Окружность · урок 12 из 13 · практикум

Практикум: касание окружностей

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM8-063

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R05 «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей» (13 ч), урок 12/13, единица R05.6 «Касание окружностей». Тип П (практикум). Кодификатор: EL-6.14.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 сводка «взаимное расположение» 2,5 · 5 свойство линии центров 2,5 · 6 два вида касания 2,5 · 12 схема-конспект 2,5.
Практика (33): 3 разминка 2,5 · 7–10 образцы 3 + 3 + 3 + 3 · 11 клетчатая бумага 2,5 · 13 ошибки 1,5 · 14 найди ошибку 2 · 15 база 3 · 16 повышенный 2,5 · 17 ОГЭ 2 · 18 самостоятельная 4 · 19 итог 1.
Опора: GEOM8-057 «Касание окружностей» (новый материал), GEOM8-062 (взаимное расположение, общие касательные), свойство касательной и отрезков касательных (R05.1, 7 класс).
Если не успеваете: в образцах «сам» — по одному заданию устно, повышенный уровень (сл. 16) — в ДЗ; теорию не выбрасывать.

R05.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить $d$ , $R$ или $r$

для внешнего и внутреннего касания (EL-6.14)

Строить треугольник центров

для трёх касающихся окружностей (EL-6.14)

Работать с общей касательной

в точке касания и внешней (EL-6.14, ПР-8)

Считать длины и площади

Пифагор и площадь треугольника; ОГЭ, линия 16 (ПР-5, ПР-7)

1 мин · теория
EL-6.14 (кодификатор): «Взаимное расположение двух окружностей. Касание окружностей. Общие касательные к двум окружностям».
ПР-5 = REQ-6.5: «Пользоваться теоремой Пифагора для решения геометрических и практических задач…» (сл. 10, 11, 16, 17). ПР-7 = REQ-6.7: «Вычислять (различными способами) площадь треугольника…» (сл. 16). ПР-8 = REQ-6.8: «…использовать теоремы о вписанных углах, углах между хордами (секущими) и угле между касательной и хордой…» — свойства касательной (сл. 5, 9).

R05.6 · повторение R05.1, R05.5

Разминка · устно

Касаются ли? Найдите неизвестное

$R = 7$ , $r = 3$ , $d = 10$ касаются внешне
$R = 7$ , $r = 3$ , $d = 4$ касаются внутренне
$R = 7$ , $r = 3$ , $d = 6$ пересекаются
Внешнее касание, $R = 5$ , $d = 12$ . $r = ?$ $7$

Внутреннее касание, $R = 10$ , $d = 4$ . $r = ?$ $6$
Угол между касательной и радиусом в точку касания $9 0^{\circ}$
Из точки $M$ — две касательные, $M A = 6$ . $MB = ?$ $6$
$1 3^{2} - 5^{2}$ $12$

2,5 мин · практика
Ответы (по клику): 1) $10 = 7 + 3$ — внешнее касание; 2) $4 = 7 - 3$ — внутреннее; 3) $4 < 6 < 10$ — пересекаются в двух точках, не касаются; 4) $r = 12 - 5 = 7$ ; 5) $r = 10 - 4 = 6$ ( $R = 10$ — больший радиус); 6) $9 0^{\circ}$ (касательная ⟂ радиусу); 7) $MB = 6$ (отрезки касательных из одной точки равны); 8) $169 - 25 = 144 = 12$ .
Каждое задание — приём урока: 1–5 — $d = R \pm r$ , 6–7 — для касательной в точке касания (сл. 9), 8 — для длины общей касательной (сл. 10).
Ошибка в 3: « $6 < 10$ — касаются». Касание — только при равенстве $d = R + r$ или $d = R - r$ .

повторение: R05.5

Сводка · взаимное расположение двух окружностей

Всё решает расстояние $d$ между центрами ( $R > r$ )

не пересекаются

$d > R + r$

0 общих точек

касаются внешне

$d = R + r$

1 общая точка

пересекаются

$R - r < d < R + r$

2 общие точки

касаются внутренне

$d = R - r$

1 общая точка

одна внутри другой

$d < R - r$

0 общих точек

Окружности касаются, если у них ровно одна общая точка

K

— точка касания.

R05.6 · теория

Свойство · точка касания на линии центров

Почему $d = R + r$ или $d = R - r$

Дано: окружности $(O_{1}; R)$ и $(O_{2}; r)$ касаются в точке $K$ , $a$ — их общая касательная в $K$ .

$O_{1} K ⊥ a$ радиус в точку касания ⟂ касательной
$O_{2} K ⊥ a$ то же для второй окружности
$O_{1}, K, O_{2}$ — на одной прямойчерез $K$ проходит только одна прямая, ⟂ $a$
внешнее: $d = O_{1} K + K O_{2} = R + r$ ;
внутреннее: $d = O_{1} K - O_{2} K = R - r$

повторение: GEOM8-057

Вспомним · два вида касания

Точка касания $K$ лежит на линии центров $O_{1} O_{2}$

внешнее:

d = R + r

внутреннее:

d = R - r

R05.6 · тип 1

Образец → сам · три окружности

Треугольник центров касающихся окружностей

Образец: радиусы $2$ , $3$ , $4$ , попарно касаются внешне. Найдите $P$ треугольника центров.

Касание внешнее ⇒ $d = r_{1} + r_{2}$ точка касания на линии центров
$O_{1} O_{2} = 5$ , $O_{1} O_{3} = 6$ , $O_{2} O_{3} = 7$
$P = 5 + 6 + 7 = 18$ каждый радиус вошёл дважды: $P = 2 (r_{1} + r_{2} + r_{3})$

Сам: три окружности попарно касаются внешне

Радиусы $1$ , $4$ , $5$ . Найдите $P$ . $20$
Все радиусы равны $5$ . Найдите $P$ . Какой треугольник? $30$ , равносторонний
Стороны треугольника центров $7$ , $8$ , $9$ . Найдите радиусы. $3, 4, 5$

3 мин · практика
Образец (1 мин). Чертёж точный (1 = 31 px). Вопрос: «Где на чертеже точки касания?» (красные — на отрезках между центрами). Почему $P = 2 (r_{1} + r_{2} + r_{3})$ : каждая сторона — сумма двух радиусов, каждый радиус входит в две стороны.
Сам: 1) стороны $5$ , $6$ , $9$ , $P = 20 = 2 \cdot 10$ . 2) стороны $10$ , $10$ , $10$ , $P = 30$ , равносторонний. 3) $r_{1} + r_{2} = 7$ , $r_{1} + r_{3} = 8$ , $r_{2} + r_{3} = 9$ ; сумма радиусов $= 24 : 2 = 12$ ; $r_{3} = 12 - 7 = 5$ , $r_{2} = 12 - 8 = 4$ , $r_{1} = 12 - 9 = 3$ (обратная задача).
Ошибка: брать стороной сам радиус или диаметр одной окружности.

R05.6 · тип 2

Образец → сам · внутреннее касание

Две окружности внутри третьей

Образец: внутри окружности $R = 9$ окружности $2$ и $3$ касаются её и друг друга. Найдите $P$ $△ O O_{1} O_{2}$ .

$O O_{1} = 9 - 2 = 7$ внутреннее касание: $d = R - r$
$O O_{2} = 9 - 3 = 6$
$O_{1} O_{2} = 2 + 3 = 5$ малые касаются внешне
$P = 7 + 6 + 5 = 18 = 2 R$

Сам: две малые внутри большой, касаются её и друг друга

$R = 12$ , малые $4$ и $5$ . Найдите $P$ $△ O O_{1} O_{2}$ . $24$
$P$ $△ O O_{1} O_{2}$ равен $30$ . Найдите $R$ . $15$
$R = 9$ , малые $3$ и $6$ . Есть ли треугольник? нет: $6 + 3 = 9$

R05.6 · тип 3

Образец → сам · касательная в точке касания

Касательная в точке $K$ делит $A B$ пополам

Образец (доказательство): $M$ — точка пересечения $A B$ и касательной в $K$ . Докажите: $M A = MB$ , $∠ A K B = 9 0^{\circ}$ .

$M A = M K$ отрезки касательных из $M$ к 1-й окружности
$M K = MB$ то же для 2-й окружности
$M A = MB = M K = \frac{1}{2} A B$ $M$ — середина $A B$
$∠ A K B = 9 0^{\circ}$ медиана $K M$ равна половине $A B$

Сам: та же конструкция

$A B = 10$ . Найдите $M K$ . $5$
$M K = 7$ . Найдите $A B$ . $14$
$∠ K A B = 3 5^{\circ}$ . Найдите $∠ K B A$ . $5 5^{\circ}$

3 мин · практика
Образец (1,5 мин) — заготовка задачи ОГЭ, линия 24 (доказательство). Розовые чёрточки на чертеже — равные отрезки $M A = M K = MB$ ; прямой угол при $K$ — вывод шага 4.
Шаг 4 другим способом: △AMK и △BMK равнобедренные, $∠ M A K = ∠ M K A = α$ , $∠ MB K = ∠ M K B = β$ ; в △AKB: $2 α + 2 β = 18 0^{\circ}$ ⇒ $α + β = 9 0^{\circ}$ .
Сам: 1) $M K = \frac{1}{2} A B = 5$ . 2) $A B = 2 \cdot M K = 14$ . 3) $∠ A K B = 9 0^{\circ}$ ⇒ $∠ K B A = 9 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 5 5^{\circ}$ .
Ошибка: считать, что $M$ — середина, «потому что так на рисунке». Обоснование — только через равенство отрезков касательных.

R05.6 · тип 4

Образец → сам · общая внешняя касательная

Общая касательная — катет прямоугольного треугольника

Образец: $R = 9$ , $r = 4$ , касание внешнее. Найдите длину общей касательной $A B$ .

$d = 9 + 4 = 13$ внешнее касание
$O_{2} H ∥ A B$ ⇒ $A B O_{2} H$ — прямоугольник $A H = 4$ , $O_{1} H = 9 - 4 = 5$
$A B = O_{2} H = 1 3^{2} - 5^{2} = 12$ $△ O_{1} H O_{2}$ , $∠ H = 9 0^{\circ}$
$A B = 2 R r$ $(R + r)^{2} - (R - r)^{2} = 4 R r$

Сам: окружности касаются внешне

$R = 8$ , $r = 2$ . Найдите $A B$ . $8$
$R = 25$ , $r = 1$ . Найдите $A B$ . $10$
$A B = 20$ , $R = 25$ . Найдите $r$ . $4$

R05.6 · клетчатая бумага

Образец → сам · на клетчатой бумаге

Каким должен быть радиус, чтобы окружности касались?

Образец: клетка $1 \times 1$ , окружность $(O_{1}; 3)$ , точка $O_{2}$ — на рисунке. При каком $r$ окружность $(O_{2}; r)$ касается данной?

$d = 3^{2} + 4^{2} = 5$ теорема Пифагора по клеткам
внешнее: $r = d - R = 5 - 3 = 2$
внутреннее: $r - R = d$ , $r = 8$ $R - r = d$ невозможно: $3 < 5$
Ответ: $2$ или $8$

Сам: $O_{2}$ сдвинут от $O_{1}$ на … клеток

$6$ и $8$ , $R = 4$ . Найдите $r$ . $6$ или $14$
$5$ и $12$ , $R = 6$ . Найдите $r$ . $7$ или $19$
$4$ клетки вправо, $R = 4$ . Найдите $r$ . только $8$

2,5 мин · практика
Образец (1 мин): $O_{1} (0; 0)$ , $O_{2} (3; 4)$ — сдвиг на 3 клетки вправо и 4 вверх; $d = 5$ . Внешнее касание: $d = R + r$ ⇒ $r = 2$ . Внутреннее: большая окружность $(O_{2}; 8)$ охватывает данную, $d = r - R = 8 - 3 = 5$ ✓. Вариант «данная охватывает искомую» невозможен: $R - r = 5$ даёт $r < 0$ .
Сам: 1) $d = 36 + 64 = 10$ : $r = 10 - 4 = 6$ или $r = 10 + 4 = 14$ . 2) $d = 25 + 144 = 13$ : $r = 7$ или $19$ . 3) $d = 4 = R$ : внешне $r = 0$ — не окружность; внутренне $r = d + R = 8$ (а $R - r = 4$ даёт $r = 0$ ). Ответ: только $8$ — $O_{2}$ лежит на данной окружности.
Ошибка: дать только один ответ (забыть внутреннее касание).

R05.6 · схема-конспект

Схема-конспект · запишите в тетрадь

Алгоритм задачи на касание окружностей

Три окружности, внешне

$P = 2 (r_{1} + r_{2} + r_{3})$

Две внутри третьей

$P = 2 R$

Внешняя касательная

$A B = 2 R r$

R05.6

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Вид касания

внутреннее, $R = 8$ , $r = 3$

✗ $d = 8 + 3 = 11$

при внутреннем радиусы «накладываются»

✓ $d = 8 - 3 = 5$

Только один случай

$R = 6$ , $r = 2$ , касаются

✗ $d = 8$

вид касания не указан

✓ $d = 8$ или $d = 4$

Касательная = линия центров

$R = 9$ , $r = 4$ , внешне

✗ $A B = 13$

$A B$ — катет, $d$ — гипотенуза

✓ $A B = 236 = 12$

R05.6

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Окружности $R = 18$ и $r = 2$ касаются внешне. Найдите длину общей касательной $A B$ .

$d = 18 - 2 = 16$
$O_{1} H = R - r = 16$
$A B = 1 6^{2} + 1 6^{2} = 162$

1) внешнее: $d = 18 + 2 = 20$

3) $A B$ — катет: $2 0^{2} - 1 6^{2} = 12$

б) Внутри окружности $R = 10$ окружности $3$ и $4$ касаются её и друг друга. Найдите $P$ $△ O O_{1} O_{2}$ .

$O O_{1} = 10 + 3 = 13$ , $O O_{2} = 10 + 4 = 14$
$O_{1} O_{2} = 3 + 4 = 7$
$P = 13 + 14 + 7 = 34$

внутреннее: $O O_{1} = 7$ , $O O_{2} = 6$

$P = 7 + 6 + 7 = 20 = 2 R$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (ошибочные строки — красным); 1 мин в парах — найти ошибку и объяснить, затем открывать исправления.
а) Две ошибки: вид касания (внешнее ⇒ $d = R + r = 20$ ) и теорема Пифагора ( $A B$ — катет, а не гипотенуза). Строка 2 верна. Верно: $A B = 400 - 256 = 144 = 12 = 2 18 \cdot 2$ .
б) Ошибка в строке 1: касание с большой окружностью внутреннее ⇒ $d = R - r$ . $O O_{1} = 7$ , $O O_{2} = 6$ , $O_{1} O_{2} = 7$ , $P = 20 = 2 \cdot 10$ . Проверка ученика «на здравый смысл»: $O O_{1} = 13 > R$ — центр малой окружности оказался бы вне большой.

R05.6

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте ответ

Окружности радиусов $6$ и $2$ касаются. Найдите расстояние между центрами. $8$ или $4$
Касание внутреннее, $d = 5$ , больший радиус $12$ . Найдите меньший. $7$
Касание внешнее, $d = 15$ , $r = 4$ . Найдите $R$ . $11$

Радиусы $1$ , $2$ , $3$ , попарно касаются внешне. Найдите $P$ треугольника центров. Какой он? $12$ , прямоугольный
Общая внешняя касательная $A B = 18$ , $M$ — её точка на касательной в $K$ . Найдите $M K$ . $9$
Окружность $r$ лежит внутри окружности $R = 8$ и касается её, $d = 3$ . Найдите $r$ . $5$

R05.6 · ПР-5, ПР-7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Окружности радиусов $9$ и $1$ касаются внешне. Найдите длину общей внешней касательной. $6$
повыш.Три окружности радиуса $3$ попарно касаются внешне. Найдите площадь треугольника центров. $93$
повыш.Три окружности попарно касаются внешне, стороны треугольника центров $8$ , $10$ , $12$ . Найдите радиусы. $3, 5, 7$
из жизниКолёса радиусов $18$ см и $8$ см касаются друг друга и стоят на ровном полу. Найдите расстояние между точками касания колёс с полом. $24$ см

R05.6 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 16

Ответ — одно число

1. Окружности радиусов $16$ и $25$ касаются внешним образом. Прямая касается обеих окружностей в точках $A$ и $B$ (см. рисунок). Найдите $A B$ . $40$

Та же конструкция: касание внешнее

Радиусы $2$ и $32$ . Найдите $A B$ . $16$
Радиусы $49$ и $1$ . Найдите $A B$ . $14$

В бланк — только число: 40, без «

A B =

».

R05.6

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$R = 7$ , $r = 3$ , касание внешнее. Найдите $d$ . $10$
Касание внутреннее, $R = 11$ , $d = 4$ . Найдите $r$ . $7$
Радиусы $2$ , $4$ , $6$ , попарно касаются внешне. Найдите $P$ треугольника центров. $24$
$R = 16$ , $r = 1$ , касание внешнее. Найдите длину общей касательной. $8$

Вариант 2

$R = 8$ , $r = 5$ , касание внутреннее. Найдите $d$ . $3$
Касание внешнее, $d = 15$ , $R = 9$ . Найдите $r$ . $6$
Внутри окружности $R = 8$ окружности $2$ и $3$ касаются её и друг друга. Найдите $P$ $△ O O_{1} O_{2}$ . $16$
$R = 27$ , $r = 3$ , касание внешнее. Найдите длину общей касательной. $18$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Где лежит точка касания двух окружностей?
Когда в ответе два значения $d$ ?
Какой треугольник строят для длины $A B$ ?

Домашнее задание

Окружности радиусов $5$ и $3$ касаются. Найдите $d$ (оба случая).
Окружности радиусов $4$ и $1$ касаются внешне. Найдите длину общей внешней касательной.
Тренажёр «Окружности и прямые»:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_okruzhnost_i_pryamye.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-063 · Практикум: Касание окружностей

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей», 13 ч · урок 12/13 · тип П
Единицы → слайды	R05.6 «Касание окружностей» → 2–19 (разминка → 3; сводка → 4; свойство линии центров → 5; два вида касания → 6; образцы: три окружности → 7, внутреннее касание → 8, касательная в точке касания → 9, общая касательная → 10, клетчатая бумага → 11; схема → 12; ошибки → 13–14; база → 15; повышенный → 16; ОГЭ → 17; самостоятельная → 18; итог → 19)
Результаты	EL-6.14 → 2–19 · ПР-5 = REQ-6.5 (теорема Пифагора) → 10, 11, 16, 17, 18 · ПР-7 = REQ-6.7 (площадь треугольника) → 16 · ПР-8 = REQ-6.8 (касательная) → 5, 9
Хронометраж	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
ОГЭ	линия 16 (окружность) → 17; заготовка к линии 24 (доказательство) → 9
Вне урока	взаимное расположение и общие касательные — GEOM8-056, GEOM8-062 (R05.5); обобщение строки R05 — GEOM8-064; углы в окружности — R05.1–R05.2; вписанные и описанные четырёхугольники — R05.3–R05.4
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: касание окружностей

Сегодня вы научитесь

Находить d, R или r

Строить треугольник центров

Работать с общей касательной

Считать длины и площади

Касаются ли? Найдите неизвестное

Всё решает расстояние d между центрами (R>r)

не пересекаются

касаются внешне

пересекаются

касаются внутренне

одна внутри другой

Почему d=R+r или d=R−r

Точка касания K лежит на линии центров O1​O2​

Треугольник центров касающихся окружностей

Образец: радиусы 2, 3, 4, попарно касаются внешне. Найдите P треугольника центров.

Сам: три окружности попарно касаются внешне

Две окружности внутри третьей

Образец: внутри окружности R=9 окружности 2 и 3 касаются её и друг друга. Найдите P △OO1​O2​.

Сам: две малые внутри большой, касаются её и друг друга

Касательная в точке K делит AB пополам

Образец (доказательство): M — точка пересечения AB и касательной в K. Докажите: MA=MB, ∠AKB=90∘.

Сам: та же конструкция

Общая касательная — катет прямоугольного треугольника

Образец: R=9, r=4, касание внешнее. Найдите длину общей касательной AB.

Сам: окружности касаются внешне

Каким должен быть радиус, чтобы окружности касались?

Образец: клетка 1×1, окружность (O1​;3), точка O2​ — на рисунке. При каком r окружность (O2​;r) касается данной?

Сам: O2​ сдвинут от O1​ на … клеток

Алгоритм задачи на касание окружностей

Три окружности, внешне

Две внутри третьей

Внешняя касательная

Так нельзя

Вид касания

Только один случай

Касательная = линия центров

Где ошибся ученик?

а) Окружности R=18 и r=2 касаются внешне. Найдите длину общей касательной AB.

б) Внутри окружности R=10 окружности 3 и 4 касаются её и друг друга. Найдите P △OO1​O2​.

Решите и сверьте ответ

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Та же конструкция: касание внешнее

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8-063 · Практикум: Касание окружностей

Находить $d$ , $R$ или $r$

Всё решает расстояние $d$ между центрами ( $R > r$ )

Почему $d = R + r$ или $d = R - r$

Точка касания $K$ лежит на линии центров $O_{1} O_{2}$

Образец: радиусы $2$ , $3$ , $4$ , попарно касаются внешне. Найдите $P$ треугольника центров.

Образец: внутри окружности $R = 9$ окружности $2$ и $3$ касаются её и друг друга. Найдите $P$ $△ O O_{1} O_{2}$ .

Касательная в точке $K$ делит $A B$ пополам

Образец (доказательство): $M$ — точка пересечения $A B$ и касательной в $K$ . Докажите: $M A = MB$ , $∠ A K B = 9 0^{\circ}$ .

Образец: $R = 9$ , $r = 4$ , касание внешнее. Найдите длину общей касательной $A B$ .

Образец: клетка $1 \times 1$ , окружность $(O_{1}; 3)$ , точка $O_{2}$ — на рисунке. При каком $r$ окружность $(O_{2}; r)$ касается данной?

Сам: $O_{2}$ сдвинут от $O_{1}$ на … клеток

а) Окружности $R = 18$ и $r = 2$ касаются внешне. Найдите длину общей касательной $A B$ .

б) Внутри окружности $R = 10$ окружности $3$ и $4$ касаются её и друг друга. Найдите $P$ $△ O O_{1} O_{2}$ .