Четырёхугольники · урок 7 из 22

Средняя линия трапеции

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM8U-007

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Четырехугольники» (22 ч), урок 7/22, единица R01.7. Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · определение 2 · теорема 3 · отрезок между диагоналями 2,5 · признак 2 · схема 2.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 17/18 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец на клетчатой бумаге и ОГЭ 24 — в ДЗ; доказательства не сокращать.

R01.7

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать среднюю линию

трапеции по определению и строить её (ПР-3)

Доказывать теорему

о средней линии через среднюю линию треугольника

Находить отрезки

среднюю линию, основания, часть между диагоналями (ПР-3)

Решать задачи

на вычисление и доказательство, в том числе ОГЭ 17, 18, 23, 24

повторение: уроки 3–6

Разминка · устно

Средняя линия треугольника и трапеция

$MN$ — средняя линия, $A C = 18$ . Найдите $MN$ . $9$
Средняя линия треугольника равна $7$ . Сторона, которой она параллельна? $14$
Периметр треугольника $30$ . Периметр треугольника из его средних линий? $15$
Трапеция $A BC D$ , $A D ∥ BC$ , $∠ A = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ . $11 0^{\circ}$ — односторонние
Равнобедренная трапеция, $∠ A = 6 5^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $11 5^{\circ}$
Сколько пар параллельных сторон у трапеции? одна

R01.7

Определение

Что такое средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

A M = MB

,

D N = NC

$MN$ — средняя линия трапеции $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ).

Основания: $A D = a$ , $BC = b$ . У трапеции одна средняя линия.

R01.7

Теорема · доказательство

Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме

Дано:

A BC D

— трапеция,

A D ∥ BC

,

MN

— средняя линия.
Доказать:

MN ∥ A D

,

MN = \frac{A D + BC}{2}

.

1

P

— середина диагонали

A C

дополнительное построение

2

MP ∥ BC

,

MP = \frac{BC}{2}

средняя линия

△ A BC

3

PN ∥ A D

,

PN = \frac{A D}{2}

средняя линия

△ A C D

4

M

,

P

,

N

— на одной прямой

MP ∥ A D

,

PN ∥ A D

: через

P

одна прямая

∥ A D

5

MN = MP + PN = \frac{A D + BC}{2}

,

MN ∥ A D ∥ BC

3 мин · теория
Каждый шаг — вопрос классу «почему?». Шаг 4 — ключевой: MP ∥ BC и BC ∥ AD ⇒ MP ∥ AD; прямые MP и PN проходят через одну точку P параллельно AD — по аксиоме параллельных это одна прямая.
Формула: $MN = \frac{a + b}{2}$ — средняя линия равна полусумме оснований (среднее арифметическое).
Углублённый уровень: второе доказательство (по желанию, устно) — продлить BN до пересечения с прямой AD в точке K; △BCN = △KDN (II признак: CN = ND, вертикальные углы, накрест лежащие) ⇒ BN = NK, DK = BC; MN — средняя линия △ABK ⇒ MN = AK/2 = (AD + BC)/2.

R01.7

Образец → сам · прямое применение и обратная задача

Средняя линия и основания

Образец: $BC = 6$ , $A D = 14$ . Найдите среднюю линию $MN$ . Затем: $MN = 10$ , $A D = 14$ — найдите $BC$ .

$MN = \frac{14 + 6}{2} = 10$ теорема о средней линии

$\frac{14 + BC}{2} = 10 \Rightarrow BC = 20 - 14 = 6$ обратная задача

Сам

Основания $9$ и $15$ . Найдите среднюю линию. $12$
Средняя линия $16$ , меньшее основание $11$ . Найдите большее. $21$
Средняя линия $8$ , одно основание втрое больше другого. Найдите основания. $4$ и $12$

R01.7 · R01.5 · R01.6

Образец → сам · комбинированная задача

Средняя линия и виды трапеций

Образец: трапеция равнобедренная, боковая сторона $10$ , периметр $48$ . Найдите среднюю линию.

$A D + BC = 48 - 2 \cdot 10 = 28$ периметр

$MN = \frac{28}{2} = 14$ нужна только сумма оснований

Сам

$P = 40$ , боковые стороны $7$ и $9$ . Найдите среднюю линию. $12$
Прямоугольная трапеция: острый угол $4 5^{\circ}$ , $BC = 5$ , высота $4$ . Найдите среднюю линию. $7$
Равнобедренная: $∠ A = 6 0^{\circ}$ , боковая $8$ , $BC = 6$ . Найдите среднюю линию. $10$

R01.7

Свойство · доказательство

Отрезок средней линии между диагоналями

Дано:

MN

— средняя линия,

P = MN \cap A C

,

Q = MN \cap B D

,

A D > BC

.
Доказать:

PQ = \frac{A D - BC}{2}

.

1

MP = \frac{BC}{2}

P

— середина

A C

(теорема), средняя линия

△ A BC

2

MQ = \frac{A D}{2}

так же

Q

— середина

B D

: средняя линия

△ A B D

3

PQ = MQ - MP = \frac{A D - BC}{2}

средняя линия делит диагонали пополам

R01.7

Образец → сам · средняя линия и диагонали

Три части средней линии

Образец: $BC = 8$ , $A D = 18$ . Диагонали делят $MN$ на части $MP$ , $PQ$ , $QN$ . Найдите их.

$MP = QN = \frac{8}{2} = 4$ средние линии $△ A BC$ , $△ BC D$

$PQ = \frac{18 - 8}{2} = 5$ проверка: $4 + 5 + 4 = 13 = \frac{18 + 8}{2}$

Сам

$A D = 20$ , $BC = 12$ . Найдите $PQ$ . $4$
$MN = 12$ , $PQ = 3$ . Найдите основания. $15$ и $9$
Диагонали делят среднюю линию на три равные части. Найдите $A D : BC$ . $2 : 1$

R01.7

Признак · доказательство

Прямая через середину боковой стороны параллельно основаниям

Дано:

A M = MB

,

MN ∥ A D

,

N \in C D

.
Доказать:

N

— середина

C D

, т. е.

MN

— средняя линия.

1

N_{0}

— середина

C D

,

M N_{0}

— средняя линияопределение

2

M N_{0} ∥ A D

теорема о средней линии

3прямые

MN

и

M N_{0}

совпадают ⇒

N = N_{0}

через

M

одна прямая

∥ A D

(аксиома)

R01.7

Схема-конспект

Средняя линия трапеции: всё на одном листе

Определение и признак

соединяет середины боковых сторон
прямая через середину боковой стороны $∥$ основаниям — средняя линия

⟶

$MN$ и $PQ$

⟶

Свойства

$MN ∥ A D ∥ BC$
$MN = \frac{a + b}{2}$
делит диагонали пополам
$PQ = \frac{a - b}{2}$

R01.7

Образец → сам · задача на доказательство

План доказательства и обоснования

Образец: в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Докажите: высота равна средней линии.

$C K ∥ B D$ : $BC KD$ — параллелограмм, $DK = BC$ , $C K = B D = A C$

$△ A C K$ : $A C = C K$ , $A C ⊥ C K$

$C H = \frac{A K}{2} = \frac{A D + BC}{2} = MN$ медиана к гипотенузе

Сам: составьте план

Равнобедренная трапеция, диагонали перпендикулярны, средняя линия $7$ . Найдите высоту. $7$
$M$ — середина $A B$ , прямая через $M$ $∥ A D$ пересекает $B D$ в $Q$ . Докажите: $BQ = Q D$ . в $△ A B D$ : $M Q_{0}$ — средняя линия, $∥ A D$ ⇒ $Q = Q_{0}$
$A D = 2 BC$ . Докажите: $MP = PQ = QN$ . $\frac{b}{2}$ , $\frac{2 b - b}{2}$ , $\frac{b}{2}$

3 мин · практика
Образец: через C проводим CK ∥ BD до пересечения с прямой AD. BCKD — параллелограмм (BC ∥ DK, CK ∥ BD) ⇒ DK = BC, CK = BD. В равнобедренной трапеции диагонали равны: AC = BD = CK. AC ⊥ BD и CK ∥ BD ⇒ AC ⊥ CK. В равнобедренном прямоугольном △ACK высота CH — медиана, а медиана к гипотенузе равна её половине (CH = AH = HK, углы по 45°). AK = AD + DK = AD + BC ⇒ CH = (AD + BC)/2 = MN.
1) h = MN = 7. 2) Q₀ — середина BD; MQ₀ — средняя линия △ABD ⇒ MQ₀ ∥ AD; через M одна прямая ∥ AD ⇒ Q = Q₀ ⇒ BQ = QD. 3) MP = QN = b/2 (средние линии △ABC и △BCD), PQ = (2b − b)/2 = b/2.
Работа в парах; сильным — все три, остальным — 1 и 3.

R01.7

Образец → сам · клетчатая бумага

Средняя линия по клеткам

Образец: $A (0; 0)$ , $B (2; 4)$ , $C (5; 4)$ , $D (9; 0)$ . Найдите среднюю линию двумя способами.

$M (1; 2)$ , $N (7; 2)$ : $MN = 6$ клеток середины по клеткам

$\frac{9 + 3}{2} = 6$ по формуле — совпало

Сам: нарисуйте в тетради

$A (0; 0)$ , $B (2; 4)$ , $C (6; 4)$ , $D (10; 0)$ . Найдите $MN$ и координаты $M$ , $N$ . $7$ ; $M (1; 2)$ , $N (8; 2)$
$M (1; 3)$ , $N (8; 3)$ — концы средней линии, $BC = 4$ . Найдите $A D$ . $10$
$A (0; 1)$ , $B (2; 5)$ , $C (5; 5)$ , $D (9; 1)$ . Найдите $PQ$ . $3$

R01.7

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
«Средняя линия соединяет середины оснований»	по определению — середины боковых сторон	$M \in A B$ , $N \in C D$ — боковые стороны
$MN = \frac{A B + C D}{2}$	полусумма берётся от оснований, не от боковых сторон	$MN = \frac{A D + BC}{2}$
$PQ = \frac{MN}{2}$	часть между диагоналями зависит от разности оснований	$PQ = \frac{a - b}{2}$
$MP = \frac{A D}{2}$ , где $P \in A C$	$MP$ — средняя линия $△ A BC$ , она параллельна $BC$	$MP = \frac{BC}{2}$ , $MQ = \frac{A D}{2}$

R01.7

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Основания $6$ и $14$ . Найдите среднюю линию.

$MN = \frac{14 - 6}{2} = 4$

$MN = \frac{14 + 6}{2} = 10$ ; $4$ — это $PQ$

б) Средняя линия $12$ , $BC = 8$ . Найдите $A D$ .

$\frac{A D + 8}{2} = 12$

$A D = 12 \cdot 2 + 8 = 32$

$A D = 24 - 8 = 16$

в) $A D = 18$ , $BC = 8$ , $P = MN \cap A C$ . Найдите $MP$ .

$MP$ — средняя линия $△ A B D$ , $MP = 9$

$MP$ — средняя линия $△ A BC$ : $MP = 4$

R01.7

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

базаОснования $4$ и $10$ . Найдите среднюю линию. $7$
базаСредняя линия $9$ , $A D = 13$ . Найдите $BC$ . $5$
базаОснования относятся как $3 : 5$ , средняя линия $16$ . Найдите основания. $12$ и $20$

базаОснования $7$ и $15$ . Найдите отрезок средней линии между диагоналями. $4$
базаСредняя линия $10$ , одно основание на $6$ больше другого. Найдите основания. $7$ и $13$
базаРавнобедренная трапеция: $P = 50$ , боковая $13$ . Найдите среднюю линию. $12$

R01.7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Диагональ делит среднюю линию на отрезки $4$ и $7$ . Найдите основания. $8$ и $14$
повыш.Средняя линия $15$ , отрезок между серединами диагоналей $3$ . Найдите основания. $18$ и $12$
повыш.Равнобедренная трапеция: острый угол $4 5^{\circ}$ , высота $5$ , средняя линия $12$ . Найдите основания. $17$ и $7$
из жизниСтремянка: верхняя перекладина $30$ см, нижняя $50$ см, между ними ещё три на равных расстояниях. Найдите их длины. $35$ , $40$ , $45$ см

R01.7 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17 и 18

Ответ — одно число

ОГЭ 17Основания трапеции равны $3$ и $9$ . Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию одна из её диагоналей. $4, 5$
ОГЭ 17Средняя линия трапеции равна $11$ , меньшее основание $5$ . Найдите большее основание. $17$

ОГЭ 18 Клетка $1 \times 1$ . Найдите среднюю линию трапеции.

Ответ: $5, 5$

R01.7 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Высота $C H$ равнобедренной трапеции делит основание $A D$ на отрезки $11$ и $4$ . Найдите $BC$ и среднюю линию.

$HD = \frac{A D - BC}{2} = 4$ , $A D = 15$ ⇒ $BC = 15 - 8 = 7$

$MN = \frac{15 + 7}{2} = 11 = A H$

ОГЭ 24 Биссектрисы углов $A$ и $B$ трапеции ( $A D ∥ BC$ ) пересекаются в точке $K$ . Докажите, что $K$ лежит на средней линии.

$∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$ ⇒ $∠ A K B = 9 0^{\circ}$ ; медиана $K M = \frac{A B}{2} = A M$

$∠ M K A = ∠ M A K = ∠ K A D$ ⇒ $M K ∥ A D$ ⇒ признак

2 мин · практика
23) В равнобедренной трапеции высоты из B и C отсекают равные отрезки: HD = (AD − BC)/2 = 4, AD = 11 + 4 = 15, BC = 15 − 2 · 4 = 7. Средняя линия (15 + 7)/2 = 11 — совпадает с AH = (AD + BC)/2: полезный факт.
24) Полное решение: ∠A + ∠B = 180° (односторонние), половины в сумме 90° ⇒ ∠AKB = 90°. M — середина AB, KM — медиана прямоугольного △AKB, KM = AB/2 = AM ⇒ △AMK равнобедренный, ∠MKA = ∠MAK = ∠KAD ⇒ MK ∥ AD (накрест лежащие при секущей AK) ⇒ по признаку прямая MK — прямая средней линии, K на ней.
На уроке — устное обсуждение плана; запись 24 полностью — в ДЗ.

R01.7

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Основания $8$ и $14$ . Найдите среднюю линию. $11$
Средняя линия $13$ , $BC = 9$ . Найдите $A D$ . $17$
$A D = 16$ , $BC = 10$ . Найдите отрезок средней линии между диагоналями. $3$
Равнобедренная: $∠ A = 6 0^{\circ}$ , боковая $6$ , $BC = 5$ . Найдите среднюю линию. $8$

Вариант 2

Основания $5$ и $17$ . Найдите среднюю линию. $11$
Средняя линия $12$ , $A D = 19$ . Найдите $BC$ . $5$
$A D = 22$ , $BC = 8$ . Найдите отрезок средней линии между диагоналями. $7$
Равнобедренная: $∠ A = 4 5^{\circ}$ , высота $3$ , $BC = 4$ . Найдите среднюю линию. $7$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что соединяет средняя линия трапеции?
Чему она равна и чему параллельна?
Чему равен её отрезок между диагоналями?

Домашнее задание

Средняя линия $14$ , основания относятся как $2 : 5$ . Найдите основания.
Запишите полное решение ОГЭ 24 со слайда.
* Докажите теорему о средней линии вторым способом (продлив $BN$ до прямой $A D$ ).
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_parallelogramm_i_trapeciya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-007 · Средняя линия трапеции

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R01 «Четырехугольники», 22 ч · урок 7/22 · тип Н
Единицы → слайды	R01.7 «Средняя линия трапеции» → 2, 4–21 · повторение R01.3–R01.6 → 3, 7
Результаты	ПР-3 (средняя линия треугольника и трапеции, применение свойств) → 4–21; ПР-1 (виды трапеций) → 7, 19
Вне урока	теорема Фалеса — GEOM8U-008; теорема о пропорциональных отрезках — GEOM8U-009; площадь трапеции — R03
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Средняя линия трапеции

Сегодня вы научитесь

Узнавать среднюю линию

Доказывать теорему

Находить отрезки

Решать задачи

Средняя линия треугольника и трапеция

Что такое средняя линия трапеции

Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме

Средняя линия и основания

Образец: BC=6, AD=14. Найдите среднюю линию MN. Затем: MN=10, AD=14 — найдите BC.

Сам

Средняя линия и виды трапеций

Образец: трапеция равнобедренная, боковая сторона 10, периметр 48. Найдите среднюю линию.

Сам

Отрезок средней линии между диагоналями

Три части средней линии

Образец: BC=8, AD=18. Диагонали делят MN на части MP, PQ, QN. Найдите их.

Сам

Прямая через середину боковой стороны параллельно основаниям

Средняя линия трапеции: всё на одном листе

Определение и признак

Свойства

План доказательства и обоснования

Образец: в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Докажите: высота равна средней линии.

Сам: составьте план

Средняя линия по клеткам

Образец: A(0;0), B(2;4), C(5;4), D(9;0). Найдите среднюю линию двумя способами.

Сам: нарисуйте в тетради

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Основания 6 и 14. Найдите среднюю линию.

б) Средняя линия 12, BC=8. Найдите AD.

в) AD=18, BC=8, P=MN∩AC. Найдите MP.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 18 Клетка 1×1. Найдите среднюю линию трапеции.

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-007 · Средняя линия трапеции

Образец: $BC = 6$ , $A D = 14$ . Найдите среднюю линию $MN$ . Затем: $MN = 10$ , $A D = 14$ — найдите $BC$ .

Образец: трапеция равнобедренная, боковая сторона $10$ , периметр $48$ . Найдите среднюю линию.

Образец: $BC = 8$ , $A D = 18$ . Диагонали делят $MN$ на части $MP$ , $PQ$ , $QN$ . Найдите их.

Образец: $A (0; 0)$ , $B (2; 4)$ , $C (5; 4)$ , $D (9; 0)$ . Найдите среднюю линию двумя способами.

а) Основания $6$ и $14$ . Найдите среднюю линию.

б) Средняя линия $12$ , $BC = 8$ . Найдите $A D$ .

в) $A D = 18$ , $BC = 8$ , $P = MN \cap A C$ . Найдите $MP$ .

ОГЭ 18 Клетка $1 \times 1$ . Найдите среднюю линию трапеции.