Четырёхугольники · урок 3 из 22

Средняя линия треугольника

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM8U-003

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Четырехугольники» (22 ч), урок 3/22, единица R01.3. Тип урока — Н.
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · определение 1,5 · теорема 2,5 · обратная теорема 1,5 · следствия 2 · теорема Вариньона 2 · схема 1,5.
Практика (33): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 3 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 15/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: образец на клетчатой бумаге и задачу ОГЭ 24 — в ДЗ; доказательства теорем не сокращать.

R01.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить среднюю линию

по определению и отличать её от медианы (ПР-3)

Доказывать теорему

о средней линии и обратную ей — с обоснованием каждого шага

Применять следствия

треугольник из средних линий, середины сторон четырёхугольника (ПР-1, ПР-3)

Решать задачи

на вычисление и доказательство, в том числе ОГЭ 15, 23, 24

повторение: R01.1–R01.2

Разминка · устно

Середины, параллельность, параллелограмм

$M$ — середина $A B$ , $A B = 14$ . Найдите $A M$ . $7$
$A BC D$ — параллелограмм, $A C = 11$ . Найдите $A O$ . $5, 5$
$BC = A D$ и $BC ∥ A D$ . Какая фигура $A BC D$ ? параллелограмм (признак 1)
Сколько прямых, параллельных данной, проходит через точку вне её? одна (аксиома)
Что соединяет медиана треугольника? вершину и середину противолежащей стороны
Стороны треугольника $5$ , $7$ , $8$ . Найдите периметр. $20$

2 мин · практика
Ответы: 1) 14 : 2 = 7. 2) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: AO = 11 : 2 = 5,5. 3) Две стороны равны и параллельны ⇒ параллелограмм (признак 1). 4) Одна — аксиома параллельных прямых. 5) Вершину с серединой противолежащей стороны. 6) 5 + 7 + 8 = 20.
Все пункты — инструменты сегодняшнего урока: признак 1 нужен в доказательстве теоремы, аксиома — в обратной теореме, медиана — чтобы не путать её со средней линией.

R01.3

Определение

Что такое средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

A M = MB

,

BN = NC

У треугольника три средние линии: $MN$ , $M K$ , $N K$

Не путать с медианой: медиана идёт из вершины, средняя линия — от середины к середине.

R01.3

Теорема · доказательство

Средняя линия параллельна стороне и равна её половине

Дано:

A M = MB

,

BN = NC

.
Доказать:

MN ∥ A C

,

MN = \frac{1}{2} A C

.

1На луче

MN

отложим

N K = MN

дополнительное построение

2

△ MBN

=

△ K CN

I признак:

BN = NC

,

MN = N K

,

∠ MNB = ∠ K NC

(вертикальные)

3

C K = BM = A M

,

∠ MBN = ∠ K CN

\Rightarrow

C K ∥ A B

накрест лежащие при секущей

BC

4

A M K C

— параллелограммпризнак 1:

A M = C K

,

A M ∥ C K

5

MN ∥ A C

,

MN = \frac{1}{2} M K = \frac{1}{2} A C

M K ∥ A C

,

M K = A C

— свойство параллелограмма;

N

— середина

M K

2,5 мин · теория
Формулировка: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Каждый шаг — вопрос классу «почему?». Цвет на чертеже совпадает с цветом в записи: фиолетовые засечки — MN = NK, оранжевые дуги — вертикальные углы, синие двойные дуги — накрест лежащие углы.
Идея доказательства: «удвоить» среднюю линию и получить параллелограмм — тот же приём, что удвоение медианы в 7 классе.
Ошибка: доказывать MN ∥ AC через «соответственные углы равны» — это ещё не известно (логический круг). Теорему Фалеса не используем — она будет в уроке R01.8.

R01.3

Образец → сам · теорема на готовом чертеже

Найдите среднюю линию и периметр

Образец: $A B = 10$ , $BC = 12$ , $A C = 16$ ; $M$ , $N$ — середины $A B$ и $BC$ . Найдите $MN$ и $P_{△ MBN}$ .

$MN = \frac{1}{2} A C = 8$ теорема о средней линии

$BM = 5$ , $BN = 6$ $M$ , $N$ — середины

$P_{△ MBN} = 5 + 6 + 8 = 19$

Сам

Стороны треугольника $8$ , $10$ , $14$ . Найдите его средние линии. $4$ , $5$ , $7$
Сторона равностороннего треугольника $9$ . Найдите среднюю линию. $4, 5$
$M$ , $N$ — середины $A B$ и $BC$ , $∠ B A C = 6 4^{\circ}$ . Найдите $∠ BMN$ . $6 4^{\circ}$ (соответственные)

R01.3

Обратная теорема · доказательство

Признак средней линии

Дано:

A M = MB

,

M \in l

,

l ∥ A C

,

l \cap BC = N

.
Доказать:

BN = NC

.

1Пусть

N_{1}

— середина

BC

;

M N_{1} ∥ A C

теорема о средней линии

2Через

M

проходят

l ∥ A C

и

M N_{1} ∥ A C

\Rightarrow

l = M N_{1}

аксиома параллельных прямых

3

N = N_{1}

, то есть

BN = NC

,

MN

— средняя линияпрямые

l

и

BC

пересекаются в одной точке

1,5 мин · теория
Формулировка: прямая, проходящая через середину одной стороны треугольника параллельно другой стороне, пересекает третью сторону в её середине. Это признак средней линии.
Доказательство «от единственности»: строим настоящую среднюю линию и сравниваем с прямой l по аксиоме. Последний щелчок — засечки BN = NC на чертеже.
Вопрос: достаточно ли знать только, что M — середина AB и N ∈ BC? (Нет: нужно ещё MN ∥ AC или что N — середина.)

R01.3

Следствия теоремы

Три средние линии — четыре равных треугольника

Стороны $△ MN K$ : $\frac{1}{2} A B$ , $\frac{1}{2} BC$ , $\frac{1}{2} A C$ — теорема
Треугольники 1, 2, 3, 4 равны — III признак
$A MN K$ , $MBN K$ , $MNC K$ — параллелограммы — две пары параллельных сторон

P_{△ MN K} = \frac{1}{2} P_{△ A BC}

R01.3

Образец → сам · обратная задача

По средним линиям — стороны треугольника

Образец: средние линии относятся как $3 : 4 : 5$ , $P_{△ A BC} = 48$ . Найдите стороны $△ A BC$ .

$P_{△ MN K} = 48 : 2 = 24$ следствие

$3 x + 4 x + 5 x = 24$ , $x = 2$ : $6$ , $8$ , $10$

стороны вдвое больше: $12, 16, 20$ теорема

Сам

Средняя линия $MN ∥ A C$ , $MN = 6, 5$ . Найдите $A C$ . $13$
Периметр треугольника из средних линий $17$ . Найдите $P_{△ A BC}$ . $34$
Через середину $M$ стороны $A B$ проведена прямая $∥ A C$ , она пересекает $BC$ в $N$ ; $BC = 18$ . Найдите $BN$ . $9$ (обратная теорема)

R01.3 · углублённый

Дополнительно · теорема Вариньона

Середины сторон четырёхугольника — параллелограмм

Дано:

K, L, M, N

— середины

A B

,

BC

,

C D

,

D A

.
Доказать:

K L MN

— параллелограмм.

1

K L ∥ A C

,

K L = \frac{1}{2} A C

средняя линия

△ A BC

2

NM ∥ A C

,

NM = \frac{1}{2} A C

средняя линия

△ A D C

3

K L ∥ NM

,

K L = NM

\Rightarrow

K L MN

— параллелограммпризнак 1

4

P_{K L MN} = A C + B D

так же

L M = K N = \frac{1}{2} B D

R01.3

Образец → сам · задача на доказательство

План доказательства и обоснования

Образец: у $A BC D$ диагонали равны: $A C = B D$ . Докажите: $K L MN$ — ромб.

$K L = \frac{1}{2} A C$ , $L M = \frac{1}{2} B D$ средние линии

$A C = B D$ $\Rightarrow$ $K L = L M$

$K L MN$ — ромб параллелограмм с равными соседними сторонами

Сам: составьте план

У $A BC D$ диагонали перпендикулярны. Докажите: $K L MN$ — прямоугольник. $K L ∥ A C$ , $L M ∥ B D$ ⇒ $∠ K L M = 9 0^{\circ}$
Диагонали четырёхугольника $10$ и $14$ . Найдите $P_{K L MN}$ . $24$
$MN$ — средняя линия $△ A BC$ , $B D$ — медиана. Докажите: $MN$ делит $B D$ пополам. в $△ A B D$ : через середину $A B$ параллельно $A D$

3 мин · практика
Образец: на чертеже AC = BD (≈ 10,3 единицы, проверено), но ABCD — не прямоугольник и не трапеция: важны только диагонали.
1) KLMN — параллелограмм (Вариньон); KL ∥ AC, LM ∥ BD, AC ⊥ BD ⇒ KL ⊥ LM ⇒ параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.
2) P = AC + BD = 10 + 14 = 24.
3) M — середина AB, N — середина BC, D ∈ AC. MN ∥ AC, значит MN ∥ AD; в △ABD прямая MN проходит через середину AB параллельно AD ⇒ по обратной теореме пересекает BD в его середине.
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования. Сильным — все три; остальным — 1 и 2.

R01.3

Схема-конспект

Признак → средняя линия → свойства

Средняя линия, если…

$M$ и $N$ — середины $A B$ и $BC$ (определение)
$M$ — середина $A B$ , $N \in BC$ , $MN ∥ A C$ (обратная теорема)

⟶

средняя линия $MN$

⟶

то…

$MN ∥ A C$
$MN = \frac{1}{2} A C$
$P_{△ MN K} = \frac{1}{2} P_{△ A BC}$
середины сторон четырёхугольника — параллелограмм

R01.3

Образец → сам · комбинированная задача

Медиана к гипотенузе

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 18$ , $M$ — середина $A B$ . Найдите медиану $CM$ .

$N$ — середина $BC$ : $MN ∥ A C$ , значит, $MN ⊥ BC$

$△ MNC = △ MNB$ по двум катетам

$CM = BM = \frac{1}{2} A B = 9$

Сам: начертите сами

Гипотенуза прямоугольного треугольника $25$ . Найдите медиану к ней. $12, 5$
Медиана к гипотенузе $7$ , один острый угол $6 0^{\circ}$ . Найдите меньший катет. $7$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $M$ — середина $A B$ , $∠ A = 3 5^{\circ}$ . Найдите $∠ MCB$ . $5 5^{\circ}$

R01.3

Образец → сам · клетчатая бумага

Средняя линия на клетках

Образец: $A (1; 1)$ , $B (3; 5)$ , $C (9; 1)$ , клетка $1 \times 1$ . Найдите среднюю линию $∥ A C$ .

$M (2; 3)$ , $N (6; 3)$ середины $A B$ и $BC$

$MN = 4 = \frac{1}{2} A C$ $A C = 8$ — проверка теоремой

Сам: нарисуйте в тетради

$A (0; 0)$ , $B (4; 6)$ , $C (10; 0)$ . Найдите среднюю линию $∥ A C$ . $5$
$A (1; 2)$ , $B (5; 8)$ , $C (9; 4)$ . Найдите середины $A B$ и $BC$ . $M (3; 5)$ , $N (7; 6)$
$M (2; 3)$ , $N (5; 3)$ — середины $A B$ и $BC$ , $B (3; 6)$ . Найдите $A$ и $C$ . $A (1; 0)$ , $C (7; 0)$

R01.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
«Средняя линия соединяет вершину с серединой стороны»	это медиана	соединяет середины двух сторон
$MN = \frac{1}{2} A B$ , где $M \in A B$	средняя линия — половина той стороны, которую она не пересекает	$MN = \frac{1}{2} A C$
$M$ — середина $A B$ , $N \in BC$ ⇒ $MN = \frac{1}{2} A C$	$N$ может быть не серединой	нужно ещё $MN ∥ A C$ или $BN = NC$
$P_{△ MN K} = \frac{1}{4} P_{△ A BC}$	треугольников четыре, но каждая сторона — половина	$P_{△ MN K} = \frac{1}{2} P_{△ A BC}$

R01.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Стороны $6$ , $10$ , $12$ . Найдите среднюю линию, параллельную большей стороне.

Она соединяет середины сторон $10$ и $6$ :

$(10 + 6) : 2 = 8$

$12 : 2 = 6$ — половина стороны, которой она параллельна

б) $M$ , $N$ — середины $A B$ и $BC$ . «Докажем», что $MN ∥ A C$ .

$∠ BMN = ∠ B A C$ (соответственные), значит, $MN ∥ A C$

равенство углов выведено из параллельности, которую доказываем, — логический круг; нужна теорема (удвоение $MN$ )

в) $P_{△ A BC} = 30$ . Найдите периметр треугольника из средних линий.

Средние линии делят треугольник на $4$ части:

$30 : 4 = 7, 5$

$30 : 2 = 15$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Ученик перепутал со средней линией трапеции (полусумма оснований — урок R01.7). Средняя линия треугольника равна половине одной стороны: 12 : 2 = 6.
б) «Соответственные углы равны» — это следствие параллельности, его нельзя брать как данное. Корректно: сослаться на доказанную теорему о средней линии.
в) Стороны MNK — половины сторон ABC ⇒ P = 15. На 4 делится площадь (тема R03), а не периметр.

R01.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $A C = 18$ . Найдите среднюю линию, параллельную $A C$ . $9$
базаСредняя линия $4, 5$ . Найдите сторону, которой она параллельна. $9$
базаСтороны $7$ , $9$ , $12$ . Найдите периметр треугольника из средних линий. $14$

база $M$ , $N$ — середины $A B$ , $BC$ ; $∠ C = 4 8^{\circ}$ . Найдите $∠ MNB$ . $4 8^{\circ}$
база $A B = 10$ , $BC = 14$ , $A C = 12$ ; $M$ , $N$ — середины $A B$ , $BC$ . Найдите $P_{A MNC}$ . $30$
базаБоковая сторона равнобедренного треугольника $10$ , основание $12$ . Найдите средние линии. $5$ , $5$ , $6$

R01.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Стороны треугольника относятся как $4 : 5 : 6$ , периметр треугольника из средних линий $30$ . Найдите стороны. $16$ , $20$ , $24$
повыш.Диагонали четырёхугольника $8$ и $12$ . Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в серединах его сторон. $20$
повыш. $M$ , $N$ , $K$ — середины $A B$ , $BC$ , $A C$ . Докажите: $BM K N$ — параллелограмм. $M K ∥ BN$ , $M K = \frac{1}{2} BC = BN$ ⇒ признак 1
из жизниПруд мешает измерить $A C$ . Выбрали точку $B$ , отметили середины $M$ и $N$ отрезков $B A$ и $BC$ : $MN = 37$ м. Найдите $A C$ . $74$ м

R01.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 15Точки $M$ и $N$ — середины сторон $A B$ и $BC$ треугольника $A BC$ , сторона $A C$ равна $44$ . Найдите $MN$ . $22$
ОГЭ 15Точки $M$ и $N$ — середины сторон $A B$ и $BC$ треугольника $A BC$ ; $A B = 66$ , $BC = 37$ , $A C = 74$ . Найдите $MN$ . $37$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон.
Средняя линия треугольника равна полусумме двух его сторон.
Средняя линия треугольника соединяет вершину с серединой противолежащей стороны.

Ответ: 1

R01.3 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 $MN$ — средняя линия $△ A BC$ ( $M \in A B$ , $N \in BC$ ). Биссектриса $∠ A$ пересекает $MN$ в точке $K$ . Найдите $K N$ , если $A B = 12$ , $A C = 20$ .

$∠ M K A = ∠ K A C = ∠ M A K$ ⇒ $M K = A M = 6$

$K N = MN - M K = 10 - 6 = 4$

ОГЭ 24 Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

$K L MN$ — параллелограмм (Вариньон); $K L ∥ A C$ , $L M ∥ B D$ , $A C ⊥ B D$

$∠ K L M = 9 0^{\circ}$ ⇒ прямоугольник

2 мин · практика
23) MN ∥ AC ⇒ ∠MKA = ∠KAC (накрест лежащие, секущая AK); ∠KAC = ∠MAK (биссектриса) ⇒ △AMK равнобедренный, MK = AM = 12 : 2 = 6. MN = 20 : 2 = 10, KN = 4. Ответ: 4. (На чертеже проверено: биссектриса из A проходит через точку MN на расстоянии 6 от M.)
24) Решение на 2 балла: KL и MN — средние линии △ABC и △ADC ⇒ KL ∥ AC ∥ MN, KL = MN = AC/2 ⇒ KLMN — параллелограмм; LM ∥ BD; диагонали ромба перпендикулярны ⇒ KL ⊥ LM ⇒ ∠KLM = 90° ⇒ прямоугольник. Обязательно назвать каждую теорему и свойство.
На уроке — устное обсуждение плана, запись 24 полностью — в ДЗ по желанию.

R01.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$M$ , $N$ — середины $A B$ и $BC$ , $A C = 26$ . Найдите $MN$ . $13$
Стороны $6$ , $8$ , $11$ . Найдите периметр треугольника из средних линий. $12, 5$
Средняя линия, параллельная $A B$ , равна $7, 5$ . Найдите $A B$ . $15$
Диагонали четырёхугольника $9$ и $15$ . Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в серединах сторон. $24$

Вариант 2

$M$ , $N$ — середины $A B$ и $BC$ , $A C = 34$ . Найдите $MN$ . $17$
Стороны $5$ , $9$ , $12$ . Найдите периметр треугольника из средних линий. $13$
Средняя линия, параллельная $BC$ , равна $8, 5$ . Найдите $BC$ . $17$
Диагонали четырёхугольника $11$ и $7$ . Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в серединах сторон. $18$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем средняя линия отличается от медианы?
Сформулируйте теорему о средней линии.
Какую фигуру образуют середины сторон четырёхугольника?

Домашнее задание

Стороны $10$ , $14$ , $18$ . Найдите средние линии и периметр треугольника из них.
Медиана к гипотенузе $8$ . Найдите гипотенузу.
* Докажите: середины сторон прямоугольника — вершины ромба.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_parallelogramm_i_trapeciya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-003 · Средняя линия треугольника

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R01 «Четырехугольники», 22 ч · урок 3/22 · тип Н
Единицы → слайды	R01.3 «Средняя линия треугольника» → 2, 4–22 · повторение R01.1–R01.2 → 3
Результаты	ПР-3 (понятие средней линии треугольника, применение свойств) → 4–22 · ПР-1 (признаки параллелограмма, ромба, прямоугольника) → 5, 10, 11, 20
Вне урока	трапеция — GEOM8U-004; средняя линия трапеции — R01.7; теорема Фалеса — R01.8; центр масс (точка пересечения медиан) — R01.10; теорема Вариньона — слайд «Дополнительно» (10)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Средняя линия треугольника

Сегодня вы научитесь

Находить среднюю линию

Доказывать теорему

Применять следствия

Решать задачи

Середины, параллельность, параллелограмм

Что такое средняя линия треугольника

Средняя линия параллельна стороне и равна её половине

Найдите среднюю линию и периметр

Образец: AB=10, BC=12, AC=16; M, N — середины AB и BC. Найдите MN и P△MBN​.

Сам

Признак средней линии

Три средние линии — четыре равных треугольника

По средним линиям — стороны треугольника

Образец: средние линии относятся как 3:4:5, P△ABC​=48. Найдите стороны △ABC.

Сам

Середины сторон четырёхугольника — параллелограмм

План доказательства и обоснования

Образец: у ABCD диагонали равны: AC=BD. Докажите: KLMN — ромб.

Сам: составьте план

Признак → средняя линия → свойства

Средняя линия, если…

то…

Медиана к гипотенузе

Образец: ∠C=90∘, AB=18, M — середина AB. Найдите медиану CM.

Сам: начертите сами

Средняя линия на клетках

Образец: A(1;1), B(3;5), C(9;1), клетка 1×1. Найдите среднюю линию ∥AC.

Сам: нарисуйте в тетради

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Стороны 6, 10, 12. Найдите среднюю линию, параллельную большей стороне.

б) M, N — середины AB и BC. «Докажем», что MN∥AC.

в) P△ABC​=30. Найдите периметр треугольника из средних линий.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-003 · Средняя линия треугольника

Образец: $A B = 10$ , $BC = 12$ , $A C = 16$ ; $M$ , $N$ — середины $A B$ и $BC$ . Найдите $MN$ и $P_{△ MBN}$ .

Образец: средние линии относятся как $3 : 4 : 5$ , $P_{△ A BC} = 48$ . Найдите стороны $△ A BC$ .

Образец: у $A BC D$ диагонали равны: $A C = B D$ . Докажите: $K L MN$ — ромб.

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 18$ , $M$ — середина $A B$ . Найдите медиану $CM$ .

Образец: $A (1; 1)$ , $B (3; 5)$ , $C (9; 1)$ , клетка $1 \times 1$ . Найдите среднюю линию $∥ A C$ .

а) Стороны $6$ , $10$ , $12$ . Найдите среднюю линию, параллельную большей стороне.

б) $M$ , $N$ — середины $A B$ и $BC$ . «Докажем», что $MN ∥ A C$ .

в) $P_{△ A BC} = 30$ . Найдите периметр треугольника из средних линий.