Новый материал · урок 6 из 13

Касание окружностей

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM8-057

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R05 «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей» (13 ч), урок 6/13, единица R05.6 «Касание окружностей». Тип Н. Опора — GEOM8-056 (взаимное расположение двух окружностей, общие касательные).
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 5 проблема 1,5 · 6 определение 1,5 · 7 теорема 3 · 8 следствие $d = R \pm r$ 1,5 · 10 общая касательная 1,5 · 11 признак касания, схема 2. Все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32): 3 разминка 2 · 4 «Вспомним» 1,5 · 9 образец $d = R \pm r$ 2,5 · 12 цепочка окружностей 2 · 13 общая касательная 2,5 · 14 зубчатая передача 2 · 15 доказательство 3 · 16 ошибки 1,5 · 17 найди ошибку 2 · 18 база 2,5 · 19 повышенный 2,5 · 20 ОГЭ 2 · 21 самостоятельная 5 · 22 итог 1.
Если не успеваете: «Сам» на сл. 15 и задания 3–4 сл. 19 — в ДЗ; теорию не выбрасывать.

R05.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Различать

внешнее и внутреннее касание окружностей (EL-6.14)

Доказывать

точка касания лежит на линии центров (R05.6)

Вычислять

расстояние между центрами и радиусы: $d = R + r$ , $d = R - r$ (EL-6.14)

Применять

общая касательная, теорема Пифагора; формат ОГЭ, линия 16 (ПР-5, REQ-6.5)

1 мин · теория
EL-6.14: «Взаимное расположение двух окружностей. Касание окружностей. Общие касательные к двум окружностям». Единица ФРП R05.6 «Касание окружностей».
ПР-5 / REQ-6.5: «Пользоваться теоремой Пифагора для решения геометрических и практических задач…» — на сл. 13, 17, 19, 21 (отрезок общей касательной).
Ученик научится: определять вид касания по $d$ , $R$ , $r$ ; находить неизвестный радиус или расстояние между центрами; доказывать утверждения о касающихся окружностях.

повторение: R05.5, теорема Пифагора

Разминка · устно

Радиусы, касательные, Пифагор — в уме

Угол между касательной и радиусом в точку касания $9 0^{\circ}$
$R = 7$ , $r = 3$ : найдите $R + r$ и $R - r$ $10$ и $4$
Диаметр $18$ . Радиус? $9$
Катеты $6$ и $8$ . Гипотенуза? $10$

Гипотенуза $13$ , катет $5$ . Второй катет? $12$
$x + 3 x = 24$ $x = 6$
Сколько общих точек могут иметь две окружности? 0, 1 или 2
Отрезки касательных из одной точки к окружности равны

R05.5 → R05.6

Вспомним · GEOM8-056

Две окружности: $R$ и $r$ , расстояние между центрами $d$

R05.6

Проблема

Две монеты касаются. Как найти расстояние между центрами?

Где лежит точка касания?

Гипотеза: на прямой

O_{1} O_{2}

, тогда

O_{1} O_{2} = 15 + 9 = 24

мм

А если меньшая окружность — внутри большей?

R05.6

Новый материал · определение

Окружности касаются, если имеют ровно одну общую точку

внешнее касание

внутреннее касание

Внешнее — центры по разные стороны от точки

K

; внутреннее — по одну сторону, одна окружность внутри другой.

R05.6

Теорема · доказательство

Точка касания двух окружностей лежит на линии центров

$O_{1} O_{2}$ — ось симметрии каждой окружностипрямая через центр содержит диаметр
Пусть общая точка $A \in / O_{1} O_{2}$ предположим противное
$A^{'}$ симметрична $A$ : $O_{1} A^{'} = R$ , $O_{2} A^{'} = r$ симметрия сохраняет расстояния
$A^{'}$ — вторая общая точка, а это не касаниепротиворечие ⇒ $K \in O_{1} O_{2}$

R05.6

Следствие · расстояние между центрами

Расстояние между центрами через радиусы

d = R + r

внешнее касание

d = R - r

внутреннее касание, $R > r$

R05.6

Образец → сам · расстояние между центрами

Выбрали вид касания — нашли неизвестное

Образец: окружности касаются внутренним образом, $R = 12$ , $d = 5$ . Найдите $r$ .

Касание внутреннее ⇒ $d = R - r$ следствие теоремы: $O_{2}$ между $O_{1}$ и $K$
$r = R - d = 12 - 5 = 7$ выразили $r$
Проверка: $0 < 7 < 12$ меньшая окружность внутри большей

Сам

Внешнее касание, $R = 9$ , $r = 6$ . Найдите $d$ . $15$
Внешнее касание, $d = 17$ , $R = 11$ . Найдите $r$ . $6$
Внутреннее касание, $d = 4$ , $r = 5$ . Найдите $R$ . $9$

R05.5 · R05.6

Общая касательная в точке касания

Прямая через $K$ , перпендикулярная $O_{1} O_{2}$ , касается обеих окружностей

внешнее: 3 общие касательные

внутреннее: 1 общая касательная

l ⊥ O_{1} K

и

l ⊥ O_{2} K

⇒

l

касается обеих окружностей (признак касательной).

R05.5 · R05.6

Признак касания · схема

Касание узнаём по $d$ : сравниваем с $R + r$ и $R - r$

Устно: $R = 7$ , $r = 3$ . Каково взаимное расположение?

$d = 10$

внешнее касание

$d = 4$

внутреннее касание

$d = 6$

пересекаются

$d = 12$

нет общих точек

R05.6

Образец → сам · цепочка окружностей

Стороны треугольника центров — суммы радиусов

Образец: три окружности радиусов $2$ , $3$ , $4$ попарно касаются внешним образом. Найдите периметр $△ A BC$ с вершинами в центрах.

Точки касания лежат на сторонах $△ A BC$ теорема: точка касания на линии центров
$A B = 2 + 3 = 5$ , $A C = 2 + 4 = 6$ , $BC = 3 + 4 = 7$ внешнее касание: $d = R + r$
$P = 5 + 6 + 7 = 18$ каждый радиус вошёл дважды: $P = 2 (2 + 3 + 4)$

Сам: попарное внешнее касание

Радиусы $1$ , $2$ , $3$ . Вид треугольника центров? $3, 4, 5$ — прямоугольный
Радиусы $5$ , $5$ , $5$ . Вид и периметр? равносторонний, $P = 30$
Стороны $7$ , $8$ , $9$ . Найдите радиусы. $3, 4, 5$

R05.5 · R05.6

Образец → сам · общая внешняя касательная

Радиусы ⟂ касательной, прямоугольник и Пифагор

Образец: окружности радиусов $9$ и $4$ касаются внешним образом, $A B$ — их общая касательная. Найдите $A B$ .

$O_{1} A ⊥ A B$ , $O_{2} B ⊥ A B$ ; $O_{2} H ∥ A B$ радиус ⊥ касательной; $A B O_{2} H$ — прямоугольник
$O_{1} H = 9 - 4 = 5$ , $O_{1} O_{2} = 9 + 4 = 13$ $A H = O_{2} B$ ; внешнее касание
$A B = O_{2} H = 1 3^{2} - 5^{2} = 12$ теорема Пифагора в $△ O_{1} H O_{2}$

Сам: внешнее касание, $A B$ — общая внешняя касательная

Радиусы $8$ и $2$ . Найдите $A B$ . $8$
Радиусы $18$ и $2$ . Найдите $A B$ . $12$
повыш. $A B = 12$ , меньший радиус $4$ . Найдите больший. $9$

R05.6 · практика

Образец → сам · задача из жизни: зубчатая передача

Модель: колёса — касающиеся окружности

Образец: расстояние между осями двух колёс $21$ см, радиус одного вдвое больше. Найдите радиусы.

Окружности касаются внешним образомколёса зацеплены в одной точке
$2 x + x = 21$ , $x = 7$ $d = R + r$
Радиусы: $7$ см и $14$ см

Сам

Колесо радиуса $12$ см касается изнутри обода радиуса $30$ см. Расстояние между центрами? $18$ см
Оси шестерён в $30$ см, радиусы как $2 : 3$ . Радиусы? $12$ и $18$ см
Три шестерни радиуса $5$ см в ряд. Расстояние между осями крайних? $20$ см

R05.6

Образец → сам · доказательство

Теорема о линии центров помогает доказывать

Образец: окружности касаются внешним образом в точке $K$ , прямая через $K$ пересекает их в точках $A$ и $B$ . Докажите: $O_{1} A ∥ O_{2} B$ .

$O_{1}$ , $K$ , $O_{2}$ на одной прямойтеорема о точке касания
$∠ O_{1} K A = ∠ O_{2} K B$ вертикальные
$∠ O_{1} A K = ∠ O_{1} K A$ , $∠ O_{2} B K = ∠ O_{2} K B$ $△ O_{1} A K$ , $△ O_{2} B K$ — равнобедренные (радиусы)
$∠ O_{1} A K = ∠ O_{2} B K$ ⇒ $O_{1} A ∥ O_{2} B$ накрест лежащие при секущей $A B$

Сам: составьте план

То же для внутреннего касания.
угол при $K$ общий → соответственные
Касательная в точке $K$ пересекает общую внешнюю касательную $A B$ в точке $M$ . Докажите: $M A = MB$ .
$M A = M K = MB$ — отрезки касательных

3 мин · практика
Образец (1,5 мин): все четыре отмеченных угла равны: $∠ O_{1} A K = ∠ O_{1} K A$ (в $△ O_{1} A K$ стороны $O_{1} A = O_{1} K = R$ ), $∠ O_{1} K A = ∠ O_{2} K B$ (вертикальные — потому что $O_{1}, K, O_{2}$ на одной прямой), $∠ O_{2} K B = ∠ O_{2} B K$ ( $O_{2} K = O_{2} B = r$ ). Углы $O_{1} A K$ и $O_{2} B K$ — накрест лежащие при прямых $O_{1} A$ , $O_{2} B$ и секущей $A B$ . Чертёж в масштабе: $R = 5$ , $r = 3$ , прямая под углом $5 0^{\circ}$ к линии центров.
Сам: 1) При внутреннем касании $O_{1}$ , $O_{2}$ , $K$ на одной прямой и по одну сторону от $K$ : $∠ O_{1} A K = ∠ O_{1} K A = ∠ O_{2} K B = ∠ O_{2} B K$ (угол при $K$ общий), это соответственные углы при прямых $O_{1} A$ , $O_{2} B$ и секущей $A K$ ⇒ $O_{1} A ∥ O_{2} B$ . 2) $M A$ и $M K$ — отрезки касательных из $M$ к первой окружности, $MB$ и $M K$ — ко второй ⇒ $M A = M K = MB$ ; $M$ — середина $A B$ .
Требование к записи: каждый шаг с обоснованием, без «на рисунке видно».

R05.6

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Не тот случай

внутреннее касание, $R = 10$ , $r = 3$

✗ $d = 10 + 3 = 13$

центры по одну сторону от $K$

✓ $d = 10 - 3 = 7$

Диаметр вместо радиуса

внешнее касание, диаметры $8$ и $6$

✗ $d = 8 + 6 = 14$

в формуле — радиусы

✓ $d = 4 + 3 = 7$

Потеряли случай

касаются; $d = 5$ , $R = 8$ ; найти $r$

✗ $r = 5 - 8 < 0$ — «нет решений»

вид касания не указан

✓ внутреннее: $r = 8 - 5 = 3$

R05.6

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Окружности радиусов $6$ и $2$ касаются. Найдите расстояние между центрами.

Решение: $d = R + r = 6 + 2 = 8$ . Ответ: $8$ .

Вид касания не указан — два случая

внешнее: $d = 8$ ; внутреннее: $d = 6 - 2 = 4$ . Ответ: $8$ или $4$

б) Радиусы $8$ и $2$ , внешнее касание, $A B$ — общая внешняя касательная. Найдите $A B$ .

1) $O_{1} O_{2} = 8 + 2 = 10$ 2) $O_{1} H = 8 - 2 = 6$

3) $A B = 1 0^{2} + 6^{2} = 136$

Ошибка в шаге 3: гипотенуза — $O_{1} O_{2}$

$A B = 1 0^{2} - 6^{2} = 8$

R05.6

Задания с самопроверкой · база

Касаются: найдите

Внешнее касание, $R = 12$ , $r = 5$ . Найдите $d$ . $17$
Внутреннее касание, $R = 12$ , $r = 5$ . Найдите $d$ . $7$
Внешнее касание, $d = 20$ , $R = 13$ . Найдите $r$ . $7$

Внутреннее касание, $d = 3$ , $r = 8$ . Найдите $R$ . $11$
Внешнее касание, диаметры $10$ и $4$ . Найдите $d$ . $7$
$R = 9$ , $r = 4$ , $d = 5$ . Как расположены окружности? внутреннее касание

R05.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Окружности касаются, $O_{1} O_{2} = 10$ , радиус одной $3$ . Найдите радиус другой (все случаи). $7$ или $13$
повыш.Окружности радиусов $2$ , $3$ , $10$ попарно касаются внешним образом. Найдите площадь треугольника с вершинами в центрах. $30$
повыш.Окружности радиусов $12$ и $3$ касаются внешним образом. Найдите отрезок общей внешней касательной между точками касания. $12$
из жизниВ круглую коробку диаметром $12$ см по диаметру положили два одинаковых печенья, касающихся друг друга и стенок. Найдите радиус печенья. $3$ см

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) Внешнее: $10 - 3 = 7$ ; внутреннее, данная окружность меньшая: $3 + 10 = 13$ (вариант «данная большая» даёт $3 - 10 < 0$ — невозможно). 2) Стороны $5$ , $12$ , $13$ ; $25 + 144 = 169$ — прямоугольный, $S = \frac{5 \cdot 12}{2} = 30$ . 3) $d = 15$ , разность радиусов $9$ , отрезок $225 - 81 = 144 = 12$ .
4) Коробка $R = 6$ ; печенье касается её внутренним образом: расстояние между центрами $6 - r$ ; печенья касаются друг друга в центре коробки, поэтому это же расстояние равно $r$ : $6 - r = r$ , $r = 3$ см. Ошибка: $r = 6$ — взяли радиус коробки.

R05.6 · ОГЭ

Формат ОГЭ · математика, линия 16

Ответ — одно число

1. Окружности с центрами в точках $O_{1}$ и $O_{2}$ касаются внутренним образом. Радиус большей окружности равен $15$ , расстояние $O_{1} O_{2}$ равно $6$ . Найдите диаметр меньшей окружности. $18$

Та же конструкция

Касаются внешним образом, радиус большей $11$ , $O_{1} O_{2} = 18$ . Найдите диаметр меньшей. $14$
Касаются внутренним образом, диаметр меньшей $10$ , $O_{1} O_{2} = 4$ . Найдите радиус большей. $9$

В бланк — только число: 18, без «

d =

».

R05.6

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

В задачах 4: $A B$ — общая внешняя касательная, $A$ и $B$ — точки касания.

Вариант 1

Внешнее касание, $R = 8$ , $r = 3$ . Найдите $d$ . $11$
Внутреннее касание, $R = 10$ , $d = 6$ . Найдите $r$ . $4$
Касаются, $d = 9$ , радиус одной $4$ . Найдите радиус другой. $5$ или $13$
Внешнее касание, радиусы $9$ и $1$ . Найдите $A B$ . $6$

Вариант 2

Внутреннее касание, $R = 15$ , $r = 6$ . Найдите $d$ . $9$
Внешнее касание, $d = 14$ , $r = 5$ . Найдите $R$ . $9$
Касаются, $d = 6$ , радиус одной $10$ . Найдите радиус другой. $4$ или $16$
Внешнее касание, радиусы $4$ и $1$ . Найдите $A B$ . $4$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Где лежит точка касания двух окружностей?
Чему равно $d$ при внешнем и при внутреннем касании?
Сколько общих касательных в каждом случае?

Домашнее задание

Окружности касаются внешним образом, $d = 20$ , один радиус в 4 раза больше другого. Найдите радиусы.
Радиусы $2$ и $8$ , внешнее касание. Найдите отрезок общей внешней касательной.
Тренажёр «Окружность и прямые»:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_okruzhnost_i_pryamye.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-057 · Касание окружностей

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей», 13 ч · урок 6/13 · тип Н
Единицы → слайды	R05.6 «Касание окружностей» → 2, 5–9, 11–22 · опора на R05.5 «Взаимное расположение двух окружностей, общие касательные» → 3, 4, 10, 11, 13
Результаты	EL-6.14 «Взаимное расположение двух окружностей. Касание окружностей. Общие касательные к двум окружностям» → 2–22 · ПР-5 = REQ-6.5 (теорема Пифагора в геометрических и практических задачах) → 12, 13, 17, 19, 21 · виды деятельности строки: «Использовать эти свойства и признаки при решении задач» → 9, 12–21
ОГЭ	линия 16 (окружность) → 20
Вне урока	вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой — GEOM8-058; углы между хордами и секущими — GEOM8-059; общая формула отрезка касательной $2 R r$ — только в заметках сл. 13
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Касание окружностей

Сегодня вы научитесь

Различать

Доказывать

Вычислять

Применять

Радиусы, касательные, Пифагор — в уме

Две окружности: R и r, расстояние между центрами d

Две монеты касаются. Как найти расстояние между центрами?

Окружности касаются, если имеют ровно одну общую точку

Точка касания двух окружностей лежит на линии центров

Расстояние между центрами через радиусы

Выбрали вид касания — нашли неизвестное

Образец: окружности касаются внутренним образом, R=12, d=5. Найдите r.

Сам

Прямая через K, перпендикулярная O1​O2​, касается обеих окружностей

Касание узнаём по d: сравниваем с R+r и R−r

Стороны треугольника центров — суммы радиусов

Образец: три окружности радиусов 2, 3, 4 попарно касаются внешним образом. Найдите периметр △ABC с вершинами в центрах.

Сам: попарное внешнее касание

Радиусы ⟂ касательной, прямоугольник и Пифагор

Образец: окружности радиусов 9 и 4 касаются внешним образом, AB — их общая касательная. Найдите AB.

Сам: внешнее касание, AB — общая внешняя касательная

Модель: колёса — касающиеся окружности

Образец: расстояние между осями двух колёс 21 см, радиус одного вдвое больше. Найдите радиусы.

Сам

Теорема о линии центров помогает доказывать

Образец: окружности касаются внешним образом в точке K, прямая через K пересекает их в точках A и B. Докажите: O1​A∥O2​B.

Сам: составьте план

Так нельзя

Не тот случай

Диаметр вместо радиуса

Потеряли случай

Где ошибся ученик?

а) Окружности радиусов 6 и 2 касаются. Найдите расстояние между центрами.

б) Радиусы 8 и 2, внешнее касание, AB — общая внешняя касательная. Найдите AB.

Касаются: найдите

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Та же конструкция

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8-057 · Касание окружностей

Две окружности: $R$ и $r$ , расстояние между центрами $d$

Образец: окружности касаются внутренним образом, $R = 12$ , $d = 5$ . Найдите $r$ .

Прямая через $K$ , перпендикулярная $O_{1} O_{2}$ , касается обеих окружностей

Касание узнаём по $d$ : сравниваем с $R + r$ и $R - r$

Образец: три окружности радиусов $2$ , $3$ , $4$ попарно касаются внешним образом. Найдите периметр $△ A BC$ с вершинами в центрах.

Образец: окружности радиусов $9$ и $4$ касаются внешним образом, $A B$ — их общая касательная. Найдите $A B$ .

Сам: внешнее касание, $A B$ — общая внешняя касательная

Образец: расстояние между осями двух колёс $21$ см, радиус одного вдвое больше. Найдите радиусы.

Образец: окружности касаются внешним образом в точке $K$ , прямая через $K$ пересекает их в точках $A$ и $B$ . Докажите: $O_{1} A ∥ O_{2} B$ .

а) Окружности радиусов $6$ и $2$ касаются. Найдите расстояние между центрами.

б) Радиусы $8$ и $2$ , внешнее касание, $A B$ — общая внешняя касательная. Найдите $A B$ .