Окружность · практикум · урок 7 из 13

Практикум: вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM8-058

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R05 «Углы в окружности…» (13 ч), урок 7/13, единица R05.1 «Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой». Тип П (практикум). Теория — на уроке GEOM8-052, сегодня короткая сводка и решение задач.
Ход: цели 1 · разминка 3 · опорный конспект 4 · пять образцов «образец → сам» 15 · алгоритм 1,5 · ошибки 4 · самопроверка 6 · ОГЭ 2,5 · самостоятельная 6 · итог 1 (мин).
Если времени мало: задания 6–7 повышенного уровня и третьи задания «сам» — в ДЗ.

R05.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Центральный ↔ вписанный

переходить от одного угла к другому: $∠ A OB = 2∠ A CB$ (ПР-8, REQ-6.8)

Следствия

углы на одну дугу равны, угол на диаметр — $9 0^{\circ}$ (ПР-8)

Касательная и хорда

угол между ними — половина дуги (EL-6.12, REQ-6.8)

Решать задачи

выбирать нужную теорему; формат ОГЭ, линия 16 (ПР-8)

1 мин · теория
ПР-8 = REQ-6.8: «Владеть понятиями вписанного и центрального угла, использовать теоремы о вписанных углах, углах между хордами (секущими) и угле между касательной и хордой при решении геометрических задач». Сегодня — вписанные, центральные и касательная–хорда; хорды и секущие — на следующем практикуме GEOM8-059.
EL-6.12 «Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой…». Вид деятельности ФРП: «Находить вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, вычислять углы с помощью теоремы о вписанных углах… теоремы о центральном угле».

повторение: R05.1

Разминка · устно

Найдите $x$ по рисунку и устно

Ответы: а)

6 0^{\circ}

· б)

9 0^{\circ}

· в)

4 0^{\circ}

· г)

7 0^{\circ}

д) дуга

8 0^{\circ}

; вписанный угол на неё?

4 0^{\circ}

е) вписанный угол

3 5^{\circ}

; его дуга?

7 0^{\circ}

ж) центральный

15 0^{\circ}

; вписанный?

7 5^{\circ}

R05.1

Опорный конспект · три теоремы

Каждый угол — через дугу

центральный

∠ A OB = A B ⌣

вписанный

∠ A CB = \frac{1}{2} A B ⌣

касательная и хорда

∠ K A B = \frac{1}{2} A B ⌣

R05.1

Опорный конспект · два следствия

Одна дуга — равные углы; диаметр — прямой угол

∠ A CB = ∠ A D B = ∠ A EB

∠ A CB = \frac{1}{2} \cdot 18 0^{\circ} = 9 0^{\circ}

1,5 мин · теория
Точки $D$ и $E$ появляются по щелчку: где бы ни была вершина на большей дуге, угол тот же — все опираются на одну дугу $A B$ .
Вопрос: почему угол, опирающийся на диаметр, прямой? (Диаметр делит окружность на дуги по $18 0^{\circ}$ , половина — $9 0^{\circ}$ .) Обратное: гипотенуза прямоугольного треугольника — диаметр описанной окружности.
Ошибка: считать, что равны любые вписанные углы — они равны, только если опираются на одну и ту же дугу (вершины по одну сторону от хорды).

R05.1 · тип 1

Образец → сам · центральный и вписанный на одну дугу

Центральный угол на $3 6^{\circ}$ больше вписанного. Найдите вписанный угол

Образец

Пусть $∠ A CB = x$ , тогда $∠ A OB = x + 3 6^{\circ}$ условие
$∠ A OB = 2∠ A CB$ : $2 x = x + 3 6^{\circ}$ опираются на одну дугу AB
$x = 3 6^{\circ}$ , а $∠ A OB = 7 2^{\circ}$

Сам: углы на одну дугу

Вписанный угол на $2 5^{\circ}$ меньше центрального. Найдите центральный. $5 0^{\circ}$
Сумма центрального и вписанного углов равна $12 9^{\circ}$ . Найдите центральный. $8 6^{\circ}$
Дуга $A B$ , не содержащая $C$ , — $\frac{4}{9}$ окружности. Найдите $∠ A CB$ . $8 0^{\circ}$

R05.1 · тип 2

Образец → сам · угол, опирающийся на диаметр

$A B$ — диаметр, $∠ C A B = 3 4^{\circ}$ . Найдите $∠ A BC$

Образец

$∠ A CB = 9 0^{\circ}$ вписанный угол опирается на диаметр
$∠ A BC = 9 0^{\circ} - 3 4^{\circ} = 5 6^{\circ}$ острые углы прямоугольного △ABC

Сам: диаметр и одна дуга

$A$ , $B$ , $C$ , $D$ — на окружности, $B$ и $C$ по одну сторону от $A D$ , $∠ A B D = 4 1^{\circ}$ . Найдите $∠ A C D$ . $4 1^{\circ}$
$A B$ — диаметр, $C$ — на окружности, $A C = BC$ . Найдите $∠ C A B$ . $4 5^{\circ}$
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $18$ . Найдите радиус описанной окружности. $9$

R05.1 · тип 3

Образец → сам · хорда и радиусы

$∠ O A B = 2 5^{\circ}$ , $C$ — на большей дуге $A B$ . Найдите $∠ A CB$

Образец

$O A = OB$ ⇒ $∠ OB A = 2 5^{\circ}$ △AOB равнобедренный (радиусы)
$∠ A OB = 18 0^{\circ} - 2 \cdot 2 5^{\circ} = 13 0^{\circ}$ сумма углов треугольника
$∠ A CB = \frac{1}{2} \cdot 13 0^{\circ} = 6 5^{\circ}$ вписанный — половина центрального

Сам: радиусы → центральный

$∠ O A B = 4 0^{\circ}$ , $C$ — на большей дуге $A B$ . Найдите $∠ A CB$ . $5 0^{\circ}$
$∠ A CB = 7 0^{\circ}$ , $C$ — на большей дуге $A B$ . Найдите $∠ O A B$ . $2 0^{\circ}$
$∠ O A B = 2 5^{\circ}$ , $C$ — на меньшей дуге $A B$ . Найдите $∠ A CB$ . $11 5^{\circ}$

R05.1 · тип 4

Образец → сам · угол между касательной и хордой

$A K$ — касательная, $∠ K A B = 7 2^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$

Образец: два способа

$O A ⊥ A K$ ⇒ $∠ O A B = 9 0^{\circ} - 7 2^{\circ} = 1 8^{\circ}$ радиус ⊥ касательной
$O A = OB$ ⇒ $∠ A OB = 18 0^{\circ} - 3 6^{\circ} = 14 4^{\circ}$ равнобедренный △AOB
Проверка: $∠ K A B = \frac{1}{2} \cdot 14 4^{\circ} = 7 2^{\circ}$

Сам: касательная и хорда

Касательные в концах хорды $A B$ пересекаются в точке $P$ , дуга $A B = 11 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A PB$ . $7 0^{\circ}$
$A K$ — касательная, $∠ A OB = 10 0^{\circ}$ . Найдите острый угол $K A B$ . $5 0^{\circ}$
$A K$ — касательная, $∠ K A B = 4 0^{\circ}$ , $C$ — на дуге, не лежащей внутри угла $K A B$ . Найдите $∠ A CB$ . $4 0^{\circ}$

3 мин · теория (образец разбирает учитель — два способа; «сам» — устно, по клику)
Два способа: через радиус и равнобедренный треугольник (шаги 1–2) или сразу по теореме: $∠ A OB = A B ⌣ = 2 \cdot 7 2^{\circ} = 14 4^{\circ}$ . Шаг 3 — проверка вторым способом.
Сам: 1) углы между касательными и хордой по $11 0^{\circ} : 2 = 5 5^{\circ}$ , $∠ A PB = 18 0^{\circ} - 2 \cdot 5 5^{\circ} = 7 0^{\circ}$ . 2) дуга $A B = 10 0^{\circ}$ , $∠ K A B = 5 0^{\circ}$ . 3) $∠ K A B$ и $∠ A CB$ — оба половина одной дуги $A B$ ( $8 0^{\circ}$ ): $4 0^{\circ}$ .
Ошибка: $∠ A OB = 7 2^{\circ}$ (приравняли центральный угол к углу между касательной и хордой).

R05.1 · тип 5

Образец → сам · чертёж строим сами

$A$ , $B$ , $C$ делят окружность на дуги $A B : BC : C A = 3 : 4 : 5$ . Найдите углы △ABC

Образец

$3 + 4 + 5 = 12$ частей, $36 0^{\circ} : 12 = 3 0^{\circ}$ дуги составляют всю окружность
Дуги: $A B = 9 0^{\circ}$ , $BC = 12 0^{\circ}$ , $C A = 15 0^{\circ}$
$∠ C = 4 5^{\circ}$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ B = 7 5^{\circ}$ вписанный угол — половина противолежащей дуги; сумма $18 0^{\circ}$ ✓

Сам: сделайте чертёж

Дуги $1 : 2 : 3$ . Найдите углы треугольника. $3 0^{\circ}, 6 0^{\circ}, 9 0^{\circ}$
$∠ A = 5 0^{\circ}$ , $∠ B = 7 0^{\circ}$ . Найдите дуги $BC$ , $C A$ , $A B$ (без третьей вершины). $10 0^{\circ}, 14 0^{\circ}, 12 0^{\circ}$
Хорда стягивает дугу $10 0^{\circ}$ . Под каким углом она видна из точек окружности? $5 0^{\circ}$ или $13 0^{\circ}$

3 мин · практика
Образец (1 мин). Чертёж точный. Цвет дуги = цвет противолежащего ей угла: $∠ C$ опирается на дугу $A B$ (без $C$ ), $∠ A$ — на $BC$ , $∠ B$ — на $C A$ .
Сам: 1) часть $6 0^{\circ}$ , дуги $6 0^{\circ}, 12 0^{\circ}, 18 0^{\circ}$ — углы $3 0^{\circ}, 6 0^{\circ}, 9 0^{\circ}$ (треугольник прямоугольный: дуга $18 0^{\circ}$ ). 2) $∠ C = 6 0^{\circ}$ ; дуги — удвоенные противолежащие углы: $BC = 10 0^{\circ}$ , $C A = 14 0^{\circ}$ , $A B = 12 0^{\circ}$ (сумма $36 0^{\circ}$ ✓). 3) с большей дуги — $5 0^{\circ}$ , с меньшей — $(36 0^{\circ} - 10 0^{\circ}) : 2 = 13 0^{\circ}$ .
Ошибка: углы треугольника приравнивают к дугам ( $9 0^{\circ}$ , $12 0^{\circ}$ , $15 0^{\circ}$ — сумма $36 0^{\circ}$ , а не $18 0^{\circ}$ ).

R05.1

Алгоритм

Как найти угол в окружности

R05.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Забыли половину

✗ $∠ C = 10 0^{\circ}$

вписанный — половина центрального

✓ $∠ C = 5 0^{\circ}$

Не та дуга

✗ $∠ C = 5 0^{\circ}$

$C$ на меньшей дуге — угол опирается на большую

✓ $∠ C = \frac{1}{2} \cdot 26 0^{\circ} = 13 0^{\circ}$

Касательная

✗ угол $= 14 0^{\circ}$

угол — половина дуги внутри него

✓ угол $= \frac{1}{2} \cdot 14 0^{\circ} = 7 0^{\circ}$

R05.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A K$ — касательная, $∠ K A B = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A CB$ .

« $∠ A OB = ∠ K A B = 5 0^{\circ}$ , значит, $∠ A CB = 2 5^{\circ}$ »

дуга $A B = 2 \cdot 5 0^{\circ} = 10 0^{\circ}$ , $∠ A OB = 10 0^{\circ}$

$∠ A CB = \frac{1}{2} \cdot 10 0^{\circ} = 5 0^{\circ}$

б) $A B$ — диаметр, $∠ B A C = 2 8^{\circ}$ . Найдите $∠ BOC$ .

« $∠ A BC = 6 2^{\circ}$ , значит, $∠ BOC = 3 1^{\circ}$ »

на дугу $BC$ опирается $∠ B A C$ , а не $∠ A BC$

$∠ BOC = 2 \cdot 2 8^{\circ} = 5 6^{\circ}$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Угол между касательной и хордой равен половине дуги, а центральный — всей дуге: дуга $A B = 10 0^{\circ}$ , $∠ A CB = 5 0^{\circ}$ ( $C$ на дуге вне угла $K A B$ ). Чертёж точный.
б) Центральный $∠ BOC$ и вписанный $∠ B A C$ опираются на дугу $BC$ : $∠ BOC = 5 6^{\circ}$ . Проверка: △AOC равнобедренный, $∠ A OC = 18 0^{\circ} - 5 6^{\circ} = 12 4^{\circ}$ , $∠ BOC = 18 0^{\circ} - 12 4^{\circ} = 5 6^{\circ}$ . Ученик взял угол, опирающийся на другую дугу ( $A C$ ), и разделил вместо умножения.

R05.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте ответ

$∠ A OB = 11 8^{\circ}$ , $C$ — на большей дуге $A B$ . Найдите $∠ A CB$ . $5 9^{\circ}$
Вписанный угол $A CB = 3 7^{\circ}$ . Найдите центральный угол $A OB$ . $7 4^{\circ}$
$A B$ — диаметр, $∠ A BC = 6 3^{\circ}$ . Найдите $∠ B A C$ . $2 7^{\circ}$

Хорда $A B$ равна радиусу. Найдите $∠ A OB$ и $∠ A CB$ ( $C$ — на большей дуге). $6 0^{\circ}$ ; $3 0^{\circ}$
$A K$ — касательная, дуга $A B$ внутри угла $K A B$ равна $12 8^{\circ}$ . Найдите $∠ K A B$ . $6 4^{\circ}$
$A K$ — касательная, $∠ K A B = 9 0^{\circ}$ . Что можно сказать о хорде $A B$ ? диаметр

R05.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Точки $A$ , $B$ , $C$ делят окружность на дуги в отношении $2 : 3 : 7$ . Найдите углы △ABC. $3 0^{\circ}, 4 5^{\circ}, 10 5^{\circ}$
повыш. $A K$ — касательная, $A B$ — хорда, $∠ OB A = 2 8^{\circ}$ . Найдите острый угол $K A B$ . $6 2^{\circ}$
повыш.Касательные в точках $A$ и $B$ пересекаются в точке $P$ , $∠ A PB = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A CB$ , $C$ — на большей дуге $A B$ . $6 5^{\circ}$
из жизниСцену $A B$ из центра круглого зала видно под углом $10 0^{\circ}$ . Под каким углом её видно с места $C$ у стены зала (на большей дуге)? $5 0^{\circ}$

3 мин · практика
По готовности, в парах; ответы — по клику. Задача 3 при нехватке времени — в ДЗ.
1) $2 + 3 + 7 = 12$ частей, часть $3 0^{\circ}$ , дуги $6 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ , $21 0^{\circ}$ ; углы — половины: $3 0^{\circ}, 4 5^{\circ}, 10 5^{\circ}$ (сумма $18 0^{\circ}$ ✓). 2) $∠ O A B = 2 8^{\circ}$ , $∠ K A B = 9 0^{\circ} - 2 8^{\circ} = 6 2^{\circ}$ (проверка: $∠ A OB = 12 4^{\circ}$ , половина — $6 2^{\circ}$ ).
3) В четырёхугольнике $O A PB$ углы $A$ и $B$ прямые (радиус ⊥ касательной): $∠ A OB = 36 0^{\circ} - 18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 13 0^{\circ}$ , $∠ A CB = 6 5^{\circ}$ . 4) вписанный угол — половина центрального: $5 0^{\circ}$ .
Ошибки: в 1) дуги принимают за углы треугольника; в 2) ответ $2 8^{\circ}$ .

R05.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 16

Задание 16 · окружность · ответ — одно число

1. $A C$ и $B D$ — диаметры окружности с центром $O$ . Угол $A CB$ равен $3 8^{\circ}$ . Найдите угол $A O D$ . Ответ дайте в градусах. $104$

Ещё два в том же формате

$A C$ и $B D$ — диаметры, $∠ A CB = 2 6^{\circ}$ . Найдите $∠ A O D$ . $128$
Треугольник $A BC$ вписан в окружность с центром $O$ , $∠ B A C = 3 2^{\circ}$ . Найдите $∠ BOC$ . $64$

В бланк — только число: 104, без «

^{\circ}

».

R05.1

Самостоятельная работа · 6 минут

Два варианта — решите свой

$O$ — центр окружности; в задачах 1 и 3 точка $C$ лежит на большей дуге $A B$ ; $A K$ — касательная.

Вариант 1

$∠ A OB = 13 2^{\circ}$ . Найдите $∠ A CB$ . $6 6^{\circ}$
$A B$ — диаметр, $∠ B A C = 4 1^{\circ}$ . Найдите $∠ A BC$ . $4 9^{\circ}$
$∠ O A B = 3 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A CB$ . $5 5^{\circ}$
$∠ K A B = 3 8^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$ . $7 6^{\circ}$

Вариант 2

$∠ A CB = 5 4^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$ . $10 8^{\circ}$
$A B$ — диаметр, $∠ A BC = 5 7^{\circ}$ . Найдите $∠ B A C$ . $3 3^{\circ}$
$∠ O A B = 1 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A CB$ . $7 5^{\circ}$
$∠ A OB = 11 2^{\circ}$ . Найдите острый угол $K A B$ . $5 6^{\circ}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Во сколько раз центральный угол больше вписанного на ту же дугу?
Чему равен угол, опирающийся на диаметр?
Как найти угол между касательной и хордой?

Домашнее задание

$∠ A OB = 15 6^{\circ}$ , $C$ — на большей дуге $A B$ . Найдите $∠ A CB$ .
Угол между касательной $A K$ и хордой $A B$ равен $3 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$ .
Тренажёр «Центральные и вписанные углы»:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_centralnye_i_vpisannye_ugly.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-058 · Практикум: Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей», 13 ч · урок 7/13 · тип П
Единицы → слайды	R05.1 «Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой» → 2–18 (разминка → 3; опорный конспект → 4–5; образцы: центральный/вписанный → 6, диаметр → 7, хорда и радиусы → 8, касательная и хорда → 9, углы треугольника по дугам → 10; алгоритм → 11; ошибки → 12–13; самопроверка → 14–15; ОГЭ → 16; самостоятельная → 17; ДЗ → 18)
Результаты	ПР-8 = REQ-6.8 (вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой) → 2–18 · EL-6.12 → 4–17 · вид деятельности «Находить вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, вычислять углы с помощью теоремы о вписанных углах… теоремы о центральном угле» → 5–10, 14–17
Хронометраж	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %) · образцов «образец → сам» 5
ОГЭ	линия 16 (окружность) → 16
Вне урока	доказательства теорем — GEOM8-052; углы между хордами и секущими — GEOM8-053, GEOM8-059; вписанные и описанные четырёхугольники — GEOM8-054, GEOM8-060; касание окружностей — GEOM8-056, GEOM8-057
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой

Сегодня вы научитесь

Центральный ↔ вписанный

Следствия

Касательная и хорда

Решать задачи

Найдите x по рисунку и устно

Каждый угол — через дугу

Одна дуга — равные углы; диаметр — прямой угол

Центральный угол на 36∘ больше вписанного. Найдите вписанный угол

Образец

Сам: углы на одну дугу

AB — диаметр, ∠CAB=34∘. Найдите ∠ABC

Образец

Сам: диаметр и одна дуга

∠OAB=25∘, C — на большей дуге AB. Найдите ∠ACB

Образец

Сам: радиусы → центральный

AK — касательная, ∠KAB=72∘. Найдите ∠AOB

Образец: два способа

Сам: касательная и хорда

A, B, C делят окружность на дуги AB:BC:CA=3:4:5. Найдите углы △ABC

Образец

Сам: сделайте чертёж

Как найти угол в окружности

Неверно → почему → верно

Забыли половину

Не та дуга

Касательная

Где ошибся ученик?

а) AK — касательная, ∠KAB=50∘. Найдите ∠ACB.

б) AB — диаметр, ∠BAC=28∘. Найдите ∠BOC.

Решите и сверьте ответ

Подумайте и решите

Задание 16 · окружность · ответ — одно число

Ещё два в том же формате

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8-058 · Практикум: Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой

Найдите $x$ по рисунку и устно

Центральный угол на $3 6^{\circ}$ больше вписанного. Найдите вписанный угол

$A B$ — диаметр, $∠ C A B = 3 4^{\circ}$ . Найдите $∠ A BC$

$∠ O A B = 2 5^{\circ}$ , $C$ — на большей дуге $A B$ . Найдите $∠ A CB$

$A K$ — касательная, $∠ K A B = 7 2^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$

$A$ , $B$ , $C$ делят окружность на дуги $A B : BC : C A = 3 : 4 : 5$ . Найдите углы △ABC

а) $A K$ — касательная, $∠ K A B = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A CB$ .

б) $A B$ — диаметр, $∠ B A C = 2 8^{\circ}$ . Найдите $∠ BOC$ .