Четырёхугольники · урок 6 из 22

Прямоугольная трапеция

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM8U-006

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Четырехугольники» (22 ч), урок 6/22, единица R01.6. Тип урока — Н.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · определение 2 · свойства 2,5 · признак 2 · приём «высота из тупого угла» 2,5 · сводка видов трапеций 2.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 17/18 — 2 · ОГЭ 19/23 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: задания «сам» к образцу 5 (доказательства) и задачу ОГЭ 23 — в ДЗ; доказательства свойств и признака не сокращать.

R01.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать прямоугольную трапецию

по определению, называть её элементы (ПР-1)

Доказывать свойства и признак

с обоснованием каждого шага

Проводить высоту из тупого угла

и сводить задачу к прямоугольнику и прямоугольному треугольнику

Решать задачи

с углами $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ , в том числе ОГЭ 17, 18, 23

повторение: 7 класс, GEOM8U-004–005

Разминка · устно

Трапеция и прямоугольный треугольник

Гипотенуза $14$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите катет «?». $7$ — против $3 0^{\circ}$
Острый угол прямоугольного треугольника $4 5^{\circ}$ , катет $6$ . Другой катет? $6$
Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне? $18 0^{\circ}$
Острый угол равнобедренной трапеции $7 0^{\circ}$ . Тупой? $11 0^{\circ}$
Что длиннее: перпендикуляр или наклонная из одной точки? наклонная
Четырёхугольник с тремя прямыми углами — это… прямоугольник

2 мин · практика
Ответы: 1) 7 — катет против угла 30° равен половине гипотенузы (на чертеже «?» лежит против 30°). 2) 6 — треугольник равнобедренный (второй острый угол тоже 45°). 3) 180° — односторонние углы при основаниях-параллельных и секущей-боковой стороне. 4) 180° − 70° = 110°. 5) Наклонная (она — гипотенуза, перпендикуляр — катет). 6) Прямоугольник (четвёртый угол 360° − 270° = 90°, урок GEOM8U-002).
Все шесть фактов работают сегодня: прямоугольная трапеция «разрезается» высотой на прямоугольник и прямоугольный треугольник.

R01.6

Определение

Что такое прямоугольная трапеция

Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

BC ∥ A D

,

A B ⊥ A D

$A B$ — меньшая боковая сторона, она же высота $h$ .

$C D$ — наклонная боковая сторона: $∠ D$ острый, $∠ C$ тупой.

2 мин · теория
Обозначения на всём уроке: ABCD, BC ∥ AD (BC — меньшее основание), прямые углы при вершинах A и B. Квадратики — прямые углы, стрелки — параллельность.
Вопрос: почему AB ⊥ BC, если в определении сказано только AB ⊥ AD? (Прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой.)
По первому щелчку — высота CH из вершины тупого угла: это главный приём урока. Вопрос: какой фигурой стал ABCH? (прямоугольник)
Ошибка: называть прямоугольной трапецию «с прямым углом при большем основании и острым при меньшем» — прямые углы всегда прилежат к одной боковой стороне.

R01.6

Свойства · доказательство

Высота делит трапецию на прямоугольник и треугольник

Дано:

A BC D

— трапеция,

BC ∥ A D

,

∠ A = 9 0^{\circ}

,

C H ⊥ A D

.
Доказать:

∠ B = 9 0^{\circ}

;

A H = BC

,

C H = A B

;

C D > A B

.

1

∠ B = 18 0^{\circ} - ∠ A = 9 0^{\circ}

односторонние,

BC ∥ A D

, секущая

A B

2

A BC H

— прямоугольниктри прямых угла:

∠ A

,

∠ B

,

∠ H

3

A H = BC

,

C H = A B

,

HD = A D - BC

противоположные стороны прямоугольника

4

C D > C H = A B

в

△ C HD

гипотенуза больше катета

2,5 мин · теория
Формулировки свойств: 1) у прямоугольной трапеции два прямых угла — при меньшей боковой стороне; 2) меньшая боковая сторона равна высоте; 3) высота из вершины тупого угла отсекает прямоугольник и прямоугольный треугольник, AH = BC, HD = AD − BC; 4) наклонная боковая сторона больше перпендикулярной.
Каждый шаг — вопрос классу «почему?». Цвет на чертеже совпадает с цветом в записи: прямоугольник — фиолетовый, треугольник — розовый.
Следствие: ∠C + ∠D = 180° (односторонние при BC ∥ AD и секущей CD), ∠D острый, ∠C тупой.
Ошибка: писать HD = AD − AB — путают сторону и основание (AH равна основанию BC).

R01.6

Образец → сам · углы прямоугольной трапеции

Два угла прямые — остальные в сумме 180°

Образец: тупой угол прямоугольной трапеции на $5 0^{\circ}$ больше острого. Найдите все углы.

$∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}$ свойство 1

$x + (x + 5 0^{\circ}) = 18 0^{\circ}$ односторонние, $BC ∥ A D$

$∠ D = 6 5^{\circ}$ , $∠ C = 11 5^{\circ}$

Сам

$∠ C = 3∠ D$ . Найдите $∠ C$ и $∠ D$ . $13 5^{\circ}$ и $4 5^{\circ}$
$∠ BC A = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ C A D$ и $∠ B A C$ . $4 0^{\circ}$ и $5 0^{\circ}$
Сумма двух углов прямоугольной трапеции $20 0^{\circ}$ . Найдите острый угол. $7 0^{\circ}$

R01.6

Признак · доказательство

Когда четырёхугольник — прямоугольная трапеция

Дано:

∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}

,

BC \neq = A D

.
Доказать:

A BC D

— прямоугольная трапеция.

1

∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}

\Rightarrow

BC ∥ A D

признак параллельности: односторонние, секущая

A B

2

A B ∦ C D

иначе

A BC D

— параллелограмм и

BC = A D

, а

BC \neq = A D

3

A BC D

— трапеция с основаниями

BC

,

A D

одна пара параллельных сторон

4

A B ⊥ A D

\Rightarrow

прямоугольнаяпо определению

2 мин · теория
Признак 1 (ещё проще): трапеция, у которой есть прямой угол, — прямоугольная. Если ∠A = 90° при основании AD, то боковая сторона AB ⊥ AD по определению.
Признак 2 (доказываем): четырёхугольник, у которого два соседних угла прямые, а стороны, к ним прилежащие (BC и AD), не равны, — прямоугольная трапеция. Последний щелчок — стрелки BC ∥ AD на чертеже (итог шага 1).
Вопрос: а если BC = AD? (Тогда это прямоугольник — признак параллелограмма по равным и параллельным сторонам.)
Ошибка: «у четырёхугольника два прямых угла ⇒ трапеция». Контрпример: прямые углы при противоположных вершинах (дельтоид с ∠A = ∠C = 90°) — параллельных сторон нет.

R01.6

Главный приём · высота из тупого угла

Треугольник $C HD$ с углами $4 5^{\circ}$ , $3 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$

$∠ D = 4 5^{\circ}$

$HD = C H = A B$

$∠ D = 3 0^{\circ}$

$C H = \frac{C D}{2}$ против $3 0^{\circ}$

$∠ D = 6 0^{\circ}$

$HD = \frac{C D}{2}$ $∠ H C D = 3 0^{\circ}$

A D = BC + HD

,

C H = A B

2,5 мин · теория
Алгоритм: 1) провести высоту CH из вершины тупого угла; 2) ABCH — прямоугольник: AH = BC, CH = AB; 3) в прямоугольном △CHD применить факт про угол 45° (равнобедренный) или 30° (катет против 30° — половина гипотенузы); 4) собрать ответ: AD = BC + HD.
45°: ∠HCD = 45°, △CHD равнобедренный ⇒ HD = CH. 30° при D: CH лежит против ∠D ⇒ CH = CD/2. 60° при D: ∠HCD = 30°, против него лежит HD ⇒ HD = CD/2.
Вопрос: при ∠D = 60° можно ли сказать, что CH = CD/2? (Нет — это катет против 60°, он длиннее половины гипотенузы; найдём его после теоремы Пифагора, R04.)

R01.6

Образец → сам · угол 45°

Найдите основание через высоту

Образец: $A B = 6$ , $BC = 4$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A D$ .

$C H ⊥ A D$ : $C H = A B = 6$ , $A H = BC = 4$ $A BC H$ — прямоугольник

$HD = C H = 6$ $∠ H C D = 4 5^{\circ}$ , $△ C HD$ равнобедренный

$A D = 4 + 6 = 10$

Сам

$A B = 5$ , $A D = 12$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $7$
$BC = 3$ , $A D = 11$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ . Найдите высоту. $8$
$∠ C = 13 5^{\circ}$ , $A B = BC = 7$ . Найдите $A D$ . $14$

R01.6

Образец → сам · углы 30° и 60°

Против угла 30° — половина гипотенузы

Образец: $∠ C = 12 0^{\circ}$ , $C D = 10$ , $BC = 7$ . Найдите $A D$ .

$∠ D = 6 0^{\circ}$ , $∠ H C D = 3 0^{\circ}$ односторонние; $△ C HD$

$HD = \frac{C D}{2} = 5$ катет против $3 0^{\circ}$

$A D = A H + HD = 7 + 5 = 12$

Сам

$∠ D = 3 0^{\circ}$ , $C D = 16$ . Найдите высоту $A B$ . $8$
$∠ D = 6 0^{\circ}$ , $A D = 15$ , $BC = 9$ . Найдите $C D$ . $12$
$∠ C = 15 0^{\circ}$ , $A B = 6$ . Найдите $C D$ . $12$

R01.6

Образец → сам · комбинированная задача

Диагональ — биссектриса угла

Образец: $B D$ — биссектриса $∠ D$ , $∠ D = 6 0^{\circ}$ , $C D = 8$ . Найдите $A D$ .

$∠ CB D = ∠ B D A = ∠ B D C$ накрест, $BC ∥ A D$ ; биссектриса

$BC = C D = 8$ $△ BC D$ равнобедренный

$HD = 4$ , $A D = 8 + 4 = 12$ против $3 0^{\circ}$

Сам

$A C$ — биссектриса $∠ C$ , $∠ D = 6 0^{\circ}$ , $A D = 10$ . Найдите $BC$ . $5$
$B D$ — биссектриса $∠ D$ , $∠ D = 6 0^{\circ}$ , $BC = 9$ . Найдите $A D$ . $13, 5$
$B D$ — биссектриса $∠ D$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ , $A D = 18$ . Найдите $BC$ . $12$

R01.6

Образец → сам · задача на доказательство

План доказательства и обоснования

Образец: $A BC D$ — прямоугольная трапеция, $∠ A = 9 0^{\circ}$ , $A C ⊥ C D$ . Докажите: $∠ B A C = ∠ D$ .

$∠ B A C + ∠ C A D = 9 0^{\circ}$ $∠ A$ прямой

$∠ C A D + ∠ D = 9 0^{\circ}$ $△ A C D$ , $∠ A C D = 9 0^{\circ}$

$∠ B A C = 9 0^{\circ} - ∠ C A D = ∠ D$

Сам: составьте план

Докажите: прямоугольная трапеция не может быть равнобедренной. иначе $∠ D = ∠ A = 9 0^{\circ}$ ⇒ $A B ∥ C D$
Докажите: биссектрисы углов $C$ и $D$ перпендикулярны. $\frac{1}{2} (∠ C + ∠ D) = 9 0^{\circ}$
$M$ — середина $C D$ . Докажите: $M A = MB$ . продлить $BM$ до $A D$ ; медиана к гипотенузе

2,5 мин · практика
Образец: два острых угла, дополняющих один и тот же ∠CAD до 90°, равны. Эта пара равных углов пригодится в теме «Подобие» (R02).
1) Пусть AB = CD. В равнобедренной трапеции углы при основании равны: ∠D = ∠A = 90°. Тогда AB ⊥ AD и CD ⊥ AD ⇒ AB ∥ CD ⇒ ABCD — параллелограмм, а не трапеция. Противоречие.
2) ∠C + ∠D = 180° (односторонние) ⇒ половины в сумме 90° ⇒ в треугольнике, образованном биссектрисами и стороной CD, третий угол 180° − 90° = 90°.
3) Прямая BM пересекает прямую AD в точке E. △BCM = △EDM (CM = MD, вертикальные углы при M, ∠BCM = ∠EDM — накрест при BC ∥ AE) ⇒ BM = ME. В прямоугольном △ABE (∠A = 90°) AM — медиана к гипотенузе ⇒ AM = BE/2 = BM. Это задача формата ОГЭ 24.
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования. Сильным — все три; остальным — 1 и 2.

R01.4–R01.6

Схема-конспект · виды трапеций

Трапеция → равнобедренная → прямоугольная

	Любая трапеция	Равнобедренная	Прямоугольная
Определение	$BC ∥ A D$ , $A B ∦ C D$	$A B = C D$	$A B ⊥ A D$
Углы	при боковой стороне в сумме $18 0^{\circ}$	при каждом основании равны	$∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}$ , $∠ C + ∠ D = 18 0^{\circ}$
Высота	проводим сами	две высоты: $A H_{1} = H_{2} D$	$h = A B$ ; $C H$ : $A H = BC$
Признак	одна пара параллельных сторон	равные углы при основании или равные диагонали	трапеция с прямым углом; $∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}$ , $BC \neq = A D$
Приём	достроить, провести высоту	две высоты → прямоугольник и два равных $△$	одна высота → прямоугольник и $△ C HD$

R01.6

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
«У прямоугольной трапеции один прямой угол»	$∠ A$ и $∠ B$ — односторонние: $9 0^{\circ} + ∠ B = 18 0^{\circ}$	два прямых: $∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}$
Высота — сторона $C D$	$C D$ — наклонная, она не перпендикулярна основаниям	$h = A B = C H$
$HD = A D - A B$	в прямоугольнике $A BC H$ отрезок $A H$ равен основанию $BC$	$HD = A D - BC$
$∠ D = 6 0^{\circ}$ ⇒ $C H = \frac{C D}{2}$	$C H$ лежит против $6 0^{\circ}$ ; против $3 0^{\circ}$ — катет $HD$	$HD = \frac{C D}{2}$

R01.6

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $∠ C = 3∠ D$ . Найдите $∠ D$ .

$3 x + x = 36 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 27 0^{\circ}$

$x = 67, 5^{\circ}$

прямых углов два: $∠ C + ∠ D = 18 0^{\circ}$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$

б) $A B = 6$ , $BC = 4$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A D$ .

$HD = C H = A B = 6$

$A H = A B = 6$ , $A D = 12$

$A H = BC = 4$ , $A D = 4 + 6 = 10$

в) $∠ C = 12 0^{\circ}$ , $C D = 10$ , $BC = 7$ . Найдите $A D$ .

$∠ D = 6 0^{\circ}$ ; $C H = 5$ (против $3 0^{\circ}$ )

$HD = C H = 5$ , $A D = 12$

ответ верный, обоснование — нет: $HD = 5$ , так как $∠ H C D = 3 0^{\circ}$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Из 360° нужно вычесть два прямых угла (180°), а не один; верно: x + 3x = 180°, ∠D = 45°, ∠C = 135°.
б) Первая строка верна (∠D = 45° ⇒ HD = CH = AB = 6). Ошибка во второй: AH — сторона прямоугольника ABCH, противоположная BC, AH = 4, AD = 10.
в) Ловушка: ответ 12 совпадает с верным, но оба обоснования ложные. CH лежит против ∠D = 60°, и CH ≠ 5 (CH = 5√3 — после теоремы Пифагора). HD = CH — только при ∠D = 45°. Верно: ∠HCD = 30° ⇒ HD = 5, AD = 7 + 5 = 12. На ОГЭ такое решение не засчитают.

R01.6

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $∠ D = 3 7^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $14 3^{\circ}$
базаМеньшая боковая сторона $9$ . Найдите высоту. $9$
база $BC = 6$ , $A D = 14$ , $C H$ — высота. Найдите $HD$ . $8$

база $∠ D = 4 5^{\circ}$ , $A B = 5$ . Найдите $HD$ . $5$
база $∠ D = 3 0^{\circ}$ , $C D = 18$ . Найдите $A B$ . $9$
база $∠ D = 6 0^{\circ}$ , $C D = 18$ . Найдите $HD$ . $9$

R01.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $∠ C = 13 5^{\circ}$ , $BC = 4$ , $A D = 10$ . Найдите $A B$ . $6$
повыш. $∠ D = 6 0^{\circ}$ , большая боковая сторона равна большему основанию: $C D = A D = 20$ . Найдите $BC$ . $10$
повыш. $A C ⊥ C D$ , $∠ D = 6 0^{\circ}$ , $C D = 6$ . Найдите основания. $A D = 12$ , $BC = 9$
из жизниСарай: стены $4, 2$ м и $2, 2$ м, скат крыши — под углом $3 0^{\circ}$ к горизонту. Найдите длину ската. $4$ м

R01.6 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17 и 18

Ответ — одно число

ОГЭ 17Острый угол прямоугольной трапеции $4 5^{\circ}$ , меньшая боковая сторона $8$ , меньшее основание $5$ . Найдите большее основание. $13$
ОГЭ 17Тупой угол прямоугольной трапеции $15 0^{\circ}$ , большая боковая сторона $18$ . Найдите высоту трапеции. $9$

ОГЭ 18 На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена прямоугольная трапеция. Найдите длину её большего основания.

Ответ: 7

R01.6 · ОГЭ, ч. 1–2

Формат ОГЭ · линии 19 и 23

Утверждения и задача второй части

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

У прямоугольной трапеции два угла прямые.
Диагонали прямоугольной трапеции равны.
Высота прямоугольной трапеции равна её меньшей боковой стороне.
Прямоугольная трапеция может быть равнобедренной.

Ответ: 13

ОГЭ 23 В прямоугольной трапеции $A BC D$ ( $∠ A = 9 0^{\circ}$ ) диагональ $A C ⊥ C D$ , $∠ D = 6 0^{\circ}$ , $BC = 12$ . Найдите $A D$ .

$∠ C A D = 3 0^{\circ}$ ,
$C D = \frac{A D}{2}$

$∠ H C D = 3 0^{\circ}$ ,
$HD = \frac{C D}{2} = \frac{A D}{4}$

$A D = 12 + \frac{A D}{4}$ ,
$A D = 16$

2 мин · практика
19) 1 — верно (свойство 1); 2 — неверно (диагональ к большему основанию длиннее); 3 — верно; 4 — неверно (доказали на сл. 12). Ответ: 13.
23) Полное решение на 2 балла: в △ACD ∠ACD = 90°, ∠CAD = 90° − 60° = 30° ⇒ CD = AD/2 (катет против 30°). Высота CH: ∠HCD = 30° ⇒ HD = CD/2 = AD/4. AH = BC = 12 (ABCH — прямоугольник). AD = AH + HD: AD = 12 + AD/4 ⇒ 3AD/4 = 12 ⇒ AD = 16. Проверка: CD = 8, HD = 4, 12 + 4 = 16 ✓.
На уроке — обсуждение плана; полная запись — в ДЗ по желанию. Задача 3 на сл. 12 (MA = MB) — формат ОГЭ 24.

R01.6

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Острый угол $5 2^{\circ}$ . Найдите тупой угол. $12 8^{\circ}$
$A B = 7$ , $BC = 5$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A D$ . $12$
$∠ C = 12 0^{\circ}$ , $C D = 14$ , $A D = 20$ . Найдите $BC$ . $13$
$B D$ — биссектриса $∠ D$ , $∠ D = 6 0^{\circ}$ , $BC = 6$ . Найдите $A D$ . $9$

Вариант 2

Тупой угол $10 4^{\circ}$ . Найдите острый угол. $7 6^{\circ}$
$A D = 15$ , $BC = 9$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $6$
$∠ D = 3 0^{\circ}$ , $A B = 7$ . Найдите $C D$ . $14$
$A C$ — биссектриса $∠ C$ , $∠ D = 6 0^{\circ}$ , $A D = 12$ . Найдите $BC$ . $6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Сколько прямых углов у прямоугольной трапеции и где они?
На какие фигуры её делит высота из тупого угла?
Какой катет равен половине $C D$ при $∠ D = 6 0^{\circ}$ ?

Домашнее задание

Тупой угол в $4$ раза больше острого. Найдите углы.
$∠ D = 4 5^{\circ}$ , $BC = 6$ , $A D = 15$ . Найдите $A B$ .
* $B D$ — биссектриса $∠ D$ , $∠ D = 6 0^{\circ}$ , $A D = 24$ . Найдите $BC$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_parallelogramm_i_trapeciya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-006 · Прямоугольная трапеция

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R01 «Четырехугольники», 22 ч · урок 6/22 · тип Н
Единицы → слайды	R01.6 «Прямоугольная трапеция» → 2, 4–21 · повторение (7 класс; трапеция и равнобедренная трапеция R01.4–R01.5) → 3, 13
Результаты	ПР-1 (распознавать четырёхугольники, их элементы, пользоваться их свойствами при решении задач) → 4–21
Вне урока	средняя линия трапеции — GEOM8U-007; теорема Пифагора (высота при углах 30°/60°) — R04; площадь трапеции — R03; подобие — R02
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Прямоугольная трапеция

Сегодня вы научитесь

Узнавать прямоугольную трапецию

Доказывать свойства и признак

Проводить высоту из тупого угла

Решать задачи

Трапеция и прямоугольный треугольник

Что такое прямоугольная трапеция

Высота делит трапецию на прямоугольник и треугольник

Два угла прямые — остальные в сумме 180°

Образец: тупой угол прямоугольной трапеции на 50∘ больше острого. Найдите все углы.

Сам

Когда четырёхугольник — прямоугольная трапеция

Треугольник CHD с углами 45∘, 30∘, 60∘

∠D=45∘

∠D=30∘

∠D=60∘

Найдите основание через высоту

Образец: AB=6, BC=4, ∠D=45∘. Найдите AD.

Сам

Против угла 30° — половина гипотенузы

Образец: ∠C=120∘, CD=10, BC=7. Найдите AD.

Сам

Диагональ — биссектриса угла

Образец: BD — биссектриса ∠D, ∠D=60∘, CD=8. Найдите AD.

Сам

План доказательства и обоснования

Образец: ABCD — прямоугольная трапеция, ∠A=90∘, AC⊥CD. Докажите: ∠BAC=∠D.

Сам: составьте план

Трапеция → равнобедренная → прямоугольная

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) ∠C=3∠D. Найдите ∠D.

б) AB=6, BC=4, ∠D=45∘. Найдите AD.

в) ∠C=120∘, CD=10, BC=7. Найдите AD.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Утверждения и задача второй части

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-006 · Прямоугольная трапеция

Образец: тупой угол прямоугольной трапеции на $5 0^{\circ}$ больше острого. Найдите все углы.

Треугольник $C HD$ с углами $4 5^{\circ}$ , $3 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$

$∠ D = 4 5^{\circ}$

$∠ D = 3 0^{\circ}$

$∠ D = 6 0^{\circ}$

Образец: $A B = 6$ , $BC = 4$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A D$ .

Образец: $∠ C = 12 0^{\circ}$ , $C D = 10$ , $BC = 7$ . Найдите $A D$ .

Образец: $B D$ — биссектриса $∠ D$ , $∠ D = 6 0^{\circ}$ , $C D = 8$ . Найдите $A D$ .

Образец: $A BC D$ — прямоугольная трапеция, $∠ A = 9 0^{\circ}$ , $A C ⊥ C D$ . Докажите: $∠ B A C = ∠ D$ .

а) $∠ C = 3∠ D$ . Найдите $∠ D$ .

б) $A B = 6$ , $BC = 4$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A D$ .

в) $∠ C = 12 0^{\circ}$ , $C D = 10$ , $BC = 7$ . Найдите $A D$ .