Четырёхугольники · урок 4 из 22

Трапеция

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM8U-004

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Четырехугольники» (22 ч), урок 4/22, единица R01.4. Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · определение 1,5 · теорема об основаниях 1,5 · углы при боковой стороне 1,5 · виды трапеций 1 · построение CE ∥ AB 1,5 · высоты и CF ∥ BD 1,5 · биссектрисы 1,5 · схема 1,5.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 3 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 17/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец на клетчатой бумаге и задачу ОГЭ 24 — в ДЗ; доказательства не сокращать.

R01.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать трапецию

по определению, называть основания, боковые стороны, высоту (ПР-1)

Доказывать свойства

углов и биссектрис трапеции — с обоснованием каждого шага

Делать дополнительные построения

сводить трапецию к параллелограмму и треугольнику (ПР-1)

Решать задачи

на вычисление и доказательство, в том числе ОГЭ 23–24

повторение: R01.1, R01.3

Разминка · устно

Параллельные прямые, параллелограмм, средняя линия

$MN$ — средняя линия, $A C = 14$ . $MN = ?$ $7$
$∠ A = 5 0^{\circ}$ . Чему равен $∠ BMN$ ? $5 0^{\circ}$ — соответственные
Сумма односторонних углов при параллельных прямых? $18 0^{\circ}$
$∠ A$ параллелограмма $7 0^{\circ}$ . $∠ B = ?$ $11 0^{\circ}$
Признак 1 параллелограмма? две стороны равны и параллельны
$A MNC$ : $MN ∥ A C$ . Это параллелограмм? нет: $MN \neq = A C$ — это трапеция

R01.4

Определение

Что такое трапеция

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

BC ∥ A D

,

A B ∦ C D

Основания — параллельные стороны $BC = b$ , $A D = a$ ; боковые стороны — $A B$ и $C D$ .

Высота $h$ — перпендикуляр между прямыми оснований: $B H ⊥ A D$ .

R01.4

Теорема · доказательство от противного

Основания трапеции не равны

Дано:

A BC D

— трапеция,

BC ∥ A D

.
Доказать:

BC \neq = A D

.

1Пусть

BC = A D

предположение

2

BC ∥ A D

,

BC = A D

\Rightarrow

A BC D

— параллелограммпризнак 1 параллелограмма

3Тогда

A B ∥ C D

— противоречиев трапеции боковые стороны не параллельны

4

BC \neq = A D

: обозначим

b < a

трапеция — не параллелограмм

R01.4

Свойство и признак · доказательство

Углы, прилежащие к боковой стороне

1

α

+

β

= 18 0^{\circ}

односторонние,

BC ∥ A D

, секущая

A B

2

γ

+

δ

= 18 0^{\circ}

односторонние,

BC ∥ A D

, секущая

C D

3

α

+

δ

\neq = 18 0^{\circ}

иначе

A B ∥ C D

(секущая

A D

)

4Признак:

∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}

,

∠ A + ∠ D \neq = 18 0^{\circ}

\Rightarrow

трапецияпервое даёт

BC ∥ A D

, второе —

A B ∦ C D

R01.4

Классификация

Виды трапеций

Трапеция

общего вида: боковые стороны не равны, углы не прямые

Равнобедренная

$A B = C D$
урок 5 (GEOM8U-005)

Прямоугольная

$A B ⊥ A D$ : боковая сторона — высота
урок 6 (GEOM8U-006)

R01.4

Образец → сам · углы трапеции

Найдите неизвестные углы

Образец: $BC ∥ A D$ , $∠ A = 4 8^{\circ}$ , $∠ C = 11 5^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ и $∠ D$ .

$∠ B = 18 0^{\circ} - 4 8^{\circ} = 13 2^{\circ}$ боковая $A B$

$∠ D = 18 0^{\circ} - 11 5^{\circ} = 6 5^{\circ}$ боковая $C D$

Сам

$∠ B = 3∠ A$ ( $A B$ — боковая сторона). Найдите $∠ A$ и $∠ B$ . $4 5^{\circ}$ и $13 5^{\circ}$
$∠ B - ∠ A = 5 0^{\circ}$ ( $A B$ — боковая). Найдите эти углы. $6 5^{\circ}$ и $11 5^{\circ}$
Могут ли углы трапеции по порядку быть $7 0^{\circ}$ , $11 0^{\circ}$ , $7 0^{\circ}$ , $11 0^{\circ}$ ? нет: это параллелограмм

R01.4

Дополнительное построение · доказательство

Прямая через вершину параллельно боковой стороне

Дано:

BC ∥ A D

,

BC = b

,

A D = a

,

CE ∥ A B

,

E \in A D

.

1

A BCE

— параллелограммпо определению:

BC ∥ A E

,

A B ∥ CE

2

A E = BC = b

,

CE = A B

свойство 1 параллелограмма

3

E D = a - b

E D = A D - A E

4

△ EC D

: стороны

A B

,

C D

,

a - b

;

∠ CE D = ∠ A

соответственные,

CE ∥ A B

, секущая

A D

R01.4

Дополнительные построения · высоты и диагональ

Ещё два приёма

Две высоты $B H$ и $C K$

$H BC K$ — прямоугольник: $HK = BC = b$ $B H ∥ C K$ , $BC ∥ HK$

$A H + KD = a - b$

$CF ∥ B D$ , $F$ на прямой $A D$

$BCF D$ — параллелограмм: $D F = b$ , $CF = B D$

$△ A CF$ : стороны $A C$ , $B D$ , $a + b$

1,5 мин · теория
Слева: BH ∥ CK (оба перпендикулярны AD), BC ∥ HK ⇒ HBCK — параллелограмм с прямым углом (прямоугольник подробно — урок 2), HK = BC; отрезки AH и KD в сумме дают a − b.
Справа (углублённый уровень): BC ∥ DF и BD ∥ CF ⇒ BCFD — параллелограмм по определению, DF = BC = b, CF = BD. Диагонали трапеции и сумма оснований образуют треугольник ACF — пригодится в задачах на площадь (R03).
Вопрос: какое построение выбрать, если в задаче даны диагонали? (CF ∥ BD.) А если углы при основании? (CE ∥ AB или высоты.)

R01.4

Образец → сам · дополнительное построение

Сведите трапецию к треугольнику

Образец: $BC = 5$ , $A D = 13$ , $∠ A = 7 0^{\circ}$ , $∠ D = 4 0^{\circ}$ . Найдите $C D$ .

$CE ∥ A B$ : $A E = 5$ , $E D = 8$ $A BCE$ — параллелограмм

$∠ CE D = 7 0^{\circ}$ , $∠ EC D = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 7 0^{\circ}$

$C D = E D = 8$ $△ EC D$ равнобедренный

Сам

$BC = 3$ , $A D = 10$ , $∠ A = 5 0^{\circ}$ , $∠ D = 8 0^{\circ}$ . Найдите $C D$ . $7$
$∠ A = ∠ D = 6 0^{\circ}$ , $BC = 4$ , $A B = 7$ . Найдите $A D$ . $11$
Основания $4$ и $12$ , боковые стороны $3$ и $5$ . Существует ли трапеция? нет: $3 + 5 = 12 - 4$

R01.4

Свойство биссектрис · доказательство

Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник

Дано:

BC ∥ A D

,

A K

— биссектриса

∠ A

,

K \in BC

.

1

∠1 = ∠2

,

∠1 = ∠3

биссектриса; накрест лежащие,

BC ∥ A D

2

A B = B K

∠2 = ∠3

:

△ A B K

равнобедренный

3Биссектрисы

∠ A

и

∠ B

:

∠ A MB = 9 0^{\circ}

\frac{1}{2} (∠ A + ∠ B) = 9 0^{\circ}

⇒ в

△ A BM

третий угол

9 0^{\circ}

R01.4

Схема-конспект

Признак → трапеция → свойства и построения

Признаки: если…

$BC ∥ A D$ , $A B ∦ C D$
$∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$ ,
$∠ A + ∠ D \neq = 18 0^{\circ}$

⟶

трапеция

⟶

Свойства и построения

$BC \neq = A D$
$∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D = 18 0^{\circ}$
биссектриса $∠ A$ : $A B = B K$
$CE ∥ A B$ ⇒ параллелограмм + $△$
высоты; $CF ∥ B D$

R01.4

Образец → сам · задача на доказательство

План доказательства и обоснования

Образец: $BC ∥ A D$ , диагональ $A C$ — биссектриса $∠ A$ . Докажите: $A B = BC$ .

$∠1 = ∠2$ $A C$ — биссектриса

$∠1 = ∠3$ накрест лежащие, $BC ∥ A D$ , секущая $A C$

$∠2 = ∠3$ ⇒ $A B = BC$ $△ A BC$ равнобедренный

Сам: составьте план

$B D$ — биссектриса $∠ D$ . Докажите: $BC = C D$ . $∠ CB D = ∠ B D A = ∠ B D C$
Биссектриса $∠ B$ пересекает $A D$ в точке $M$ . Докажите: $A B = A M$ . $∠ A MB = ∠ MBC = ∠ A BM$
В $A BC D$ : $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$ , $∠ B + ∠ C \neq = 18 0^{\circ}$ . Докажите: $A BC D$ — трапеция. $BC ∥ A D$ , $A B ∦ C D$

2,5 мин · практика
Образец: углы 1, 2, 3 отмечены одной дугой. Вопрос: где использовано, что ABCD — трапеция? (BC ∥ AD — для накрест лежащих углов.)
1) ∠CBD = ∠BDA (накрест лежащие, BC ∥ AD, секущая BD); ∠BDA = ∠BDC (биссектриса) ⇒ ∠CBD = ∠CDB ⇒ △BCD равнобедренный, BC = CD.
2) ∠AMB = ∠MBC (накрест лежащие, AD ∥ BC, секущая BM); ∠MBC = ∠ABM (биссектриса) ⇒ △ABM равнобедренный, AB = AM.
3) ∠A и ∠B — односторонние при прямых BC, AD и секущей AB, их сумма 180° ⇒ BC ∥ AD. ∠B и ∠C — односторонние при прямых AB, CD и секущей BC; их сумма ≠ 180°, поэтому AB ∦ CD (если бы AB ∥ CD, сумма была бы 180°). По определению — трапеция.
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования.

R01.4

Образец → сам · комбинированная задача

Биссектриса и периметр трапеции

Образец: биссектриса $∠ A$ пересекает $BC$ в $K$ ; $B K = 8$ , $K C = 5$ , $C D = 10$ , $A D = 21$ . Найдите $P$ .

$A B = B K = 8$ свойство биссектрисы

$P = 8 + 13 + 10 + 21 = 52$ $BC = 8 + 5$

Сам

Биссектриса $∠ D$ пересекает $BC$ в $M$ ; $C D = 6$ , $BM = 3$ , $A B = 7$ , $A D = 15$ . Найдите $P$ . $37$
Биссектрисы $∠ A$ и $∠ B$ пересекаются в $K$ , $∠ A = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A B K$ и $∠ A K B$ . $5 5^{\circ}$ и $9 0^{\circ}$
Биссектрисы $∠ A$ и $∠ D$ пересекают $BC$ в $K$ и $M$ ; $A B = 5$ , $C D = 7$ , $BC = 15$ . Найдите $K M$ . $3$

R01.4 · ОГЭ 18

Образец → сам · трапеция на клетчатой бумаге

Основания, высота, построение

Образец: $A (1; 1)$ , $B (3; 4)$ , $C (6; 4)$ , $D (10; 1)$ . Найдите $BC$ , $A D$ , $h$ и точку $E$ : $CE ∥ A B$ .

$BC = 3$ , $A D = 9$ по клеткам

$h = 3$ ; $E (4; 1)$ , $E D = 6 = 9 - 3$ сдвиг $B \to A$

Сам: нарисуйте в тетради

$A (0; 0)$ , $B (1; 3)$ , $C (4; 3)$ , $D (8; 0)$ . Найдите основания и высоту. $3$ , $8$ ; $h = 3$
$A (1; 1)$ , $B (3; 5)$ , $C (6; 5)$ , $D$ на прямой $y = 1$ , $C D ∥ A B$ . Трапеция ли $A BC D$ ? нет: $D (4; 1)$ — параллелограмм
$A (0; 0)$ , $B (2; 4)$ , $C (5; 4)$ , $D (9; 0)$ , $CF ∥ B D$ , $F$ на прямой $A D$ . Найдите $A F$ . $12$

R01.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
$∠ A + ∠ D = 18 0^{\circ}$ ( $A D$ — основание)	односторонние углы — только при боковой стороне	$∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$
«Две стороны параллельны — значит, трапеция»	у параллелограмма тоже; нужно, чтобы две другие были не параллельны	$BC ∥ A D$ и $A B ∦ C D$
«У трапеции боковые стороны равны»	так только у равнобедренной трапеции	в общем случае $A B \neq = C D$
$CE ∥ A B$ ⇒ $E D = A D - A B$	$A E$ равна основанию $BC$ , а не боковой стороне	$E D = A D - BC$

R01.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $BC ∥ A D$ , $∠ A = 6 4^{\circ}$ , $∠ C = 10 0^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ .

$∠ D = 18 0^{\circ} - ∠ A = 11 6^{\circ}$

$∠ C + ∠ D = 18 0^{\circ}$ (боковая $C D$ ) ⇒ $∠ D = 8 0^{\circ}$

б) $BC = 5$ , $A D = 12$ , $∠ A = ∠ D = 6 0^{\circ}$ , $CE ∥ A B$ . Найдите $A B$ .

$E D = 7$ , $△ EC D$ равносторонний

$A B = BC = 5$

$A B = CE = 7$ ( $A BCE$ — параллелограмм)

в) Биссектриса $∠ A$ пересекает $BC$ в $K$ ; $A B = 6$ , $BC = 10$ . Найдите $K C$ .

«Биссектриса делит $BC$ пополам»: $K C = 5$

$B K = A B = 6$ , $K C = 4$

R01.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $BC ∥ A D$ , $∠ A = 5 4^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ . $12 6^{\circ}$
базаУглы при боковой стороне относятся как $2 : 7$ . Найдите их. $4 0^{\circ}$ и $14 0^{\circ}$
базаОснования $7$ и $15$ , $CE ∥ A B$ , $E \in A D$ . Найдите $E D$ . $8$

базаБиссектриса $∠ A$ пересекает $BC$ в $K$ , $A B = 9$ . Найдите $B K$ . $9$
база $∠ A = 3 5^{\circ}$ , $∠ D = 5 5^{\circ}$ ( $A D$ — основание). Найдите $∠ C$ . $12 5^{\circ}$
базаВысоты $B H$ и $C K$ ; $BC = 6$ , $A H = 2$ , $KD = 5$ . Найдите $A D$ . $13$

R01.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Два угла трапеции равны $7 0^{\circ}$ и $13 0^{\circ}$ . Найдите два других. $11 0^{\circ}$ и $5 0^{\circ}$
повыш. $BC = 6$ , $A D = 15$ , $A B = 9$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $C D$ и $∠ D$ . $9$ и $6 0^{\circ}$
повыш.Диагонали трапеции $5$ и $7$ , сумма оснований $13$ . Существует ли трапеция? нет: $5 + 7 < 13$
из жизниНасыпь в разрезе — трапеция: верх $6$ м, низ $14$ м, оба откоса под углом $4 5^{\circ}$ . Найдите высоту насыпи. $4$ м

2,5 мин · практика
1) 70° + 130° = 200° ≠ 180° ⇒ эти углы прилежат к разным боковым сторонам; их «пары»: 180° − 70° = 110° и 180° − 130° = 50°.
2) CE ∥ AB: CE = 9, ED = 15 − 6 = 9, ∠CED = ∠A = 60° ⇒ △ECD равнобедренный с углом 60° — равносторонний: CD = 9, ∠D = 60°.
3) Построение CF ∥ BD: △ACF со сторонами 5, 7 и 13 — но 5 + 7 = 12 < 13, такого треугольника нет.
4) Высоты из концов верхнего основания: AH = KD = (14 − 6) : 2 = 4 м (откосы одинаковые — треугольники равны); в прямоугольном треугольнике с углом 45° катеты равны ⇒ h = 4 м.

R01.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 17Два угла трапеции равны $5 2^{\circ}$ и $11 6^{\circ}$ . Найдите больший угол трапеции. $128$
ОГЭ 17Основания трапеции $8$ и $20$ . Через вершину $C$ проведена $CE ∥ A B$ , периметр $△ EC D$ равен $25$ . Найдите периметр трапеции. $41$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Основания трапеции параллельны.
Сумма углов трапеции при одном основании равна $18 0^{\circ}$ .
Трапеция — частный случай параллелограмма.
Сумма углов трапеции при боковой стороне равна $18 0^{\circ}$ .

Ответ: 14

R01.4 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Биссектрисы углов $A$ и $D$ трапеции $A BC D$ ( $BC ∥ A D$ ) пересекаются в точке $K$ основания $BC$ . Найдите $BC$ , если $A B = 7$ , $C D = 9$ .

$B K = A B = 7$ из $△ A B K$

$C K = C D = 9$ из $△ D C K$

$BC = 7 + 9 = 16$

ОГЭ 24 $E$ — середина боковой стороны $C D$ трапеции $A BC D$ , прямая $A E$ пересекает прямую $BC$ в точке $F$ . Докажите: $BF = A D + BC$ .

$CE = E D$ , $∠ CEF = ∠ D E A$ (вертик.), $∠ FCE = ∠ A D E$ (накрест, $BF ∥ A D$ )

$△ FCE = △ A D E$ (II) ⇒ $CF = A D$ ⇒ $BF = BC + A D$

2 мин · практика
23) ∠BKA = ∠KAD (накрест лежащие, BC ∥ AD) = ∠BAK (биссектриса) ⇒ △ABK равнобедренный, BK = AB = 7. Аналогично ∠CKD = ∠KDA = ∠KDC ⇒ CK = CD = 9. BC = 16. Чертёж построен по этим данным.
24) Полное решение на 2 балла: равенство треугольников FCE и ADE по стороне CE = ED и двум прилежащим углам (вертикальные при E; накрест лежащие при BF ∥ AD и секущей CD) ⇒ CF = AD; F лежит на продолжении BC за точку C, поэтому BF = BC + CF = BC + AD.
Этот факт — основа доказательства теоремы о средней линии трапеции (урок 7). На уроке — устное обсуждение плана, полная запись 24 — в ДЗ по желанию.

R01.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$BC ∥ A D$ , $∠ A = 6 3^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ . $11 7^{\circ}$
Основания $6$ и $17$ , $CE ∥ A B$ , $E \in A D$ . Найдите $E D$ . $11$
Биссектриса $∠ A$ пересекает $BC$ в $K$ ; $A B = 5$ , $K C = 4$ , $C D = 6$ , $A D = 14$ . Найдите $P$ . $34$
$∠ A = 5 0^{\circ}$ , $∠ C = 11 5^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ и $∠ D$ . $13 0^{\circ}$ , $6 5^{\circ}$

Вариант 2

$BC ∥ A D$ , $∠ D = 7 1^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $10 9^{\circ}$
Основания $9$ и $21$ , $CE ∥ A B$ , $E \in A D$ . Найдите $E D$ . $12$
Биссектриса $∠ D$ пересекает $BC$ в $M$ ; $C D = 7$ , $BM = 3$ , $A B = 8$ , $A D = 18$ . Найдите $P$ . $43$
$∠ B = 10 4^{\circ}$ , $∠ D = 5 8^{\circ}$ . Найдите $∠ A$ и $∠ C$ . $7 6^{\circ}$ , $12 2^{\circ}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем трапеция отличается от параллелограмма?
Какие углы трапеции в сумме дают $18 0^{\circ}$ ?
Какие дополнительные построения вы знаете?

Домашнее задание

$∠ B - ∠ A = 4 0^{\circ}$ ( $A B$ — боковая). Найдите углы.
$BC = 5$ , $A D = 11$ , $∠ A = ∠ D = 6 0^{\circ}$ . Найдите $P$ .
* Постройте трапецию с основаниями $3$ и $8$ и боковыми сторонами $4$ и $6$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_parallelogramm_i_trapeciya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-004 · Трапеция

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R01 «Четырехугольники», 22 ч · урок 4/22 · тип Н
Единицы → слайды	R01.4 «Трапеция» → 2, 4–24 · повторение R01.1, R01.3 → 3
Результаты	ПР-1 (распознавать четырёхугольники и их элементы, пользоваться свойствами, доказывать) → 4–24
Вне урока	равнобедренная трапеция — GEOM8U-005; прямоугольная — GEOM8U-006; средняя линия трапеции — GEOM8U-007 (ОГЭ 24 на сл. 22 — подготовка к ней); площадь трапеции — R03
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Трапеция

Сегодня вы научитесь

Узнавать трапецию

Доказывать свойства

Делать дополнительные построения

Решать задачи

Параллельные прямые, параллелограмм, средняя линия

Что такое трапеция

Основания трапеции не равны

Углы, прилежащие к боковой стороне

Виды трапеций

Трапеция

Равнобедренная

Прямоугольная

Найдите неизвестные углы

Образец: BC∥AD, ∠A=48∘, ∠C=115∘. Найдите ∠B и ∠D.

Сам

Прямая через вершину параллельно боковой стороне

Ещё два приёма

Две высоты BH и CK

CF∥BD, F на прямой AD

Сведите трапецию к треугольнику

Образец: BC=5, AD=13, ∠A=70∘, ∠D=40∘. Найдите CD.

Сам

Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник

Признак → трапеция → свойства и построения

Признаки: если…

Свойства и построения

План доказательства и обоснования

Образец: BC∥AD, диагональ AC — биссектриса ∠A. Докажите: AB=BC.

Сам: составьте план

Биссектриса и периметр трапеции

Образец: биссектриса ∠A пересекает BC в K; BK=8, KC=5, CD=10, AD=21. Найдите P.

Сам

Основания, высота, построение

Образец: A(1;1), B(3;4), C(6;4), D(10;1). Найдите BC, AD, h и точку E: CE∥AB.

Сам: нарисуйте в тетради

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) BC∥AD, ∠A=64∘, ∠C=100∘. Найдите ∠D.

б) BC=5, AD=12, ∠A=∠D=60∘, CE∥AB. Найдите AB.

в) Биссектриса ∠A пересекает BC в K; AB=6, BC=10. Найдите KC.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-004 · Трапеция

Образец: $BC ∥ A D$ , $∠ A = 4 8^{\circ}$ , $∠ C = 11 5^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ и $∠ D$ .

Две высоты $B H$ и $C K$

$CF ∥ B D$ , $F$ на прямой $A D$

Образец: $BC = 5$ , $A D = 13$ , $∠ A = 7 0^{\circ}$ , $∠ D = 4 0^{\circ}$ . Найдите $C D$ .

Образец: $BC ∥ A D$ , диагональ $A C$ — биссектриса $∠ A$ . Докажите: $A B = BC$ .

Образец: биссектриса $∠ A$ пересекает $BC$ в $K$ ; $B K = 8$ , $K C = 5$ , $C D = 10$ , $A D = 21$ . Найдите $P$ .

Образец: $A (1; 1)$ , $B (3; 4)$ , $C (6; 4)$ , $D (10; 1)$ . Найдите $BC$ , $A D$ , $h$ и точку $E$ : $CE ∥ A B$ .

а) $BC ∥ A D$ , $∠ A = 6 4^{\circ}$ , $∠ C = 10 0^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ .

б) $BC = 5$ , $A D = 12$ , $∠ A = ∠ D = 6 0^{\circ}$ , $CE ∥ A B$ . Найдите $A B$ .

в) Биссектриса $∠ A$ пересекает $BC$ в $K$ ; $A B = 6$ , $BC = 10$ . Найдите $K C$ .