Повторение, обобщение знаний · урок 3 из 4 · обобщение

Прямоугольный треугольник: Пифагор, тригонометрия, площади

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R06 · GEOM8-067

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение знаний» (4 ч), урок 3/4, единица R06.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний». Тип урока — О (обобщение).
Распределение повторения (рекомендация): уроки 1–2 — четырёхугольники, средние линии, теорема Фалеса, подобие; урок 3 (этот) — теорема Пифагора, тригонометрия, площади и связи между ними; урок 4 — углы в окружности, вписанные и описанные многоугольники.
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 карта темы 2 · 5 сводка формул 2,5 · 6 таблица 30°, 45°, 60° 2 · 7 площади 2,5 · 8 схема-конспект 1,5. Тип О — теория только сводкой, все сводные слайды показываются полностью.
Практика (32,5): 3 разминка 2 · 9–13 пять «Образец → сам» по 2,5 (лестница 3) · 14 типичные ошибки 1,5 · 15 найди ошибку 2 · 16 база 3 · 17 повышенный 2,5 · 18 ОГЭ 2,5 · 19 самостоятельная 5 · 20 итог 1.
Если не успеваете: в образцах «сам» — по одному заданию, повышенный уровень (сл. 17) — в ДЗ; сводки не выбрасывать.
На титуле: квадраты на сторонах египетского треугольника 3, 4, 5 — $9 + 16 = 25$ .
Нужны: калькулятор (для практической задачи), таблица значений тригонометрических функций.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь связывать

Теорему Пифагора

находить третью сторону прямоугольного треугольника, делать чертёж (ПР-5, REQ-6.5)

Синус, косинус, тангенс

острого угла — находить стороны по стороне и углу (ПР-6, REQ-6.6)

Площади

вычислять площадь треугольника и многоугольников различными способами (ПР-7, REQ-6.7)

Практические задачи

строить модель, считать с калькулятором; формат ОГЭ, линия 15 (ПР-10, REQ-6.10)

1 мин · теория
ПР-5 = REQ-6.5: «Пользоваться теоремой Пифагора для решения геометрических и практических задач. Строить математическую модель в практических задачах, самостоятельно делать чертеж и находить соответствующие длины».
ПР-6 = REQ-6.6: «Владеть понятиями синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Пользоваться этими понятиями для решения практических задач».
ПР-7 = REQ-6.7: «Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур…». ПР-10 = REQ-6.10: «…строить математические модели для задач реальной жизни… с применением подобия и тригонометрии».
Вид деятельности ФРП (R06): «Решать задачи на повторение, иллюстрирующие связи между различными частями курса».

повторение: R03, R04

Разминка · устно

Корни, синусы, площади — в уме

$25 - 9$ $4$
$36 + 64$ $10$
$sin 3 0^{\circ}$ $\frac{1}{2}$
$tg 4 5^{\circ}$ $1$

$S$ прямоугольного треугольника с катетами $5$ и $8$ $20$
$S$ ромба с диагоналями $6$ и $10$ $30$
Гипотенуза $10$ ; катет против угла $3 0^{\circ}$ $5$
$sin^{2} α + cos^{2} α$ $1$

R06.1

Карта темы · обобщение

Три инструмента — один прямоугольный треугольник

2 мин · теория
Вопросы: какая сторона — гипотенуза? (против прямого угла, самая длинная); когда применяем теорему Пифагора? (известны две стороны прямоугольного треугольника); когда — синус, косинус, тангенс? (известны сторона и острый угол или нужно найти угол).
По щелчку — стрелки к площади: в задачах на площадь высоту почти всегда находим из прямоугольного треугольника — по Пифагору или через синус. Это и есть «связи между частями курса» (ФРП, R06).
Ошибка: применять теорему Пифагора к непрямоугольному треугольнику — сначала ищем прямой угол (высота, диагонали ромба, радиус к касательной).

R06.1 · повторение R04

Сводка формул

Всё о прямоугольном треугольнике

a^{2} + b^{2} = c^{2}

sin α = \frac{a}{c} cos α = \frac{b}{c}

tg α = \frac{a}{b} S = \frac{1}{2} a b

Катет

=

гипотенуза

\cdot sin

противолежащего угла

=

гипотенуза

\cdot cos

прилежащего.

R06.1 · повторение R04

Сводная таблица

Значения для углов 30°, 45°, 60°

	30°	45°	60°
sin	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$
cos	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$
tg	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$

Основное тождество:

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

R06.1 · повторение R03

Сводка формул площадей

Площадь: везде нужна высота или диагонали

Прямоугольник

S = ab

Параллелограмм

S = ah

Треугольник

S = \frac{1}{2} ah

Трапеция

S = \frac{a + b}{2} \cdot h

Ромб

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

Связка: высоты и половины диагоналей — катеты прямоугольных треугольников. Их находим по теореме Пифагора или через синус.

Высота треугольника по площади:

h = \frac{2 S}{a}

R06.1

Схема-конспект · какой инструмент выбрать

Что известно → чем пользуемся

Известно / нужно	Инструмент	Формула
две стороны прямоугольного треугольника	теорема Пифагора	$c = a^{2} + b^{2}, a = c^{2} - b^{2}$
сторона и острый угол	синус, косинус, тангенс	$a = c sin α, b = c cos α, a = b tg α$
нужна площадь, нет высоты	высота — катет прямоугольного треугольника	$S = ah, S = \frac{a + b}{2} \cdot h$
площадь известна, нужна высота	площадь двумя способами	$h = \frac{2 S}{a}$

Первый шаг любой задачи: найти прямоугольный треугольник — высота, диагонали ромба, половина равнобедренного.

R06.1

Образец → сам · Пифагор + площадь

Ромб: диагонали 12 и 16

Образец: найдите сторону, площадь и высоту ромба

$A O = 8, BO = 6, ∠ A OB = 9 0^{\circ}$ диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам
$A B = 8^{2} + 6^{2} = 100 = 10$ теорема Пифагора в $△ A OB$
$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$ площадь ромба через диагонали
$h = \frac{S}{A D} = \frac{96}{10} = 9, 6$ ромб — параллелограмм: $S = ah$

Сам: ромб

Диагонали $6$ и $8$ . Сторона и высота?
$5$ ; $4, 8$
Сторона $13$ , диагональ $10$ . Вторая диагональ и $S$ ?
$24$ ; $120$
$S = 54$ , диагональ $9$ . Вторая диагональ и сторона?
$12$ ; $7, 5$

2,5 мин · практика
Образец (1 мин, шаги по клику): вопрос «какие элементы ромба можно найти?» (сторону, площадь, высоту, углы). Ответ: сторона 10, $S = 96$ , высота $9, 6$ ; проверка: $10 \cdot 9, 6 = 96$ . Высота на чертеже — по щелчку.
Сам (1,5 мин): 1) половины 3 и 4, сторона $9 + 16 = 5$ , $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ , $h = 24 : 5 = 4, 8$ . 2) половина известной — 5, половина второй $169 - 25 = 12$ , диагональ 24, $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120$ . 3) $d_{2} = \frac{2 S}{d _{1}} = \frac{108}{9} = 12$ ; сторона $4, 5^{2} + 6^{2} = 56, 25 = 7, 5$ .
Ошибка: в теореме Пифагора берут целые диагонали ( $1 2^{2} + 1 6^{2} = 20$ ) — сторона вдвое больше реальной.
Дополнительно (если есть время): $tg ∠ B A O = \frac{6}{8} = 0, 75$ .

R06.1

Образец → сам · синус + площадь

Параллелограмм: $A B = 8$ , $A D = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S$

Образец

1Высота

B H

: в

△ A B H

∠ H = 9 0^{\circ}

A B

— гипотенуза

2

B H = 8 \cdot sin 3 0^{\circ} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4

катет = гипотенуза · sin противолежащего угла

3

S = A D \cdot B H = 10 \cdot 4 = 40

площадь параллелограмма

Сам

Параллелограмм: стороны $6$ и $12$ , угол $3 0^{\circ}$ . $S$ ? $36$
$△ A BC$ : $A B = 8$ , $A C = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . $S$ ? $20$
Параллелограмм: $A B = 8$ , $A D = 12$ , $S = 48$ . $∠ A$ ? $3 0^{\circ}$

R06.1

Образец → сам · Пифагор + площадь + тангенс

Равнобедренная трапеция: основания 6 и 14, боковая 5

Образец: высота, площадь, $tg A$

1

A H = \frac{14 - 6}{2} = 4

A H = KD

,

HK = BC

2

B H = 25 - 16 = 3

Пифагор в

△ A B H

3

S = \frac{6 + 14}{2} \cdot 3 = 30

площадь трапеции

4

tg A = \frac{3}{4} = 0, 75

противолежащий : прилежащий

Сам: равнобедренная трапеция

Основания $7$ и $13$ , боковая $5$ . $S$ ? $40$
Основания $5$ и $11$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . $S$ ? $24$
Основания $4$ и $16$ , боковая $10$ . $S$ и $cos A$ ? $80$ ; $0, 6$

R06.1

Образец → сам · площадь двумя способами

Высота к гипотенузе: катеты 6 и 8

Образец: найдите высоту $C H$

1

A B = 8^{2} + 6^{2} = 10

теорема Пифагора

2

S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24

половина произведения катетов

3

S = \frac{1}{2} A B \cdot h \Rightarrow h = \frac{2 \cdot 24}{10} = 4, 8

та же площадь через гипотенузу

h = \frac{ab}{c}

Сам: найдите высоту

к гипотенузе, катеты $9$ и $12$ $7, 2$
к гипотенузе, катеты $15$ и $20$ $12$
$△ A BC$ : высота $B H = 6$ к стороне $A C = 8$ , $BC = 12$ . Высота к $BC$ ? $4$

R06.1

Образец → сам · задача из жизни

Лестница у стены

Образец: лестница $5$ м, низ — в $1, 4$ м от стены. Высота $h$ ?

Модель: прямоугольный треугольник, лестница — гипотенузастена перпендикулярна земле
$h = 5^{2} - 1, 4^{2} = 23, 04$ теорема Пифагора: катет
$h = 4, 8$ м $4, 8^{2} = 23, 04$

Сам (калькулятор можно)

практика $cos α$ и $α$ ? Безопасно при $α$ от $7 0^{\circ}$ до $7 5^{\circ}$ — можно так ставить?
$0, 28$ ; $\approx 7 4^{\circ}$ ; да
повыш.Низ отодвинули на $3$ м от стены. На сколько опустился верх? $0, 8$ м
базаПандус длиной $6, 5$ м поднимается на $2, 5$ м. Длина по земле? $6$ м

3 мин · практика
Образец (1 мин), затем в парах (2 мин); калькулятор можно (ПР-10). Модель: стена ⊥ земле — прямоугольный треугольник, лестница — гипотенуза. $h = 25 - 1, 96 = 23, 04 = 4, 8$ м.
1) $cos α = \frac{1 , 4}{5} = 0, 28$ , $α \approx 7 4^{\circ}$ (точнее $73, 7^{\circ}$ ) — да, в безопасном диапазоне. Ограничение $7 0^{\circ}$ – $7 5^{\circ}$ — ориентир для приставных лестниц, задача учебная.
2) $h = 25 - 9 = 4$ м; опустился на $4, 8 - 4 = 0, 8$ м. Ошибка: считать, что верх опустится на те же $1, 6$ м, на которые сдвинули низ.
3) $6, 5^{2} - 2, 5^{2} = 42, 25 - 6, 25 = 36 = 6$ м.

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Гипотенуза — не там

✗ $x = 5^{2} + 1 3^{2}$

13 — гипотенуза, ищем катет

✓ $x = 1 3^{2} - 5^{2} = 12$

Синус — какой катет?

✗ $sin A = \frac{A C}{A B}$

$A C$ — прилежащий катет: это $cos A$

✓ $sin A = \frac{BC}{A B}$

Боковая — не высота

✗ $S = \frac{6 + 14}{2} \cdot 5$

5 — боковая сторона, нужна высота

✓ $S = \frac{6 + 14}{2} \cdot 3 = 30$

R06.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 25$ , $sin A = 0, 6$ . Найти $S$ .

$BC = 25 \cdot 0, 6 = 15$ ; $A C = 25 - 15 = 10$ ; $S = 75$

$A C = 2 5^{2} - 1 5^{2} = 20$

$S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150$

б) Ромб: сторона $10$ , диагональ $B D = 12$ . Найти $S$ .

$A O = 100 - 36 = 8$ ; $S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$

$8$ — половина: $A C = 16$

$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$

в) Катеты $9$ и $12$ . Найти высоту к гипотенузе.

$c = 15$ ; $S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54$

$h = \frac{S}{c} = \frac{54}{15} = 3, 6$

$S = \frac{1}{2} c h \Rightarrow h = \frac{2 S}{c}$

$h = \frac{108}{15} = 7, 2$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) $BC = 15$ верно, но катет $A C$ нельзя найти вычитанием сторон: $A C = 625 - 225 = 20$ , $S = 150$ . Проверка: $15 + 10 = 25$ — у треугольника сумма двух сторон должна быть больше третьей, «треугольник» 10, 15, 25 не существует.
б) $A O = 8$ найдено верно, но это половина диагонали: $A C = 16$ , $S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$ .
в) Из $S = \frac{1}{2} c h$ следует $h = \frac{2 S}{c} = \frac{108}{15} = 7, 2$ . Ответ 3,6 меньше половины — проверка «высота ≈ катеты» сразу показывает ошибку.

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Найдите неизвестные элементы и площадь

база

а) прямоугольник: $BC$ и $S$
$12$ ; $60$

база

б) $cos A = 0, 6$ : $A C$ , $BC$ , $S$
$9$ ; $12$ ; $54$

база

в) $S$ и высота к боковой стороне
$48$ ; $9, 6$

R06.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Чертёж — сами

повыш.Ромб: сторона $10$ , острый угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $50$
повыш.Равнобедренный треугольник: боковая $13$ , основание $10$ . Найдите $S$ и синус угла при основании. $60$ ; $\frac{12}{13}$
повыш.Прямоугольная трапеция: основания $6$ и $14$ , большая боковая сторона $10$ . Найдите $S$ . $60$
из жизниНить воздушного змея $50$ м натянута под углом $3 0^{\circ}$ к земле. На какой высоте змей? $25$ м

2,5 мин · практика
В парах, чертёж строят сами (ПР-5: «самостоятельно делать чертеж»); ответы — по клику. Задание 4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) высота ромба $h = 10 sin 3 0^{\circ} = 5$ , $S = 10 \cdot 5 = 50$ .
2) высота к основанию — медиана: $1 3^{2} - 5^{2} = 12$ , $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ , $sin = \frac{12}{13}$ .
3) высота из вершины меньшего основания отсекает $14 - 6 = 8$ , $h = 100 - 64 = 6$ , $S = \frac{6 + 14}{2} \cdot 6 = 60$ . Ошибка: высота = 10 (большая боковая не перпендикулярна основаниям).
4) высота — катет против $3 0^{\circ}$ : $50 \cdot sin 3 0^{\circ} = 25$ м (провисание нити не учитываем).

R06.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 15

Ответ — одно число

15 1. В треугольнике $A BC$ угол $C$ равен $9 0^{\circ}$ , $A C = 8$ , $cos A = 0, 8$ . Найдите $BC$ .

Ответ: ________ $6$

Подсказка:

cos A = \frac{A C}{A B}

— сначала гипотенуза, потом Пифагор.

Та же конструкция: $∠ C = 9 0^{\circ}$

$BC = 7$ , $sin A = 0, 28$ . Найдите $A B$ . $25$
$A C = 12$ , $tg A = 0, 75$ . Найдите $A B$ . $15$

R06.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Катеты $9$ и $12$ . Найдите гипотенузу. $15$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 20$ , $sin A = 0, 4$ . Найдите $BC$ . $8$
Ромб: диагонали $16$ и $30$ . Найдите сторону и $S$ . $17$ ; $240$
Параллелограмм: стороны $12$ и $7$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $42$

Вариант 2

Гипотенуза $17$ , катет $8$ . Найдите второй катет. $15$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 30$ , $cos A = 0, 6$ . Найдите $A C$ . $18$
Ромб: диагонали $18$ и $24$ . Найдите сторону и $S$ . $15$ ; $216$
Параллелограмм: стороны $10$ и $9$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $45$

R06.1

Итог урока

Рефлексия и домашнее задание

Проверь себя

Две стороны — что применяю? Сторона и угол?
Где в ромбе и трапеции прямоугольный треугольник?
Как найти высоту через площадь?

Дома

Ромб: диагонали $10$ и $24$ . Найдите сторону, $S$ и высоту.
$△ A BC$ : $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $BC = 9$ , $A C = 12$ . Найдите $A B$ , высоту $C H$ и $sin A$ .
Равнобедренная трапеция: основания $4$ и $10$ , угол при основании $4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_itogovoe_povtorenie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-067 · Повторение: Пифагор, тригонометрия, площади

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение знаний», 4 ч · урок 3/4 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний» → 2–20 (повторение R04 → 5, 6; R03 → 7; связи → 4, 8–13)
Результаты	ПР-5 = REQ-6.5 (теорема Пифагора, модель, чертёж) → 3–5, 8, 9, 11–17, 19 · ПР-6 = REQ-6.6 (sin, cos, tg) → 3, 5, 6, 10, 11, 13, 17–19 · ПР-7 = REQ-6.7 (площади различными способами) → 7–12, 15–17, 19 · ПР-10 = REQ-6.10 (практика, калькулятор) → 13, 17 · вид деятельности R06 «задачи, иллюстрирующие связи между частями курса» → 4, 8–13
ОГЭ	линия 15 (треугольники) → 18
Вне урока	четырёхугольники, средние линии, теорема Фалеса, подобие — GEOM8-065, GEOM8-066; углы в окружности, вписанные и описанные многоугольники — GEOM8-068
Формат	тип О, теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %); 5 образцов «Образец → сам», разбор ошибок — сл. 14–15, самостоятельная — сл. 19
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Прямоугольный треугольник: Пифагор, тригонометрия, площади

Сегодня вы научитесь связывать

Теорему Пифагора

Синус, косинус, тангенс

Площади

Практические задачи

Корни, синусы, площади — в уме

Три инструмента — один прямоугольный треугольник

Всё о прямоугольном треугольнике

Значения для углов 30°, 45°, 60°

Площадь: везде нужна высота или диагонали

Прямоугольник

Параллелограмм

Треугольник

Трапеция

Ромб

Что известно → чем пользуемся

Ромб: диагонали 12 и 16

Образец: найдите сторону, площадь и высоту ромба

Сам: ромб

Параллелограмм: AB=8, AD=10, ∠A=30∘. Найдите S

Образец

Сам

Равнобедренная трапеция: основания 6 и 14, боковая 5

Образец: высота, площадь, tgA

Сам: равнобедренная трапеция

Высота к гипотенузе: катеты 6 и 8

Образец: найдите высоту CH

Сам: найдите высоту

Лестница у стены

Образец: лестница 5 м, низ — в 1,4 м от стены. Высота h?

Сам (калькулятор можно)

Неверно → почему → верно

Гипотенуза — не там

Синус — какой катет?

Боковая — не высота

Где ошибся ученик?

а) ∠C=90∘, AB=25, sinA=0,6. Найти S.

б) Ромб: сторона 10, диагональ BD=12. Найти S.

в) Катеты 9 и 12. Найти высоту к гипотенузе.

Найдите неизвестные элементы и площадь

Чертёж — сами

Ответ — одно число

Та же конструкция: ∠C=90∘

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Рефлексия и домашнее задание

Проверь себя

Дома

GEOM8-067 · Повторение: Пифагор, тригонометрия, площади

Параллелограмм: $A B = 8$ , $A D = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S$

Образец: высота, площадь, $tg A$

Образец: найдите высоту $C H$

Образец: лестница $5$ м, низ — в $1, 4$ м от стены. Высота $h$ ?

а) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 25$ , $sin A = 0, 6$ . Найти $S$ .

б) Ромб: сторона $10$ , диагональ $B D = 12$ . Найти $S$ .

в) Катеты $9$ и $12$ . Найти высоту к гипотенузе.

Та же конструкция: $∠ C = 9 0^{\circ}$