Окружность · практикум · урок 10 из 13

Вписанные и описанные четырёхугольники в задачах

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM8-061

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R05 «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей» (13 ч), урок 10/13, единица R05.4 «Применение этих свойств при решении геометрических задач». Тип П (практикум). Кодификатор: EL-6.12, EL-6.13.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 сводка свойств 3 · 6 план решения 2 · 8 «два прямых угла — одна окружность» 2,5 · 11 трапеция и окружность 2,5.
Практика (33): 3 разминка 2 · 5 блиц 1,5 · 7 образец «дуги» 3 · 9 образец «высоты» 3 · 10 образец «доказательство» 3 · 12 образец «описанная трапеция» 2,5 · 13 образец «трапеция с диаметром» 2,5 · 14 ошибки 1,5 · 15 найди ошибку 1,5 · 16 база 2,5 · 17 повышенный 2 · 18 ОГЭ 2 · 19 самостоятельная 5 · 20 итог 1.
Это второй урок по R05.4: на GEOM8-055 разбирали базовые задачи, на GEOM8-060 — признаки и свойства. Сегодня — комбинированные: дуги в отношении, признак вписанного с высотами, доказательство, описанная трапеция с Пифагором, трапеция с диаметром.
Если не успеваете: образец 10 (доказательство) — без заданий «сам», задания 3–4 повышенного уровня — в ДЗ; теорию не выбрасывать.

R05.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить углы по дугам

вписанного четырёхугольника — через вписанные углы (ПР-8, REQ-6.8)

Замечать вписанный

по признаку $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ — и пользоваться им (EL-6.13)

Решать задачи об описанном

суммы противоположных сторон, $h = 2 r$ (ПР-9, REQ-6.9)

Соединять с трапецией и Пифагором

формат ОГЭ, линия 16 (ПР-1, ПР-5; REQ-6.1, REQ-6.5)

повторение: R05.1, R05.3

Разминка · устно

Углы, дуги, отрезки — в уме

Вписанный угол опирается на дугу $14 0^{\circ}$ $7 0^{\circ}$
Центральный угол $8 0^{\circ}$ . Вписанный на ту же дугу $4 0^{\circ}$
Вписанный угол опирается на диаметр $9 0^{\circ}$
Дуги окружности относятся как $1 : 2 : 3$ . Наибольшая $18 0^{\circ}$

$A BC D$ вписан, $∠ A = 7 2^{\circ}$ . $∠ C$ $10 8^{\circ}$
$A BC D$ описан, $A B = 5$ , $C D = 9$ , $BC = 6$ . $A D$ $8$
Отрезок касательной из точки — $7$ . Второй отрезок $7$
Гипотенуза $14$ . Катет против угла $3 0^{\circ}$ $7$

R05.3 · повторение

Вспомним · два главных свойства

Вписанный и описанный четырёхугольники

Вписанный в окружность

∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}

свойство и признактрапеция ⇒ равнобедренная

Описанный около окружности

A B + C D = BC + A D

отрезки касательных равнытрапеция:

h = 2 r

3 мин · теория (сводка свойств и признаков, фронтальный опрос)
3 мин, фронтально. Вопрос: «Сумма каких углов вписанного четырёхугольника равна 180°?» (противоположных). «Почему?» (вместе они опираются на всю окружность: $\frac{1}{2} \cdot 36 0^{\circ}$ ).
Справа: отрезки касательных из одной вершины равны — они одного цвета. Каждая сторона = сумма двух «цветных» отрезков, поэтому $A B + C D$ и $BC + A D$ содержат по одному отрезку каждого цвета дважды — суммы равны.
Оба свойства обратимы (признаки) — это и используем в типе 2.

R05.3 · блиц

Блиц · да или нет?

Можно ли вписать в окружность? Описать около окружности?

Четырёхугольник	вписать: $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$	описать: $A B + C D = BC + A D$
параллелограмм	нет	нет
прямоугольник	да	только квадрат
ромб	только квадрат	да
квадрат	да	да
равнобедренная трапеция	да	если $a + b = 2 c$
прямоугольная трапеция	нет	если $a + b = c + d$

R05.4 · метод

План решения задачи

Видишь окружность и четырёхугольник — действуй так

1Чертёж

отметить данные: углы, дуги, стороны

найти, как связаны окружность и фигура

→

2Вершины на окружности

$∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$

угол $= \frac{1}{2}$ дуги; на одну дугу — равны

2Окружность касается сторон

$A B + C D = BC + A D$

отрезки касательных равны; $h = 2 r$

→

3Вычислить

уравнение, теорема Пифагора, катет против $3 0^{\circ}$

проверка: сумма углов $36 0^{\circ}$

R05.4 · тип 1

Образец → сам · углы по дугам

Части → дуги → вписанные углы

Образец: $A BC D$ вписан, $\cup A B : \cup BC : \cup C D : \cup D A = 2 : 3 : 4 : 3$ . Найдите углы.

$36 0^{\circ} : 12 = 3 0^{\circ}$ — одна частьдуги: $6 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ , $12 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$
$∠ A = \frac{1}{2} (9 0^{\circ} + 12 0^{\circ}) = 10 5^{\circ}$ вписанный угол опирается на дугу $BC D$
$∠ C = 18 0^{\circ} - 10 5^{\circ} = 7 5^{\circ}$ свойство вписанного четырёхугольника
$∠ B = \frac{1}{2} (12 0^{\circ} + 9 0^{\circ}) = 10 5^{\circ}$ , $∠ D = 7 5^{\circ}$

Сам: $A BC D$ вписан

Дуги $1 : 2 : 3 : 3$ . Найдите наибольший угол $A BC D$ . $12 0^{\circ}$
$∠ A = 11 0^{\circ}$ , $∠ B = 8 0^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ и $∠ D$ .
$7 0^{\circ}$ и $10 0^{\circ}$
$∠ A : ∠ B : ∠ C = 2 : 3 : 4$ . Найдите $∠ D$ . $9 0^{\circ}$

3 мин · практика
Образец (1 мин, шаги по клику). Цвет дуг: $A B$ — оранжевая, $BC$ — синяя, $C D$ — фиолетовая, $D A$ — бирюзовая. Вопрос: «На какую дугу опирается $∠ A$ ?» (на дугу $BC D$ , не содержащую $A$ ). Проверка: $105 + 105 + 75 + 75 = 360$ . Замечание: $∠ A + ∠ D = 18 0^{\circ}$ ⇒ $A B ∥ C D$ — это равнобедренная трапеция (дуги $BC$ и $D A$ равны). Чертёж точный: вершины на окружности через $6 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ , $12 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ .
Сам (2 мин): 1) $9$ частей по $4 0^{\circ}$ : дуги $4 0^{\circ}, 8 0^{\circ}, 12 0^{\circ}, 12 0^{\circ}$ ; $\angle B = \frac{1}{2}(120 + 120) = $ 120° (остальные: $∠ A = 10 0^{\circ}$ , $∠ C = 8 0^{\circ}$ , $∠ D = 6 0^{\circ}$ ). 2) $\angle C = 180 - 110 = $ 70°, $\angle D = 180 - 80 = $ 100°. 3) $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ : $6$ частей по $3 0^{\circ}$ , $∠ B = 9 0^{\circ}$ , $∠ D = 9 0^{\circ}$ ( $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$ ).
Ошибка: брать половину «своей» дуги ( $∠ A = \frac{1}{2} \cup A B$ ) — угол опирается на противолежащую дугу.

R05.4 · приём

Ключевой приём · прямые углы на одном отрезке

Два прямых угла на отрезке $A B$ — одна окружность

∠ A XB = ∠ A Y B = 9 0^{\circ}

$O$ — середина $A B$ центр будущей окружности
$OX = O A = OB$ медиана к гипотенузе равна её половине (диагонали прямоугольника)
$X$ , $Y$ — на окружности с диаметром $A B$ так же $O Y = O A$

Разные стороны:

A XB Y

вписан. Одна сторона:

∠ X A Y = ∠ XB Y

.

2,5 мин · теория
Это обратное утверждение к «вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой». Доказательство: в прямоугольном $△ A XB$ достроим до прямоугольника $A XB X^{'}$ ; его диагонали равны и точкой $O$ делятся пополам ⇒ $OX = \frac{1}{2} A B = O A = OB$ .
Левый чертёж: $X$ и $Y$ по разные стороны от $A B$ — четырёхугольник $A XB Y$ вписан, и это видно также по признаку: $9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ . Правый: по одну сторону — четыре точки всё равно на одной окружности, тогда углы $X A Y$ и $XB Y$ опираются на одну дугу $X Y$ и равны.
Где встречается: высоты треугольника (образцы 9, 10), прямоугольные треугольники с общей гипотенузой. Вопрос: «Где на чертеже два прямых угла на одном отрезке?»

R05.4 · тип 2

Образец → сам · признак вписанного

Высоты треугольника дают вписанный четырёхугольник

Образец: высоты $A A_{1}$ и $B B_{1}$ $△ A BC$ пересекаются в $H$ , $∠ C = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A H B$ .

$∠ C A_{1} H = ∠ C B_{1} H = 9 0^{\circ}$ $A A_{1}$ и $B B_{1}$ — высоты
$9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ ⇒ $C A_{1} H B_{1}$ — вписанныйпризнак вписанного четырёхугольника
$∠ A_{1} H B_{1} = 18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 13 0^{\circ}$ противоположный углу $C$
$∠ A H B = 13 0^{\circ}$ вертикальный с $∠ A_{1} H B_{1}$

Сам: та же конструкция

$∠ C = 6 4^{\circ}$ . Найдите $∠ A H B$ . $11 6^{\circ}$
$∠ A H B = 12 5^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $5 5^{\circ}$
$∠ A_{1} H B_{1}$ втрое больше $∠ C$ . Найдите $∠ C$ . $4 5^{\circ}$

3 мин · практика
Образец (1 мин). Четырёхугольник $C A_{1} H B_{1}$ выделен бирюзовым. Вопрос: «Где на чертеже четыре точки на одной окружности?» Пунктирная окружность — с диаметром $C H$ (оба прямых угла опираются на $C H$ — приём со слайда 8). Другой способ: сумма углов четырёхугольника $360 - 90 - 90 - 50 = 130$ . Чертёж точный: $∠ C = 5 0^{\circ}$ , $∠ A H B = 13 0^{\circ}$ .
Сам (2 мин): 1) $180 - 64 = $ 116°. 2) обратная: $\angle C = 180 - 125 = $ 55°. 3) $∠ C + 3∠ C = 18 0^{\circ}$ ⇒ $∠ C = 4 5^{\circ}$ ( $∠ A_{1} H B_{1} = 13 5^{\circ}$ ).
Ошибка: ответ «50°» — путают $∠ A H B$ с углом $C$ ; или ищут $∠ A H B$ как смежный: $180 - 130 = 50$ .

R05.4 · доказательство

Образец → сам · доказательство

Окружность помогает доказывать равенство углов

Образец: $A A_{1}$ , $B B_{1}$ — высоты остроугольного $△ A BC$ . Докажите: $∠ C A_{1} B_{1} = ∠ C A B$ .

$∠ A A_{1} B = ∠ A B_{1} B = 9 0^{\circ}$ ⇒ $A_{1}$ , $B_{1}$ — на окружности с диаметром $A B$ два прямых угла на отрезке $A B$
$∠ B A_{1} B_{1} + ∠ B A B_{1} = 18 0^{\circ}$ $A B A_{1} B_{1}$ вписан: противоположные углы
$∠ C A_{1} B_{1} = 18 0^{\circ} - ∠ B A_{1} B_{1} = ∠ C A B$ смежные углы

Сам: те же высоты

$∠ A = 6 5^{\circ}$ , $∠ B = 5 5^{\circ}$ . Найдите $∠ C A_{1} B_{1}$ и $∠ C B_{1} A_{1}$ .
$6 5^{\circ}$ и $5 5^{\circ}$
Докажите: $∠ A A_{1} B_{1} = ∠ A B B_{1}$ .
оба вписаны в окружность с диаметром $A B$ и опираются на дугу $A B_{1}$

3 мин · практика
Образец (1,5 мин): равные углы $C A_{1} B_{1}$ и $C A B$ отмечены оранжевым, отрезок $A_{1} B_{1}$ — розовым. Каждое утверждение — с обоснованием, а не «на рисунке видно». Порядок точек на окружности: $A$ , $B$ , $A_{1}$ , $B_{1}$ — поэтому противоположные углы $A B A_{1} B_{1}$ — при вершинах $A$ и $A_{1}$ . Чертёж в масштабе: $∠ C A B = ∠ C A_{1} B_{1} \approx 63, 4^{\circ}$ , точки $A_{1}$ , $B_{1}$ лежат на полуокружности.
Сам: 1) по доказанному $∠ C A_{1} B_{1} = ∠ A = 6 5^{\circ}$ , аналогично $∠ C B_{1} A_{1} = ∠ B = 5 5^{\circ}$ (проверка: $∠ C = 6 0^{\circ}$ , $65 + 55 + 60 = 180$ ). 2) $A$ , $B$ , $A_{1}$ , $B_{1}$ на одной окружности (диаметр $A B$ ); углы $A A_{1} B_{1}$ и $A B B_{1}$ — вписанные, опираются на одну дугу $A B_{1}$ ⇒ равны.
Для сильных: из 1) следует $△ A_{1} B_{1} C \sim △ A BC$ (два угла) — связь с R02.

R05.3 → R05.4

Трапеция и окружность

Два факта, которые решают задачи о трапеции

Вписанная трапеция — равнобедренная

$∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$ (односторонние), $∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$ (вписан)

∠ A = ∠ D

⇒

A B = C D

Описанная трапеция

основания — параллельные касательные: между ними диаметр

h = 2 r

,

a + b = 2 c

2,5 мин · теория
Слева: $BC ∥ A D$ ⇒ $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$ (односторонние при секущей $A B$ ); вписан ⇒ $∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$ . Значит $∠ A = ∠ D$ — трапеция с равными углами при основании равнобедренная. Следствие для задач: у вписанной трапеции боковые стороны равны и диагонали равны.
Справа: расстояние между параллельными касательными равно диаметру ⇒ высота $h = 2 r$ . Для описанной: $a + b = c + d$ (суммы противоположных сторон); для равнобедренной описанной $c = d = \frac{a + b}{2}$ . Чертёж: основания $4$ и $9$ , боковая $6, 5$ , $h = 6$ , $r = 3$ — проверка: $(6, 5)^{2} = 6^{2} + 2, 5^{2}$ .
Вопрос классу: «Может ли трапеция быть и вписанной, и описанной?» (да: равнобедренная с $a + b = 2 c$ ; задание 3 повышенного уровня).

R05.4 · тип 3

Образец → сам · описанная трапеция

Суммы сторон + теорема Пифагора

Образец: прямоугольная трапеция описана, $BC = 6$ , $A D = 12$ . Найдите $C D$ и $r$ .

$A B + C D = 6 + 12 = 18$ описанный четырёхугольник
$A B = h$ , $C D = 18 - h$ , $HD = 12 - 6 = 6$
$(18 - h)^{2} = h^{2} + 6^{2}$ ⇒ $h = 8$ △CHD, теорема Пифагора
$C D = 10$ , $r = \frac{h}{2} = 4$ диаметр окружности равен высоте

Сам: трапеция описана

Прямоугольная, основания $3$ и $6$ . Найдите $r$ . $2$
Равнобедренная, основания $2$ и $8$ . Найдите боковую сторону и $r$ .
$5$ и $2$
Прямоугольная, $r = 3$ , большая боковая сторона $10$ . Найдите периметр. $32$

R05.4 · тип 4

Образец → сам · трапеция с диаметром

Диаметр «дарит» прямой угол

Образец: трапеция $A BC D$ вписана, $A D = 10$ — диаметр, $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $P$ .

$∠ A B D = 9 0^{\circ}$ вписанный угол опирается на диаметр
$∠ A D B = 3 0^{\circ}$ ⇒ $A B = \frac{1}{2} A D = 5$ катет против угла $3 0^{\circ}$
$C D = A B = 5$ вписанная трапеция — равнобедренная
$∠ CB D = ∠ B D C = 3 0^{\circ}$ ⇒ $BC = C D = 5$ накрест лежащие; $∠ D = 6 0^{\circ}$

P = 5 + 5 + 5 + 10 = 25

Сам: трапеция вписана, $A D$ — диаметр

$A D = 14$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $P$ . $35$
$A D = 10$ , $BC = 6$ . Найдите высоту трапеции. $4$
$∠ C A D = 3 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A BC$ . $12 5^{\circ}$

2,5 мин · практика
Образец (1 мин). Вопрос: «Какой угол "подарил" диаметр?» ( $∠ A B D = 9 0^{\circ}$ ). Почему $∠ B D C = 3 0^{\circ}$ : трапеция равнобедренная ⇒ $∠ D = ∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ B D C = 6 0^{\circ} - 3 0^{\circ}$ ; $∠ CB D = ∠ A D B$ — накрест лежащие при $BC ∥ A D$ . Второй способ: $OB = OC = 5$ , треугольники $A OB$ , $BOC$ , $CO D$ — равносторонние.
Сам: 1) $A B = BC = C D = 7$ , $P = 35$ . 2) $O$ — центр, $OB = 5$ , половина $BC$ равна $3$ , высота $= \sqrt{25 - 9} = $ 4. 3) $∠ A C D = 9 0^{\circ}$ (на диаметр) ⇒ $∠ D = 5 5^{\circ}$ ; $∠ A = ∠ D = 5 5^{\circ}$ (равнобедренная) ⇒ $\angle ABC = 180 - 55 = $ 125°.
Ошибка в 3: считать $∠ A = 3 5^{\circ}$ — это только часть угла $B A D$ .

R05.4

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Не те углы

$A BC D$ вписан

✗ $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$

$A$ и $B$ — соседние, а не противоположные

✓ $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$

Угол равен дуге

вписанный угол опирается на дугу $8 0^{\circ}$

✗ угол $= 8 0^{\circ}$

так только у центрального угла

✓ угол $= \frac{1}{2} \cdot 8 0^{\circ} = 4 0^{\circ}$

Радиус — не высота

трапеция описана, $h = 8$

✗ $r = 8$

высота — это диаметр

✓ $r = \frac{h}{2} = 4$

R05.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A BC D$ вписан, дуги $A B : BC : C D : D A = 1 : 2 : 3 : 4$ . Найти $∠ B$ .

Дуги $3 6^{\circ}, 7 2^{\circ}, 10 8^{\circ}, 14 4^{\circ}$ ; $∠ B = \frac{1}{2} (3 6^{\circ} + 7 2^{\circ}) = 5 4^{\circ}$

$∠ B$ опирается на дугу $C D A$

$∠ B = \frac{1}{2} (10 8^{\circ} + 14 4^{\circ}) = 12 6^{\circ}$

б) Высоты $A A_{1}$ , $B B_{1}$ пересекаются в $H$ , $∠ C = 5 0^{\circ}$ . Найти $∠ A H B$ .

$C A_{1} H B_{1}$ вписан, значит $∠ A H B = ∠ C = 5 0^{\circ}$

у вписанного противоположные углы в сумме $18 0^{\circ}$

$∠ A H B = 18 0^{\circ} - 5 0^{\circ}$ $= 13 0^{\circ}$

в) $A BC D$ описан, $A B = 6$ , $BC = 8$ , $C D = 10$ . Найти $P$ .

$A D = A B + BC - C D = 4$ , $P = 28$

$A D = A B + C D - BC = 8$

$P = 2 (A B + C D) = 32$

1,5 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 40 секунд в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Взяли дуги, прилегающие к $B$ (так получился $∠ D = 5 4^{\circ}$ ). Вписанный угол $B$ опирается на дугу $C D A$ , не содержащую $B$ : $\frac{1}{2} (108 + 144) = 12 6^{\circ}$ . Проверка: $∠ B + ∠ D = 126 + 54 = 180$ .
б) Противоположные углы вписанного четырёхугольника не равны, а дают $18 0^{\circ}$ : $∠ A_{1} H B_{1} = 13 0^{\circ}$ , $∠ A H B$ — вертикальный, $13 0^{\circ}$ .
в) Сложили соседние стороны. Верно: $A B + C D = BC + A D$ ⇒ $A D = 6 + 10 - 8 = 8$ , $P = 6 + 8 + 10 + 8 = 32$ .

R05.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

$A BC D$ вписан, $∠ B = 6 4^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $11 6^{\circ}$
$A BC D$ вписан, дуги $A B : BC : C D : D A = 2 : 4 : 5 : 7$ . Найдите $∠ B$ и $∠ D$ . $12 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$
Высоты $A A_{1}$ и $B B_{1}$ $△ A BC$ пересекаются в $H$ , $∠ A H B = 11 0^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $7 0^{\circ}$

Периметр описанного $A BC D$ равен $40$ , $A B = 8$ . Найдите $C D$ . $12$
Равнобедренная трапеция с основаниями $3$ и $12$ описана. Найдите боковую сторону. $7, 5$
Трапеция $A BC D$ вписана, $A D = 8$ — диаметр, $∠ B A D = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $4$

R05.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Прямоугольная трапеция с основаниями $10$ и $15$ описана около окружности. Найдите $C D$ и $r$ . $13$ и $6$
повыш. $A BC D$ вписан, $A C$ — диаметр, $∠ B A C = 2 5^{\circ}$ , $∠ C A D = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A BC$ и $∠ BC D$ . $9 0^{\circ}$ и $11 5^{\circ}$
повыш.Трапеция и вписана, и описана. Докажите: боковая сторона равна средней линии.
вписана ⇒ $c = d$ ; описана ⇒ $a + b = 2 c$ ⇒ $c = \frac{a + b}{2}$
из жизниУглы участка-четырёхугольника по порядку: $8 0^{\circ}$ , $9 5^{\circ}$ , $10 0^{\circ}$ , $8 5^{\circ}$ . Можно ли проложить круговую дорожку через все его углы? да

2 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задание 3 при нехватке времени — в ДЗ.
1) $A B + C D = 25$ , $(25 - h)^{2} = h^{2} + 5^{2}$ ⇒ $625 - 50 h = 25$ ⇒ $h = 12$ , $C D = 13$ , $r = 6$ . Проверка: $1 2^{2} + 5^{2} = 1 3^{2}$ .
2) $∠ A BC = 9 0^{\circ}$ (на диаметр), $∠ B A D = 25 + 40 = 6 5^{\circ}$ , $∠ BC D = 180 - 65 = 11 5^{\circ}$ .
3) Вписанная трапеция равнобедренная: $c = d$ . Описанная: $a + b = c + d = 2 c$ ⇒ $c = \frac{a + b}{2}$ — это длина средней линии.
4) Противоположные углы: $80 + 100 = 180$ (и $95 + 85 = 180$ ) — по признаку вписанного четырёхугольника через все вершины проходит окружность. Ошибка — складывать соседние углы $80 + 95$ .

R05.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 16

Ответ — одно число

1. Четырёхугольник $A BC D$ вписан в окружность. Угол $A BC$ равен $10 4^{\circ}$ , угол $C A D$ равен $6 6^{\circ}$ . Найдите угол $A B D$ . Ответ дайте в градусах. $38$

Ещё два из того же банка

$A BC D$ вписан, $∠ A B D = 6 1^{\circ}$ , $∠ C A D = 3 7^{\circ}$ . Найдите $∠ A BC$ . $98$
$A BC D$ описан около окружности, $A B = 7$ , $BC = 9$ , $C D = 15$ . Найдите $A D$ . $13$

В бланк — только число: 38, без «°».

R05.4

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A BC D$ вписан, $∠ A = 5 8^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $12 2^{\circ}$
$A BC D$ вписан, дуги $A B : BC : C D : D A = 1 : 2 : 4 : 5$ . Найдите $∠ B$ . $13 5^{\circ}$
$A BC D$ описан, $A B = 6$ , $BC = 7$ , $C D = 9$ . Найдите $A D$ . $8$
Прямоугольная трапеция с основаниями $4$ и $12$ описана. Найдите $r$ . $3$

Вариант 2

$A BC D$ вписан, $∠ B = 10 3^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $7 7^{\circ}$
$A BC D$ вписан, дуги $A B : BC : C D : D A = 2 : 3 : 3 : 4$ . Найдите $∠ B$ . $10 5^{\circ}$
$A BC D$ описан, $A B = 11$ , $BC = 8$ , $A D = 10$ . Найдите $C D$ . $7$
Прямоугольная трапеция с основаниями $8$ и $24$ описана. Найдите $r$ . $6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Что запомнить и что сделать дома

Подсказки чертежа

вершины на окружности ⇒ $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$
два прямых угла на отрезке ⇒ окружность
диаметр ⇒ прямой вписанный угол
описанный: $A B + C D = BC + A D$ , у трапеции $h = 2 r$

Ответьте одной фразой

Когда четыре точки лежат на одной окружности?
Какие стороны описанного четырёхугольника складывают?
Почему вписанная трапеция равнобедренная?

Дома

$A BC D$ вписан, дуги $3 : 4 : 5 : 6$ . Найдите углы $A BC D$ .
Равнобедренная трапеция с основаниями $4$ и $16$ описана. Найдите боковую сторону и $r$ .
Тренажёр:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_vpisannaya_i_opisannaya_okruzhnosti.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-061 · Практикум: применение этих свойств при решении геометрических задач

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей», 13 ч · урок 10/13 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R05.4 «Применение этих свойств при решении геометрических задач» → 2, 6–20 (план решения → 6; приём «два прямых угла» → 8; образцы: дуги → 7, высоты → 9, доказательство → 10, описанная трапеция → 12, трапеция с диаметром → 13; ошибки → 14–15; задания → 16–17; ОГЭ → 18; самостоятельная → 19; ДЗ → 20) · повторение R05.1, R05.3 → 3–5, 11
Результаты	ПР-8 = REQ-6.8 → 2, 3, 7–10, 13, 16–19 · ПР-9 = REQ-6.9 → 2, 4, 11, 12, 14–19 · ПР-1 = REQ-6.1 → 5, 11, 13 · ПР-5 = REQ-6.5 → 12, 17, 19 · EL-6.12, EL-6.13 → 3–20 · вид деятельности «Использовать эти свойства и признаки при решении задач» → 7–19
ОГЭ	линия 16 (окружность) → 18; линия 24 (доказательство) — подготовка → 10, 17
Вне урока	вывод свойств и признаков вписанного и описанного четырёхугольников — GEOM8-054, GEOM8-060; базовые задачи — GEOM8-055; две окружности и общие касательные — GEOM8-062 (R05.5); касание окружностей — GEOM8-063 (R05.6)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Вписанные и описанные четырёхугольники в задачах

Сегодня вы научитесь

Находить углы по дугам

Замечать вписанный

Решать задачи об описанном

Соединять с трапецией и Пифагором

Углы, дуги, отрезки — в уме

Вписанный и описанный четырёхугольники

Вписанный в окружность

Описанный около окружности

Можно ли вписать в окружность? Описать около окружности?

Видишь окружность и четырёхугольник — действуй так

1Чертёж

2Вершины на окружности

2Окружность касается сторон

3Вычислить

Части → дуги → вписанные углы

Образец: ABCD вписан, ∪AB:∪BC:∪CD:∪DA=2:3:4:3. Найдите углы.

Сам: ABCD вписан

Два прямых угла на отрезке AB — одна окружность

Высоты треугольника дают вписанный четырёхугольник

Образец: высоты AA1​ и BB1​ △ABC пересекаются в H, ∠C=50∘. Найдите ∠AHB.

Сам: та же конструкция

Окружность помогает доказывать равенство углов

Образец: AA1​, BB1​ — высоты остроугольного △ABC. Докажите: ∠CA1​B1​=∠CAB.

Сам: те же высоты

Два факта, которые решают задачи о трапеции

Вписанная трапеция — равнобедренная

Описанная трапеция

Суммы сторон + теорема Пифагора

Образец: прямоугольная трапеция описана, BC=6, AD=12. Найдите CD и r.

Сам: трапеция описана

Диаметр «дарит» прямой угол

Образец: трапеция ABCD вписана, AD=10 — диаметр, ∠A=60∘. Найдите P.

Сам: трапеция вписана, AD — диаметр

Так нельзя

Не те углы

Угол равен дуге

Радиус — не высота

Где ошибся ученик?

а) ABCD вписан, дуги AB:BC:CD:DA=1:2:3:4. Найти ∠B.

б) Высоты AA1​, BB1​ пересекаются в H, ∠C=50∘. Найти ∠AHB.

в) ABCD описан, AB=6, BC=8, CD=10. Найти P.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Ещё два из того же банка

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Что запомнить и что сделать дома

Подсказки чертежа

Ответьте одной фразой

Дома

GEOM8-061 · Практикум: применение этих свойств при решении геометрических задач

Образец: $A BC D$ вписан, $\cup A B : \cup BC : \cup C D : \cup D A = 2 : 3 : 4 : 3$ . Найдите углы.

Сам: $A BC D$ вписан

Два прямых угла на отрезке $A B$ — одна окружность

Образец: высоты $A A_{1}$ и $B B_{1}$ $△ A BC$ пересекаются в $H$ , $∠ C = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A H B$ .

Образец: $A A_{1}$ , $B B_{1}$ — высоты остроугольного $△ A BC$ . Докажите: $∠ C A_{1} B_{1} = ∠ C A B$ .

Образец: прямоугольная трапеция описана, $BC = 6$ , $A D = 12$ . Найдите $C D$ и $r$ .

Образец: трапеция $A BC D$ вписана, $A D = 10$ — диаметр, $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $P$ .

Сам: трапеция вписана, $A D$ — диаметр

а) $A BC D$ вписан, дуги $A B : BC : C D : D A = 1 : 2 : 3 : 4$ . Найти $∠ B$ .

б) Высоты $A A_{1}$ , $B B_{1}$ пересекаются в $H$ , $∠ C = 5 0^{\circ}$ . Найти $∠ A H B$ .

в) $A BC D$ описан, $A B = 6$ , $BC = 8$ , $C D = 10$ . Найти $P$ .