Углы в окружности · урок 8 из 13 · практикум

Практикум: углы между хордами и секущими

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM8-059

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R05 «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей» (13 ч), урок 8/13, единица R05.2 «Углы между хордами и секущими». Тип П (практикум).
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 сводка: хорды 3 · 5 сводка: секущие 3 · 6 схема решения 2 · 18 дополнительно (касательная и секущая, решает учитель) 2.
Практика (33): 3 разминка 3 · 7 образец «дуги в отношении» 3 · 8 «секущая через центр» 2,5 · 9 «две неизвестные дуги» 2,5 · 10 «через треугольник» 2,5 · 11 «правильный многоугольник» 2,5 · 12 ошибки 1,5 · 13 найди ошибку 2 · 14 база 3 · 15 повышенный 2,5 · 16 ОГЭ 2 · 17 самостоятельная 5 · 19 итог 1.
Опора — GEOM8-053 (теоремы об углах между хордами и секущими, прямые и обратные задачи). Сегодня — новые типы: дуги в отношении, секущая через центр, две неизвестные дуги, решение без дуг (через треугольник), правильные многоугольники.
Если не успеваете: слайд 18 «Дополнительно» — в ДЗ для сильных, задания 3–4 повышенного уровня — в ДЗ; сводку теорем (сл. 4–5) не пропускать.

R05.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать формулу

по положению вершины угла: внутри или вне круга (ПР-8, REQ-6.8)

Находить дуги

по отношению, через диаметр, из системы двух условий (ПР-8)

Решать без дуг

через вписанные углы и внешний угол треугольника (EL-6.12)

Решать задачи ОГЭ

линия 16 — окружность (ПР-8, REQ-6.8)

повторение: R05.1 · R05.2

Разминка · устно

Найдите отмеченный угол или дугу

в центре

8 0^{\circ}

на окружности

\frac{8 0 ^{\circ}}{2} = 4 0^{\circ}

дуга по углу

2 \cdot 3 5^{\circ} = 7 0^{\circ}

на диаметр

\frac{18 0 ^{\circ}}{2} = 9 0^{\circ}

внутри круга

\frac{8 0 ^{\circ} + 4 0 ^{\circ}}{2} = 6 0^{\circ}

вне круга

\frac{12 0 ^{\circ} - 4 0 ^{\circ}}{2} = 4 0^{\circ}

R05.2 · сводка

Сводка правил · угол между хордами

Вершина внутри круга — полусумма дуг

∠ A MC = \frac{α + β}{2}

$α = ⌣ A C$ , $β = ⌣ B D$ — дуги внутри угла и вертикального ему.

Проведём $A D$ : $∠ A MC = ∠ B A D + ∠ A D C$ внешний угол $△ A M D$ равен сумме двух углов, не смежных с ним
$∠ B A D = \frac{β}{2}$ , $∠ A D C = \frac{α}{2}$ вписанные углы равны половине дуг, на которые опираются
$∠ A MC = \frac{α + β}{2}$

R05.2 · сводка

Сводка правил · угол между секущими

Вершина вне круга — полуразность дуг

∠ P = \frac{β - α}{2}

$β = ⌣ B D$ — дальняя дуга, $α = ⌣ A C$ — ближняя.

Проведём $A D$ : $∠ B A D = ∠ P + ∠ A D C$ $∠ B A D$ — внешний угол $△ P A D$
$∠ B A D = \frac{β}{2}$ , $∠ A D C = \frac{α}{2}$ вписанные углы
$∠ P = \frac{β}{2} - \frac{α}{2} = \frac{β - α}{2}$

R05.2 · алгоритм

Схема решения

Сначала — где вершина, потом — формула

Дуги в отношении — найдите одну часть:

36 0^{\circ} : (сумма частей)

Угол известен — удвойте его:

2∠ = α + β

или

β - α

Дуг нет — вписанные углы + внешний угол треугольника

R05.2

Образец → сам · дуги в отношении

Дуги в отношении: сначала одна часть

Образец: $⌣ A C : ⌣ CB : ⌣ B D : ⌣ D A = 3 : 4 : 5 : 6$ . Найдите $∠ A MC$

$18 x = 36 0^{\circ}$ , $x = 2 0^{\circ}$ вся окружность — $36 0^{\circ}$
$⌣ A C = 6 0^{\circ}$ , $⌣ B D = 10 0^{\circ}$ дуги внутри $∠ A MC$ и вертикального ему
$∠ A MC = \frac{6 0 ^{\circ} + 10 0 ^{\circ}}{2} = 8 0^{\circ}$ вершина внутри круга

Сам: найдите угол

Отношение $2 : 3 : 4 : 3$ . Найдите $∠ A MC$ .
$9 0^{\circ}$
Отношение $4 : 5 : 2 : 7$ . Найдите $∠ A MC$ .
$6 0^{\circ}$
В образце найдите $∠ CMB$ .
$10 0^{\circ}$

3 мин · практика
Образец (1 мин, шаги по клику). Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $M$ ; точки идут по окружности в порядке $A$ , $C$ , $B$ , $D$ . Рисунок точный: дуги $6 0^{\circ}$ , $8 0^{\circ}$ , $10 0^{\circ}$ , $12 0^{\circ}$ .
Вопрос: какие дуги «видит» $∠ A MC$ ? ( $⌣ A C$ и $⌣ B D$ — розовая и оранжевая.)
Сам (2 мин, ответы по клику): 1) $12 x = 36 0^{\circ}$ , $x = 3 0^{\circ}$ ; $⌣ A C = 6 0^{\circ}$ , $⌣ B D = 12 0^{\circ}$ ; $∠ A MC = 9 0^{\circ}$ — хорды перпендикулярны. 2) $18 x = 36 0^{\circ}$ , $x = 2 0^{\circ}$ ; $⌣ A C = 8 0^{\circ}$ , $⌣ B D = 4 0^{\circ}$ ; $∠ A MC = 6 0^{\circ}$ . 3) $∠ CMB = (8 0^{\circ} + 12 0^{\circ}) : 2 = 10 0^{\circ}$ ; проверка: $8 0^{\circ} + 10 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ (смежные).
Ошибка: подставить в формулу «части» вместо градусов: $(3 + 5) : 2 = 4$ .

R05.2

Образец → сам · секущая через центр

Диаметр — это дуга $18 0^{\circ}$

Образец: $A B$ — диаметр, $⌣ A C = 3 0^{\circ}$ , $⌣ C D = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$

$⌣ A C D B = 18 0^{\circ}$ диаметр делит окружность пополам
$⌣ D B = 18 0^{\circ} - 8 0^{\circ} = 10 0^{\circ}$ $3 0^{\circ} + 5 0^{\circ} = 8 0^{\circ}$
$∠ P = \frac{10 0 ^{\circ} - 3 0 ^{\circ}}{2} = 3 5^{\circ}$ вершина вне круга: дальняя минус ближняя

Сам: та же конструкция

$⌣ A C = 2 0^{\circ}$ , $⌣ C D = 6 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ .
$4 0^{\circ}$
$⌣ A C = 3 6^{\circ}$ , $⌣ C D = 5 4^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ .
$2 7^{\circ}$
$∠ P = 2 5^{\circ}$ , $⌣ A C = 3 0^{\circ}$ . Найдите $⌣ C D$ .
$7 0^{\circ}$

2,5 мин · практика
Секущая $P A B$ проходит через центр $O$ , вторая секущая $PC D$ . Рисунок точный, $∠ P = 3 5^{\circ}$ можно проверить транспортиром.
Вопрос: какая дуга — дальняя? ( $⌣ B D$ , между дальними точками $B$ и $D$ ). Дуга $C D$ в формулу не входит — она нужна только для нахождения $⌣ B D$ .
Сам: 1) $⌣ D B = 18 0^{\circ} - 2 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 10 0^{\circ}$ , $∠ P = (10 0^{\circ} - 2 0^{\circ}) : 2 = 4 0^{\circ}$ . 2) $⌣ D B = 18 0^{\circ} - 3 6^{\circ} - 5 4^{\circ} = 9 0^{\circ}$ , $∠ P = (9 0^{\circ} - 3 6^{\circ}) : 2 = 2 7^{\circ}$ . 3) обратная: $⌣ D B = 2 \cdot 2 5^{\circ} + 3 0^{\circ} = 8 0^{\circ}$ , $⌣ C D = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 8 0^{\circ} = 7 0^{\circ}$ .
Ошибка: взять в формулу $⌣ C D$ вместо $⌣ B D$ : $(5 0^{\circ} - 3 0^{\circ}) : 2 = 1 0^{\circ}$ .

R05.2

Образец → сам · две неизвестные дуги

Угол известен — удвоим его и составим уравнение

Образец: $∠ A MC = 7 0^{\circ}$ , $⌣ A C$ на $4 0^{\circ}$ больше $⌣ B D$ . Найдите дуги

$⌣ A C + ⌣ B D = 2 \cdot 7 0^{\circ} = 14 0^{\circ}$ удвоили угол
$(x + 4 0^{\circ}) + x = 14 0^{\circ}$ , $x = 5 0^{\circ}$
$⌣ B D = 5 0^{\circ}$ , $⌣ A C = 9 0^{\circ}$ проверка: $(9 0^{\circ} + 5 0^{\circ}) : 2 = 7 0^{\circ}$

Сам: найдите дуги

Секущие: $∠ P = 2 5^{\circ}$ , $⌣ B D + ⌣ A C = 15 0^{\circ}$ .
$⌣ B D = 10 0^{\circ}$ , $⌣ A C = 5 0^{\circ}$
Хорды: $∠ A MC = 6 0^{\circ}$ , $⌣ A C : ⌣ B D = 1 : 2$ .
$4 0^{\circ}$ и $8 0^{\circ}$
Секущие: $∠ P = 3 0^{\circ}$ , $⌣ B D = 3 \cdot ⌣ A C$ .
$⌣ A C = 3 0^{\circ}$ , $⌣ B D = 9 0^{\circ}$

R05.2

Образец → сам · дуг нет — через треугольник

Дуг нет — работает внешний угол треугольника

Образец: Секущие $P A B$ , $PC D$ ; $∠ B A D = 7 0^{\circ}$ , $∠ A D C = 2 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$

$∠ B A D = ∠ P + ∠ A D P$ внешний угол $△ P A D$
$∠ P = 7 0^{\circ} - 2 0^{\circ} = 5 0^{\circ}$
$\frac{14 0 ^{\circ} - 4 0 ^{\circ}}{2} = 5 0^{\circ}$ проверка через дуги: $⌣ B D = 2 \cdot 7 0^{\circ}$ , $⌣ A C = 2 \cdot 2 0^{\circ}$

Сам: найдите угол

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $M$ , $∠ B A C = 4 5^{\circ}$ , $∠ A C D = 3 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A M D$ .
$8 0^{\circ}$
Секущие $P A B$ , $PC D$ : $∠ B A D = 6 4^{\circ}$ , $∠ P = 2 2^{\circ}$ . Найдите $∠ A D C$ .
$4 2^{\circ}$
Хорды $A B$ и $C D$ : $∠ A M D = 11 0^{\circ}$ , $∠ B A C = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A C D$ .
$6 0^{\circ}$

R05.2

Образец → сам · правильный многоугольник

Правильный $n$ -угольник делит окружность на $n$ равных дуг

Образец: $A BC D E$ — правильный пятиугольник. Найдите углы между $A C$ и $B D$

Каждая дуга $= 36 0^{\circ} : 5 = 7 2^{\circ}$ равные хорды стягивают равные дуги
$∠ A MB = \frac{7 2 ^{\circ} + 7 2 ^{\circ}}{2} = 7 2^{\circ}$ дуги $A B$ и $C D$
$∠ BMC = \frac{7 2 ^{\circ} + 14 4 ^{\circ}}{2} = 10 8^{\circ}$ дуга $D E A$ — две части

Сам: найдите острый угол

Правильный шестиугольник $A BC D EF$ : угол между $A C$ и $BE$ .
$9 0^{\circ}$
Правильный шестиугольник $A BC D EF$ : угол между $A C$ и $B D$ .
$6 0^{\circ}$
Правильный пятиугольник $A BC D E$ : прямые $A B$ и $D C$ пересекаются в $P$ . Найдите $∠ P$ .
$3 6^{\circ}$

2,5 мин · практика
Рисунок точный: вершины через $7 2^{\circ}$ . Розовые дуги $A B$ и $C D$ — для $∠ A MB$ ; синяя дуга угла $BMC$ открывается по клику.
Проверка: $7 2^{\circ} + 10 8^{\circ} = 18 0^{\circ}$ (смежные). $∠ BMC$ равен углу правильного пятиугольника $10 8^{\circ}$ .
Сам: 1) дуги по $6 0^{\circ}$ ; $A C$ и $BE$ : дуги $A B = 6 0^{\circ}$ и $CE = 12 0^{\circ}$ , угол $= 9 0^{\circ}$ ( $BE$ — диаметр, $A C ⊥ BE$ ). 2) $A C$ и $B D$ : дуги $A B$ и $C D$ по $6 0^{\circ}$ , угол $6 0^{\circ}$ (второй $12 0^{\circ}$ ). 3) вершина $P$ вне круга, секущие $PB A$ и $PC D$ : ближняя $⌣ BC = 7 2^{\circ}$ , дальняя $⌣ A E D = 14 4^{\circ}$ , $∠ P = (14 4^{\circ} - 7 2^{\circ}) : 2 = 3 6^{\circ}$ ; проверка: в $△ PBC$ углы $7 2^{\circ}$ , $7 2^{\circ}$ (смежные с $10 8^{\circ}$ ) и $3 6^{\circ}$ .

R05.2

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

«Чужие» дуги

$∠ A M D$ ; дуги: $A C = 6 0^{\circ}$ , $CB = 8 0^{\circ}$ , $B D = 10 0^{\circ}$ , $D A = 12 0^{\circ}$

✗ $\frac{6 0 ^{\circ} + 10 0 ^{\circ}}{2} = 8 0^{\circ}$

✓ $\frac{8 0 ^{\circ} + 12 0 ^{\circ}}{2} = 10 0^{\circ}$

Части вместо градусов

дуги $3 : 4 : 5 : 6$ , $∠ A MC$

✗ $\frac{3 + 5}{2} = 4^{\circ}$

✓ $x = 2 0^{\circ}$ :
$\frac{6 0 ^{\circ} + 10 0 ^{\circ}}{2} = 8 0^{\circ}$

Не удвоили угол

$∠ P = 2 5^{\circ}$ , $⌣ B D = 10 0^{\circ}$ , найти $⌣ A C$

✗ $10 0^{\circ} - 2 5^{\circ} = 7 5^{\circ}$

✓ $10 0^{\circ} - 2 \cdot 2 5^{\circ} = 5 0^{\circ}$

R05.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Секущие $P A B$ , $PC D$ : $⌣ B D = 11 0^{\circ}$ , $⌣ A C = 4 0^{\circ}$ . Найти $∠ P$ .

$∠ P = \frac{11 0 ^{\circ} + 4 0 ^{\circ}}{2} = 7 5^{\circ}$

Вершина вне круга — разность

$\frac{11 0 ^{\circ} - 4 0 ^{\circ}}{2} = 3 5^{\circ}$

б) Хорды: $∠ A MC = 5 0^{\circ}$ , $⌣ A C = 6 0^{\circ}$ . Найти $⌣ B D$ .

$⌣ B D = 2 \cdot 5 0^{\circ} + 6 0^{\circ} = 16 0^{\circ}$

$2 \cdot 5 0^{\circ} = ⌣ A C + ⌣ B D$

$⌣ B D = 10 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 4 0^{\circ}$

в) Секущие $P A B$ , $PC D$ : $∠ B A D = 8 0^{\circ}$ , $∠ A D C = 2 5^{\circ}$ . Найти $∠ P$ .

$∠ P = 18 0^{\circ} - 8 0^{\circ} - 2 5^{\circ} = 7 5^{\circ}$

$∠ B A D$ — внешний угол $△ P A D$

$∠ P = 8 0^{\circ} - 2 5^{\circ} = 5 5^{\circ}$

R05.2

Задания с самопроверкой · база

Хорды $A B$ , $C D$ и точка $M$ ; секущие $P A B$ , $PC D$

Хорды: $⌣ A C = 7 0^{\circ}$ , $⌣ B D = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A MC$ . $6 0^{\circ}$
Секущие: $⌣ B D = 13 0^{\circ}$ , $⌣ A C = 3 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ . $5 0^{\circ}$
Хорды: $∠ A MC = 6 5^{\circ}$ , $⌣ A C = 8 0^{\circ}$ . Найдите $⌣ B D$ . $5 0^{\circ}$

Секущие: $∠ P = 4 0^{\circ}$ , $⌣ A C = 2 0^{\circ}$ . Найдите $⌣ B D$ . $10 0^{\circ}$
$⌣ A C : ⌣ CB : ⌣ B D : ⌣ D A = 3 : 5 : 4 : 6$ . Найдите $∠ A MC$ . $7 0^{\circ}$
Хорды $A B ⊥ C D$ , $⌣ A C = 11 0^{\circ}$ . Найдите $⌣ B D$ . $7 0^{\circ}$

R05.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Секущие $P A B$ и $PC D$ , $A B$ — диаметр, $∠ P = 2 0^{\circ}$ , $⌣ A C = 3 0^{\circ}$ . Найдите $⌣ C D$ . $8 0^{\circ}$
повыш.Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $M$ , $⌣ A C : ⌣ B D = 3 : 2$ , $∠ A MC = 7 5^{\circ}$ . Найдите $⌣ A C$ . $9 0^{\circ}$
повыш. $A_{1} A_{2} \dots A_{12}$ — правильный 12-угольник. Найдите острый угол между хордами $A_{1} A_{5}$ и $A_{2} A_{8}$ . $6 0^{\circ}$
из жизниНа циферблате провели хорды 12–4 и 1–7. Найдите острый угол между ними. $6 0^{\circ}$

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задание 4 при нехватке времени — в ДЗ. Чертежи строят сами.
1) $⌣ B D = 2 \cdot 2 0^{\circ} + 3 0^{\circ} = 7 0^{\circ}$ ; $⌣ C D = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 8 0^{\circ}$ .
2) $⌣ A C + ⌣ B D = 15 0^{\circ}$ = 5 частей, часть $3 0^{\circ}$ , $⌣ A C = 9 0^{\circ}$ ( $⌣ B D = 6 0^{\circ}$ ).
3) Каждая дуга $3 0^{\circ}$ . Порядок $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{5}$ , $A_{8}$ — хорды пересекаются. Угол, «смотрящий» на дуги $A_{1} A_{2} = 3 0^{\circ}$ и $A_{5} A_{8} = 9 0^{\circ}$ : $(3 0^{\circ} + 9 0^{\circ}) : 2 = 6 0^{\circ}$ ; второй угол $(9 0^{\circ} + 15 0^{\circ}) : 2 = 12 0^{\circ}$ .
4) Час $= 3 0^{\circ}$ , порядок 12, 1, 4, 7. Острый угол опирается на дуги 12→1 ( $3 0^{\circ}$ ) и 4→7 ( $9 0^{\circ}$ ): $6 0^{\circ}$ (второй угол $12 0^{\circ}$ : дуги 1→4 $9 0^{\circ}$ и 7→12 $15 0^{\circ}$ ).

R05.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 16

Задание 16 · окружность

Четырёхугольник $A BC D$ вписан в окружность, его диагонали пересекаются в точке $K$ , $∠ A B D = 3 8^{\circ}$ , $∠ B D C = 2 7^{\circ}$ . Найдите угол $A KD$ . Ответ дайте в градусах.

Ответ: 65

R05.2

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $M$ ; секущие $P A B$ и $PC D$ ( $A$ и $C$ ближе к $P$ ).

Вариант 1

Хорды: $⌣ A C = 10 0^{\circ}$ , $⌣ B D = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A MC$ . $7 0^{\circ}$
Секущие: $⌣ B D = 14 0^{\circ}$ , $⌣ A C = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ . $4 5^{\circ}$
$⌣ A C : ⌣ CB : ⌣ B D : ⌣ D A = 1 : 2 : 3 : 4$ . Найдите $∠ A MC$ . $7 2^{\circ}$
Секущие: $∠ B A D = 7 5^{\circ}$ , $∠ A D C = 3 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ . $4 5^{\circ}$

Вариант 2

Хорды: $⌣ A C = 12 0^{\circ}$ , $⌣ B D = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A MC$ . $8 0^{\circ}$
Секущие: $⌣ B D = 15 0^{\circ}$ , $⌣ A C = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$ . $5 5^{\circ}$
$⌣ A C : ⌣ CB : ⌣ B D : ⌣ D A = 2 : 4 : 3 : 6$ . Найдите $∠ A MC$ . $6 0^{\circ}$
Хорды: $∠ B A C = 4 0^{\circ}$ , $∠ A C D = 5 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A M D$ . $9 5^{\circ}$

R05.1 · R05.2

Дополнительно · касательная и секущая

$PT$ — касательная, $P A B$ — секущая. Найдите $∠ P$

∠ P = \frac{⌣ TB - ⌣ T A}{2}

Та же формула: дальняя дуга минус ближняякасательная — «секущая», у которой точки слились в $T$
$∠ P = \frac{15 0 ^{\circ} - 5 0 ^{\circ}}{2} = 5 0^{\circ}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

С какого вопроса начинается решение?
Что делать, если дуги даны в отношении?
Как решить, если дуг на рисунке нет?

Домашнее задание

Хорды $A B$ и $C D$ : $⌣ A C : ⌣ CB : ⌣ B D : ⌣ D A = 2 : 3 : 5 : 8$ . Найдите $∠ A MC$ .
Секущие $P A B$ и $PC D$ , $A B$ — диаметр, $∠ P = 3 0^{\circ}$ , $⌣ A C = 2 0^{\circ}$ . Найдите $⌣ C D$ .
Тренажёр «Центральные и вписанные углы»:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_centralnye_i_vpisannye_ugly.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-059 · Практикум: Углы между хордами и секущими

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей», 13 ч · урок 8/13 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R05.2 «Углы между хордами и секущими» → 2–17, 19 (сводка → 4–6; образцы → 7–11; ошибки → 12–13; самопроверка → 14–15; ОГЭ → 16; самостоятельная → 17; ДЗ → 19) · повторение R05.1 → 3, 18
Результаты	ПР-8 = REQ-6.8 (теоремы о вписанных углах, углах между хордами и секущими в задачах) → 2–17, 19 · EL-6.12 → 3–18 · вид деятельности «вычислять углы с помощью теоремы о вписанных углах… теоремы о центральном угле» → 3, 7–11, 14–17
Хронометраж	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %); «Образец → сам» — 5
ОГЭ	линия 16 (окружность) → 16
Вне урока	вывод теорем — GEOM8-053 (здесь — сводка); вписанные и описанные четырёхугольники — GEOM8-054, GEOM8-060; применение свойств — GEOM8-061; взаимное расположение и касание окружностей — GEOM8-056, 057, 062, 063; угол между касательной и секущей — слайд 18 «Дополнительно»
Проверки	автопроверка: urok_layout_check, ratio_check · методист: pending

Практикум: углы между хордами и секущими

Сегодня вы научитесь

Выбирать формулу

Находить дуги

Решать без дуг

Решать задачи ОГЭ

Найдите отмеченный угол или дугу

в центре

на окружности

дуга по углу

на диаметр

внутри круга

вне круга

Вершина внутри круга — полусумма дуг

Вершина вне круга — полуразность дуг

Сначала — где вершина, потом — формула

Дуги в отношении: сначала одна часть

Образец: ⌣AC:⌣CB:⌣BD:⌣DA=3:4:5:6. Найдите ∠AMC

Сам: найдите угол

Диаметр — это дуга 180∘

Образец: AB — диаметр, ⌣AC=30∘, ⌣CD=50∘. Найдите ∠P

Сам: та же конструкция

Угол известен — удвоим его и составим уравнение

Образец: ∠AMC=70∘, ⌣AC на 40∘ больше ⌣BD. Найдите дуги

Сам: найдите дуги

Дуг нет — работает внешний угол треугольника

Образец: Секущие PAB, PCD; ∠BAD=70∘, ∠ADC=20∘. Найдите ∠P

Сам: найдите угол

Правильный n-угольник делит окружность на n равных дуг

Образец: ABCDE — правильный пятиугольник. Найдите углы между AC и BD

Сам: найдите острый угол

Так нельзя

«Чужие» дуги

Части вместо градусов

Не удвоили угол

Где ошибся ученик?

а) Секущие PAB, PCD: ⌣BD=110∘, ⌣AC=40∘. Найти ∠P.

б) Хорды: ∠AMC=50∘, ⌣AC=60∘. Найти ⌣BD.

в) Секущие PAB, PCD: ∠BAD=80∘, ∠ADC=25∘. Найти ∠P.

Хорды AB, CD и точка M; секущие PAB, PCD

Подумайте и решите

Задание 16 · окружность

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

PT — касательная, PAB — секущая. Найдите ∠P

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8-059 · Практикум: Углы между хордами и секущими

Образец: $⌣ A C : ⌣ CB : ⌣ B D : ⌣ D A = 3 : 4 : 5 : 6$ . Найдите $∠ A MC$

Диаметр — это дуга $18 0^{\circ}$

Образец: $A B$ — диаметр, $⌣ A C = 3 0^{\circ}$ , $⌣ C D = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$

Образец: $∠ A MC = 7 0^{\circ}$ , $⌣ A C$ на $4 0^{\circ}$ больше $⌣ B D$ . Найдите дуги

Образец: Секущие $P A B$ , $PC D$ ; $∠ B A D = 7 0^{\circ}$ , $∠ A D C = 2 0^{\circ}$ . Найдите $∠ P$

Правильный $n$ -угольник делит окружность на $n$ равных дуг

Образец: $A BC D E$ — правильный пятиугольник. Найдите углы между $A C$ и $B D$

а) Секущие $P A B$ , $PC D$ : $⌣ B D = 11 0^{\circ}$ , $⌣ A C = 4 0^{\circ}$ . Найти $∠ P$ .

б) Хорды: $∠ A MC = 5 0^{\circ}$ , $⌣ A C = 6 0^{\circ}$ . Найти $⌣ B D$ .

в) Секущие $P A B$ , $PC D$ : $∠ B A D = 8 0^{\circ}$ , $∠ A D C = 2 5^{\circ}$ . Найти $∠ P$ .

Хорды $A B$ , $C D$ и точка $M$ ; секущие $P A B$ , $PC D$

$PT$ — касательная, $P A B$ — секущая. Найдите $∠ P$