Углы в окружности · урок 4 из 13 · решение задач

Вписанные и описанные четырёхугольники в задачах

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM8-055

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R05 «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей» (13 ч), урок 4/13, единица R05.4 «Применение этих свойств при решении геометрических задач». Тип Н. На GEOM8-052–054 изучили вписанные и центральные углы, углы между хордами и секущими, вписанные и описанные четырёхугольники; сегодня — метод: как эти свойства «работают» вместе в задаче.
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 углы в окружности 2,5 · 5 два главных свойства 3 · 6 сводка «свойство — признак» 2 · 7 метод 3. Все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32,5): 3 разминка 3 · 8–12 пять образцов «Образец → сам» по 2,5 · 13 типичные ошибки 1,5 · 14 найди ошибку 2 · 15 база 3 · 16 повышенный 2,5 · 17 ОГЭ 2 · 18 самостоятельная 5 · 19 итог 1.
Нужны: циркуль, линейка, транспортир (для проверки чертежей). Калькулятор не нужен.
Если времени мало: в образцах решать одно «сам» из трёх (остальные — в ДЗ), задания 3–4 повышенного уровня — в ДЗ; теорию не выбрасывать.

R05.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Видеть равные углы

вписанные углы, опирающиеся на одну дугу (ПР-8, REQ-6.8)

Считать углы вписанного четырёхугольника

сумма противоположных углов — $18 0^{\circ}$ (ПР-8, REQ-6.8)

Находить стороны описанного

суммы противоположных сторон равны (ПР-9, REQ-6.9)

Решать комбинированные задачи

трапеция и окружность; формат ОГЭ, линия 16 (ПР-1, ПР-5)

1 мин · теория
REQ-6.8 (ПР-8): «Владеть понятиями вписанного и центрального угла, использовать теоремы о вписанных углах, углах между хордами (секущими) и угле между касательной и хордой при решении геометрических задач».
REQ-6.9 (ПР-9): «Владеть понятием описанного четырехугольника, применять свойства описанного четырехугольника при решении задач».
Вид деятельности ФРП: «Использовать эти свойства и признаки при решении задач». В задачах с трапецией нужны ПР-1 (свойства трапеции) и ПР-5 (теорема Пифагора).

повторение: R05.1–R05.3

Разминка · устно

Ответ — одно число

Вписанный угол опирается на дугу $10 0^{\circ}$ . Угол? $5 0^{\circ}$
Центральный угол $7 0^{\circ}$ . Вписанный угол на ту же дугу? $3 5^{\circ}$
Вписанный угол опирается на диаметр. Угол? $9 0^{\circ}$
Угол между касательной и хордой, дуга $14 0^{\circ}$ . Угол? $7 0^{\circ}$

$A BC D$ вписан в окружность, $∠ B = 7 5^{\circ}$ . $∠ D$ ? $10 5^{\circ}$
Трапеция, $A D ∥ BC$ , $∠ A = 6 5^{\circ}$ . $∠ B$ ? $11 5^{\circ}$
Из точки $A$ — две касательные, $A K = 6$ . $A M$ ? $6$
$A BC D$ описан, $A B + C D = 17$ . Периметр? $34$

повторение: R05.1–R05.2

Вспомним · углы в окружности

Каждый угол измеряется половиной дуги

вписанный

∠ B = \frac{1}{2} ⌣ A C

касательная и хорда

∠ A = \frac{1}{2} ⌣ A B

между хордами

∠ M = \frac{1}{2} (⌣ A B + ⌣ C D)

между секущими

∠ M = \frac{1}{2} (⌣ A C - ⌣ B D)

2,5 мин · теория
Перед открытием каждой карточки — вопрос: «Чему равен угол?» Цветом выделены дуги, на которые опирается угол (у хорд — дуга между сторонами угла и дуга между их продолжениями).
Опорная фраза: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается; центральный — всей дуге. Следствие: вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны; опирающийся на полуокружность — прямой.
Числа на рисунках: (1) дуга $A C = 12 0^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ ; (2) дуга $A B = 13 0^{\circ}$ , угол $6 5^{\circ}$ ; (3) дуги $9 5^{\circ}$ и $10 5^{\circ}$ , $∠ M = 10 0^{\circ}$ — можно спросить у сильных.
Типичная ошибка: у секущих складывать дуги (нужна разность: большая минус меньшая).

повторение: R05.3

Вспомним · два главных свойства

Вписанный и описанный четырёхугольники

∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}

A B + C D = BC + A D

3 мин · теория
Слева — четырёхугольник вписан в окружность (все вершины на окружности). Вопрос: почему $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ ? (углы $A$ и $C$ вписанные и опираются на две дуги, которые вместе составляют всю окружность: $\frac{1}{2} \cdot 36 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ ).
Справа — окружность вписана в четырёхугольник (касается всех сторон). Вопрос: почему суммы противоположных сторон равны? (отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны — вернёмся на сл. 10).
Признаки (GEOM8-054): если в четырёхугольнике сумма противоположных углов $18 0^{\circ}$ — около него можно описать окружность; если у выпуклого четырёхугольника суммы противоположных сторон равны — в него можно вписать окружность.
Ошибка: путать «вписанный» и «описанный». Подсказка: говорим о четырёхугольнике — «вписан в окружность» / «описан около окружности».

R05.3–R05.4

Сводка · свойство и признак

Что дано → что можно утверждать

	Вписанный четырёхугольник	Описанный четырёхугольник
Определение	все вершины лежат на окружности	все стороны касаются окружности
Свойство	$∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$	$A B + C D = BC + A D$
Признак	сумма противоположных углов $18 0^{\circ}$ ⇒ окружность описать можно	выпуклый, суммы противоположных сторон равны ⇒ окружность вписать можно
Частные случаи	прямоугольник, квадрат, равнобедренная трапеция	ромб, квадрат; у описанной трапеции $h = 2 r$

2 мин · теория
Свойство — когда фигура уже вписана/описана (дано), признак — когда нужно доказать, что окружность существует. В задаче сначала спросить: «что дано, что надо доказать?»
Почему у описанной трапеции $h = 2 r$ : окружность касается обоих оснований, а они параллельны — расстояние между ними равно диаметру.
Вопрос: можно ли описать окружность около ромба, не являющегося квадратом? (нет: противоположные углы равны и не прямые, в сумме не $18 0^{\circ}$ ). Вписать в прямоугольник, не являющийся квадратом? (нет: $a + a \neq = b + b$ ).

R05.4

Новое · как применять свойства

Видишь на чертеже → применяй

1) Отметить на чертеже данные углы и дуги → 2) назвать фигуру и её свойство → 3) записать равенство и вычислить.

3 мин · теория
Это «карта» урока: строки схемы — инструменты для образцов (строки 1–2 → сл. 8; 2, 4, 5 → сл. 9; 3 → сл. 10–11; признак вписанного → сл. 12).
Вопрос к двум последним строкам: почему вписанная трапеция равнобедренная? (углы при основании равны: каждый дополняет до $18 0^{\circ}$ один и тот же угол). Почему вписанный параллелограмм — прямоугольник? (противоположные углы равны и в сумме дают $18 0^{\circ}$ , значит, по $9 0^{\circ}$ ).
Главная привычка: каждое равенство — с обоснованием («как вписанные, опирающиеся на дугу $BC$ »).

R05.4 · тип 1

Образец → сам · вписанный четырёхугольник и равные углы

Равные вписанные углы + сумма $18 0^{\circ}$

Образец: $A BC D$ вписан, $∠ B A C = 3 0^{\circ}$ , $∠ C A D = 4 5^{\circ}$ . Найдите углы $△ BC D$ .

$∠ B A D = 3 0^{\circ} + 4 5^{\circ} = 7 5^{\circ}$
$∠ BC D = 18 0^{\circ} - 7 5^{\circ} = 10 5^{\circ}$ вписанный четырёхугольник: $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$
$∠ B D C = ∠ B A C = 3 0^{\circ}$ вписанные, опираются на дугу $BC$
$∠ CB D = ∠ C A D = 4 5^{\circ}$ опираются на дугу $C D$ ; проверка: $105 + 30 + 45 = 180$

Сам: $A BC D$ вписан в окружность

$∠ B A C = 2 5^{\circ}$ , $∠ C A D = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ BC D$ и $∠ B D C$ .
$11 5^{\circ}$ и $2 5^{\circ}$
$∠ A B D = 5 0^{\circ}$ , $∠ A D B = 6 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A CB$ и $∠ BC D$ .
$6 0^{\circ}$ и $11 0^{\circ}$
Постройте чертёж: $A C$ — диаметр, $∠ B A C = 2 0^{\circ}$ . Найдите $∠ BC A$ и $∠ A D C$ .
$7 0^{\circ}$ и $9 0^{\circ}$

2,5 мин · практика
Образец (1 мин): вопрос перед шагом 3 — какие ещё углы опираются на дугу $BC$ (розовая)? ( $∠ B A C$ и $∠ B D C$ ). На дугу $C D$ (синяя)? ( $∠ C A D$ и $∠ CB D$ ). Одинаковые дуги-отметки — равные углы. Ответ: $∠ BC D = 10 5^{\circ}$ , $∠ B D C = 3 0^{\circ}$ , $∠ CB D = 4 5^{\circ}$ .
Сам (1,5 мин): 1) $∠ B A D = 6 5^{\circ}$ , $∠ BC D = 11 5^{\circ}$ , $∠ B D C = ∠ B A C = 2 5^{\circ}$ . 2) $∠ A CB = ∠ A D B = 6 0^{\circ}$ (дуга $A B$ ); $∠ B A D = 180 - 50 - 60 = 7 0^{\circ}$ , $∠ BC D = 11 0^{\circ}$ . 3) $∠ A BC = 9 0^{\circ}$ (опирается на диаметр), $∠ BC A = 90 - 20 = 7 0^{\circ}$ ; $∠ A D C = 9 0^{\circ}$ .
Ошибки: $∠ BC D = 7 5^{\circ}$ («противоположные углы равны» — это у параллелограмма); $∠ B D C = 4 5^{\circ}$ — перепутали дуги.

R05.4 · тип 2

Образец → сам · вписанная трапеция

Вписанная трапеция — равнобедренная

Образец: трапеция $A BC D$ вписана в окружность, $∠ A = 7 0^{\circ}$ . Найдите её углы.

$∠ B = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}$ $A D ∥ BC$ : односторонние углы
$∠ C = 18 0^{\circ} - ∠ A = 11 0^{\circ}$ вписанный четырёхугольник
$∠ D = 18 0^{\circ} - ∠ B = 7 0^{\circ}$ вписанный четырёхугольник
$∠ A = ∠ D$ ⇒ трапеция равнобедренная, $A B = C D$

Сам

Трапеция $A BC D$ вписана, $∠ B = 12 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A$ , $∠ C$ , $∠ D$ .
$5 5^{\circ}$ , $12 5^{\circ}$ , $5 5^{\circ}$
Трапеция $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ) вписана, $A B = 7$ . Найдите $C D$ . $7$
Параллелограмм вписан в окружность. Докажите, что это прямоугольник.
$∠ A = ∠ C$ и $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ ⇒ $9 0^{\circ}$

2,5 мин · практика
Вывод образца — свойство: вписанная трапеция всегда равнобедренная (и обратно, около равнобедренной трапеции можно описать окружность — $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ ). Ответ: $∠ B = ∠ C = 11 0^{\circ}$ , $∠ D = 7 0^{\circ}$ .
Сам: 1) $∠ A = 180 - 125 = 5 5^{\circ}$ (односторонние), $∠ C = 180 - ∠ A = 12 5^{\circ}$ , $∠ D = 180 - ∠ B = 5 5^{\circ}$ . 2) вписанная трапеция равнобедренная: $C D = A B = 7$ . 3) У параллелограмма $∠ A = ∠ C$ , у вписанного $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ , значит $∠ A = ∠ C = 9 0^{\circ}$ , аналогично $∠ B = ∠ D = 9 0^{\circ}$ .
Ошибка: на шаге 1 вычитать из $36 0^{\circ}$ или считать $∠ B = 7 0^{\circ}$ (смотрят на «похожий» угол). Вопрос: какие углы трапеции в сумме дают $18 0^{\circ}$ ? (прилежащие к боковой стороне).

R05.4 · тип 3

Образец → сам · описанный четырёхугольник

Суммы противоположных сторон равны

Образец: $A BC D$ описан около окружности, $A B = 7$ , $BC = 9$ , $C D = 12$ . Найдите $A D$ и $P$ .

Отрезки касательных из одной вершины равнына рисунке — одним цветом
$A B + C D = BC + A D$ свойство описанного четырёхугольника
$7 + 12 = 9 + A D$ , $A D = 10$
$P = 2 \cdot (7 + 12) = 38$

Сам: $A BC D$ описан

$A B = 5$ , $BC = 7$ , $A D = 8$ . Найдите $C D$ и периметр. $10$ ; $30$
Периметр $40$ , $A B = 12$ . Найдите $C D$ . $8$
Отрезки касательных из $A$ , $B$ , $C$ , $D$ равны $2$ , $3$ , $4$ , $5$ . Найдите стороны.
$5, 7, 9, 7$

R05.4 · тип 4

Образец → сам · трапеция описана около окружности

Описанная трапеция: $h = 2 r$

Образец: равнобедренная трапеция описана около окружности, $BC = 4$ , $A D = 16$ . Найдите $A B$ и $r$ .

$A B + C D = 4 + 16 = 20$ , $A B = 10$ описанный четырёхугольник, $A B = C D$
$A H = \frac{16 - 4}{2} = 6$ равнобедренная трапеция
$B H = 1 0^{2} - 6^{2} = 8$ $△ A B H$ : $∠ H = 9 0^{\circ}$
$r = \frac{B H}{2} = 4$ диаметр окружности равен высоте

Сам: равнобедренная трапеция описана

Основания $2$ и $18$ . Найдите боковую сторону и $r$ . $10$ ; $3$
Боковая сторона $13$ , меньшее основание $8$ . Найдите большее основание. $18$
Боковая сторона $10$ , $r = 4$ . Найдите сумму оснований и высоту. $20$ ; $8$

R05.4 · тип 5

Образец → сам · доказательство по признаку

Докажем, что четыре точки лежат на окружности

Образец: $A A_{1}$ и $B B_{1}$ — высоты остроугольного $△ A BC$ , $H$ — их точка пересечения. Докажите: около $C A_{1} H B_{1}$ можно описать окружность.

$∠ C A_{1} H = 9 0^{\circ}$ , $∠ C B_{1} H = 9 0^{\circ}$ $A A_{1} ⊥ BC$ , $B B_{1} ⊥ A C$ — высоты
$∠ C A_{1} H + ∠ C B_{1} H = 18 0^{\circ}$ это противоположные углы $C A_{1} H B_{1}$
Окружность описать можнопризнак вписанного четырёхугольника

Сам

На том же чертеже $∠ C = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A_{1} H B_{1}$ . $13 0^{\circ}$
В $A BC D$ : $∠ A = ∠ C = 9 0^{\circ}$ . Докажите, что $A BC D$ вписан. Где центр окружности?
$9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ ; середина $B D$
Можно ли описать окружность около прямоугольной трапеции?
нет: тогда $∠ C = 9 0^{\circ}$ , это прямоугольник

2,5 мин · практика
Образец (1 мин): план — «найти в четырёхугольнике два противоположных угла и их сумму». Прямые углы — розовые квадратики. Пунктирная окружность — та, что существует по признаку (её диаметр $C H$ , т. к. вписанный угол $C A_{1} H$ прямой). Чертёж в масштабе: $A (0; 0)$ , $B (10; 0)$ , $C (3, 6; 7, 2)$ .
Сам: 1) в $C A_{1} H B_{1}$ сумма углов $36 0^{\circ}$ : $∠ A_{1} H B_{1} = 360 - 90 - 90 - 50 = 13 0^{\circ}$ (или: противоположный $∠ C$ во вписанном, $180 - 50$ ). 2) $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ — признак; $∠ A = 9 0^{\circ}$ вписанный ⇒ опирается на диаметр $B D$ , центр — середина $B D$ . 3) В прямоугольной трапеции ( $∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}$ ) для вписанности нужно $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ , т. е. $∠ C = 9 0^{\circ}$ — тогда это прямоугольник; у «настоящей» трапеции нельзя.
Ошибка: «на рисунке видно, что точки на окружности» — нужно назвать признак.

R05.4

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Угол равен дуге

вписанный $∠ B$ , дуга $A C = 8 0^{\circ}$

✗ $∠ B = 8 0^{\circ}$

вписанный угол — половина дуги

✓ $∠ B = \frac{1}{2} \cdot 8 0^{\circ} = 4 0^{\circ}$

Не тот угол

$A BC D$ вписан, $∠ A = 7 0^{\circ}$

✗ $∠ B = 11 0^{\circ}$

$B$ — соседний с $A$ , а не противоположный

✓ $∠ C = 11 0^{\circ}$ , а $∠ B$ неизвестен

Не те стороны

$A BC D$ описан

✗ $A B + BC = C D + A D$

складывают соседние стороны

✓ $A B + C D = BC + A D$

R05.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A BC D$ вписан, $∠ A BC = 11 0^{\circ}$ , $∠ A B D = 7 0^{\circ}$ . Найти $∠ C A D$ .

$∠ C A D = ∠ A B D = 7 0^{\circ}$ — вписанные

$∠ A B D$ опирается на дугу $A D$ , а $∠ C A D$ — на дугу $C D$

$∠ C A D = ∠ CB D =$ $11 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 4 0^{\circ}$

б) Равнобедренная трапеция описана, основания $3$ и $12$ . Найти $r$ .

боковая $7, 5$ ; $A H = 4, 5$ ; $h = 6$ ; значит, $r = 6$

высота — это диаметр: $h = 2 r$

$r = 6 : 2 = 3$

в) В $A BC D$ : $∠ A = 9 0^{\circ}$ , $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ B = 8 0^{\circ}$ . Можно ли описать окружность?

Нет: $A BC D$ — не прямоугольник

признак: $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$

можно описать

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Перепутаны дуги: $∠ A B D$ и $∠ C A D$ опираются на разные дуги. $∠ CB D = ∠ A BC - ∠ A B D = 4 0^{\circ}$ , а $∠ C A D = ∠ CB D$ (дуга $C D$ ). Ответ $4 0^{\circ}$ .
б) Вычисления верны: $\frac{3 + 12}{2} = 7, 5$ , $A H = \frac{12 - 3}{2} = 4, 5$ , $h = 56, 25 - 20, 25 = 6$ . Ошибка в последнем шаге: высота равна диаметру, $r = 3$ .
б) и в) — разные ошибки: «радиус = высота» и «описать окружность можно только около прямоугольника». в) $∠ D = 360 - 90 - 90 - 80 = 10 0^{\circ}$ , $∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$ — признак выполнен.

R05.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте ответ

$A BC D$ вписан в окружность, $∠ A = 6 4^{\circ}$ , $∠ B = 11 2^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ и $∠ D$ . $11 6^{\circ}$ ; $6 8^{\circ}$
$A BC D$ описан около окружности, $A B = 6$ , $BC = 8$ , $C D = 11$ . Найдите $A D$ и периметр. $9$ ; $34$
Трапеция вписана в окружность, один из её углов $5 8^{\circ}$ . Найдите остальные углы. $5 8^{\circ}$ , $12 2^{\circ}$ , $12 2^{\circ}$

$A BC D$ вписан, $∠ B D C = 3 5^{\circ}$ . Найдите $∠ B A C$ . $3 5^{\circ}$
Параллелограмм описан около окружности, его периметр $36$ . Найдите стороны. все по $9$
Углы четырёхугольника по порядку: $7 0^{\circ}$ , $10 0^{\circ}$ , $11 0^{\circ}$ , $8 0^{\circ}$ . Можно ли описать окружность? да

R05.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A BC D$ вписан, $∠ A B D = 4 0^{\circ}$ , $∠ CB D = 3 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A D C$ и $∠ C A D$ . $10 5^{\circ}$ ; $3 5^{\circ}$
повыш.Равнобедренная трапеция с основаниями $2$ и $8$ описана около окружности. Найдите боковую сторону и радиус. $5$ ; $2$
повыш.Прямоугольная трапеция с основаниями $4$ и $12$ описана около окружности. Найдите радиус. $3$
из жизниРамка — выпуклый четырёхугольник со сторонами $30$ , $40$ , $50$ , $40$ см (по порядку). Можно ли вставить в неё круглое зеркало, касающееся всех сторон? да

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задание 3 при нехватке времени — в ДЗ.
1) $∠ A BC = 7 5^{\circ}$ , $∠ A D C = 10 5^{\circ}$ , $∠ C A D = ∠ CB D = 3 5^{\circ}$ (опираются на дугу $C D$ ). 2) боковая $\dfrac{2 + 8}{2} = $ 5, $A H = 3$ , $h = 25 - 9 = 4$ , $r = 2$ .
3) Боковая сторона, перпендикулярная основаниям, равна $h$ ; вторая $c$ : $h + c = 4 + 12 = 16$ и $c^{2} = h^{2} + 8^{2}$ . Тогда $(16 - h)^{2} = h^{2} + 64$ , $256 - 32 h = 64$ , $h = 6$ , $c = 10$ , $r = 3$ .
4) $30 + 50 = 80 = 40 + 40$ — да, по признаку описанного четырёхугольника.
Ошибки: в 1) $∠ C A D = 4 0^{\circ}$ (перепутали дуги $A D$ и $C D$ ); в 2) $r = 4$ (радиус = высота); в 4) сравнение соседних сторон.

R05.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · математика, линия 16

Задание 16 · окружность

1. Четырёхугольник $A BC D$ вписан в окружность. Угол $A BC$ равен $10 8^{\circ}$ , угол $A B D$ равен $6 2^{\circ}$ . Найдите угол $C A D$ . Ответ дайте в градусах. $46$

Ещё в том же формате

$A BC D$ вписан, $∠ A BC = 10 4^{\circ}$ , $∠ C A D = 3 8^{\circ}$ . Найдите $∠ A B D$ . $66$
Угол $A$ четырёхугольника $A BC D$ , вписанного в окружность, равен $5 8^{\circ}$ . Найдите угол $C$ . $122$

В бланк — только число: 46, без «

^{\circ}

».

R05.4

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A BC D$ вписан, $∠ A = 7 5^{\circ}$ , $∠ B = 9 5^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ и $∠ D$ . $10 5^{\circ}$ ; $8 5^{\circ}$
$A BC D$ описан, $A B = 7$ , $BC = 10$ , $C D = 9$ . Найдите $A D$ . $6$
Трапеция $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ) вписана, $∠ D = 6 4^{\circ}$ . Найдите $∠ A$ , $∠ B$ . $6 4^{\circ}$ ; $11 6^{\circ}$
Равнобедренная трапеция с основаниями $2$ и $32$ описана около окружности. Найдите боковую сторону и $r$ . $17$ ; $4$

Вариант 2

$A BC D$ вписан, $∠ A = 8 2^{\circ}$ , $∠ B = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ и $∠ D$ . $9 8^{\circ}$ ; $11 0^{\circ}$
$A BC D$ описан, $A B = 12$ , $BC = 9$ , $A D = 8$ . Найдите $C D$ . $5$
Трапеция $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ) вписана, $∠ B = 12 8^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ , $∠ D$ . $12 8^{\circ}$ ; $5 2^{\circ}$
Равнобедренная трапеция с основаниями $8$ и $18$ описана около окружности. Найдите боковую сторону и $r$ . $13$ ; $6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие углы вписанного четырёхугольника дают в сумме $18 0^{\circ}$ ?
Почему вписанная трапеция равнобедренная?
Как найти сторону описанного четырёхугольника по трём другим?
Чем свойство отличается от признака?

Домашнее задание

$A BC D$ вписан, $∠ B A C = 2 5^{\circ}$ , $∠ C A D = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ BC D$ и $∠ B D C$ .
Равнобедренная трапеция с основаниями $9$ и $25$ описана около окружности. Найдите боковую сторону и радиус.
Тренажёр «Вписанная и описанная окружности»:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_vpisannaya_i_opisannaya_okruzhnosti.htm

1 мин · практика (рефлексия, ДЗ)
Ответы на вопросы: противоположные; углы при основании дополняют один и тот же угол до $18 0^{\circ}$ , значит равны; из равенства $A B + C D = BC + A D$ ; свойство — следствие из того, что фигура вписана/описана, признак — способ доказать, что окружность существует.
Ответы ДЗ: 1) $∠ B A D = 7 5^{\circ}$ , $∠ BC D = 10 5^{\circ}$ , $∠ B D C = ∠ B A C = 2 5^{\circ}$ ; 2) боковая $\frac{9 + 25}{2} = 17$ , $A H = 8$ , $h = 289 - 64 = 15$ , $r = 7, 5$ .
Дополнительно (по желанию): тренажёр «Центральные и вписанные углы» — reknow.ru/8/geometry/8_geometry_centralnye_i_vpisannye_ugly.htm.
Следующий урок — GEOM8-056 «Взаимное расположение двух окружностей, общие касательные».

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-055 · Применение этих свойств при решении геометрических задач

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей», 13 ч · урок 4/13 · тип Н
Единицы → слайды	R05.4 «Применение этих свойств при решении геометрических задач» → 2, 6–19 (повторение R05.1–R05.3 → 3–5; сводка и метод → 6–7; пять образцов → 8–12; ошибки → 13–14; задания → 15–16; ОГЭ → 17; самостоятельная → 18; итог и ДЗ → 19)
Результаты	ПР-8 = REQ-6.8 (вписанные углы, углы между хордами, касательной и хордой) → 2–4, 7–9, 12–19 · ПР-9 = REQ-6.9 (описанный четырёхугольник) → 2, 5–7, 10, 11, 13–19 · ПР-1 = REQ-6.1 (свойства трапеции, параллелограмма) → 9, 11, 15, 16, 18 · ПР-5 = REQ-6.5 (теорема Пифагора) → 11, 14, 16, 18 · вид деятельности «Использовать эти свойства и признаки при решении задач» → 7–18
ОГЭ	линия 16 (окружность) → 17
Вне урока	доказательства теорем о вписанном угле и углах между хордами — GEOM8-052, 053; вывод свойств и признаков вписанного и описанного четырёхугольников — GEOM8-054; взаимное расположение двух окружностей — GEOM8-056; касание окружностей — GEOM8-057
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Вписанные и описанные четырёхугольники в задачах

Сегодня вы научитесь

Видеть равные углы

Считать углы вписанного четырёхугольника

Находить стороны описанного

Решать комбинированные задачи

Ответ — одно число

Каждый угол измеряется половиной дуги

вписанный

касательная и хорда

между хордами

между секущими

Вписанный и описанный четырёхугольники

Что дано → что можно утверждать

Видишь на чертеже → применяй

Равные вписанные углы + сумма 180∘

Образец: ABCD вписан, ∠BAC=30∘, ∠CAD=45∘. Найдите углы △BCD.

Сам: ABCD вписан в окружность

Вписанная трапеция — равнобедренная

Образец: трапеция ABCD вписана в окружность, ∠A=70∘. Найдите её углы.

Сам

Суммы противоположных сторон равны

Образец: ABCD описан около окружности, AB=7, BC=9, CD=12. Найдите AD и P.

Сам: ABCD описан

Описанная трапеция: h=2r

Образец: равнобедренная трапеция описана около окружности, BC=4, AD=16. Найдите AB и r.

Сам: равнобедренная трапеция описана

Докажем, что четыре точки лежат на окружности

Образец: AA1​ и BB1​ — высоты остроугольного △ABC, H — их точка пересечения. Докажите: около CA1​HB1​ можно описать окружность.

Сам

Так нельзя

Угол равен дуге

Не тот угол

Не те стороны

Где ошибся ученик?

а) ABCD вписан, ∠ABC=110∘, ∠ABD=70∘. Найти ∠CAD.

б) Равнобедренная трапеция описана, основания 3 и 12. Найти r.

в) В ABCD: ∠A=90∘, ∠C=90∘, ∠B=80∘. Можно ли описать окружность?

Решите и сверьте ответ

Подумайте и решите

Задание 16 · окружность

Ещё в том же формате

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8-055 · Применение этих свойств при решении геометрических задач

Равные вписанные углы + сумма $18 0^{\circ}$

Образец: $A BC D$ вписан, $∠ B A C = 3 0^{\circ}$ , $∠ C A D = 4 5^{\circ}$ . Найдите углы $△ BC D$ .

Сам: $A BC D$ вписан в окружность

Образец: трапеция $A BC D$ вписана в окружность, $∠ A = 7 0^{\circ}$ . Найдите её углы.

Образец: $A BC D$ описан около окружности, $A B = 7$ , $BC = 9$ , $C D = 12$ . Найдите $A D$ и $P$ .

Сам: $A BC D$ описан

Описанная трапеция: $h = 2 r$

Образец: равнобедренная трапеция описана около окружности, $BC = 4$ , $A D = 16$ . Найдите $A B$ и $r$ .

Образец: $A A_{1}$ и $B B_{1}$ — высоты остроугольного $△ A BC$ , $H$ — их точка пересечения. Докажите: около $C A_{1} H B_{1}$ можно описать окружность.

а) $A BC D$ вписан, $∠ A BC = 11 0^{\circ}$ , $∠ A B D = 7 0^{\circ}$ . Найти $∠ C A D$ .

б) Равнобедренная трапеция описана, основания $3$ и $12$ . Найти $r$ .

в) В $A BC D$ : $∠ A = 9 0^{\circ}$ , $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ B = 8 0^{\circ}$ . Можно ли описать окружность?