Четырёхугольники · урок 1 из 22

Параллелограмм, его признаки и свойства

Геометрия · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM8U-001

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Четырехугольники» (22 ч), урок 1/22, единица R01.1. Тип урока — Н.
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · определение 1,5 · свойство 1 — 2 · свойство 2 — 1,5 · признак 1 — 2 · признак 2 — 1,5 · признак 3 — 1,5 · схема 1,5.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 17/19 — 2 · ОГЭ 23/24 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: задание 3 «Образец → сам» на клетчатой бумаге и задачу ОГЭ 24 — в ДЗ; доказательства не сокращать.

R01.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать параллелограмм

по определению, называть его элементы (ПР-1)

Доказывать свойства

стороны, углы, диагонали — с обоснованием каждого шага

Различать признаки и свойства

и доказывать, что фигура — параллелограмм (ПР-1)

Решать задачи

на вычисление и доказательство, в том числе ОГЭ 23–24

повторение: 7 класс

Разминка · устно

Параллельные прямые и треугольники

$a ∥ b$ . Чему равен $∠2$ ? $6 5^{\circ}$ — накрест лежащие
Чему равен $∠3$ ? $11 5^{\circ}$ — односторонние
Если накрест лежащие углы равны, то прямые… параллельны
Два угла треугольника $4 0^{\circ}$ и $7 5^{\circ}$ . Третий? $6 5^{\circ}$
Признак равенства по стороне и двум прилежащим углам — какой? второй
Сумма углов выпуклого четырёхугольника? $36 0^{\circ}$

R01.1

Определение

Что такое параллелограмм

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

A B ∥ C D

,

BC ∥ A D

Диагонали $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $O$ .

$α$ и $β$ — односторонние при $BC ∥ A D$ : $α + β = 18 0^{\circ}$

1,5 мин · теория
Стрелки на сторонах — знак параллельности: одинаковое число стрелок у параллельных сторон.
Вопрос: назовите противоположные стороны, соседние стороны, противоположные углы (∠A и ∠C, ∠B и ∠D).
Следствие сразу из определения: углы, прилежащие к одной стороне, в сумме 180° (односторонние). Отсюда: у параллелограмма либо два острых и два тупых угла, либо все прямые.
Ошибка: называть параллелограмм буквами не по порядку обхода (ABDC вместо ABCD).

R01.1

Свойство 1 · доказательство

Противоположные стороны и углы равны

Дано:

A BC D

— параллелограмм.
Доказать:

A B = C D

,

BC = A D

,

∠ B = ∠ D

,

∠ A = ∠ C

.

1

∠1 = ∠2

накрест лежащие,

A B ∥ C D

, секущая

A C

2

∠3 = ∠4

накрест лежащие,

BC ∥ A D

, секущая

A C

3

△ A BC

=

△ C D A

II признак:

A C

— общая, углы из п. 1–2

4

A B = C D

,

BC = A D

,

∠ B = ∠ D

∠ A = ∠1 + ∠4 = ∠2 + ∠3 = ∠ C

R01.1

Свойство 2 · доказательство

Диагонали точкой пересечения делятся пополам

Дано:

A BC D

— параллелограмм,

A C \cap B D = O

.
Доказать:

A O = OC

,

BO = O D

.

1

A B = C D

свойство 1

2

∠1 = ∠2

,

∠3 = ∠4

накрест лежащие,

A B ∥ C D

, секущие

A C

и

B D

3

△ A OB

=

△ CO D

II признак: сторона и два прилежащих угла

4

A O = OC

,

BO = O D

соответственные стороны равных треугольников

R01.1

Образец → сам · свойства на готовом чертеже

Найдите углы и периметр

Образец: $A BC D$ — параллелограмм. Найдите $∠ B$ , $∠ C$ , $∠ D$ и $P$ .

$∠ C = ∠ A = 5 2^{\circ}$ противоположные

$∠ B = ∠ D = 18 0^{\circ} - 5 2^{\circ} = 12 8^{\circ}$ односторонние

$P = 2 (7 + 11) = 36$ $A B = C D$ , $BC = A D$

Сам

Один угол параллелограмма на $4 0^{\circ}$ больше другого. Найдите углы. $7 0^{\circ}$ , $11 0^{\circ}$ , $7 0^{\circ}$ , $11 0^{\circ}$
$P = 48$ , $A B : BC = 1 : 3$ . Найдите стороны. $A B = 6$ , $BC = 18$
$∠ A + ∠ C = 10 0^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ . $13 0^{\circ}$

R01.1

Признак 1 · доказательство

Две стороны равны и параллельны

Дано:

A B ∥ C D

,

A B = C D

.
Доказать:

A BC D

— параллелограмм.

1

∠1 = ∠2

накрест лежащие,

A B ∥ C D

, секущая

A C

2

△ A BC = △ C D A

I признак:

A B = C D

,

A C

— общая,

∠1 = ∠2

3

∠3 = ∠4

\Rightarrow

BC ∥ A D

признак параллельности: накрест лежащие равны

4

A BC D

— параллелограммпо определению:

A B ∥ C D

,

BC ∥ A D

R01.1

Признак 2 · доказательство

Противоположные стороны попарно равны

Дано:

A B = C D

,

BC = A D

.
Доказать:

A BC D

— параллелограмм.

1

△ A BC = △ C D A

III признак: три стороны,

A C

— общая

2

∠1 = ∠2

\Rightarrow

A B ∥ C D

накрест лежащие при секущей

A C

равны

3

A B ∥ C D

и

A B = C D

\Rightarrow

параллелограммпризнак 1

R01.1

Признак 3 · доказательство

Диагонали точкой пересечения делятся пополам

Дано:

A O = OC

,

BO = O D

.
Доказать:

A BC D

— параллелограмм.

1

∠ A OB = ∠ CO D

вертикальные

2

△ A OB = △ CO D

I признак: две стороны и угол между ними

3

A B = C D

,

∠1 = ∠2

\Rightarrow

A B ∥ C D

накрест лежащие при секущей

A C

4

A BC D

— параллелограммпризнак 1

R01.1

Схема-конспект

Признаки → параллелограмм → свойства

Признаки: если…

две стороны равны и параллельны
противоположные стороны попарно равны
диагонали делятся точкой пересечения пополам
* противоположные углы попарно равны

⟶

параллелограмм

⟶

Свойства: то…

$A B = C D$ , $BC = A D$
$∠ A = ∠ C$ , $∠ B = ∠ D$
$∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$
$A O = OC$ , $BO = O D$

1,5 мин · теория
Записать схему в тетрадь — опорный конспект на всю тему. Признак — чтобы доказать, что фигура параллелограмм; свойство — чтобы пользоваться тем, что она параллелограмм.
Признак 4* (углублённый уровень, по щелчку): если ∠A = ∠C и ∠B = ∠D, то 2∠A + 2∠B = 360°, ∠A + ∠B = 180° — односторонние при прямых BC, AD и секущей AB ⇒ BC ∥ AD; аналогично AB ∥ CD. Его доказывают ученики на сл. 13 (задание 2).
Ошибка: применять свойство, чтобы доказать, что фигура — параллелограмм (логический круг).

R01.1

Образец → сам · признак, затем свойство

Сначала докажи, потом пользуйся

Образец: $A B = C D = 7$ , $BC = A D = 12$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ , $∠ B$ и $P$ .

$A BC D$ — параллелограмм признак 2

$∠ C = 6 0^{\circ}$ , $∠ B = 12 0^{\circ}$ свойства углов

$P = 2 (7 + 12) = 38$

Сам

$A O = OC$ , $BO = O D$ , $∠ A BC = 11 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A D C$ и $∠ B A D$ . $11 5^{\circ}$ и $6 5^{\circ}$ (признак 3)
$A B ∥ C D$ , $A B = C D = 8$ , $BC = 5$ . Найдите $P$ . $26$ (признак 1)
$A B ∥ C D$ и $BC = A D$ . Обязательно ли $A BC D$ — параллелограмм? нет: возможна трапеция

R01.1

Образец → сам · задача на доказательство

План доказательства и обоснования

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $E, F \in A C$ , $A E = CF$ . Докажите: $BE D F$ — параллелограмм.

$A O = OC$ , $BO = O D$ свойство 2

$OE = A O - A E = OC - CF = OF$

диагонали $B D$ , $EF$ делятся точкой $O$ пополам ⇒ признак 3

Сам: составьте план

$K \in BC$ , $M \in A D$ , $B K = D M$ . Докажите: $A K CM$ — параллелограмм. $K C = A M$ , $K C ∥ A M$ ⇒ признак 1
Докажите признак 4*: если $∠ A = ∠ C$ , $∠ B = ∠ D$ , то $A BC D$ — параллелограмм. $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$ ⇒ $BC ∥ A D$ ; так же $A B ∥ C D$
Прямая через $O$ пересекает $BC$ в $K$ , $A D$ в $M$ . Докажите: $O K = OM$ . $△ BO K = △ D OM$ (II признак)

3 мин · практика
Образец: точки E и F лежат на AC по разные стороны от O (AE = CF < AO). OE = OF и BO = OD — диагонали четырёхугольника BEDF делятся точкой пересечения пополам ⇒ признак 3. Вопрос: а если бы E и F лежали за серединой? (То же рассуждение, только OE = AE − AO.)
1) KC = BC − BK = AD − DM = AM (BC = AD — свойство 1); KC ∥ AM, так как BC ∥ AD ⇒ признак 1.
2) 2∠A + 2∠B = 360° ⇒ ∠A + ∠B = 180°; это односторонние углы при прямых BC, AD и секущей AB ⇒ BC ∥ AD. Аналогично ∠A + ∠D = 180° ⇒ AB ∥ CD. По определению — параллелограмм.
3) BO = OD (свойство 2), ∠BOK = ∠DOM (вертикальные), ∠OBK = ∠ODM (накрест лежащие, BC ∥ AD, секущая BD) ⇒ △BOK = △DOM по II признаку ⇒ OK = OM.
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования. Сильным — все три; остальным — 1 и 3.

R01.1

Образец → сам · комбинированная задача

Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник

Образец: биссектриса $∠ A$ пересекает $BC$ в точке $K$ , $B K = 6$ , $K C = 4$ . Найдите $P_{A BC D}$ .

$∠ B A K = ∠ K A D = ∠ B K A$ биссектриса; накрест, $BC ∥ A D$

$A B = B K = 6$ $△ A B K$ равнобедренный

$P = 2 (6 + 10) = 32$

Сам

Биссектриса $∠ A$ : $B K = 5$ , $K C = 3$ . Найдите $P$ . $26$
$B K : K C = 3 : 2$ , $P = 48$ . Найдите стороны. $A B = 9$ , $BC = 15$
Биссектрисы $∠ A$ и $∠ D$ пересекают $BC$ в $K$ и $M$ ; $A B = 6$ , $BC = 15$ . Найдите $K M$ . $3$

R01.1

Образец → сам · строим на клетчатой бумаге

Достройте до параллелограмма

Образец: $A (1; 1)$ , $B (2; 4)$ , $C (6; 4)$ . Найдите $D$ , чтобы $A BC D$ был параллелограммом.

от $B$ к $C$ : на 4 клетки вправо $BC ∥ A D$ , $BC = A D$

от $A$ так же: $D (5; 1)$ признак 1

Сам: нарисуйте в тетради

$A (0; 0)$ , $B (2; 3)$ , $C (7; 3)$ . Найдите $D$ . $D (5; 0)$
$A (1; 2)$ , $B (3; 5)$ , $D (6; 2)$ . Найдите $C$ . $C (8; 5)$
Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Сколько существует параллелограммов с вершинами в них и в четвёртой точке? три

2 мин · практика
Обоснование образца: AD получен тем же сдвигом, что BC, поэтому AD ∥ BC и AD = BC ⇒ признак 1. Проверка признаком 3: середина AC — (3,5; 2,5), середина BD — ((2 + 5)/2; (4 + 1)/2) = (3,5; 2,5) ✓.
1) от B к C: 5 вправо, 0 вверх ⇒ D = (0 + 5; 0) = (5; 0). 2) от A к B: 2 вправо, 3 вверх ⇒ C = (6 + 2; 2 + 3) = (8; 5).
3) Четвёртую вершину можно поставить напротив каждой из трёх данных — три параллелограмма (каждый из трёх отрезков между данными точками может оказаться диагональю). Для образца: (5; 1), (7; 7), (−3; 1).

R01.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
«Диагонали параллелограмма равны»	свойство 2 говорит только о делении пополам	$A O = OC$ , $BO = O D$ ; равны у прямоугольника
$A B ∥ C D$ , $BC = A D$ ⇒ параллелограмм	равны и параллельны должны быть одни и те же стороны	$A B ∥ C D$ и $A B = C D$ (признак 1)
« $A BC D$ — параллелограмм, так как $A B = C D$ (свойство)»	свойство нельзя применять, пока не доказано, что это параллелограмм	сначала признак, потом свойства
$∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$	$∠ A$ и $∠ C$ — противоположные, а не соседние	$∠ A = ∠ C$ , $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$

R01.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $∠ A : ∠ B = 2 : 7$ . Найдите $∠ C$ .

$2 x + 7 x = 180$ , $x = 20$

$∠ A = 4 0^{\circ}$ , $∠ C = 18 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 14 0^{\circ}$

$∠ C = ∠ A = 4 0^{\circ}$ — противоположные

б) Дано $A O = OC$ , $A B = C D$ . «Докажем», что $A BC D$ — параллелограмм.

$∠ A OB = ∠ CO D$ (вертикальные) ⇒ $△ A OB = △ CO D$ по I признаку

угол не между сторонами $A O$ и $A B$ — I признак неприменим; утверждение неверно

в) Биссектриса $∠ A$ : $B K = 4$ , $K C = 3$ . Найдите $P$ .

$A B = K C = 3$

$P = 2 (3 + 7) = 20$

$A B = B K = 4$ , $P = 2 (4 + 7) = 22$

2 мин · практика
Сначала видны «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Первая строка верна (соседние углы: 2x + 7x = 180°, x = 20°, ∠A = 40°, ∠B = 140°), ошибка во второй: ∠C противоположен ∠A, значит ∠C = 40°.
б) Угол AOB лежит между сторонами OA и OB, а не OA и AB — это «две стороны и угол не между ними», такого признака нет. Само утверждение ложно: при данных AO = OC и AB = CD точку D можно выбрать двумя способами, и один из них даёт не параллелограмм (углублённый уровень — попросить сильных построить контрпример циркулем).
в) Равнобедренный △ABK: AB = BK = 4 (а не KC). BC = 7, P = 2(4 + 7) = 22.

R01.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $∠ A = 4 7^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ . $13 3^{\circ}$
базаОдин угол вдвое больше другого. Найдите углы. $6 0^{\circ}$ и $12 0^{\circ}$
база $P = 56$ , $A B = 12$ . Найдите $BC$ . $16$

база $A C = 14$ , $B D = 20$ . Найдите $A O + BO$ . $17$
базаСумма двух углов $15 0^{\circ}$ . Найдите больший угол. $10 5^{\circ}$
базаСтороны относятся как $2 : 5$ , $P = 42$ . Найдите стороны. $6$ и $15$

R01.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $B H$ — высота к $A D$ , $∠ A B H = 2 5^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $11 5^{\circ}$
повыш.Биссектриса $∠ B$ пересекает $A D$ в $K$ , $A K : KD = 2 : 3$ , $P = 56$ . Найдите стороны. $8$ и $20$
повыш.Найдите угол между биссектрисами двух соседних углов параллелограмма. $9 0^{\circ}$
из жизниПолка на четырёх шарнирных рейках: $A B = C D$ , $BC = A D$ , $A D$ на полу. Почему полка $BC$ всегда горизонтальна? признак 2 ⇒ $BC ∥ A D$

2,5 мин · практика
1) В △ABH ∠A = 90° − 25° = 65°; ∠D = 180° − 65° = 115° (∠A и ∠D — соседние).
2) △ABK равнобедренный (∠ABK = ∠KBC = ∠AKB): AB = AK = 2x, AD = 5x; P = 2(2x + 5x) = 14x = 56, x = 4: AB = 8, AD = 20.
3) ∠A + ∠B = 180° ⇒ половины в сумме 90° ⇒ в треугольнике, образованном биссектрисами и стороной AB, третий угол 180° − 90° = 90°.
4) Противоположные рейки попарно равны ⇒ ABCD — параллелограмм при любом наклоне ⇒ BC ∥ AD (пол). Так устроены откидные столики, лампы-пантографы, подъёмные полки.

R01.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 17 и 19

Ответ — одно число

ОГЭ 17Диагональ $A C$ параллелограмма $A BC D$ образует с его сторонами углы $3 5^{\circ}$ и $3 0^{\circ}$ . Найдите больший угол параллелограмма. $115$
ОГЭ 17Периметр параллелограмма $50$ , одна сторона на $5$ больше другой. Найдите меньшую сторону. $10$

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Диагонали параллелограмма равны.
Противоположные углы параллелограмма равны.
Четырёхугольник с двумя параллельными сторонами — параллелограмм.

Ответ: 2

R01.1 · ОГЭ, ч. 2

Формат ОГЭ · линии 23 и 24

Вторая часть: вычисление и доказательство

ОГЭ 23 Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $A BC D$ пересекаются в точке $K$ стороны $C D$ . Найдите $A B$ , если $BC = 19$ .

$DK = A D = 19$ из $△ A DK$

$C K = BC = 19$ из $△ BC K$

$A B = C D = 38$

ОГЭ 24 $E$ — середина $C D$ , прямая $A E$ пересекает прямую $BC$ в точке $F$ . Докажите, что $CF = A D$ .

$D E = EC$ , $∠ A E D = ∠ FEC$ (вертик.), $∠ A D E = ∠ FCE$ (накрест, $A D ∥ BF$ )

$△ A D E = △ FCE$ (II) ⇒ $CF = A D$

2 мин · практика
23) ∠DAK = ∠KAB = ∠AKD (накрест лежащие, AB ∥ CD, секущая AK) ⇒ △ADK равнобедренный, DK = AD = BC = 19. Аналогично ∠CBK = ∠KBA = ∠BKC ⇒ CK = BC = 19. AB = CD = DK + KC = 38. Ответ: 38.
24) Полное решение на 2 балла: равенство треугольников по стороне DE = EC и двум прилежащим углам (вертикальные при E; накрест лежащие при параллельных AD и BC и секущей CD) ⇒ CF = AD. Обязательно назвать признак и обосновать каждое равенство.
На уроке — устное обсуждение плана (2 мин), запись 24 полностью — в ДЗ по желанию.

R01.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$∠ A = 7 2^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ и $∠ C$ . $10 8^{\circ}$ , $7 2^{\circ}$
Биссектриса $∠ A$ : $B K = 7$ , $K C = 2$ . Найдите $P$ . $32$
$A C = 12$ , $B D = 18$ , $A B = 10$ . Найдите $P_{△ A OB}$ . $25$
$A O = OC$ , $BO = O D$ , $∠ B A D = 8 0^{\circ}$ . Найдите $∠ BC D$ . $8 0^{\circ}$

Вариант 2

$∠ B = 14 1^{\circ}$ . Найдите $∠ A$ и $∠ D$ . $3 9^{\circ}$ , $14 1^{\circ}$
Биссектриса $∠ A$ : $B K = 5$ , $K C = 4$ . Найдите $P$ . $28$
$A C = 16$ , $B D = 10$ , $C D = 9$ . Найдите $P_{△ CO D}$ . $22$
$A B = C D$ , $BC = A D$ , $∠ A BC = 9 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A D C$ . $9 5^{\circ}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем признак отличается от свойства?
Назовите три признака параллелограмма.
Что отсекает биссектриса угла параллелограмма?

Домашнее задание

$∠ A - ∠ B = 3 0^{\circ}$ . Найдите углы.
Биссектриса $∠ A$ : $B K = 8$ , $K C = 5$ . Найдите $P$ .
* Прямая через $O$ пересекает $A B$ в $M$ , $C D$ в $N$ . Докажите: $A M = CN$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_parallelogramm_i_trapeciya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8U-001 · Параллелограмм, его признаки и свойства

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R01 «Четырехугольники», 22 ч · урок 1/22 · тип Н
Единицы → слайды	R01.1 «Параллелограмм, его признаки и свойства» → 2, 4–23 · повторение 7 класса → 3
Результаты	ПР-1 (распознавать четырёхугольники, различать признаки и свойства параллелограмма, доказывать и применять) → 4–23
Вне урока	прямоугольник, ромб, квадрат — GEOM8U-002; средняя линия — GEOM8U-003; трапеция — GEOM8U-004–006; центральная симметрия — R01.11; признак по углам дан как задача (сл. 11, 13)
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Параллелограмм, его признаки и свойства

Сегодня вы научитесь

Узнавать параллелограмм

Доказывать свойства

Различать признаки и свойства

Решать задачи

Параллельные прямые и треугольники

Что такое параллелограмм

Противоположные стороны и углы равны

Диагонали точкой пересечения делятся пополам

Найдите углы и периметр

Образец: ABCD — параллелограмм. Найдите ∠B, ∠C, ∠D и P.

Сам

Две стороны равны и параллельны

Противоположные стороны попарно равны

Диагонали точкой пересечения делятся пополам

Признаки → параллелограмм → свойства

Признаки: если…

Свойства: то…

Сначала докажи, потом пользуйся

Образец: AB=CD=7, BC=AD=12, ∠A=60∘. Найдите ∠C, ∠B и P.

Сам

План доказательства и обоснования

Образец: ABCD — параллелограмм, E,F∈AC, AE=CF. Докажите: BEDF — параллелограмм.

Сам: составьте план

Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник

Образец: биссектриса ∠A пересекает BC в точке K, BK=6, KC=4. Найдите PABCD​.

Сам

Достройте до параллелограмма

Образец: A(1;1), B(2;4), C(6;4). Найдите D, чтобы ABCD был параллелограммом.

Сам: нарисуйте в тетради

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) ∠A:∠B=2:7. Найдите ∠C.

б) Дано AO=OC, AB=CD. «Докажем», что ABCD — параллелограмм.

в) Биссектриса ∠A: BK=4, KC=3. Найдите P.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

ОГЭ 19 Какие утверждения верны?

Вторая часть: вычисление и доказательство

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8U-001 · Параллелограмм, его признаки и свойства

Образец: $A BC D$ — параллелограмм. Найдите $∠ B$ , $∠ C$ , $∠ D$ и $P$ .

Образец: $A B = C D = 7$ , $BC = A D = 12$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ , $∠ B$ и $P$ .

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $E, F \in A C$ , $A E = CF$ . Докажите: $BE D F$ — параллелограмм.

Образец: биссектриса $∠ A$ пересекает $BC$ в точке $K$ , $B K = 6$ , $K C = 4$ . Найдите $P_{A BC D}$ .

Образец: $A (1; 1)$ , $B (2; 4)$ , $C (6; 4)$ . Найдите $D$ , чтобы $A BC D$ был параллелограммом.

а) $∠ A : ∠ B = 2 : 7$ . Найдите $∠ C$ .

б) Дано $A O = OC$ , $A B = C D$ . «Докажем», что $A BC D$ — параллелограмм.

в) Биссектриса $∠ A$ : $B K = 4$ , $K C = 3$ . Найдите $P$ .