Окружность · обобщение · урок 13 из 13

Углы в окружности, вписанные и описанные четырёхугольники, касание

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R05 · обобщение и систематизация · GEOM8-064

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R05 «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей» (13 ч), урок 13/13, единицы R05.1–R05.6. Тип О (обобщение и систематизация). Кодификатор: EL-6.12, EL-6.13, EL-6.14; ПР-8 (REQ-6.8), ПР-9 (REQ-6.9).
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 5 блок 1 «одна дуга — три угла» 2,5 · 7 блок 2 «хорды и секущие» 2,5 · 9 блок 3 «четырёхугольники» 2,5 · 12 блок 4 «две окружности» 2 · 14 схема-конспект 1,5. Все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32): 3 разминка 1,5 · 4 карта темы (вспоминают ученики) 1,5 · 6, 8, 10, 11, 13 «Образец → сам» по 2,5 · 15 блиц 1,5 · 16 типичные ошибки 1,5 · 17 найди ошибку 2 · 18 база 2,5 · 19 повышенный 2 · 20 ОГЭ 2 · 21 самостоятельная 4 · 22 итог 1.
Логика урока: сначала ученики сами восстанавливают «ветки» карты, потом каждую ветку — коротким блоком-напоминанием и сразу «Образец → сам», затем блиц, ошибки, задания по всем единицам строки и самостоятельная.
Если не успеваете: сл. 14 (сводная таблица) — раздать распечаткой; задания 3–4 сл. 19 — в ДЗ; теорию не выбрасывать.

R05.1–R05.6

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь применять

Углы в окружности

центральные, вписанные, между хордами и секущими (ПР-8, REQ-6.8)

Вписанный четырёхугольник

свойство и признак — сумма противоположных углов (EL-6.13)

Описанный четырёхугольник

свойство сторон в задачах (ПР-9, REQ-6.9)

Две окружности

расположение, касание, общие касательные; ОГЭ, линия 16 (EL-6.14)

1 мин · теория
ПР-8 (REQ-6.8): «Владеть понятиями вписанного и центрального угла, использовать теоремы о вписанных углах, углах между хордами (секущими) и угле между касательной и хордой при решении геометрических задач».
ПР-9 (REQ-6.9): «Владеть понятием описанного четырехугольника, применять свойства описанного четырехугольника при решении задач». EL-6.13 — «Вписанные и описанные четырехугольники»; EL-6.14 — «Взаимное расположение двух окружностей. Касание окружностей. Общие касательные к двум окружностям».
Ученик научится: находить углы по дугам и дуги по углам, применять свойства вписанного и описанного четырёхугольника, определять расположение двух окружностей по $d$ , $R$ и $r$ .
Это последний урок строки R05: после него — итоговое повторение курса (R06).

повторение: R05.1–R05.6, 7 класс

Разминка · устно

Числа и факты темы — в уме

Сумма углов четырёхугольника $36 0^{\circ}$
Половина дуги $13 6^{\circ}$ $6 8^{\circ}$
$18 0^{\circ} - 7 3^{\circ}$ $10 7^{\circ}$
Вписанный угол, опирающийся на диаметр $9 0^{\circ}$

Угол между касательной и радиусом в точке касания $9 0^{\circ}$
$P A$ и $PB$ — касательные, $P A = 6$ . $PB = ?$ $6$
$\frac{10 0 ^{\circ} + 4 0 ^{\circ}}{2}$ $7 0^{\circ}$
$1 0^{2} - 6^{2}$ $8$

R05.1–R05.6 · карта темы

Карта темы · вспомните, потом проверим

Что мы знаем об окружности

1,5 мин · практика (фронтальный опрос: ветки карты вспоминают ученики)
фронтально. Ветки (левый столбец) видны сразу. По каждой ветке сначала спросите класс: «Что вы помните?», потом откройте правую часть щелчком.
Вопросы: чему равен центральный угол? вписанный? Когда около четырёхугольника можно описать окружность? Когда в него можно вписать окружность? С чем сравнивают расстояние между центрами?
Ветка «Касательные» опирается на 7 класс (касательная ⊥ радиусу, отрезки касательных равны) — без неё не решаются задачи на описанный четырёхугольник и общие касательные.

R05.1

Блок 1 · одна дуга — три угла

Дуга $A B = 12 0^{\circ}$ : какие углы на неё опираются?

∠ A OB = A B ⌣

∠ A CB = \frac{1}{2} A B ⌣

∠ M A B = \frac{1}{2} A B ⌣

R05.1 · образец 1

Образец → сам · углы и дуга

Касательная, центральный и вписанный угол

Образец: $A M$ — касательная, $∠ M A B = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$ и $∠ A CB$ .

$A B ⌣ = 2 \cdot 7 0^{\circ} = 14 0^{\circ}$ угол между касательной и хордой — половина дуги
$∠ A OB = A B ⌣ = 14 0^{\circ}$ центральный угол равен своей дуге
$∠ A CB = \frac{1}{2} \cdot 14 0^{\circ} = 7 0^{\circ}$ вписанный, опирается на дугу $A B$

Сам

Вписанный $∠ A CB = 4 8^{\circ}$ . Найдите центральный $∠ A OB$ на ту же дугу. $9 6^{\circ}$
$A B$ — диаметр, $C$ — на окружности, $∠ C A B = 3 4^{\circ}$ . Найдите $∠ A BC$ . $5 6^{\circ}$
$∠ A OB = 8 0^{\circ}$ . Найдите угол между хордой $A B$ и касательной в точке $A$ . $4 0^{\circ}$

2,5 мин · практика
Образец (1 мин, шаги по клику): дуга $A B$ , лежащая внутри угла $M A B$ , равна $2 \cdot 7 0^{\circ} = 14 0^{\circ}$ ; $∠ A OB = 14 0^{\circ}$ ; $∠ A CB = 7 0^{\circ}$ ( $C$ — на большей дуге). Вывод: угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. Чертёж точный: дуга $A B = 14 0^{\circ}$ , хорда $A B$ образует с касательной ровно $7 0^{\circ}$ .
Сам (1,5 мин): 1) $2 \cdot 4 8^{\circ} = 9 6^{\circ}$ ; 2) $∠ A CB = 9 0^{\circ}$ (опирается на диаметр), $∠ A BC = 9 0^{\circ} - 3 4^{\circ} = 5 6^{\circ}$ ; 3) дуга $A B = 8 0^{\circ}$ , угол между касательной и хордой $8 0^{\circ} : 2 = 4 0^{\circ}$ .
Ошибка: в 3) ответ $8 0^{\circ}$ — «угол между касательной и хордой равен дуге».

R05.2

Блок 2 · углы между хордами и секущими

Вершина внутри круга — полусумма, вне — полуразность

∠ A EC = \frac{A C ⌣ + B D ⌣}{2}

\frac{10 0 ^{\circ} + 11 0 ^{\circ}}{2} = 10 5^{\circ}

∠ P = \frac{B D ⌣ - A C ⌣}{2}

\frac{12 0 ^{\circ} - 4 0 ^{\circ}}{2} = 4 0^{\circ}

2,5 мин · теория
Сначала класс по рисункам находит «?», потом открываем вычисления.
Хорды: $∠ A EC$ и вертикальный ему $∠ BE D$ опираются на дуги $A C = 10 0^{\circ}$ и $B D = 11 0^{\circ}$ : $∠ A EC = 10 5^{\circ}$ . Секущие $PB$ и $P D$ : дальняя дуга $B D = 12 0^{\circ}$ , ближняя $A C = 4 0^{\circ}$ : $∠ P = 4 0^{\circ}$ .
Откуда формулы: проведите хорду $A D$ (или $BC$ ) — угол оказывается внешним углом треугольника, а его слагаемые — вписанные углы. Можно спросить сильных учеников.
Тот же «полуразностный» закон верен и для двух касательных из точки $P$ и для касательной с секущей.

R05.2 · образец 2

Образец → сам · хорды и секущие

Обратная задача: по углу найти дугу

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$ , $∠ A EC = 7 0^{\circ}$ , $A C ⌣ = 8 0^{\circ}$ . Найдите $B D ⌣$ .

$∠ A EC = \frac{A C ⌣ + B D ⌣}{2}$ вершина внутри круга — полусумма дуг
$A C ⌣ + B D ⌣ = 2 \cdot 7 0^{\circ} = 14 0^{\circ}$ умножили на 2
$B D ⌣ = 14 0^{\circ} - 8 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$

Сам

Хорды пересекаются, дуги между их концами $5 0^{\circ}$ и $9 0^{\circ}$ . Найдите угол между хордами. $7 0^{\circ}$
Секущие из точки $P$ высекают дуги $15 0^{\circ}$ и $5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ . $5 0^{\circ}$
Секущие из $P$ : $∠ P = 3 0^{\circ}$ , ближняя дуга $4 0^{\circ}$ . Найдите дальнюю. $10 0^{\circ}$

R05.3–R05.4

Блок 3 · вписанный и описанный четырёхугольник

Свойство и признак — одно и то же равенство

Окружность описана около ABCD

можно ⇔ сумма противоположных углов $18 0^{\circ}$

прямоугольник, равнобедренная трапеция

Окружность вписана в ABCD

можно ⇔ суммы противоположных сторон равны

ромб, квадрат

2,5 мин · теория
Слева: противоположные углы опираются на дуги, дающие вместе всю окружность $36 0^{\circ}$ , поэтому $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ . Справа: из каждой вершины два равных отрезка касательных (одинаковый цвет и число чёрточек), каждая сторона = сумма двух «цветов».
Значок ⇔: равенство — и свойство (если вписан — выполняется), и признак (если выполняется — можно вписать / описать) — для выпуклого четырёхугольника.
Вопрос: можно ли описать окружность около параллелограмма, не являющегося прямоугольником? (нет: $∠ A + ∠ C = 2∠ A \neq = 18 0^{\circ}$ ). Можно ли вписать окружность в прямоугольник $3 \times 5$ ? (нет: $3 + 3 \neq = 5 + 5$ ).

R05.1 · R05.3 · R05.4 · образец 3

Образец → сам · вписанный четырёхугольник

Свойство вписанного четырёхугольника + вписанные углы

Образец: $A BC D$ вписан, $∠ A B D = 5 0^{\circ}$ , $∠ A D B = 3 5^{\circ}$ , $∠ D BC = 4 0^{\circ}$ . Найдите $x$ и $y$ .

$∠ B A D = 18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 9 5^{\circ}$ сумма углов $△ A B D$
$x = ∠ BC D = 18 0^{\circ} - 9 5^{\circ} = 8 5^{\circ}$ $A BC D$ вписан: $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$
$∠ A CB = ∠ A D B = 3 5^{\circ}$ вписанные, опираются на дугу $A B$
$y = ∠ A EB = 4 0^{\circ} + 3 5^{\circ} = 7 5^{\circ}$ внешний угол $△ BEC$

Сам: $A BC D$ — четырёхугольник

Вписан, $∠ A = 8 0^{\circ}$ , $∠ B = 6 5^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ и $∠ D$ . $10 0^{\circ}$ и $11 5^{\circ}$
Вписан, $∠ A B D = 4 0^{\circ}$ , $∠ A D B = 6 0^{\circ}$ . Найдите $∠ BC D$ . $10 0^{\circ}$
Углы по порядку $7 0^{\circ}$ , $11 0^{\circ}$ , $10 0^{\circ}$ , $8 0^{\circ}$ . Можно ли описать окружность?
нет: $7 0^{\circ} + 10 0^{\circ} \neq = 18 0^{\circ}$

2,5 мин · практика
Образец (1 мин): решение у доски, класс подсказывает обоснование каждого шага. $E$ — точка пересечения диагоналей; $x = ∠ BC D$ , $y = ∠ A EB$ .
Проверка вторым способом (R05.2): дуга $A B = 2 \cdot 3 5^{\circ} = 7 0^{\circ}$ , дуга $C D = 2 \cdot 4 0^{\circ} = 8 0^{\circ}$ , $∠ A EB = \frac{7 0 ^{\circ} + 8 0 ^{\circ}}{2} = 7 5^{\circ}$ ✓.
Сам: 1) $∠ C = 18 0^{\circ} - 8 0^{\circ} = 10 0^{\circ}$ , $∠ D = 18 0^{\circ} - 6 5^{\circ} = 11 5^{\circ}$ ; 2) $∠ B A D = 18 0^{\circ} - 4 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 8 0^{\circ}$ , $∠ BC D = 10 0^{\circ}$ ; 3) противоположные углы $7 0^{\circ}$ и $10 0^{\circ}$ в сумме $17 0^{\circ}$ — признак не выполнен, нельзя.
Ошибка: считать $∠ BC D = ∠ B A D$ («противоположные углы равны» — так только у параллелограмма); в 3) складывать соседние углы ( $7 0^{\circ} + 11 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ — «можно»).

R05.3 · R05.4 · образец 4

Образец → сам · описанный четырёхугольник

Описанная трапеция: суммы противоположных сторон

Образец: в трапецию вписана окружность, $A B = 10$ , $C D = 12$ . Найдите $P$ и среднюю линию.

Отрезки касательных из одной вершины равныодинаковый цвет и число чёрточек
$BC + A D = A B + C D$
$= 10 + 12 = 22$ описанный четырёхугольник
$P = 22 + 22 = 44$
$m = \frac{BC + A D}{2} = 11$ средняя линия трапеции

Сам

В $A BC D$ вписана окружность, $A B = 5$ , $BC = 7$ , $C D = 9$ . Найдите $A D$ . $7$
Периметр описанного четырёхугольника $36$ , $A B = 7$ . Найдите $C D$ . $11$
Можно ли вписать окружность в прямоугольник $4 \times 6$ ?
нет: $4 + 4 \neq = 6 + 6$

2,5 мин · практика
Образец (1 мин): $BC + A D = A B + C D = 10 + 12 = 22$ ; $P = 44$ ; средняя линия $11$ . Первым щелчком подсвечиваются равные отрезки касательных — это и есть доказательство свойства описанного четырёхугольника.
На чертеже (в масштабе): $A D = 16$ , $BC = 6$ , отрезки касательных $6, 4$ ; $3, 6$ ; $2, 4$ ; $9, 6$ ; радиус $4, 8$ . Сами основания знать не нужно — важна только их сумма.
Сам: 1) $A D = A B + C D - BC = 5 + 9 - 7 = 7$ ; 2) $A B + C D = 36 : 2 = 18$ , $C D = 11$ ; 3) суммы противоположных сторон $8$ и $12$ не равны — нельзя (вписать окружность можно только в квадрат из прямоугольников).
Ошибка: искать каждое основание отдельно (данных не хватает) или складывать соседние стороны.

R05.5–R05.6

Блок 4 · две окружности и касание

Всё решает расстояние между центрами $d$ ( $R \geq r$ )

Расположение	Условие	Точек	Касат.
вне друг друга	$d > R + r$	0	4
внешнее касание	$d = R + r$	1	3
пересекаются	$R - r < d < R + r$	2	2
внутреннее касание	$d = R - r$	1	1
одна внутри другой	$d < R - r$	0	0

Точка касания

T

лежит на линии центров

O_{1} O_{2}

.

R05.5 · R05.6 · образец 5

Образец → сам · две окружности

Касание и общая касательная

Образец: окружности радиусов $9$ и $4$ касаются внешним образом. Найдите отрезок $A B$ общей внешней касательной.

$d = O_{1} O_{2} = 9 + 4 = 13$ внешнее касание: $d = R + r$
$O_{2} H ⊥ O_{1} A$ ⇒ $A B O_{2} H$ — прямоугольник $O_{1} A ⊥ A B$ , $O_{2} B ⊥ A B$ : касательная ⊥ радиусу
$O_{1} H = 9 - 4 = 5$
$A B = O_{2} H = 1 3^{2} - 5^{2}$
$= 12$ теорема Пифагора в $△ O_{1} H O_{2}$

Сам

$R = 5$ , $r = 3$ , $d = 6$ . Как расположены окружности? пересекаются: $2 < 6 < 8$
Касаются внутренним образом, $R = 10$ , $d = 4$ . Найдите $r$ . $6$
$R = 6$ , $r = 4$ , $d = 12$ . Сколько у окружностей общих касательных? $4$

2,5 мин · практика
Образец (1 мин): $d = 13$ ; радиусы в точки касания перпендикулярны касательной, поэтому $O_{1} A B O_{2}$ — прямоугольная трапеция; проводим $O_{2} H ∥ A B$ ; в $△ O_{1} H O_{2}$ гипотенуза $13$ , катет $5$ , второй катет $169 - 25 = 12$ . Чертёж точный (1 единица = 14 px): $A B = O_{2} H = 12$ .
Сам: 1) $R - r = 2$ , $R + r = 8$ , $2 < 6 < 8$ — пересекаются в двух точках; 2) $d = R - r$ , $r = 10 - 4 = 6$ ; 3) $12 > 6 + 4$ — окружности вне друг друга, общих касательных $4$ .
Ошибка: в 2) $r = 14$ (взяли $d = R + r$ ) — при внутреннем касании $d = R - r$ . Связь с практикой: так считают прямой участок ремня между шкивами (сл. 19).

R05.1–R05.6 · сводная таблица

Схема-конспект · запишите в тетрадь

Все формулы темы на одном листе

Угол	Формула
центральный	$∠ A OB = A B ⌣$
вписанный	$∠ A CB = \frac{1}{2} A B ⌣$
касательная и хорда	$∠ M A B = \frac{1}{2} A B ⌣$
две хорды	$∠ A EC = \frac{A C ⌣ + B D ⌣}{2}$
две секущие	$∠ P = \frac{B D ⌣ - A C ⌣}{2}$

Фигура	Формула
вписанный ABCD	$∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$
описанный ABCD	$A B + C D = BC + A D$
внешнее касание	$d = R + r$
внутреннее касание	$d = R - r$
общая внешняя касательная	$d^{2} - (R - r)^{2}$

1,5 мин · теория
Обозначения — как на сл. 5, 7, 9, 12: $M$ — точка на касательной в точке $A$ ; $E$ — точка пересечения хорд $A B$ и $C D$ ; $P$ — точка вне круга, дуга $B D$ — дальняя, $A C$ — ближняя.
Длина общей внешней касательной — из прямоугольного треугольника с гипотенузой $d$ и катетом $R - r$ (теорема Пифагора, ПР-5); для внутренней касательной катет $R + r$ .
Вопрос на понимание: какие формулы «работают в обе стороны» (свойство и признак)? (вписанный и описанный четырёхугольник, условия расположения окружностей).

R05.1 · R05.3

Закрепление · блиц по чертежам

Найдите $x$ устно

Назовите, какое правило применили. а)

7 0^{\circ}

б)

9 0^{\circ}

в)

10 5^{\circ}

г)

11

R05.1–R05.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Вписанный угол

✗ $∠ A CB = A B ⌣$

дуге равен только центральный угол

✓ $∠ A CB = \frac{1}{2} A B ⌣$

Две секущие

✗ $\frac{12 0 ^{\circ} + 4 0 ^{\circ}}{2} = 8 0^{\circ}$

вершина вне круга — полуразность, а не полусумма

✓ $\frac{12 0 ^{\circ} - 4 0 ^{\circ}}{2} = 4 0^{\circ}$

Описанный ABCD

✗ $A B + BC = C D + A D$

сложили соседние стороны, а надо противоположные

✓ $A B + C D = BC + A D$

1,5 мин · практика
Класс объясняет, почему неверно, затем открываем верный вариант.
Проверки «на здравый смысл»: вписанный угол всегда меньше $18 0^{\circ}$ и вдвое меньше своей дуги; угол с вершиной вне круга меньше половины дальней дуги; в описанном четырёхугольнике складываем стороны «через одну».
Ещё ловушки темы: «на рисунке видно, что углы равны» вместо ссылки на теорему; «окружности касаются ⇒ $d = R + r$ » — забывают внутреннее касание (сл. 17в).

R05.2 · R05.3 · R05.6

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A BC D$ вписан, $∠ A = 7 0^{\circ}$ , $∠ B = 9 5^{\circ}$ . Найти $∠ C$ , $∠ D$ .

$∠ C = 18 0^{\circ} - 9 5^{\circ} = 8 5^{\circ}$ , $∠ D = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}$

$∠ C$ противолежит $∠ A$ :

$∠ C = 11 0^{\circ}$ , $∠ D = 8 5^{\circ}$

б) Секущие из точки $P$ высекают дуги $10 0^{\circ}$ и $4 0^{\circ}$ . Найти $∠ P$ .

$∠ P = \frac{10 0 ^{\circ} + 4 0 ^{\circ}}{2} = 7 0^{\circ}$

вершина вне круга — полуразность:

$∠ P = \frac{10 0 ^{\circ} - 4 0 ^{\circ}}{2} = 3 0^{\circ}$

в) Окружности радиусов $6$ и $2$ касаются. Найти расстояние $d$ между центрами.

$d = 6 + 2 = 8$ — и всё

касание бывает и внутренним:

$d = 8$ или $d = 6 - 2 = 4$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Перепутали противоположные углы с соседними: в $A BC D$ противоположны $A$ и $C$ , $B$ и $D$ . Верно: $∠ C = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}$ , $∠ D = 18 0^{\circ} - 9 5^{\circ} = 8 5^{\circ}$ . Проверка: $70 + 95 + 110 + 85 = 360$ .
б) Формула для хорд применена к секущим. Верно: $3 0^{\circ}$ ; проверка — угол меньше половины дальней дуги ( $5 0^{\circ}$ ).
в) Неполный ответ: в условии не сказано, какое касание. Внешнее — $d = 8$ , внутреннее — $d = 4$ .

R05.1–R05.6

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте ответ

Центральный угол $13 6^{\circ}$ . Найдите вписанный угол, опирающийся на ту же дугу. $6 8^{\circ}$
$A B$ — диаметр, $C$ — на окружности, $∠ A = 2 7^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ треугольника $A BC$ . $6 3^{\circ}$
Хорды пересекаются; дуги между их концами $7 0^{\circ}$ и $11 0^{\circ}$ . Найдите угол между хордами. $9 0^{\circ}$

$A BC D$ вписан, $∠ B = 10 4^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $7 6^{\circ}$
В $A BC D$ вписана окружность, $A B = 6$ , $BC = 5$ , $C D = 9$ . Найдите $A D$ . $10$
Радиусы $7$ и $3$ . Найдите $d$ при внешнем и при внутреннем касании. $10$ и $4$

R05.1–R05.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Секущие из точки $P$ : $∠ P = 2 5^{\circ}$ , дальняя дуга $11 0^{\circ}$ . Найдите ближнюю дугу. $6 0^{\circ}$
повыш. $A BC D$ вписан, $∠ B A C = 3 0^{\circ}$ , $∠ C A D = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ BC D$ и $∠ B D C$ . $11 0^{\circ}$ и $3 0^{\circ}$
повыш.В равнобедренную трапецию с основаниями $4$ и $16$ вписана окружность. Найдите боковую сторону и высоту. $10$ и $8$
из жизниРемень надет на два шкива радиусов $10$ и $2$ см, расстояние между центрами $17$ см. Найдите длину прямого участка ремня. $15$ см

2 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) $\frac{11 0 ^{\circ} - x}{2} = 2 5^{\circ}$ , $x = 11 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ .
2) $∠ B A D = 3 0^{\circ} + 4 0^{\circ} = 7 0^{\circ}$ , $∠ BC D = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}$ ; $∠ B D C = ∠ B A C = 3 0^{\circ}$ (опираются на дугу $BC$ ).
3) Боковые стороны равны, их сумма $= 4 + 16 = 20$ , боковая $10$ ; проекция боковой стороны на большее основание $(16 - 4) : 2 = 6$ , высота $1 0^{2} - 6^{2} = 8$ .
4) Прямой участок ремня — отрезок общей внешней касательной: $1 7^{2} - (10 - 2)^{2} = 289 - 64 = 225 = 15$ см (как в образце сл. 13, только шкивы не касаются).

R05.1 · R05.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · математика, линия 16

Задание 16 · окружность

1. Четырёхугольник $A BC D$ вписан в окружность. Угол $A BC$ равен $11 2^{\circ}$ , угол $C A D$ равен $4 7^{\circ}$ . Найдите угол $A B D$ . Ответ дайте в градусах. $65$

Ещё два задания линии 16

$A BC D$ вписан в окружность, $∠ A B D = 3 8^{\circ}$ , $∠ C A D = 5 4^{\circ}$ . Найдите угол $A BC$ . $92$
$A C$ и $B D$ — диаметры окружности с центром $O$ , $∠ A CB = 2 6^{\circ}$ . Найдите угол $A O D$ . $128$

В бланк — только число: 65, без «

^{\circ}

».

2 мин · практика
1) Авторское задание в формате банка ФИПИ. $∠ D BC = ∠ D A C = 4 7^{\circ}$ (вписанные, опираются на дугу $D C$ ); $∠ A B D = ∠ A BC - ∠ D BC = 11 2^{\circ} - 4 7^{\circ} = 6 5^{\circ}$ . Ответ: 65. Проверка дугами: $A D C ⌣ = 22 4^{\circ}$ , $D C ⌣ = 9 4^{\circ}$ , $A D ⌣ = 13 0^{\circ}$ , $∠ A B D = 6 5^{\circ}$ ✓.
2) $∠ CB D = ∠ C A D = 5 4^{\circ}$ (опираются на дугу $C D$ ), $∠ A BC = 3 8^{\circ} + 5 4^{\circ} = 9 2^{\circ}$ . 3) $∠ A OB = 2 \cdot 2 6^{\circ} = 5 2^{\circ}$ (центральный и вписанный на дугу $A B$ ), $∠ A O D = 18 0^{\circ} - 5 2^{\circ} = 12 8^{\circ}$ (смежные).
Ошибки: в 1) «159» — сложили углы; «68» — применили свойство вписанного четырёхугольника ( $18 0^{\circ} - 11 2^{\circ}$ ) к другому углу; в 3) ответ $52$ — нашли $∠ A OB$ вместо $∠ A O D$ .

R05.1–R05.6

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вписанный угол $3 8^{\circ}$ . Найдите центральный угол на ту же дугу. $7 6^{\circ}$
Хорды пересекаются, дуги между концами $5 0^{\circ}$ и $13 0^{\circ}$ . Найдите угол между хордами. $9 0^{\circ}$
$A BC D$ вписан, $∠ A = 6 4^{\circ}$ , $∠ B = 11 7^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ и $∠ D$ . $11 6^{\circ}$ , $6 3^{\circ}$
$A BC D$ описан, $A B = 8$ , $BC = 11$ , $C D = 13$ . Найдите $A D$ . $10$

Вариант 2

Центральный угол $12 4^{\circ}$ . Найдите вписанный угол на ту же дугу. $6 2^{\circ}$
Секущие из точки $P$ высекают дуги $14 0^{\circ}$ и $4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ . $5 0^{\circ}$
$A BC D$ вписан, $∠ A = 6 8^{\circ}$ , $∠ B = 11 5^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ и $∠ D$ . $11 2^{\circ}$ , $6 5^{\circ}$
Окружности радиусов $9$ и $4$ касаются внутренним образом. Найдите $d$ . $5$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда угол — полусумма дуг, а когда — полуразность?
Как проверить, можно ли вписать окружность в четырёхугольник?
Где лежит точка касания двух окружностей?

Домашнее задание

Вписанный угол равен $3 7^{\circ}$ . Найдите центральный угол на ту же дугу.
Секущие из точки $P$ высекают дуги $13 0^{\circ}$ и $4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ .
Тренажёр «Центральные и вписанные углы»:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_centralnye_i_vpisannye_ugly.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-064 · Обобщение и систематизация по строке R05

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей», 13 ч · урок 13/13 · тип О
Единицы → слайды	R05.1 «Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой» → 3, 4, 5, 6, 10, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22 · R05.2 «Углы между хордами и секущими» → 4, 7, 8, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 22 · R05.3 «Вписанные и описанные четырехугольники, их признаки и свойства» → 4, 9, 10, 11, 14, 15, 17, 18, 20, 21 · R05.4 «Применение этих свойств при решении геометрических задач» → 10, 11, 16, 19, 20 · R05.5 «Взаимное расположение двух окружностей, общие касательные» → 4, 12, 13, 14, 19 · R05.6 «Касание окружностей» → 12, 13, 14, 17, 18, 21
Результаты	ПР-8 = REQ-6.8 → 2, 5–8, 15, 16, 18–21 · ПР-9 = REQ-6.9 → 2, 9, 11, 15, 18, 19, 21 · EL-6.12 → 5–8 · EL-6.13 → 9–11 · EL-6.14 → 12, 13 · ПР-5 = REQ-6.5 (теорема Пифагора) → 13, 14, 19 · вид деятельности «Использовать эти свойства и признаки при решении задач» → 6, 8, 10, 11, 13, 15–21
ОГЭ	линия 16 (окружность) → 20
Вне урока	доказательства теорем о вписанном угле и углах между хордами — GEOM8-052/053; вывод признаков вписанного и описанного четырёхугольника — GEOM8-054; длина общей касательной подробно — GEOM8-056/062; итоговое повторение курса — GEOM8-065 (R06)
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Углы в окружности, вписанные и описанные четырёхугольники, касание

Сегодня вы повторите и научитесь применять

Углы в окружности

Вписанный четырёхугольник

Описанный четырёхугольник

Две окружности

Числа и факты темы — в уме

Что мы знаем об окружности

Дуга AB=120∘: какие углы на неё опираются?

Касательная, центральный и вписанный угол

Образец: AM — касательная, ∠MAB=70∘. Найдите ∠AOB и ∠ACB.

Сам

Вершина внутри круга — полусумма, вне — полуразность

Обратная задача: по углу найти дугу

Образец: хорды AB и CD пересекаются в точке E, ∠AEC=70∘, AC⌣=80∘. Найдите BD⌣.

Сам

Свойство и признак — одно и то же равенство

Окружность описана около ABCD

Окружность вписана в ABCD

Свойство вписанного четырёхугольника + вписанные углы

Образец: ABCD вписан, ∠ABD=50∘, ∠ADB=35∘, ∠DBC=40∘. Найдите x и y.

Сам: ABCD — четырёхугольник

Описанная трапеция: суммы противоположных сторон

Образец: в трапецию вписана окружность, AB=10, CD=12. Найдите P и среднюю линию.

Сам

Всё решает расстояние между центрами d (R≥r)

Касание и общая касательная

Образец: окружности радиусов 9 и 4 касаются внешним образом. Найдите отрезок AB общей внешней касательной.

Сам

Все формулы темы на одном листе

Найдите x устно

Неверно → почему → верно

Вписанный угол

Две секущие

Описанный ABCD

Где ошибся ученик?

а) ABCD вписан, ∠A=70∘, ∠B=95∘. Найти ∠C, ∠D.

б) Секущие из точки P высекают дуги 100∘ и 40∘. Найти ∠P.

в) Окружности радиусов 6 и 2 касаются. Найти расстояние d между центрами.

Решите и сверьте ответ

Подумайте и решите

Задание 16 · окружность

Ещё два задания линии 16

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8-064 · Обобщение и систематизация по строке R05

Дуга $A B = 12 0^{\circ}$ : какие углы на неё опираются?

Образец: $A M$ — касательная, $∠ M A B = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$ и $∠ A CB$ .

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$ , $∠ A EC = 7 0^{\circ}$ , $A C ⌣ = 8 0^{\circ}$ . Найдите $B D ⌣$ .

Образец: $A BC D$ вписан, $∠ A B D = 5 0^{\circ}$ , $∠ A D B = 3 5^{\circ}$ , $∠ D BC = 4 0^{\circ}$ . Найдите $x$ и $y$ .

Сам: $A BC D$ — четырёхугольник

Образец: в трапецию вписана окружность, $A B = 10$ , $C D = 12$ . Найдите $P$ и среднюю линию.

Всё решает расстояние между центрами $d$ ( $R \geq r$ )

Образец: окружности радиусов $9$ и $4$ касаются внешним образом. Найдите отрезок $A B$ общей внешней касательной.

Найдите $x$ устно

а) $A BC D$ вписан, $∠ A = 7 0^{\circ}$ , $∠ B = 9 5^{\circ}$ . Найти $∠ C$ , $∠ D$ .

б) Секущие из точки $P$ высекают дуги $10 0^{\circ}$ и $4 0^{\circ}$ . Найти $∠ P$ .

в) Окружности радиусов $6$ и $2$ касаются. Найти расстояние $d$ между центрами.