Итоговое повторение · урок 1 из 4 · обобщение

Повторение: четырёхугольники, средние линии, теорема Фалеса

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R06 · GEOM8-065

0,5 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение знаний» (4 ч), урок 1/4, единица R06.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний». Тип О (обобщение): теория — короткими сводками, основное время — задачи.
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5): сл. 1 титул 0,5 · 2 цели 0,5 · 3 карта курса 0,5 · 5 диагонали 1,5 · 6 признаки параллелограмма 1,5 · 8 трапеция 1,5 · 10 средние линии 1,5 · 12 теорема Фалеса 1,5 · 13 центр масс 1,5 · 15 удвоение медианы 2. Все сводки показываются полностью.
Практика (32,5): 4 разминка 2,5 · 7 образец «параллелограмм» 2,5 · 9 образец «трапеция» 2,5 · 11 образец «средняя линия» 2,5 · 14 образец «медианы» 2,5 · 16 образец «доказательство» 3 · 17 ошибки 1,5 · 18 найди ошибку 2 · 19 база 3 · 20 повышенный 3 · 21 ОГЭ 2,5 · 22 самостоятельная 4 · 23 итог 0,5 · 24 ДЗ 0,5.
План четырёх уроков повторения (сл. 3): 1 — четырёхугольники, средние линии, Фалес, центр масс (R01 + начало R02); 2 — подобие и площади; 3 — теорема Пифагора и тригонометрия; 4 — окружность. Учитель может перераспределить.
Если времени мало: сл. 15 (удвоение медианы) — обзорно, задания 4–6 сл. 20 — в ДЗ; сводки не выбрасывать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Распознавать четырёхугольники

по свойствам и признакам, пользоваться ими в задачах (ПР-1, REQ-6.1)

Применять средние линии и теорему Фалеса

в треугольнике и трапеции (ПР-3, REQ-6.3)

Использовать центр масс

медианы делятся в отношении $2 : 1$ (ПР-2, REQ-6.2)

Связывать части курса

признаки равенства из 7 класса → доказательства 8 класса (R06.1)

0,5 мин · теория
ПР-1 = REQ-6.1: «Распознавать основные виды четырехугольников, их элементы, пользоваться их свойствами при решении геометрических задач».
ПР-2 = REQ-6.2: «Применять свойства точки пересечения медиан треугольника (центра масс) в решении задач». ПР-3 = REQ-6.3: «Владеть понятием средней линии треугольника и трапеции… Пользоваться теоремой Фалеса и теоремой о пропорциональных отрезках».
Вид деятельности ФРП для строки R06: «Решать задачи на повторение, иллюстрирующие связи между различными частями курса».

R06.1

Карта курса

Четыре урока — весь курс 8 класса

R06.1 · повторение 7 класса

Разминка · устно

Опоры из 7 класса: найдите x

параллельные прямые

$a ∥ b$

x = 7 0^{\circ}

сумма углов △

сумма углов $18 0^{\circ}$

x = 7 0^{\circ}

признак равенства

какой признак?

по двум сторонам и углу между ними

равнобедренный △

углы при основании

x = 5 0^{\circ}

5. Сумма углов четырёхугольника

36 0^{\circ}

6. Угол, смежный с

13 0^{\circ}

5 0^{\circ}

7. Катет против

3 0^{\circ}

, гипотенуза

10

5

2,5 мин · практика
Ответы: 1) $x = 7 0^{\circ}$ — накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей; 2) $18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 7 0^{\circ}$ ; 3) первый признак (две стороны и угол между ними); 4) $(18 0^{\circ} - 8 0^{\circ}) : 2 = 5 0^{\circ}$ . Все чертежи построены в масштабе.
Устные 5–7: 5) $36 0^{\circ}$ — диагональ делит четырёхугольник на два треугольника; 6) $18 0^{\circ} - 13 0^{\circ} = 5 0^{\circ}$ ; 7) катет против угла $3 0^{\circ}$ равен половине гипотенузы: $10 : 2 = 5$ (понадобится на сл. 9).
Связь курсов: на этих четырёх фактах держатся все доказательства 8 класса — свойства параллелограмма (равенство треугольников), трапеция (односторонние углы), средняя линия.
Ошибка в задаче 1: путают накрест лежащие и односторонние (сумма $18 0^{\circ}$ ).

R06.1 · повторение R01.1–R01.2

Четырёхугольники · свойства диагоналей

Узнайте фигуру по диагоналям

делятся пополам

параллелограмм

пополам + равны

прямоугольник

пополам + $⊥$

ромб

пополам + равны + $⊥$

квадрат

Диагонали ромба — ещё и биссектрисы его углов.

R06.1 · повторение R01.1

Четырёхугольники · признаки

Четырёхугольник — параллелограмм, если…

1. две стороны равны и параллельны

BC = A D, BC ∥ A D

2. противоположные стороны попарно равны

A B = C D, BC = A D

3. диагонали делятся точкой пересечения пополам

A O = OC, BO = O D

R06.1 · повторение R01.1

Образец → сам · параллелограмм

Биссектриса угла отсекает равнобедренный треугольник

Образец: $A K$ — биссектриса $∠ A$ параллелограмма $A BC D$ , $B K = 5$ , $K C = 3$ . Найдите $P_{A BC D}$ .

$∠ B A K = ∠ K A D$ $A K$ — биссектриса
$∠ K A D = ∠ A K B$ накрест лежащие: $BC ∥ A D$ , секущая $A K$
$A B = B K = 5$ $△ A B K$ равнобедренный: $∠ B A K = ∠ A K B$
$P = 2 (5 + 8) = 26$ $BC = 5 + 3 = 8$

Сам: $A K$ — биссектриса $∠ A$ параллелограмма $A BC D$ , $K \in BC$

$B K = 7$ , $K C = 4$ . Найдите $P_{A BC D}$ . $36$
$A B = 6$ , $K C = 2$ . Найдите $P_{A BC D}$ . $28$
$A B = 9$ , $P_{A BC D} = 50$ . Найдите $K C$ . $7$

R06.1 · повторение R01.3–R01.4

Трапеция · равнобокая

Две высоты — и трапеция «распадается»

∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}

∠ A = ∠ D, A C = B D

A H = \frac{A D - BC}{2}

A H = \frac{17 - 7}{2} = 5

R06.1 · повторение R01.3–R01.4

Образец → сам · трапеция

Высота равнобокой трапеции через угол $4 5^{\circ}$

Образец: $A BC D$ — равнобокая трапеция, $BC = 7$ , $A D = 17$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите высоту $B H$ .

$A H = \frac{17 - 7}{2} = 5$ свойство равнобокой трапеции (сл. 8)
$∠ A B H = 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ}$ ⇒ $B H = A H = 5$ $△ A B H$ прямоугольный и равнобедренный

Сам: $A BC D$ — равнобокая трапеция, $BC ∥ A D$

$BC = 6$ , $A D = 14$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите высоту. $4$
$∠ B = 11 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A$ и $∠ D$ . $6 5^{\circ}, 6 5^{\circ}$
$∠ A = 6 0^{\circ}$ , $A B = 8$ , $BC = 5$ . Найдите $A D$ . $13$

R06.1 · повторение R02.2–R02.3

Средние линии

Средняя линия треугольника и трапеции

MN ∥ A C, MN = \frac{1}{2} A C

MN = \frac{a + b}{2}

R06.1 · повторение R02.2–R02.3

Образец → сам · средняя линия

Средняя линия: обратная задача

Образец: средняя линия трапеции равна $12$ , основания относятся как $1 : 3$ . Найдите основания.

$BC = x$ , $A D = 3 x$ по условию
$\frac{x + 3 x}{2} = 12$ средняя линия — полусумма оснований
$x = 6$ : $BC = 6$ , $A D = 18$ $2 x = 12$

Сам

Основания трапеции $5$ и $13$ . Найдите среднюю линию. $9$
Стороны треугольника $6$ , $8$ , $10$ . Найдите периметр треугольника с вершинами в серединах сторон. $12$
Средняя линия трапеции $10$ , одно основание на $6$ больше другого. Найдите основания. $7$ и $13$

R06.1 · повторение R02.1, R02.4

Теорема Фалеса · пропорциональные отрезки

Параллельные прямые «переносят» равные отрезки

Равные отрезки на одной стороне угла → равные на другой.

\frac{A _{1} A _{2}}{A _{2} A _{3}} = \frac{B _{1} B _{2}}{B _{2} B _{3}}

теорема о пропорциональных отрезках: верно для любых отрезков

R06.1 · повторение R02.5

Центр масс треугольника

Медианы пересекаются в одной точке и делятся $2 : 1$

A G : G M_{a} = 2 : 1

A G = \frac{2}{3} A M_{a}

A M_{a} = 12 \Rightarrow A G = 8, G M_{a} = 4

R06.1 · повторение R02.5

Образец → сам · медианы

Отношение $2 : 1$ считаем от вершины

Образец: медианы $A A_{1}$ и $B B_{1}$ треугольника $A BC$ пересекаются в точке $G$ , $B B_{1} = 18$ , $G A_{1} = 4$ . Найдите $BG$ и $A A_{1}$ .

$BG = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12$ медианы делятся $2 : 1$ от вершины
$A G = 2 \cdot G A_{1} = 8$ то же свойство для медианы $A A_{1}$
$A A_{1} = 8 + 4 = 12$ $A A_{1} = A G + G A_{1}$

Сам: $A M$ — медиана, $G$ — точка пересечения медиан

$A M = 21$ . Найдите $A G$ и $GM$ . $14$ и $7$
$GM = 5$ . Найдите $A M$ . $15$
Медиана равностороннего треугольника $9$ . Найдите расстояние от $G$ до вершины. $6$

R06.1 · повторение R01.5–R01.6

Метод · удвоение медианы

Продлите медиану на её длину

$M D = BM$ $D$ симметрична $B$ относительно $M$
$A BC D$ — параллелограммдиагонали делятся пополам (признак 3)
$A D = BC$ , $B D = 2 BM$ в $△ A B D$ известны все стороны
$2 BM < A B + BC$ неравенство треугольника (7 класс)

R06.1 · связь R01 и R02

Образец → сам · доказательство

Середины сторон любого четырёхугольника — вершины параллелограмма

Образец: $K, L, M, N$ — середины сторон $A BC D$ . Докажите: $K L MN$ — параллелограмм.

Проведём диагональ $A C$
$K L ∥ A C$ , $K L = \frac{1}{2} A C$ средняя линия $△ A BC$
$NM ∥ A C$ , $NM = \frac{1}{2} A C$ средняя линия $△ A C D$
$K L MN$ — параллелограмм $K L = NM$ , $K L ∥ NM$ (признак 1)

Сам: $K L MN$ — тот же четырёхугольник

Диагонали $A BC D$ равны $8$ и $12$ . Найдите $P_{K L MN}$ . $20$
Когда $K L MN$ — ромб? $A C = B D$
$A C ⊥ B D$ . Какая фигура $K L MN$ ? прямоугольник

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Свойство не той фигуры

«Диагонали параллелограмма равны»

Верно: равны только у прямоугольника (и квадрата); у параллелограмма — делятся пополам.

Половина основания

$MN = \frac{A D}{2}$ — средняя линия трапеции

Верно: $MN = \frac{A D + BC}{2}$ — полусумма оснований.

Не та часть медианы

$GM = \frac{2}{3} A M$

Верно: $A G = \frac{2}{3} A M$ , $GM = \frac{1}{3} A M$ — большая часть у вершины.

R06.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Основания трапеции $6$ и $14$ . Найдите среднюю линию.

$MN = 14 : 2 = 7$

Средняя линия — полусумма оснований

$MN = \frac{6 + 14}{2} = 10$

б) Медиана $A M = 12$ , $G$ — точка пересечения медиан. Найдите $GM$ .

$GM = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$

$2 : 1$ — от вершины: $A G = 8$

$GM = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$

в) $A B ∥ C D$ , $BC = A D$ . Значит, $A BC D$ — параллелограмм?

Да, по признаку 1

В признаке 1 одна и та же пара сторон равна и параллельна

Может быть равнобокая трапеция — вывод неверен

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте ответ

базаВ параллелограмме $A BC D$ $∠ A = 6 4^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ и $∠ C$ . $11 6^{\circ}, 6 4^{\circ}$
базаСредняя линия трапеции 11, меньшее основание 6. Найдите большее. $16$
базаДиагонали прямоугольника $A BC D$ пересекаются в точке $O$ , $A C = 14$ . Найдите $BO$ . $7$

базаВ ромбе $A BC D$ $∠ A BC = 12 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A B D$ . $6 0^{\circ}$
базаСредняя линия треугольника, параллельная $A C$ , равна $4, 5$ . Найдите $A C$ . $9$
базаПериметр параллелограмма $30$ , $A B = 6$ . Найдите $BC$ . $9$

R06.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Связываем темы курса

повыш.Медиана $A M$ треугольника равна 15, $G$ — точка пересечения медиан. Найдите $A G$ и $GM$ . $10$ и $5$
повыш.Периметр треугольника 24. Найдите периметр треугольника с вершинами в серединах его сторон. $12$
практикаНожки стремянки внизу разведены на 1,6 м. Распорка соединяет их середины. Длина распорки? $0, 8$ м

повыш.На стороне угла $O$ отложены $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3}$ , через $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ проведены параллельные прямые, $O B_{3} = 12$ . Найдите $B_{1} B_{2}$ . $4$
повыш.Равнобокая трапеция: основания $8$ и $20$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите высоту. $6$
повыш.Диагональ трапеции делит среднюю линию на отрезки $3$ и $7$ . Найдите основания. $6$ и $14$

R06.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 17

Задача с кратким ответом

Основания трапеции равны 8 и 18. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Ответ: $9$

$MP = \frac{BC}{2} = 4$ средняя линия $△ A BC$
$PN = \frac{A D}{2} = 9$ средняя линия $△ A C D$

Сам: основания $6$ и $16$ $8$

R06.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

$A BC D$ — параллелограмм; $A K$ — биссектриса $∠ A$ , $K \in BC$ ; $A M$ — медиана, $G$ — точка пересечения медиан.

Вариант 1

$∠ A = 7 2^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ . $10 8^{\circ}$
Основания трапеции $7$ и $15$ . Найдите среднюю линию. $11$
$A M = 24$ . Найдите $A G$ . $16$
$B K = 6$ , $K C = 4$ . Найдите $P_{A BC D}$ . $32$

Вариант 2

$∠ B = 12 4^{\circ}$ . Найдите $∠ A$ . $5 6^{\circ}$
Средняя линия трапеции $13$ , меньшее основание $8$ . Найдите большее. $18$
$GM = 6$ . Найдите $A M$ . $18$
$B K = 4$ , $K C = 5$ . Найдите $P_{A BC D}$ . $26$

рефлексия

Итог урока

Главное за урок

Средняя линия

треугольник:

\frac{a}{2}

трапеция:

\frac{a + b}{2}

Центр масс

медианы делятся

2 : 1

от вершины

Диагонали

делятся пополам
↓
параллелограмм

Какой факт из 7 класса сегодня понадобился чаще всего?

ДЗ

Домашнее задание

Потренируйтесь дома

Задачи

В ромбе $A BC D$ $∠ A = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ B A C$ .
Диагонали четырёхугольника 10 и 14. Периметр четырёхугольника с вершинами в серединах сторон?
Основания трапеции 4 и 10. На какие отрезки диагональ делит среднюю линию?

Тренажёр

Итоговое повторение, 8 класс

reknow.ru/8/geometry/8_geometry_itogovoe_povtorenie.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-065 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение знаний»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение знаний», 4 ч · урок 1/4 · тип О (обобщение)
Единицы → слайды	R06.1 «Повторение основных понятий и методов курсов 7 и 8 классов, обобщение знаний» → 2–24 (план → 3; 7 класс → 4; четырёхугольники R01 → 5–9, 15; средние линии, Фалес, центр масс R02.1–R02.5 → 10–14; связь тем → 16; ошибки → 17–18; самопроверка → 19–20; ОГЭ → 21; самостоятельная → 22; итог и ДЗ → 23–24)
Результаты	ПР-1 = REQ-6.1 (четырёхугольники) → 5–9, 15–22, 24 · ПР-2 = REQ-6.2 (центр масс) → 13–14, 17–18, 20, 22 · ПР-3 = REQ-6.3 (средняя линия, теорема Фалеса, пропорциональные отрезки) → 10–12, 16–22, 24 · вид деятельности «решать задачи на повторение, иллюстрирующие связи между различными частями курса» → 4, 7, 9, 15–16, 20
ОГЭ	линия 17 (четырёхугольники) → 21
Вне урока	подобие, площади, клетчатая бумага — GEOM8-066; теорема Пифагора и тригонометрия — GEOM8-067; окружность — GEOM8-068 (план повторения, может уточняться учителем)
Формат	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %); «Образец → сам» — 5 (сл. 7, 9, 11, 14, 16)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение: четырёхугольники, средние линии, теорема Фалеса

Сегодня вы научитесь

Распознавать четырёхугольники

Применять средние линии и теорему Фалеса

Использовать центр масс

Связывать части курса

Четыре урока — весь курс 8 класса

Опоры из 7 класса: найдите x

параллельные прямые

сумма углов △

признак равенства

равнобедренный △

Узнайте фигуру по диагоналям

Четырёхугольник — параллелограмм, если…

Биссектриса угла отсекает равнобедренный треугольник

Образец: AK — биссектриса ∠A параллелограмма ABCD, BK=5, KC=3. Найдите PABCD​.

Сам: AK — биссектриса ∠A параллелограмма ABCD, K∈BC

Две высоты — и трапеция «распадается»

Высота равнобокой трапеции через угол 45∘

Образец: ABCD — равнобокая трапеция, BC=7, AD=17, ∠A=45∘. Найдите высоту BH.

Сам: ABCD — равнобокая трапеция, BC∥AD

Средняя линия треугольника и трапеции

Средняя линия: обратная задача

Образец: средняя линия трапеции равна 12, основания относятся как 1:3. Найдите основания.

Сам

Параллельные прямые «переносят» равные отрезки

Медианы пересекаются в одной точке и делятся 2:1

Отношение 2:1 считаем от вершины

Образец: медианы AA1​ и BB1​ треугольника ABC пересекаются в точке G, BB1​=18, GA1​=4. Найдите BG и AA1​.

Сам: AM — медиана, G — точка пересечения медиан

Продлите медиану на её длину

Середины сторон любого четырёхугольника — вершины параллелограмма

Образец: K,L,M,N — середины сторон ABCD. Докажите: KLMN — параллелограмм.

Сам: KLMN — тот же четырёхугольник

Так нельзя

Свойство не той фигуры

Половина основания

Не та часть медианы

Где ошибся ученик?

а) Основания трапеции 6 и 14. Найдите среднюю линию.

б) Медиана AM=12, G — точка пересечения медиан. Найдите GM.

в) AB∥CD, BC=AD. Значит, ABCD — параллелограмм?

Решите и сверьте ответ

Связываем темы курса

Задача с кратким ответом

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Главное за урок

Средняя линия

Центр масс

Диагонали

Потренируйтесь дома

Задачи

Тренажёр

GEOM8-065 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение знаний»

Образец: $A K$ — биссектриса $∠ A$ параллелограмма $A BC D$ , $B K = 5$ , $K C = 3$ . Найдите $P_{A BC D}$ .

Сам: $A K$ — биссектриса $∠ A$ параллелограмма $A BC D$ , $K \in BC$

Высота равнобокой трапеции через угол $4 5^{\circ}$

Образец: $A BC D$ — равнобокая трапеция, $BC = 7$ , $A D = 17$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите высоту $B H$ .

Сам: $A BC D$ — равнобокая трапеция, $BC ∥ A D$

Образец: средняя линия трапеции равна $12$ , основания относятся как $1 : 3$ . Найдите основания.

Медианы пересекаются в одной точке и делятся $2 : 1$

Отношение $2 : 1$ считаем от вершины

Образец: медианы $A A_{1}$ и $B B_{1}$ треугольника $A BC$ пересекаются в точке $G$ , $B B_{1} = 18$ , $G A_{1} = 4$ . Найдите $BG$ и $A A_{1}$ .

Сам: $A M$ — медиана, $G$ — точка пересечения медиан

Образец: $K, L, M, N$ — середины сторон $A BC D$ . Докажите: $K L MN$ — параллелограмм.

Сам: $K L MN$ — тот же четырёхугольник

а) Основания трапеции $6$ и $14$ . Найдите среднюю линию.

б) Медиана $A M = 12$ , $G$ — точка пересечения медиан. Найдите $GM$ .

в) $A B ∥ C D$ , $BC = A D$ . Значит, $A BC D$ — параллелограмм?