$ $K$ — середина $C D$ , $M K$ — средняя линия

1,5 мин · теория
Треугольник: проведём через A прямую, параллельную BC. Три параллельные прямые (через A, M, B) отсекают на AB равные отрезки AM = MB ⇒ по теореме Фалеса AN = NC. Значит, прямая через середину стороны параллельно другой стороне — это средняя линия.
Трапеция: прямые AD, MK, BC параллельны, AM = MB ⇒ DK = KC. Это даёт удобный способ строить среднюю линию трапеции.
Обратите внимание на направление: Фалес — от параллельности к равенству отрезков. Теорема о средней линии — от середин к параллельности. Это разные утверждения (см. «Найди ошибку»).

R01.8

Образец → сам · комбинированная задача

Боковая сторона трапеции на три части

Образец: $BM = MN = N A$ , $M K ∥ N L ∥ A D$ , $BC = 4$ , $A D = 13$ . Найдите $M K$ и $N L$ .

$C K = K L = L D$ теорема Фалеса

$M K = \frac{4 + N L}{2}$ , $N L = \frac{M K + 13}{2}$ средние линии $BC L N$ , $M KD A$

$M K = 7$ , $N L = 10$ $4, 7, 10, 13$ — шаг $3$

Сам

То же деление на 3 части, $BC = 5$ , $A D = 11$ . Найдите $M K$ и $N L$ . $7$ и $9$
Боковая сторона разделена на 4 равные части, основания $3$ и $15$ . Найдите три отрезка. $6$ , $9$ , $12$
Обратная: деление на 3 части, $M K = 8$ , $N L = 11$ . Найдите основания. $5$ и $14$

3 мин · практика
Образец: по теореме Фалеса CK = KL = LD. Тогда M и K — середины боковых сторон трапеции BCLN ⇒ MK — её средняя линия; N и L — середины боковых сторон трапеции MKDA ⇒ NL — средняя линия. Система: 2MK = 4 + NL, 2NL = MK + 13 ⇒ 4MK = 8 + MK + 13, MK = 7, NL = 10.
Наблюдение (углублённый уровень): длины 4, 7, 10, 13 растут на одно и то же число (13 − 4) : 3 = 3.
1) Шаг (11 − 5) : 3 = 2: MK = 7, NL = 9. 2) Шаг (15 − 3) : 4 = 3: 6, 9, 12. 3) Шаг 11 − 8 = 3: BC = 8 − 3 = 5, AD = 11 + 3 = 14.
Сильным: обосновать «шаг» через средние линии, а не только заметить закономерность.

R01.8

Образец → сам · задача на доказательство

План доказательства и обоснования

Образец: $M K$ — средняя линия трапеции $A BC D$ , $M K \cap A C = P$ . Докажите: $A P = PC$ .

$M K ∥ BC$ свойство средней линии трапеции

в $∠ B A C$ : $A M = MB$ , $MP ∥ BC$ условие

$\Rightarrow A P = PC$ теорема Фалеса (следствие для $△ A BC$ )

Сам: составьте план

$A M = MN = NB$ на стороне $△ A BC$ , $MP ∥ NQ ∥ BC$ , $P, Q \in A C$ . Докажите: $A P = PQ = QC$ . Фалес для $∠ A$
Докажите: середины диагоналей трапеции лежат на её средней линии. образец для $A C$ и для $B D$
$A BC D$ — параллелограмм, $M$ , $N$ — середины $BC$ , $A D$ . Докажите: $A M$ и $CN$ делят $B D$ на три равные части. $A M ∥ CN$ ; Фалес в $∠ B$ и $∠ D$

3 мин · практика
Образец: MK ∥ AD ∥ BC (средняя линия трапеции параллельна основаниям). В треугольнике ABC прямая MP проходит через середину AB параллельно BC ⇒ по следствию теоремы Фалеса P — середина AC.
1) Через A, M, N, B — параллельные прямые (через A — вспомогательная, ∥ BC); на AB отрезки равны ⇒ на AC тоже: AP = PQ = QC.
2) Средняя линия MK пересекает AC в середине (образец), BD — тоже в середине (то же рассуждение в △ABD, MK ∥ AD). Значит, обе середины лежат на MK.
3) AN = MC и AN ∥ MC ⇒ AMCN — параллелограмм (признак 1) ⇒ AM ∥ CN. Пусть AM ∩ BD = P, CN ∩ BD = Q. В ∠B: BM = MC, MP ∥ CQ ⇒ BP = PQ. В ∠D: DN = NA, NQ ∥ AP ⇒ DQ = QP. Итог: BP = PQ = QD.
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования. Сильным — все три; остальным — 1 и 2.

R01.8

Построение · деление отрезка на равные части

Делим отрезок $A B$ на 3 равные части

2,5 мин · теория (учитель строит на доске, ученики повторяют в тетради)
Каждый щелчок — шаг построения и его запись. Длину AP₁ берём любую удобную (2–3 см), важно лишь, чтобы все отрезки на луче были равны.
Параллельные прямые строим угольником и линейкой (сдвигаем угольник вдоль линейки) или циркулем — через равные соответственные углы.
Для n частей откладываем на луче n равных отрезков и соединяем последнюю точку Pₙ с B. Обоснование шага 5 — теорема Фалеса для угла BAX.
Ошибка: соединить с B не последнюю точку; проводить прямые через P₁, P₂ «на глаз», не параллельно P₃B.

R01.8

Образец → сам · задача на построение

Разделите отрезок в данном отношении

Образец: постройте на $A B$ точку $C$ , для которой $A C : CB = 2 : 3$ .

$2 + 3 = 5$ равных отрезков на луче до $P_{5}$

соединяем $P_{5}$ и $B$ , через $P_{2}$ — прямая $∥ P_{5} B$ построение

$A C$ — 2 части, $CB$ — 3 части теорема Фалеса

Сам: циркулем и линейкой

Разделите отрезок $10$ см на $3$ равные части. Проверьте линейкой. $\approx 3, 3$ см каждая
Постройте $C \in A B$ : $A C : CB = 1 : 4$ . 5 отрезков, прямая через $P_{1} ∥ P_{5} B$
Постройте отрезок, равный $\frac{3}{7}$ данного отрезка $A B$ . 7 отрезков, через $P_{3} ∥ P_{7} B$

2,5 мин · практика
Образец: на луче AX откладываем 5 равных отрезков (2 + 3), соединяем P₅ с B и проводим через P₂ прямую, параллельную P₅B, до пересечения с AB в точке C. По теореме Фалеса прямые через P₁, …, P₄ разбили бы AB на 5 равных частей, C — конец второй ⇒ AC : CB = 2 : 3.
1) 10 : 3 = 3,33… см — поэтому делить измерением неудобно, а построением — точно. Расхождение при проверке линейкой до 1 мм допустимо.
2) 1 + 4 = 5 частей, точка через P₁. 3) 7 частей; искомый отрезок — AC, где C получен прямой через P₃, параллельной P₇B.
Деление в отношении «через пропорциональные отрезки» — на следующем уроке (GEOM8U-009); здесь отношение натуральных чисел сводится к делению на равные части.

R01.8

Образец → сам · клетчатая бумага и тетрадь в линейку

Линии тетради — готовые параллельные

Образец: $A (1; 1)$ , $B (11; 6)$ . Разделите $A B$ на 5 равных частей без линейки с делениями.

по горизонтали $10$ клеток: вертикали $x = 3, 5, 7, 9$ равные отрезки по 2 клетки

вертикали параллельны $\Rightarrow$ $(3; 2)$ , $(5; 3)$ , $(7; 4)$ , $(9; 5)$ Фалес

Сам

$A (0; 0)$ , $B (6; 9)$ . Найдите точки деления $A B$ на 3 равные части. $(2; 3)$ и $(4; 6)$
$A (2; 1)$ , $B (10; 7)$ . Найдите точки деления на 4 части. $(4; 2, 5)$ , $(6; 4)$ , $(8; 5, 5)$
Как разделить нитку на 4 равные части с помощью тетради в линейку? концы — на линиях 0 и 4, метки на линиях 1, 2, 3

2 мин · практика
Образец: проекция AB на горизонталь — от x = 1 до x = 11, 10 клеток; вертикальные линии сетки через каждые 2 клетки отсекают на горизонтали равные отрезки и параллельны друг другу ⇒ по теореме Фалеса делят AB на 5 равных частей. Точки: (1 + 2k; 1 + k), k = 1…4.
1) Шаг (6 : 3; 9 : 3) = (2; 3): (2; 3), (4; 6). 2) Шаг (8 : 4; 6 : 4) = (2; 1,5): (4; 2,5), (6; 4), (8; 5,5).
3) Линии тетради параллельны и расположены через равные промежутки (≈ 8 мм). Нитку кладём наклонно так, чтобы концы были на линиях 0 и 4 (длина нитки должна быть больше 4 промежутков); линии 1, 2, 3 делят её на равные части — теорема Фалеса.

R01.8

Схема-конспект

Теорема Фалеса: что дано, что получаем

Дано

на прямой $a$ — равные отрезки подряд
через их концы — параллельные прямые

Получаем

на прямой $b$ — равные отрезки

Следствия

прямая через середину стороны $△$ , $∥$ другой стороне, — средняя линия
то же в трапеции: $∥$ основаниям
средняя линия трапеции делит диагонали пополам

Построение: $A B$ на $n$ частей

луч $A X$ , на нём $n$ равных отрезков
соединить $P_{n}$ и $B$
через $P_{1}, \dots, P_{n - 1}$ — прямые $∥ P_{n} B$

R01.8

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} \Rightarrow B_{1} B_{2} = B_{2} B_{3}$ (прямые $A_{i} B_{i}$ не параллельны)	без параллельности теорема не работает	проверить: $A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2} ∥ A_{3} B_{3}$
$B_{1} B_{2} = A_{1} A_{2}$	равны отрезки на одной прямой между собой	$B_{1} B_{2} = B_{2} B_{3}$ , а $A_{1} A_{2}$ — другой длины
$O A_{1} = 2$ , $A_{1} A_{2} = 3$ $\Rightarrow O B_{1} = B_{1} B_{2}$	отрезки на $a$ не равны	$O B_{1} : B_{1} B_{2} = 2 : 3$ (урок GEOM8U-009)
при построении соединили с $B$ точку $P_{2}$ , а не $P_{3}$	с $B$ соединяют последнюю точку	$P_{n} B$ , остальные прямые $∥ P_{n} B$

R01.8

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = 4$ , $A_{i} B_{i}$ параллельны. Найдите $O B_{3}$ .

$O B_{1} = O A_{1} = 4$

$O B_{3} = 3 \cdot 4 = 12$

$O B_{1} = B_{1} B_{2} = B_{2} B_{3}$ , но их длина не $4$ . Данных об $OB$ нет — найти нельзя

б) Боковая сторона трапеции на 3 части, $BC = 4$ , $A D = 13$ . Найдите $M K$ .

$M K = \frac{4 + 13}{2} = 8, 5$

$M K$ — не средняя линия $A BC D$ : $M$ делит $A B$ в отношении $1 : 2$ ; $M K = 7$

в) $M$ , $N$ — середины $A B$ и $A C$ . «Докажем», что $MN ∥ BC$ .

$A M = MB$ , $A N = NC$ $\Rightarrow$ $MN ∥ BC$ по теореме Фалеса

Фалес — от параллельности к равенству, не наоборот; верно: по теореме о средней линии

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Отрезки на OB равны между собой, но их длина не равна 4 (зависит от угла и направления параллельных). Ответ: «недостаточно данных». Ошибка — строка 1.
б) Формула полусуммы — только для средней линии (через середины боковых сторон). Здесь MK = 7, NL = 10 (сл. 8).
в) Вывод верный, обоснование нет: теорема Фалеса требует параллельности в условии. Здесь нужна теорема о средней линии треугольника (GEOM8U-003) — она доказывается иначе. Это ошибка «перепутаны условие и заключение».

R01.8

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3}$ , прямые $A_{i} B_{i}$ параллельны, $O B_{3} = 21$ . Найдите $O B_{1}$ . $7$
базаТам же $B_{1} B_{2} = 2, 5$ . Найдите $O B_{3}$ . $7, 5$
базаЧерез середину боковой стороны трапеции — прямая $∥$ основаниям $8$ и $12$ . Её отрезок внутри трапеции? $10$

база $M$ — середина $A B$ , $MN ∥ BC$ , $N \in A C$ , $A C = 17$ . Найдите $A N$ . $8, 5$
базаОтрезок $12$ см разделили построением на $5$ равных частей. Длина части? $2, 4$ см
базаОт вершины $O$ — 4 равных отрезка, прямые параллельны, $O B_{4} = 22$ . Найдите $B_{1} B_{3}$ . $11$

R01.8

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A M = MN = NB$ на стороне $△ A BC$ , $MP ∥ NQ ∥ BC$ ( $P, Q \in A C$ ), $BC = 9$ . Найдите $MP$ и $NQ$ . $3$ и $6$
повыш.Основания трапеции $2$ и $17$ , боковая сторона разделена на 5 равных частей, через точки деления — прямые $∥$ основаниям. Найдите отрезки. $5$ , $8$ , $11$ , $14$
повыш. $A BC D$ — параллелограмм, $M$ — середина $BC$ , $A M \cap B D = P$ , $B D = 18$ . Найдите $BP$ . $6$
из жизниДоску шириной $23$ см надо разрезать вдоль на 4 равные полосы. Как разметить её рулеткой без вычислений? рулетку наискосок: 0 и 40 см на краях, метки 10, 20, 30

2,5 мин · практика
1) По Фалесу AP = PQ = QC. MP — средняя линия △ANQ ⇒ MP = NQ : 2. NQ — средняя линия трапеции MPCB ⇒ NQ = (MP + 9) : 2. Отсюда NQ = (NQ/2 + 9)/2, 4NQ = NQ + 18, NQ = 6, MP = 3.
2) Шаг (17 − 2) : 5 = 3: 5, 8, 11, 14 (каждый отрезок — средняя линия соседней «маленькой» трапеции).
3) Как в образце сл. 9 (задание 3): AM и CN делят BD на три равные части ⇒ BP = 18 : 3 = 6.
4) Края доски — параллельные прямые. Кладём рулетку наклонно (40 см > 23 см), отметки 10, 20, 30 см; прямые через них, параллельные краям, по теореме Фалеса делят ширину на 4 равные части. Так размечают плотники и швеи.

R01.8 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 17Основания трапеции равны $7$ и $49$ . Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей. $24, 5$
ОГЭ 17Средняя линия трапеции равна $11$ , меньшее основание равно $5$ . Найдите большее основание. $17$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Параллельные прямые, проходящие через концы равных отрезков одной стороны угла, отсекают на другой стороне равные отрезки.
Средняя линия трапеции равна полусумме её боковых сторон.
Прямая через середину стороны треугольника, параллельная другой стороне, делит третью сторону пополам.

Ответ: 13

R01.8 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Основания трапеции равны $6$ и $16$ . Найдите длину отрезка $PQ$ , соединяющего середины её диагоналей.

$P$ , $Q$ лежат на средней линии $M K = 11$ следствие теоремы Фалеса

$MP = Q K = 6 : 2 = 3$ средние линии $△ A BC$ , $△ BC D$

$PQ = 11 - 3 - 3 = 5$

ОГЭ 24 $A M$ — медиана $△ A BC$ , $K$ — середина $A M$ , $B K \cap A C = P$ . Докажите: $A P = \frac{1}{3} A C$ .

$MN ∥ BP$ : в $∠ C$ $CM = MB$ ⇒ $CN = NP$ (Фалес)

в $∠ A$ : $A K = K M$ , $K P ∥ MN$ ⇒ $A P = PN$

$A P = PN = NC$ ⇒ $A P = \frac{1}{3} A C$

2 мин · практика
23) Пусть BC = 6, AD = 16, MK — средняя линия, MK = (6 + 16) : 2 = 11. По следствию (сл. 9) MK проходит через середины P и Q диагоналей AC и BD. MP — средняя линия △ABC: MP = BC : 2 = 3; QK — средняя линия △BCD: QK = 3. PQ = 11 − 6 = 5. Общая формула: PQ = (AD − BC) : 2.
24) Дополнительное построение: через M — прямая MN ∥ BP, N ∈ AC. В угле C: CM = MB и MN ∥ BP ⇒ CN = NP. В угле A: AK = KM и KP ∥ MN ⇒ AP = PN. Значит, AC разбит на три равных отрезка: AP = AC : 3.
Критерий для 24 (2 балла): названо и обосновано дополнительное построение, дважды применена теорема Фалеса с проверкой параллельности. На уроке — устный план (2 мин), полная запись — в ДЗ по желанию.

R01.8

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3}$ , прямые $A_{i} B_{i}$ параллельны, $O B_{3} = 18$ . Найдите $B_{1} B_{3}$ . $12$
Боковая сторона трапеции на 3 равные части, прямые $∥$ основаниям $6$ и $18$ . Найдите отрезки. $10$ и $14$
$M$ — середина $A B$ , $MN ∥ BC$ , $N \in A C$ , $A N = 6, 5$ . Найдите $A C$ . $13$
Как построить $C \in A B$ , $A C : CB = 3 : 2$ ? 5 отрезков, через $P_{3} ∥ P_{5} B$

Вариант 2

$O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = A_{3} A_{4}$ , прямые параллельны, $O B_{4} = 20$ . Найдите $B_{2} B_{4}$ . $10$
Боковая сторона трапеции на 3 равные части, прямые $∥$ основаниям $4$ и $19$ . Найдите отрезки. $9$ и $14$
$M$ — середина $A B$ трапеции, $M K ∥ A D$ , $K \in C D$ , $C D = 15$ . Найдите $C K$ . $7, 5$
Как построить $C \in A B$ , $A C : CB = 1 : 3$ ? 4 отрезка, через $P_{1} ∥ P_{4} B$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Сформулируйте теорему Фалеса.
Без какого условия она неверна?
Как разделить отрезок на 7 равных частей?

Домашнее задание

Основания трапеции $3$ и $23$ , боковая сторона на 4 части. Найдите отрезки.
Разделите отрезок $11$ см на 3 равные части построением.
* $A M = MN = NB$ , $MP ∥ NQ ∥ BC$ , $BC = 12$ . Найдите $MP + NQ$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_parallelogramm_i_trapeciya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-008 · Теорема Фалеса

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R01 «Четырехугольники», 22 ч · урок 8/22 · тип Н
Единицы → слайды	R01.8 «Теорема Фалеса» → 2, 4–21 · повторение R01.1, R01.3, R01.7 → 3
Результаты	ПР-3 (средние линии, теорема Фалеса, практические задачи) → 4–21; вид деятельности «деление отрезка на равные части циркулем и линейкой» → 10–12
Вне урока	теорема о пропорциональных отрезках — GEOM8U-009 (упомянута на сл. 11, 13, 14); центр масс треугольника — R01.10; подобие — R02
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Теорема Фалеса

Сегодня вы научитесь

Формулировать и доказывать

Применять следствия

Делить отрезок на n равных частей

Решать задачи

Параллельные прямые и средние линии

Равные отрезки на одной прямой — равные на другой

Через параллелограммы и равные треугольники

Отрезки на сторонах угла

Образец: OA1​=A1​A2​=A2​A3​, A1​B1​∥A2​B2​∥A3​B3​, OB3​=15. Найдите OB2​.

Сам (тот же чертёж)

Середина стороны и параллельная прямая

Боковая сторона трапеции на три части

Образец: BM=MN=NA, MK∥NL∥AD, BC=4, AD=13. Найдите MK и NL.

Сам

План доказательства и обоснования

Образец: MK — средняя линия трапеции ABCD, MK∩AC=P. Докажите: AP=PC.

Сам: составьте план

Делим отрезок AB на 3 равные части

Разделите отрезок в данном отношении

Образец: постройте на AB точку C, для которой AC:CB=2:3.

Сам: циркулем и линейкой

Линии тетради — готовые параллельные

Образец: A(1;1), B(11;6). Разделите AB на 5 равных частей без линейки с делениями.

Сам

Теорема Фалеса: что дано, что получаем

Дано

Получаем

Следствия

Построение: AB на n частей

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) OA1​=A1​A2​=A2​A3​=4, Ai​Bi​ параллельны. Найдите OB3​.

б) Боковая сторона трапеции на 3 части, BC=4, AD=13. Найдите MK.

в) M, N — середины AB и AC. «Докажем», что MN∥BC.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-008 · Теорема Фалеса

Образец: $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3}$ , $A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2} ∥ A_{3} B_{3}$ , $O B_{3} = 15$ . Найдите $O B_{2}$ .

Образец: $BM = MN = N A$ , $M K ∥ N L ∥ A D$ , $BC = 4$ , $A D = 13$ . Найдите $M K$ и $N L$ .

Образец: $M K$ — средняя линия трапеции $A BC D$ , $M K \cap A C = P$ . Докажите: $A P = PC$ .

Делим отрезок $A B$ на 3 равные части

Образец: постройте на $A B$ точку $C$ , для которой $A C : CB = 2 : 3$ .

Образец: $A (1; 1)$ , $B (11; 6)$ . Разделите $A B$ на 5 равных частей без линейки с делениями.

Построение: $A B$ на $n$ частей

а) $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = 4$ , $A_{i} B_{i}$ параллельны. Найдите $O B_{3}$ .

б) Боковая сторона трапеции на 3 части, $BC = 4$ , $A D = 13$ . Найдите $M K$ .

в) $M$ , $N$ — середины $A B$ и $A C$ . «Докажем», что $MN ∥ BC$ .