Итоговое повторение · урок 4 из 4 · обобщение

Геометрия 8 класса: всё вместе

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R06 · GEOM8-068

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение знаний» (4 ч), урок 4/4 — последний урок курса, единица R06.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний». Тип О (обобщение).
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 карта курса 2 · 5 сводная таблица 2,5 · 7 прямоугольный треугольник 2 · 10 окружность 2,5 · 14 как решать задачу 2. Все теоретические слайды прежней версии сохранены полностью.
Практика (32): 3 разминка 2 · 6 блиц 2 · 8, 9, 11, 12, 13 — пять «Образец → сам» по 2,5 · 15 ошибки 1,5 · 16 найди ошибку 2 · 17 база 2,5 · 18 повышенный 2,5 · 19 ОГЭ 2 · 20 самостоятельная 4 · 21 итог 1.
Продолжение GEOM8-065 – GEOM8-067: там повторяли разделы по отдельности, сегодня — связи между разделами (вид деятельности ФРП: «решать задачи на повторение, иллюстрирующие связи между различными частями курса»). Каждый образец использует 2–4 раздела.
Если не успеваете: в образцах — по одному заданию «сам», повышенный уровень — в ДЗ; теорию не выбрасывать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Видеть связи разделов

в одной задаче — четырёхугольник, подобие, площадь, окружность (R06.1)

Пользоваться свойствами

четырёхугольников и признаками подобия (ПР-1, ПР-4)

Вычислять длины и площади

теорема Пифагора, $sin$ , $cos$ , $tg$ , формулы площадей (ПР-5, ПР-6, ПР-7)

Решать задачи ОГЭ

с окружностью, на клетчатой бумаге, на верные утверждения (ПР-8, ПР-9)

повторение: R01–R05

Разминка · устно

Восемь фактов курса — в уме

$6^{2} + 8^{2}$ $10$
Сумма углов четырёхугольника $36 0^{\circ}$
Средняя линия трапеции, основания $6$ и $10$ $8$
$sin 3 0^{\circ}$ $0, 5$

Площадь треугольника: сторона $10$ , высота к ней $6$ $30$
Вписанный угол на дугу $8 0^{\circ}$ $4 0^{\circ}$
$k = 3$ : во сколько раз больше площадь? в $9$
Средняя линия треугольника, если сторона $14$ $7$

R06.1 · карта курса

Карта курса · пять разделов

Разделы связаны: одна задача — несколько тем

2 мин · теория
Вопрос классу перед каждым шагом: «Как связаны эти два раздела? Где вы встречали это вместе?»
Ответы-связки: средняя линия трапеции и треугольника (R01–R02); отношение площадей подобных фигур $k^{2}$ (R02–R03); высоту для площади находят по теореме Пифагора (R03–R04); вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой — дальше тригонометрия (R04–R05); вписанные и описанные четырёхугольники (R05–R01).
В центре — треугольники 7 класса: признаки равенства, сумма углов $18 0^{\circ}$ — на них опирается весь курс 8 класса.

R06.1 · формулы

Схема-конспект · сводная таблица

Главные формулы курса

Раздел	Формулы и факты
Четырёхугольники	сумма углов $36 0^{\circ}$ · средняя линия трапеции $m = \frac{a + b}{2}$ , треугольника $\frac{a}{2}$
Подобие	$\frac{A _{1} B _{1}}{A B} = k$ · $\frac{S _{1}}{S} = k^{2}$ · медианы делятся $2 : 1$ от вершины
Площади	$S = ah$ · $S = \frac{1}{2} ah$ · $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$ · ромб $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$
Прямоугольный △	$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ · $sin A = \frac{a}{c}$ , $cos A = \frac{b}{c}$ , $tg A = \frac{a}{b}$ · $sin^{2} A + cos^{2} A = 1$
Окружность	вписанный угол $= \frac{1}{2}$ центрального · вписанный 4-уг.: $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ · описанный: $a + c = b + d$

2,5 мин · теория
Таблицу переписать в тетрадь — это шпаргалка к итоговой проверке и к ОГЭ (на экзамене выдаётся справочный лист, но не все факты в нём есть).
Вопрос по каждой строке: «Где в $sin A = \frac{a}{c}$ катет $a$ ?» — противолежащий углу $A$ ; $b$ — прилежащий, $c$ — гипотенуза.
Ошибка: путать вписанный и описанный четырёхугольник. Вписанный — вершины на окружности (суммы противоположных углов); описанный — стороны касаются окружности (суммы противоположных сторон).

R06.1 · блиц

Устно · верно или неверно?

Блиц по всему курсу

Утверждение	Ответ
1. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.	верно
2. Диагонали любого ромба равны.	неверно
3. Сумма углов треугольника равна $18 0^{\circ}$ .	верно
4. Площадь треугольника равна произведению стороны на высоту к ней.	неверно
5. Вписанный угол равен центральному, опирающемуся на ту же дугу.	неверно
6. Отношение площадей подобных треугольников равно $k^{2}$ .	верно
7. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении $2 : 1$ , считая от вершины.	верно

2 мин · практика
Класс голосует (ладонь вверх — верно, вниз — неверно), затем открываем ответ. За неверные — сразу исправленная формулировка.
2) Равны диагонали прямоугольника; у ромба они перпендикулярны и делят углы пополам. 4) Площадь — половина произведения стороны на высоту. 5) Вписанный угол равен половине центрального.
Это тренировка к линии 19 ОГЭ (сл. 19): в неверных утверждениях обычно «потеряна» половина или перепутаны фигуры.

R04 · сводка

Схема-конспект · прямоугольный треугольник

Пифагор и тригонометрия — на одном чертеже

c^{2} = a^{2} + b^{2}

sin A = \frac{a}{c}, cos A = \frac{b}{c}, tg A = \frac{a}{b}

	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$
$sin$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$
$cos$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tg$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$

R01 + R03 + R04

Образец → сам · четырёхугольник + Пифагор + площадь

Ромб: сторона и высота через диагонали

Образец: диагонали ромба $16$ и $12$ . Найдите сторону и высоту

$A O = 8$ , $BO = 6$ , $∠ A OB = 9 0^{\circ}$ диагонали ромба ⊥ и делятся пополам (R01)
$A B = 8^{2} + 6^{2} = 10$ теорема Пифагора в △AOB (R04)
$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96$ , $h = \frac{96}{10} = 9, 6$ ромб — параллелограмм: $S = ah$ (R03)

Сам: ромб

Диагонали $10$ и $24$ . Найдите сторону и $S$ .
$13$ ; $S = 120$
Сторона $10$ , одна диагональ $12$ . Найдите другую диагональ и $S$ .
$16$ ; $S = 96$
Диагонали $30$ и $40$ . Найдите высоту.
$h = 24$

2,5 мин · практика
Образец (1 мин): чертёж точный (1 = 20 px), $B H = 192$ px $= 9, 6$ . Метод вспомогательной площади (R03): площадь двумя способами — через диагонали и через сторону с высотой. Вопрос: «Почему ромб можно считать параллелограммом?» (ромб — параллелограмм с равными сторонами).
Сам (1,5 мин): 1) половины диагоналей $5$ и $12$ , сторона $13$ ; $S = \frac{10 \cdot 24}{2} = 120$ . 2) половина известной диагонали $6$ , вторая половина $100 - 36 = 8$ , диагональ $16$ , $S = \frac{12 \cdot 16}{2} = 96$ (обратная задача). 3) сторона $1 5^{2} + 2 0^{2} = 25$ , $S = 600$ , $h = \frac{600}{25} = 24$ .
Ошибка: брать стороной половину диагонали или считать $S = d_{1} d_{2}$ .

R02 + R03

Образец → сам · подобие + площади

Прямая, параллельная стороне, и площади частей

Образец: $D E ∥ A C$ , $B D : D A = 2 : 1$ , $S_{A BC} = 27$ . Найдите $S_{D BE}$ и $S_{A D EC}$

$∠ B$ — общий, $∠ B D E = ∠ B A C$ соответственные при $D E ∥ A C$
△DBE ∼ △ABC, $k = \frac{B D}{B A} = \frac{2}{3}$ признак подобия по двум углам (R02)
$S_{D BE} = (\frac{2}{3})^{2} \cdot 27 = 12$ $\frac{S _{1}}{S} = k^{2}$ (R03)
$S_{A D EC} = 27 - 12 = 15$ площадь целого = сумма частей

Сам: $D E ∥ A C$

$B D : D A = 1 : 2$ , $S_{A BC} = 36$ . Найдите $S_{D BE}$ и $S_{A D EC}$ .
$4$ и $32$
$B D : D A = 3 : 1$ , $S_{D BE} = 18$ . Найдите $S_{A BC}$ .
$32$
$D E$ — средняя линия, $S_{A BC} = 40$ . Найдите $S_{D BE}$ .
$10$

R05 · сводка

Схема-конспект · окружность

Шесть фактов об окружности

Вписанный угол

∠ A CB = \frac{1}{2} ∠ A OB

Опирается на диаметр

∠ A CB = 9 0^{\circ}

Касательная

OT ⊥

касательной

Отрезки касательных

P A = PB

Вписанный 4-угольник

∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}

Описанный 4-угольник

A B + C D = BC + A D

2,5 мин · теория
Первая строка — углы и касательная; вторая (по клику) — отрезки касательных и два вида четырёхугольников. На чертеже 1 центральный угол $13 0^{\circ}$ , вписанный — $6 5^{\circ}$ .
Вопрос: «Почему у описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны?» — каждая сторона состоит из двух отрезков касательных, а отрезки касательных из одной вершины равны (карточка 4).
Ошибка: «вписанный угол равен дуге». Он равен половине дуги, на которую опирается.

R05 + R04

Образец → сам · окружность + тригонометрия

Треугольник, опирающийся на диаметр

Образец: $A B$ — диаметр, $A B = 10$ , $∠ A BC = 3 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ и $BC$

$∠ A CB = 9 0^{\circ}$ вписанный угол опирается на диаметр (R05)
$A C = A B \cdot sin 3 0^{\circ} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ катет против угла $B$ (R04)
$BC = A B \cdot cos 3 0^{\circ} = 53$ катет, прилежащий к углу $B$
проверка: $5^{2} + (53)^{2} = 100 = 1 0^{2}$

Сам: $A B$ — диаметр, $C$ на окружности

$A B = 12$ , $∠ A BC = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ и $A C$ .
$6$ и $63$
$A B = 10$ , $A C = 6$ . Найдите $BC$ и $sin ∠ A BC$ .
$8$ ; $0, 6$
$A B = 8$ , $∠ A BC = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A C$ .
$42$

R03 + R04 · клетки

Образец → сам · клетчатая бумага

Площадь достраиванием, длина — по Пифагору

Образец: найдите площадь △ABC и длину $BC$

Прямоугольник $7 \times 5$ : $S = 35$ достроили до прямоугольника
Отрезаем: $7, 5 + 6 + 7 = 20, 5$ три прямоугольных треугольника: $\frac{3 \cdot 5}{2}$ , $\frac{4 \cdot 3}{2}$ , $\frac{7 \cdot 2}{2}$
$S_{A BC} = 35 - 20, 5 = 14, 5$
$BC = 4^{2} + 3^{2} = 5$ Пифагор: катеты по клеткам

Сам: клетка $1 \times 1$

Площадь треугольника 1 $12$
Площадь треугольника 2 $9$
Отрезок: $6$ клеток вправо, $8$ вверх. Длина? $10$

R05 + R01 + R04 + R03

Образец → сам · четыре раздела в одной задаче

Трапеция, описанная около окружности

Образец: равнобокая трапеция с основаниями $4$ и $16$ описана около окружности. Найдите $r$ и $S$

$A B + C D = 4 + 16$ ⇒ $A B = 10$ описанный 4-уг. (R05), боковые равны (R01)
$A H = \frac{16 - 4}{2} = 6$ , $B H = 1 0^{2} - 6^{2} = 8$ Пифагор в △ABH (R04)
$r = \frac{h}{2} = 4$ диаметр = расстояние между основаниями
$S = \frac{4 + 16}{2} \cdot 8 = 80$ площадь трапеции (R03)

Сам: трапеция описана около окружности

Равнобокая, основания $2$ и $8$ . Найдите $r$ и $S$ .
$r = 2$ ; $S = 20$
Боковые стороны $7$ и $9$ . Найдите среднюю линию.
$8$
Равнобокая, боковая сторона $13$ , $r = 6$ . Найдите $S$ .
$156$

R06.1 · метод

Схема-конспект · запишите в тетрадь

Как решать задачу, где несколько тем

Видишь диаметр

вписанный угол $9 0^{\circ}$

Видишь $∥$ прямые

подобие, $k$ и $k^{2}$

Видишь высоту

Пифагор → площадь

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Потерянный множитель

Площадь ромба: $d_{1} = 6$ , $d_{2} = 8$

✗ $S = 6 \cdot 8 = 48$

потеряна $\frac{1}{2}$ : ромб — половина прямоугольника на диагоналях

✓ $S = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$

Подобные: $k = 3$ , $S = 5$

✗ $S_{1} = 3 \cdot 5 = 15$

площади относятся как $k^{2}$ , а не как $k$

✓ $S_{1} = 3^{2} \cdot 5 = 45$

Вписанный угол на дугу $10 0^{\circ}$

✗ $10 0^{\circ}$

вписанный угол равен половине дуги

✓ $\frac{10 0 ^{\circ}}{2} = 5 0^{\circ}$

R04 + R03

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 6$ , $A B = 10$ . Найдите $BC$ , $sin A$ , $S$

1) $BC = 1 0^{2} + 6^{2} = 136$

✓ $A B$ — гипотенуза: $BC = 100 - 36 = 8$

2) $sin A = \frac{A C}{A B} = 0, 6$

✓ $sin A = \frac{BC}{A B} = 0, 8$ ( $0, 6$ — это $cos A$ )

3) $S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot BC$

✓ верно: $S = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$

б) Трапеция: основания $6$ и $14$ , высота $5$ . Средняя линия и $S$

1) $m = 14 - 6 = 8$

✓ $m = \frac{6 + 14}{2} = 10$

2) $S = (6 + 14) \cdot 5 = 100$

✓ $S = \frac{6 + 14}{2} \cdot 5 = 50$

2 мин · практика
Сначала видны только строки ученика; 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления (зелёным).
а) Ошибка 1: гипотенузу $A B$ приняли за катет — сложили квадраты вместо вычитания. Ошибка 2: синус — отношение противолежащего катета ( $BC$ ) к гипотенузе; $\frac{A C}{A B} = 0, 6$ — косинус. Шаг 3 записан верно, но с неверным $BC$ дал бы $3136$ ; верно $S = 24$ .
б) Средняя линия — полусумма оснований, а не разность; в формуле площади трапеции потеряна $\frac{1}{2}$ .

R06.1

Задания с самопроверкой · база

По одному заданию на каждый раздел

Катет $6$ , гипотенуза $10$ . Найдите второй катет и синус угла, противолежащего катету $6$ . $8$ ; $0, 6$
Центральный угол $12 4^{\circ}$ . Найдите вписанный, опирающийся на ту же дугу. $6 2^{\circ}$
Основания трапеции $7$ и $13$ , высота $5$ . Найдите среднюю линию и площадь. $10$ ; $50$

Стороны параллелограмма $8$ и $5$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $20$
Медиана треугольника $12$ . Найдите расстояние от вершины до точки пересечения медиан. $8$
Стороны прямоугольника $5$ и $12$ . Найдите диагональ. $13$

R06.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Две-три темы в одной задаче

повыш.Диагонали трапеции $A BC D$ ( $BC = 5$ , $A D = 15$ ) пересекаются в точке $O$ , $S_{BOC} = 4$ . Найдите $S_{A O D}$ . $36$
повыш.Катеты прямоугольного треугольника $9$ и $12$ . Найдите высоту, проведённую к гипотенузе. $7, 2$
повыш.Четырёхугольник $A BC D$ вписан в окружность, $∠ A = 7 5^{\circ}$ , $∠ B = 11 0^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ и $∠ D$ . $10 5^{\circ}$ , $7 0^{\circ}$
повыш.Четырёхугольник $A BC D$ описан около окружности, $A B = 7$ , $BC = 9$ , $C D = 12$ . Найдите $A D$ . $10$
из жизниЛестница длиной $5$ м приставлена к стене, нижний конец в $1, 4$ м от стены. На какой высоте верхний конец? $4, 8$ м

R06.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 19

Задание 19 · верные утверждения

1. Какие из следующих утверждений верны?

Если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то этот четырёхугольник — ромб.
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $36 0^{\circ}$ .
Тангенс любого острого угла меньше единицы.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Ответ: 2

Сам: какие утверждения верны?

2. 1) Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. 2) Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. 3) Средняя линия трапеции равна полусумме её боковых сторон. 12

3. 1) В любой прямоугольник можно вписать окружность. 2) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны. 3) Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. 23

2 мин · практика
Самостоятельно, ответ — в «бланк» одной строкой цифр. Задания составлены в формате банка ФИПИ (линия 19).
1) 1 — неверно: у дельтоида диагонали перпендикулярны, но это не ромб — нужен ещё параллелограмм; 2 — верно; 3 — неверно: $tg 6 0^{\circ} = 3 > 1$ . Ответ: 2.
2) 1 — верно; 2 — верно; 3 — неверно: полусумме оснований. Ответ: 12. 3) 1 — неверно (только в квадрат: суммы противоположных сторон прямоугольника $a + a \neq = b + b$ при $a \neq = b$ ); 2 — верно (I признак); 3 — верно. Ответ: 23.
Ошибка: «13» в задании 1 — путают признак ромба (параллелограмм с перпендикулярными диагоналями) со свойством.

R06.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

В задачах 3: $D \in A B$ , $E \in BC$ , $D E ∥ A C$ .

Вариант 1

Диагонали ромба $6$ и $8$ . Найдите сторону. $5$
Вписанный угол $3 5^{\circ}$ . Найдите центральный на ту же дугу. $7 0^{\circ}$
$B D : D A = 1 : 1$ , $S_{A BC} = 48$ . Найдите $S_{D BE}$ . $12$
Гипотенуза $20$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите катет, противолежащий $∠ A$ . $10$

Вариант 2

Диагонали ромба $10$ и $24$ . Найдите сторону. $13$
Центральный угол $15 0^{\circ}$ . Найдите вписанный на ту же дугу. $7 5^{\circ}$
$B D : D A = 3 : 1$ , $S_{A BC} = 32$ . Найдите $S_{D BE}$ . $18$
Гипотенуза $12$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите катет, прилежащий к $∠ A$ . $6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Итог курса: проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какая тема курса была самой трудной?
Какие два раздела встретились в одной задаче сегодня?
Где «теряют» $\frac{1}{2}$ и $k^{2}$ ?

Домашнее задание

Диагонали ромба $18$ и $24$ . Найдите сторону, площадь и высоту.
Катет прямоугольного треугольника, вписанного в окружность радиуса $5$ , равен $6$ . Найдите второй катет.
Тренажёр «Итоговое повторение»:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_itogovoe_povtorenie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-068 · Итоговое повторение: связи разделов курса

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение знаний», 4 ч · урок 4/4 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний» → 2–21 (разминка → 3; карта курса → 4; сводки → 5, 7, 10, 14; блиц → 6; образцы на связь разделов → 8, 9, 11, 12, 13; ошибки → 15, 16; задания → 17, 18; ОГЭ → 19; самостоятельная → 20; итог → 21)
Результаты	ПР-1 = REQ-6.1 → 5, 6, 8, 13, 19 · ПР-2 = REQ-6.2 → 5, 6, 17 · ПР-3 = REQ-6.3 → 4, 5, 9, 13, 16 · ПР-4 = REQ-6.4 → 9, 18, 20 · ПР-5 = REQ-6.5 → 7, 8, 12, 13, 16, 18 · ПР-6 = REQ-6.6 → 7, 11, 17, 20 · ПР-7 = REQ-6.7 → 8, 9, 12, 13, 17, 18 · ПР-8 = REQ-6.8 → 10, 11, 15, 18, 20 · ПР-9 = REQ-6.9 → 10, 13, 18
ОГЭ	линия 19 (верные утверждения) → 19, тренировка → 6; линия 18 (клетчатая бумага) → 12; линии 15, 16, 17 → 9, 11, 8; уровень линии 23 → 13
Вне урока	повторение разделов по отдельности — GEOM8-065 – GEOM8-067; формула Пика — только в заметках (вне ФРП); теоремы синусов и косинусов — 9 класс
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Геометрия 8 класса: всё вместе

Сегодня вы научитесь

Видеть связи разделов

Пользоваться свойствами

Вычислять длины и площади

Решать задачи ОГЭ

Восемь фактов курса — в уме

Разделы связаны: одна задача — несколько тем

Главные формулы курса

Блиц по всему курсу

Пифагор и тригонометрия — на одном чертеже

Ромб: сторона и высота через диагонали

Образец: диагонали ромба 16 и 12. Найдите сторону и высоту

Сам: ромб

Прямая, параллельная стороне, и площади частей

Образец: DE∥AC, BD:DA=2:1, SABC​=27. Найдите SDBE​ и SADEC​

Сам: DE∥AC

Шесть фактов об окружности

Вписанный угол

Опирается на диаметр

Касательная

Отрезки касательных

Вписанный 4-угольник

Описанный 4-угольник

Треугольник, опирающийся на диаметр

Образец: AB — диаметр, AB=10, ∠ABC=30∘. Найдите AC и BC

Сам: AB — диаметр, C на окружности

Площадь достраиванием, длина — по Пифагору

Образец: найдите площадь △ABC и длину BC

Сам: клетка 1×1

Трапеция, описанная около окружности

Образец: равнобокая трапеция с основаниями 4 и 16 описана около окружности. Найдите r и S

Сам: трапеция описана около окружности

Как решать задачу, где несколько тем

Видишь диаметр

Видишь ∥ прямые

Видишь высоту

Потерянный множитель

Площадь ромба: d1​=6, d2​=8

Подобные: k=3, S=5

Вписанный угол на дугу 100∘

Где ошибся ученик?

а) ∠C=90∘, AC=6, AB=10. Найдите BC, sinA, S

б) Трапеция: основания 6 и 14, высота 5. Средняя линия и S

По одному заданию на каждый раздел

Две-три темы в одной задаче

Задание 19 · верные утверждения

Сам: какие утверждения верны?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Итог курса: проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8-068 · Итоговое повторение: связи разделов курса

Образец: диагонали ромба $16$ и $12$ . Найдите сторону и высоту

Образец: $D E ∥ A C$ , $B D : D A = 2 : 1$ , $S_{A BC} = 27$ . Найдите $S_{D BE}$ и $S_{A D EC}$

Сам: $D E ∥ A C$

Образец: $A B$ — диаметр, $A B = 10$ , $∠ A BC = 3 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ и $BC$

Сам: $A B$ — диаметр, $C$ на окружности

Образец: найдите площадь △ABC и длину $BC$

Сам: клетка $1 \times 1$

Образец: равнобокая трапеция с основаниями $4$ и $16$ описана около окружности. Найдите $r$ и $S$

Видишь $∥$ прямые

Площадь ромба: $d_{1} = 6$ , $d_{2} = 8$

Подобные: $k = 3$ , $S = 5$

Вписанный угол на дугу $10 0^{\circ}$

а) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 6$ , $A B = 10$ . Найдите $BC$ , $sin A$ , $S$

б) Трапеция: основания $6$ и $14$ , высота $5$ . Средняя линия и $S$