Окружность · урок 9 из 13 · практикум

Вписанные и описанные четырёхугольники: признаки и свойства

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM8-060

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R05 «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники…» (13 ч), урок 9/13, единица R05.3 «Вписанные и описанные четырехугольники, их признаки и свойства». Тип П (практикум).
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 5 сводка «вписанный» 2,5 · 6 сводка «описанный» 2,5 · 7 почему это верно 2,5 · 8 карта типов 1,5 · 20 итог (сводка правил) 1. Теория урока — только сводка того, что доказано в GEOM8-054.
Практика (33): 3 разминка 3 · 4 верно/неверно 2 · 9 образец тип 1 — 3 · 10 тип 2 — 2 · 11 тип 3 — 2 · 12 тип 4 — 3 · 13 доказательство — 3 · 14 ошибки 1,5 · 15 найди ошибку 2 · 16 база 3 · 17 повышенный 2,5 · 18 ОГЭ 2 · 19 самостоятельная 4.
На титуле — прямоугольный дельтоид: около него можно описать окружность (∠B + ∠D = 90° + 90°) и в него можно вписать окружность (AB + CD = AD + BC). Вопрос классу в конце урока: почему?
Опора: GEOM8-054 (свойства и признаки — теория), GEOM8-055 (первые задачи). Следующий практикум GEOM8-061 — комбинированные задачи.
Если не успеваете: задания 3–4 повышенного уровня (сл. 17) — в ДЗ; сводку (сл. 5–8) не выбрасывать.

R05.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Проверять признаки

по углам и сторонам решать: можно ли описать или вписать окружность (ПР-8, ПР-9)

Внешний угол

у вписанного четырёхугольника он равен противоположному внутреннему (ПР-8, REQ-6.8)

Отрезки касательных

находить стороны и периметр описанного четырёхугольника (ПР-9, REQ-6.9)

Описанная трапеция

$h = 2 r$ , сумма оснований = сумме боковых; ОГЭ, линия 16 (ПР-9, ПР-7)

1 мин · теория
ПР-8 = REQ-6.8: «Владеть понятиями вписанного и центрального угла, использовать теоремы о вписанных углах… при решении геометрических задач». ПР-9 = REQ-6.9: «Владеть понятием описанного четырехугольника, применять свойства описанного четырехугольника при решении задач».
ПР-7 = REQ-6.7 (площадь трапеции) — только как инструмент в типе 4. EL-6.13 «Вписанные и описанные четырехугольники». Вид деятельности ФРП: «Исследовать… вписанные и описанные четырехугольники, выводить их свойства и признаки. Использовать эти свойства и признаки при решении задач».

повторение: R05.1, R05.3, R01

Разминка · устно

Углы, касательные, трапеция — в уме

Сумма углов четырёхугольника $36 0^{\circ}$
Вписанный угол опирается на дугу $14 0^{\circ}$ $7 0^{\circ}$
Угол, смежный с углом $10 5^{\circ}$ $7 5^{\circ}$
$A BC D$ вписан, $∠ A = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ $11 0^{\circ}$

Из точки $A$ — две касательные, $A K = 6$ . Найдите $A M$ $6$
$A BC D$ описан, $A B = 5$ , $C D = 7$ , $BC = 4$ . Найдите $A D$ $8$
Расстояние между параллельными касательными, $r = 5$ $10$
Средняя линия трапеции с основаниями $4$ и $10$ $7$

повторение: R05.3

Разминка · верно или неверно (формат ОГЭ, линия 19)

Верно или неверно?

Около любого прямоугольника можно описать окружность

✓ верно $∠ A + ∠ C = 9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$

В любой ромб можно вписать окружность

✓ верносуммы противоположных сторон: $a + a = a + a$

Около любого ромба можно описать окружность

✗ неверно $∠ A + ∠ C = 2∠ A \neq = 18 0^{\circ}$ , если не квадрат

Если в трапецию вписана окружность, то она равнобедренная

✗ невернопрямоугольная: $4 + 12 = 6 + 10$

2 мин · практика
Устно, «светофор» или руки: верно / неверно. Открываем ответ после голосования.
1) Верно: у прямоугольника противоположные углы по 90°. 2) Верно: у ромба все стороны равны, условие $A B + C D = BC + A D$ выполнено. 3) Неверно: у ромба противоположные углы равны, $2∠ A = 18 0^{\circ}$ только у квадрата; на рисунке окружность через три вершины проходит мимо четвёртой (красная точка). 4) Неверно: контрпример — прямоугольная трапеция с основаниями 4 и 12, боковыми 6 и 10 (рисунок в масштабе, $4 + 12 = 6 + 10$ ). Верно было бы: «если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная».
Типичная путаница: «вписана» ↔ «описана». Проговорить: вписанный — вершины на окружности; описанный — стороны касаются.

R05.3 · сводка

Сводка · вписанный четырёхугольник

Вершины лежат на окружности

Свойство и признак

Четырёхугольник вписан ⇔ $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ (и $∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$ )

Следствия

внешний угол равен противоположному внутреннему
вписанный параллелограмм — прямоугольник
вписанная трапеция — равнобедренная

2,5 мин · теория
Чертёж точный: вершины на окружности под углами $20 5^{\circ}$ , $11 8^{\circ}$ , $3 2^{\circ}$ , $29 2^{\circ}$ от центра; $∠ A = 9 3^{\circ}$ , $∠ C = 8 7^{\circ}$ . Синий угол $A$ опирается на синюю дугу $BC D$ , розовый угол $C$ — на розовую дугу $B A D$ .
Признак работает «в обе стороны»: если сумма противоположных углов $18 0^{\circ}$ , окружность описать можно; если нет — нельзя.
Вопрос: достаточно ли проверить одну пару противоположных углов? (Да: вторая пара даёт $36 0^{\circ} - 18 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ .)
Следствия показываем по клику; каждое докажем в образцах (сл. 10 и 13).

R05.3 · сводка

Сводка · описанный четырёхугольник

Стороны касаются окружности

Свойство и признак (выпуклый)

Окружность вписана ⇔ $A B + C D = BC + A D$

Следствия

сторона = сумма двух отрезков касательных; $P = 2 (a + b + c + d)$
описанная трапеция: $h = 2 r$ , сумма оснований = сумме боковых
описанный параллелограмм — ромб

R05.3 · повторение GEOM8-054

Почему это верно · доказательство свойств

Два коротких доказательства

Вписанный: $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$

$∠ A = \frac{1}{2} BC D ⌣$ , $∠ C = \frac{1}{2} B A D ⌣$ теорема о вписанном угле
$BC D ⌣ + B A D ⌣ = 36 0^{\circ}$ две дуги составляют всю окружность
$∠ A + ∠ C = \frac{1}{2} \cdot 36 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$

Описанный: $A B + C D = BC + A D$

Из каждой вершины — два равных отрезка: $a$ , $b$ , $c$ , $d$ отрезки касательных из одной точки равны
$A B + C D = (a + b) + (c + d)$ , $BC + A D = (b + c) + (d + a)$
Суммы равны: обе равны $a + b + c + d$

R05.3

Карта практикума · 4 типа задач

Видишь фигуру — выбирай свойство

Вписанный

вершины на окружности

тип 1

∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}

тип 2внешний угол

=

противоположному внутреннему

ОГЭвписанная трапеция — равнобедренная

Описанный

стороны касаются окружности

тип 1

A B + C D = BC + A D

тип 3отрезки касательных из вершины равны

тип 4трапеция:

h = 2 r

,

a + b = c + d

R05.3 · тип 1

Образец → сам · тип 1: можно ли описать (вписать) окружность?

Проверяем признак

Образец: углы $A$ , $B$ , $C$ , $D$ относятся как $2 : 3 : 4 : 3$ . Можно ли описать окружность?

$2 x + 3 x + 4 x + 3 x = 36 0^{\circ}$ , $x = 3 0^{\circ}$ сумма углов четырёхугольника
$∠ A + ∠ C = 6 0^{\circ} + 12 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ признак вписанного четырёхугольника
Можно. Короче: $2 + 4 = 3 + 3$ — доли противоположных углов равны

Сам: можно ли?

Углы по порядку $2 : 5 : 4 : 3$ — описать окружность?
нельзя: $2 + 4 \neq = 5 + 3$
Стороны по порядку $4$ , $7$ , $9$ , $6$ — вписать окружность?
можно: $4 + 9 = 7 + 6$
$∠ A = 8 0^{\circ}$ , $∠ B = 7 0^{\circ}$ , $∠ C = 10 0^{\circ}$ — описать? Найдите $∠ D$ .
можно, $∠ D = 11 0^{\circ}$

R05.3 · тип 2

Образец → сам · тип 2: внешний угол вписанного четырёхугольника

Внешний угол = противоположный внутренний

Образец: $A BC D$ вписан, $∠ D CE = 7 5^{\circ}$ — внешний. Найдите $∠ A$

$∠ BC D = 18 0^{\circ} - 7 5^{\circ} = 10 5^{\circ}$ смежные углы
$∠ A = 18 0^{\circ} - 10 5^{\circ} = 7 5^{\circ}$ , т. е. $∠ D CE = ∠ A$ противоположные углы вписанного четырёхугольника

Сам: $A BC D$ вписан в окружность

Внешний угол при вершине $B$ равен $8 8^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $8 8^{\circ}$
$∠ B A D = 6 5^{\circ}$ . Найдите внешний угол при вершине $C$ . $6 5^{\circ}$
Внешний угол при $D$ равен $10 0^{\circ}$ , $∠ A = 8 5^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ и $∠ C$ .
$∠ B = 10 0^{\circ}$ , $∠ C = 9 5^{\circ}$

2 мин · практика
Образец: $∠ D CE = 18 0^{\circ} - ∠ BC D$ и $∠ A = 18 0^{\circ} - ∠ BC D$ ⇒ внешний угол вписанного четырёхугольника равен внутреннему противоположному. На чертеже одинаковые дуги (жёлтые) — равные углы. Чертёж точный: дуги $A B = 10 0^{\circ}$ , $BC = 7 0^{\circ}$ , $C D = 8 0^{\circ}$ , $D A = 11 0^{\circ}$ .
Сам: 1) внутренний $∠ B = 9 2^{\circ}$ , $\angle D = 180^\circ - 92^\circ = $ $8 8^{\circ}$ . 2) внешний угол при $C$ равен противоположному внутреннему $∠ A$ : $6 5^{\circ}$ . 3) $∠ B$ = внешнему при $D$ = $10 0^{\circ}$ ; $\angle C = 180^\circ - 85^\circ = $ $9 5^{\circ}$ (проверка: $∠ D = 8 0^{\circ}$ , сумма $85 + 100 + 95 + 80 = 360$ ).
Ошибка: ответ $10 5^{\circ}$ в образце — нашли внутренний угол $C$ , а не $∠ A$ .

R05.3 · тип 3

Образец → сам · тип 3: отрезки касательных

Сторона = сумма двух отрезков касательных

Образец: $A BC D$ описан, отрезки касательных из $A$ , $B$ , $C$ , $D$ равны $2$ , $3$ , $4$ , $5$ . Найдите стороны и $P$

$A B = 2 + 3 = 5$ , $BC = 3 + 4 = 7$ отрезки касательных из одной точки равны
$C D = 4 + 5 = 9$ , $D A = 5 + 2 = 7$
Проверка: $5 + 9 = 7 + 7$ ; $P = 2 \cdot 14 = 28$

Сам: $A BC D$ описан около окружности

$K$ — точка касания на $A B$ , $A K = 3$ , $A B = 8$ , $BC = 11$ . Найдите $B K$ и $C L$ , где $L$ — точка касания на $BC$ . $5$ и $6$
Отрезки касательных $1$ , $2$ , $3$ , $4$ . Найдите $P$ . $20$
$A B = 7$ , $BC = 9$ , $C D = 12$ . Найдите $A D$ . $10$

R05.3 · тип 4

Образец → сам · тип 4: трапеция, описанная около окружности

$h = 2 r$ и сумма оснований = сумме боковых

Образец: прямоугольная трапеция описана, $r = 3$ , $C D = 10$ . Найдите $P$ и $S$

$A B = h = 2 r = 6$ окружность касается обоих оснований: между ними диаметр
$A D + BC$ $= A B + C D = 16$ , $P = 32$ свойство описанного четырёхугольника
$S = \frac{A D + BC}{2} \cdot h = 8 \cdot 6 = 48$

Сам: трапеция описана около окружности

Равнобедренная, $r = 2$ , боковая сторона $5$ . Найдите $S$ . $20$
Боковые стороны $7$ и $9$ . Найдите $P$ . $32$
Средняя линия $6$ , $r = 2, 5$ . Найдите $S$ . $30$

R05.3 · следствия

Образец → сам · доказательство

Какой параллелограмм можно вписать в окружность?

Образец: параллелограмм $A BC D$ вписан в окружность. Докажите, что $A BC D$ — прямоугольник

$∠ A = ∠ C$ противоположные углы параллелограмма
$∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ свойство вписанного четырёхугольника
$∠ A = 9 0^{\circ}$ ⇒ параллелограмм с прямым углом — прямоугольник

Сам: докажите (план + обоснования)

В параллелограмм вписана окружность ⇒ это ромб.
$A B + C D = BC + A D$ , $2 A B = 2 BC$
Вписанная трапеция $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ) — равнобедренная.
$∠ A = 18 0^{\circ} - ∠ C = ∠ D$
Около ромба описана окружность ⇒ это квадрат.
ромб + прямой угол

3 мин · практика
Образец (1 мин): одинаковые жёлтые дуги — равные углы $A$ и $C$ ; прямые углы появляются последним шагом. Чертёж точный: прямоугольник, вписанный в окружность (вершины под углами $21 0^{\circ}$ , $15 0^{\circ}$ , $3 0^{\circ}$ , $33 0^{\circ}$ от центра).
Сам (2 мин, запись в тетради): 1) у параллелограмма $A B = C D$ , $BC = A D$ ; по свойству описанного $A B + C D = BC + A D$ ⇒ $2 A B = 2 BC$ ⇒ все стороны равны — ромб. 2) $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ (вписанный), $∠ D + ∠ C = 18 0^{\circ}$ (односторонние при $A D ∥ BC$ и секущей $C D$ ) ⇒ $∠ A = ∠ D$ — трапеция с равными углами при основании равнобедренная. 3) ромб — параллелограмм, по образцу он прямоугольник; ромб с прямым углом — квадрат.
Требование: каждый шаг с обоснованием, а не «на рисунке видно».

R05.3

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Внешний угол

вписанный $A BC D$ , внешний угол при $C$ равен $7 0^{\circ}$

✗ $∠ A = 11 0^{\circ}$

$11 0^{\circ}$ — это внутренний $∠ C$

✓ $∠ A = 7 0^{\circ}$

Высота

трапеция описана около окружности радиуса $5$

✗ $h = 5$

между основаниями — диаметр

✓ $h = 2 r = 10$

Признак ↔ свойство

трапеция описана около окружности

✗ значит, она равнобедренная

равнобедренность — следствие для вписанной трапеции

✓ $a + b = c + d$ , а боковые могут быть разными

R05.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Описанный $A BC D$ : $A B = 6$ , $BC = 9$ , $C D = 10$ . Найти $A D$ .

$A B + BC = C D + A D$ , $6 + 9 = 10 + A D$ , $A D = 5$

Складывать противоположные: $A B + C D = BC + A D$

$16 = 9 + A D$ , $A D = 7$

б) Вписанный $A BC D$ : $∠ A = 7 0^{\circ}$ , $∠ B = 9 5^{\circ}$ . Найти $∠ C$ , $∠ D$ .

$∠ C = 18 0^{\circ} - 9 5^{\circ} = 8 5^{\circ}$ , $∠ D = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}$

$∠ C$ противоположен $∠ A$ , а не $∠ B$

$∠ C = 11 0^{\circ}$ , $∠ D = 8 5^{\circ}$

в) Трапеция описана, $r = 4$ , боковые $9$ и $11$ . Найти $S$ .

$h = 4$ , $a + b = 20$ , $S = 10 \cdot 4 = 40$

$h = 2 r = 8$

$S = 10 \cdot 8 = 80$

R05.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Вписанный $A BC D$ : $∠ A = 7 5^{\circ}$ , $∠ B = 11 0^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $7 0^{\circ}$
Описанный $A BC D$ : $A B = 10$ , $BC = 13$ , $C D = 15$ . Найдите $A D$ . $12$
Углы по порядку $10 0^{\circ}$ , $7 0^{\circ}$ , $8 0^{\circ}$ , $11 0^{\circ}$ . Можно описать окружность? да

Описанный: отрезки касательных $2$ , $3$ , $5$ , $6$ . Найдите $P$ . $32$
Трапеция описана, основания $3$ и $12$ . Найдите $P$ . $30$
Вписанный $A BC D$ : внешний угол при $B$ равен $7 6^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $7 6^{\circ}$

R05.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Вписанный $A BC D$ : $∠ A : ∠ C = 2 : 7$ . Найдите $∠ A$ и $∠ C$ . $4 0^{\circ}$ и $14 0^{\circ}$
повыш.Прямоугольная трапеция с основаниями $6$ и $12$ описана около окружности. Найдите радиус. $4$
повыш.Равнобедренная трапеция с основаниями $2$ и $18$ описана около окружности. Найдите $r$ . $3$
из жизниКусок фанеры — выпуклый четырёхугольник со сторонами по порядку $50$ , $70$ , $80$ , $60$ см. Можно ли вырезать круг, касающийся всех четырёх сторон? можно

R05.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 16

Ответ — одно число

1. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен $22$ , средняя линия равна $5$ . Найдите боковую сторону трапеции. $6$

Ещё два задания линии 16

Четырёхугольник $A BC D$ вписан в окружность, $∠ A BC = 10 5^{\circ}$ , $∠ C A D = 3 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A B D$ . $70$
Трапеция описана около окружности, её периметр $40$ . Найдите среднюю линию. $10$

В бланк — только число, без градусов и букв.

R05.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Углы по порядку $3 : 4 : 6 : 5$ . Можно описать окружность? Найдите углы. да; $6 0^{\circ}, 8 0^{\circ}, 12 0^{\circ}, 10 0^{\circ}$
Вписанный $A BC D$ , внешний угол при $A$ равен $6 4^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $6 4^{\circ}$
Описанный: отрезки касательных $3$ , $4$ , $6$ , $2$ . Найдите $P$ . $30$
Описанная трапеция: боковые $6$ и $8$ , $h = 5$ . Найдите $S$ . $35$

Вариант 2

Углы по порядку $2 : 3 : 7 : 6$ . Можно описать окружность? Найдите углы. да; $4 0^{\circ}, 6 0^{\circ}, 14 0^{\circ}, 12 0^{\circ}$
Вписанный $A BC D$ , внешний угол при $D$ равен $7 2^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ . $7 2^{\circ}$
Описанный: отрезки касательных $5$ , $1$ , $4$ , $2$ . Найдите $P$ . $24$
Описанная трапеция: боковые $7$ и $9$ , $h = 6$ . Найдите $S$ . $48$

4 мин · практика
3,5 мин на решение, затем обмен тетрадями и проверка по ответам (по клику). Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3».
Вариант 1: 1) $3 + 6 = 9 = 4 + 5$ — можно; $18$ частей, часть $2 0^{\circ}$ : $6 0^{\circ}$ , $8 0^{\circ}$ , $12 0^{\circ}$ , $10 0^{\circ}$ . 2) внутренний $∠ A = 11 6^{\circ}$ , $∠ C = 6 4^{\circ}$ . 3) $P = 2 \cdot 15 = 30$ . 4) сумма оснований $= 6 + 8 = 14$ , $S = 7 \cdot 5 = 35$ .
Вариант 2: 1) $2 + 7 = 9 = 3 + 6$ — можно; часть $2 0^{\circ}$ : $4 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ , $14 0^{\circ}$ , $12 0^{\circ}$ . 2) внутренний $∠ D = 10 8^{\circ}$ , $∠ B = 7 2^{\circ}$ . 3) $P = 2 \cdot 12 = 24$ . 4) сумма оснований $= 16$ , $S = 8 \cdot 6 = 48$ .
Трапеции в задачах 4 существуют: $h = 2 r$ меньше боковых, сумма проекций боковых ( $11 + 39 \approx 9, 6 < 14$ ; $13 + 45 \approx 10, 3 < 16$ ) меньше суммы оснований.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Что запомнить и что сделать дома

Правила

вписанный: $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$
внешний угол = противоположному
описанный: $A B + C D = BC + A D$
описанная трапеция: $h = 2 r$

Ответьте одной фразой

Как по углам $2 : 3 : 4 : 3$ сразу понять, что окружность описать можно?
Почему у описанной трапеции $h = 2 r$ ?

Дома

Вписанный $A BC D$ : внешний угол при $B$ равен $10 4^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ и $∠ A BC$ .
Описанный $A BC D$ : отрезки касательных $1$ , $5$ , $3$ , $2$ . Найдите $P$ .
Тренажёр:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_vpisannaya_i_opisannaya_okruzhnosti.htm

1 мин · теория (итоговая сводка правил, рефлексия, ДЗ)
Ответы на вопросы: сумма долей противоположных углов одинакова ( $2 + 4 = 3 + 3$ ), значит, каждая сумма — половина от $36 0^{\circ}$ ; основания — параллельные касательные, расстояние между ними — диаметр.
Ответы ДЗ: $∠ D = 10 4^{\circ}$ , $∠ A BC = 7 6^{\circ}$ ; $P = 2(1 + 5 + 3 + 2) = $ 22.
Вопрос с титула: прямоугольный дельтоид вписан ( $9 0^{\circ} + 9 0^{\circ}$ ) и описан ( $A B + C D = A D + BC$ , так как $A B = A D$ , $CB = C D$ ).
Следующий урок — GEOM8-061: практикум «Применение этих свойств при решении геометрических задач».

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-060 · Практикум: Вписанные и описанные четырехугольники, их признаки и свойства

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей», 13 ч · урок 9/13 · тип П
Единицы → слайды	R05.3 «Вписанные и описанные четырехугольники, их признаки и свойства» → 2–20 (разминка → 3–4; сводка и доказательства свойств → 5–7; карта типов → 8; образцы: тип 1 → 9, тип 2 → 10, тип 3 → 11, тип 4 → 12, доказательство следствий → 13; ошибки → 14–15; самопроверка → 16–17; ОГЭ → 18; самостоятельная → 19; итог → 20)
Результаты	ПР-8 = REQ-6.8 (теоремы о вписанных углах, вписанный четырёхугольник) → 3–5, 7, 9, 10, 13, 15–19 · ПР-9 = REQ-6.9 (свойства описанного четырехугольника) → 3, 4, 6, 7, 11–19 · ПР-1 = REQ-6.1 (виды четырёхугольников) → 4, 13 · ПР-7 = REQ-6.7 (площадь трапеции) → 12, 15, 19 · EL-6.13 → 3–20 · вид деятельности «Использовать эти свойства и признаки при решении задач» → 9–19
ОГЭ	линия 16 (окружность) → 18 · линия 19 (верные утверждения, формат) → 4
Вне урока	доказательства признаков — GEOM8-054; первые задачи — GEOM8-055; комбинированные задачи — GEOM8-061; взаимное расположение окружностей — GEOM8-062
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Вписанные и описанные четырёхугольники: признаки и свойства

Сегодня вы научитесь

Проверять признаки

Внешний угол

Отрезки касательных

Описанная трапеция

Углы, касательные, трапеция — в уме

Верно или неверно?

Вершины лежат на окружности

Свойство и признак

Следствия

Стороны касаются окружности

Свойство и признак (выпуклый)

Следствия

Два коротких доказательства

Вписанный: ∠A+∠C=180∘

Описанный: AB+CD=BC+AD

Видишь фигуру — выбирай свойство

Вписанный

Описанный

Проверяем признак

Образец: углы A, B, C, D относятся как 2:3:4:3. Можно ли описать окружность?

Сам: можно ли?

Внешний угол = противоположный внутренний

Образец: ABCD вписан, ∠DCE=75∘ — внешний. Найдите ∠A

Сам: ABCD вписан в окружность

Сторона = сумма двух отрезков касательных

Образец: ABCD описан, отрезки касательных из A, B, C, D равны 2, 3, 4, 5. Найдите стороны и P

Сам: ABCD описан около окружности

h=2r и сумма оснований = сумме боковых

Образец: прямоугольная трапеция описана, r=3, CD=10. Найдите P и S

Сам: трапеция описана около окружности

Какой параллелограмм можно вписать в окружность?

Образец: параллелограмм ABCD вписан в окружность. Докажите, что ABCD — прямоугольник

Сам: докажите (план + обоснования)

Так нельзя

Внешний угол

Высота

Признак ↔ свойство

Где ошибся ученик?

а) Описанный ABCD: AB=6, BC=9, CD=10. Найти AD.

б) Вписанный ABCD: ∠A=70∘, ∠B=95∘. Найти ∠C, ∠D.

в) Трапеция описана, r=4, боковые 9 и 11. Найти S.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Ещё два задания линии 16

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Что запомнить и что сделать дома

Правила

Ответьте одной фразой

Дома

GEOM8-060 · Практикум: Вписанные и описанные четырехугольники, их признаки и свойства

Вписанный: $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$

Описанный: $A B + C D = BC + A D$

Образец: углы $A$ , $B$ , $C$ , $D$ относятся как $2 : 3 : 4 : 3$ . Можно ли описать окружность?

Образец: $A BC D$ вписан, $∠ D CE = 7 5^{\circ}$ — внешний. Найдите $∠ A$

Сам: $A BC D$ вписан в окружность

Образец: $A BC D$ описан, отрезки касательных из $A$ , $B$ , $C$ , $D$ равны $2$ , $3$ , $4$ , $5$ . Найдите стороны и $P$

Сам: $A BC D$ описан около окружности

$h = 2 r$ и сумма оснований = сумме боковых

Образец: прямоугольная трапеция описана, $r = 3$ , $C D = 10$ . Найдите $P$ и $S$

Образец: параллелограмм $A BC D$ вписан в окружность. Докажите, что $A BC D$ — прямоугольник

а) Описанный $A BC D$ : $A B = 6$ , $BC = 9$ , $C D = 10$ . Найти $A D$ .

б) Вписанный $A BC D$ : $∠ A = 7 0^{\circ}$ , $∠ B = 9 5^{\circ}$ . Найти $∠ C$ , $∠ D$ .

в) Трапеция описана, $r = 4$ , боковые $9$ и $11$ . Найти $S$ .