Окружность · урок 3 из 13 · новый материал

Вписанные и описанные четырёхугольники

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R05 · GEOM8-054

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R05 «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники…» (13 ч), урок 3/13, единица R05.3 «Вписанные и описанные четырехугольники, их признаки и свойства». Тип Н (новый материал).
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Теория (13,5): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 5 определения 1,5 · 6 проблема 1 · 7 свойство вписанного (доказательство) 2,5 · 8 признак вписанного 1,5 · 11 свойство описанного (доказательство) 2,5 · 12 признак описанного 1,5 · 15 схема-конспект 1. Все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (31,5): 3 разминка 2 · 4 «Вспомним» 1 · 9 образец: углы 2,5 · 10 образец: отношение углов 2,5 · 13 образец: стороны 2,5 · 14 образец: трапеция 2,5 · 16 образец: доказательство 2,5 · 17 ошибки 1,5 · 18 найди ошибку 2 · 19 база 3 · 20 повышенный 2,5 · 21 ОГЭ 2 · 22 самостоятельная 4 · 23 итог 1.
Опора: на GEOM8-052 — вписанный угол равен половине дуги; из 7 класса — отрезки касательных из одной точки равны; теорема Пифагора (R04). Применение свойств в задачах — следующий урок GEOM8-055.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 20 — в ДЗ, «сам» на сл. 16 — устно; теорию не выбрасывать.

R05.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Вписанный четырёхугольник

свойство и признак: $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ (ПР-8, REQ-6.8)

Описанный четырёхугольник

свойство и признак: $A B + C D = BC + A D$ (ПР-9, REQ-6.9)

Узнавать фигуры

около каких можно описать окружность, в какие — вписать (EL-6.13)

Решать задачи

находить углы и стороны; формат ОГЭ, линия 16 (ПР-8, ПР-9)

1 мин · теория
ПР-8 = REQ-6.8: «Владеть понятиями вписанного и центрального угла, использовать теоремы о вписанных углах… при решении геометрических задач». ПР-9 = REQ-6.9: «Владеть понятием описанного четырехугольника, применять свойства описанного четырехугольника при решении задач».
EL-6.13 «Вписанные и описанные четырехугольники». Вид деятельности ФРП: «Исследовать… вписанные и описанные четырехугольники, выводить их свойства и признаки».

повторение: R05.1, 7 класс, R01

Разминка · устно

Углы и отрезки — в уме

Вписанный угол опирается на дугу $10 0^{\circ}$ . Угол? $5 0^{\circ}$
Вписанный угол $3 5^{\circ}$ . Дуга? $7 0^{\circ}$
Сумма углов четырёхугольника $36 0^{\circ}$
$P K$ и $PM$ — отрезки касательных, $P K = 6$ . $PM$ ? $6$

$18 0^{\circ} - 6 5^{\circ}$ $11 5^{\circ}$
Угол параллелограмма $7 0^{\circ}$ . Остальные? $11 0^{\circ}, 7 0^{\circ}, 11 0^{\circ}$
Равнобедренная трапеция: угол при большем основании $6 0^{\circ}$ . Угол при меньшем? $12 0^{\circ}$
Периметр ромба со стороной $7$ $28$

повторение: R05.1

Вспомним · два факта

Вписанный угол и отрезки касательных

∠ A BC = \frac{1}{2} A C ⌣

Отрезки касательных из одной точки равны

R05.3

Новое · определения

Вписанный и описанный четырёхугольники

Все вершины — на окружности

ABCD вписан в окружность · окружность описана около ABCD

Все стороны касаются окружности

ABCD описан около окружности · окружность вписана в ABCD

R05.3

Проблема

Около любого ли четырёхугольника можно описать окружность?

Через три вершины окружность провести можно всегда, но четвёртая может на неё не попасть. Нужно условие!

R05.3 · теорема

Теорема · свойство вписанного четырёхугольника

Сумма противоположных углов равна $18 0^{\circ}$

$∠ A = \frac{1}{2} BC D ⌣$ вписанный угол — половина дуги
$∠ C = \frac{1}{2} B A D ⌣$ так же
$∠ A + ∠ C = \frac{1}{2} (BC D ⌣ + B A D ⌣) = \frac{1}{2} \cdot 36 0^{\circ}$ две дуги составляют всю окружность

∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}

R05.3 · признак

Признак · обратная теорема

Если $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ , то около ABCD можно описать окружность

Из параллелограммов вписать в окружность можно только прямоугольник, из трапеций — только равнобедренную.

1,5 мин · теория
Признак принимаем без доказательства (доказательство от противного — по желанию для сильных: если $C$ вне или внутри окружности, то $∠ C$ меньше или больше половины дуги $B A D$ ).
Прямоугольник: $9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ ✓. Равнобедренная трапеция: $∠ A = ∠ D$ , а $∠ C + ∠ D = 18 0^{\circ}$ (односторонние при $BC ∥ A D$ ) ⇒ $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ ✓.
Параллелограмм: $∠ A = ∠ C$ , сумма $2∠ A = 18 0^{\circ}$ только при $∠ A = 9 0^{\circ}$ . Неравнобедренная трапеция: $∠ A \neq = ∠ D$ ⇒ $∠ A + ∠ C \neq = 18 0^{\circ}$ .
Вопрос: вписан ли квадрат? (да, это прямоугольник). Ромб? (только если квадрат).

R05.3

Образец → сам · углы вписанного четырёхугольника

Противоположный угол — дополнение до $18 0^{\circ}$

Образец: $A BC D$ вписан, $∠ A = 7 0^{\circ}$ , $∠ B = 10 5^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ и $∠ D$

$∠ C = 18 0^{\circ} - ∠ A = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}$ $∠ A$ и $∠ C$ — противоположные, свойство вписанного
$∠ D = 18 0^{\circ} - ∠ B = 18 0^{\circ} - 10 5^{\circ} = 7 5^{\circ}$ $∠ B$ и $∠ D$ — противоположные
Проверка: $7 0^{\circ} + 10 5^{\circ} + 11 0^{\circ} + 7 5^{\circ} = 36 0^{\circ}$ сумма углов четырёхугольника

Сам: $A BC D$ вписан в окружность

$∠ A = 8 8^{\circ}$ , $∠ B = 7 3^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ и $∠ D$ .
$9 2^{\circ}$ и $10 7^{\circ}$
$A BC D$ — трапеция, $A D ∥ BC$ , $∠ A = 6 4^{\circ}$ . Найдите остальные углы.
$11 6^{\circ}, 11 6^{\circ}, 6 4^{\circ}$
$∠ C$ в 3 раза больше $∠ A$ . Найдите $∠ A$ и $∠ C$ .
$4 5^{\circ}$ и $13 5^{\circ}$

R05.3

Образец → сам · обратная задача и признак

Углы в отношении · можно ли описать окружность

Образец: углы $A$ , $B$ , $C$ вписанного $A BC D$ относятся как $3 : 4 : 6$ . Найдите все углы

$∠ A + ∠ C = 3 x + 6 x = 18 0^{\circ}$ , $x = 2 0^{\circ}$ противоположные углы вписанного
$∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ B = 8 0^{\circ}$ , $∠ C = 12 0^{\circ}$
$∠ D = 18 0^{\circ} - ∠ B = 10 0^{\circ}$ $∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$ , а не « $5 x$ »

Сам

Углы четырёхугольника по порядку $7 5^{\circ}$ , $9 5^{\circ}$ , $10 5^{\circ}$ , $8 5^{\circ}$ . Можно ли описать окружность?
да: $7 5^{\circ} + 10 5^{\circ} = 18 0^{\circ}$
Вписанный $A BC D$ : $∠ A : ∠ B : ∠ C = 1 : 2 : 3$ . Найдите все углы.
$4 5^{\circ}, 9 0^{\circ}, 13 5^{\circ}, 9 0^{\circ}$
Углы по порядку $6 0^{\circ}$ , $10 0^{\circ}$ , $14 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ . Можно ли описать окружность?
нет: $6 0^{\circ} + 14 0^{\circ} = 20 0^{\circ}$

R05.3 · теорема

Теорема · свойство описанного четырёхугольника

Суммы противоположных сторон равны

Отрезки касательных из каждой вершины равны: $a$ , $b$ , $c$ , $d$
$A B + C D = (a + b) + (c + d)$
$BC + A D = (b + c) + (d + a)$

A B + C D = BC + A D

R05.3 · признак

Признак · обратная теорема

Если $A B + C D = BC + A D$ , то в ABCD можно вписать окружность

В ромб и квадрат — всегда; из параллелограммов описан около окружности только ромб.

R05.3

Образец → сам · стороны описанного четырёхугольника

Суммы противоположных сторон равны

Образец: $A BC D$ описан, $A B = 7$ , $BC = 9$ , $C D = 12$ . Найдите $A D$ и периметр

$A B + C D = BC + A D$ свойство описанного четырёхугольника
$7 + 12 = 9 + A D$ , $A D = 10$
$P = 2 (A B + C D) = 2 \cdot 19 = 38$ две равные суммы

Сам: $A BC D$ описан около окружности

$A B = 4$ , $BC = 6$ , $A D = 9$ . Найдите $C D$ .
$11$
$BC + A D = 13$ . Найдите периметр.
$26$
Трапеция, боковые стороны $6$ и $8$ . Найдите среднюю линию.
$7$

R05.3 · R04

Образец → сам · комбинированная задача

Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию

Образец: основания $2$ и $8$ . Найдите боковую сторону, высоту и радиус окружности

$A B + C D = BC + A D = 10$ , $A B = C D = 5$ свойство описанного; трапеция равнобедренная
$A H = \frac{8 - 2}{2} = 3$ , $h = 5^{2} - 3^{2} = 4$ теорема Пифагора в $△ A B H$
$r = \frac{h}{2} = 2$ окружность касается обоих оснований: $h$ — диаметр

Сам: в равнобедренную трапецию вписана окружность

Основания $4$ и $16$ . Найдите боковую сторону и высоту.
$10$ и $8$
Основания $1$ и $9$ . Найдите радиус окружности.
$1, 5$
Периметр трапеции $40$ . Найдите среднюю линию.
$10$

R05.3

Схема-конспект

Сравним: вписанный и описанный

	Вписанный (окружность снаружи)	Описанный (окружность внутри)
Касается окружности	вершинами	сторонами
Свойство и признак	$∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}$	$A B + C D = BC + A D$
Центр окружности	пересечение серединных перпендикуляров	пересечение биссектрис углов
Можно всегда	прямоугольник, квадрат, равнобедренная трапеция	ромб, квадрат
Нельзя	параллелограмм с непрямыми углами, ромб (не квадрат)	прямоугольник (не квадрат)

R05.3 · R01

Образец → сам · задача на доказательство

Вписанная трапеция — равнобедренная

Образец: трапеция $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ) вписана в окружность. Докажите: $A B = C D$

$∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ свойство вписанного четырёхугольника
$∠ D + ∠ C = 18 0^{\circ}$ односторонние углы при $A D ∥ BC$ и секущей $C D$
$∠ A = ∠ D$ ⇒ трапеция равнобедренная, $A B = C D$ признак равнобедренной трапеции

Сам: докажите или проверьте

Вписанный параллелограмм — прямоугольник.
$∠ A = ∠ C$ , $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ ⇒ $9 0^{\circ}$
Описанный параллелограмм — ромб.
$2 A B = 2 BC$ ⇒ все стороны равны
Прямоугольная трапеция: основания $3$ и $6$ , высота $4$ . Можно ли вписать окружность?
да: $3 + 6 = 4 + 5$

2,5 мин · практика
Образец — план доказательства, каждый шаг с обоснованием (по клику). Чертёж точный: окружность R = 5, A(−4; −3), D(4; −3), B(−3; 4), C(3; 4); ∠A = ∠D ≈ 81,9°, ∠C ≈ 98,1°.
Сам: 1) У параллелограмма ∠A = ∠C, у вписанного ∠A + ∠C = 180° ⇒ ∠A = 90° ⇒ прямоугольник. 2) У параллелограмма AB = CD, BC = AD; у описанного AB + CD = BC + AD ⇒ 2AB = 2BC ⇒ AB = BC ⇒ ромб. 3) Меньшая боковая = высота = 4, большая = √(4² + 3²) = 5; 3 + 6 = 9 = 4 + 5 — да (признак).
Ошибка: «на рисунке видно, что AB = CD» — нужно обоснование через углы.

R05.3

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Соседние углы

вписанный $A BC D$

✗ $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$

$A$ и $B$ — соседние вершины

✓ $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$

Соседние стороны

описанный $A BC D$

✗ $A B + BC = C D + A D$

у $A B$ и $BC$ общая вершина $B$

✓ $A B + C D = BC + A D$

Не та фигура

✗ около ромба можно описать окружность

у ромба $∠ A + ∠ C = 2∠ A$

✓ около прямоугольника; в ромб — вписать

R05.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A BC D$ вписан, $∠ A = 5 0^{\circ}$ , $∠ B = 11 0^{\circ}$ . Найти $∠ C$ , $∠ D$ .

$∠ C = 18 0^{\circ} - 11 0^{\circ} = 7 0^{\circ}$ , $∠ D = 18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 13 0^{\circ}$

$∠ C$ — против $∠ A$ : $∠ C = 13 0^{\circ}$

$∠ D$ — против $∠ B$ : $∠ D = 7 0^{\circ}$

б) В трапецию с основаниями $3$ и $7$ вписана окружность. Найти периметр.

$P = 3 + 7 = 10$

боковые в сумме тоже $3 + 7 = 10$

$P = 2 \cdot 10 = 20$

в) Углы по порядку $7 0^{\circ}$ , $11 0^{\circ}$ , $7 0^{\circ}$ , $11 0^{\circ}$ . Можно ли описать окружность?

$7 0^{\circ} + 11 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ — можно

сложили соседние; противоположные: $7 0^{\circ} + 7 0^{\circ} = 14 0^{\circ}$

нельзя (это параллелограмм)

R05.3

Задания с самопроверкой · база

Найдите и проверьте

$A BC D$ вписан, $∠ B = 8 2^{\circ}$ , $∠ C = 5 8^{\circ}$ . Найдите $∠ A$ и $∠ D$ . $12 2^{\circ}$ и $9 8^{\circ}$
$A BC D$ описан, $A B = 5$ , $BC = 8$ , $C D = 10$ . Найдите $A D$ . $7$
Углы по порядку $8 0^{\circ}$ , $9 5^{\circ}$ , $10 0^{\circ}$ , $8 5^{\circ}$ . Можно ли описать окружность? да

Трапеция $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ) вписана, $∠ B = 12 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A$ . $5 5^{\circ}$
$A BC D$ описан, $A B + C D = 15$ . Найдите периметр. $30$
Можно ли вписать окружность в прямоугольник $3 \times 5$ ? нет

R05.3 · R04

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Периметр описанного четырёхугольника $36$ , $A B = 7$ . Найдите $C D$ . $11$
повыш.Углы $A$ , $B$ , $C$ вписанного четырёхугольника относятся как $2 : 3 : 4$ . Найдите все углы. $6 0^{\circ}, 9 0^{\circ}, 12 0^{\circ}, 9 0^{\circ}$

повыш.В равнобедренную трапецию с основаниями $9$ и $16$ вписана окружность. Найдите боковую сторону и высоту. $12, 5$ и $12$
из жизниСтолешница — равнобедренная трапеция: основания $32$ и $128$ см, боковые по $80$ см. Можно ли вырезать круг, касающийся всех сторон? Его диаметр? да, $64$ см

R05.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 16

Ответ — одно число

1. Четырёхугольник $A BC D$ вписан в окружность. Угол $A BC$ равен $10 4^{\circ}$ , угол $C A D$ равен $6 6^{\circ}$ . Найдите угол $A B D$ . Ответ дайте в градусах. $38$

2. Четырёхугольник $A BC D$ вписан в окружность. Угол $A B D$ равен $7 5^{\circ}$ , угол $C A D$ равен $3 5^{\circ}$ . Найдите угол $A BC$ . Ответ дайте в градусах. $110$

R05.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$A BC D$ вписан, $∠ A = 7 5^{\circ}$ , $∠ B = 9 6^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ и $∠ D$ . $10 5^{\circ}$ , $8 4^{\circ}$
$A BC D$ описан, $A B = 6$ , $BC = 9$ , $C D = 11$ . Найдите $A D$ . $8$
Углы по порядку $7 0^{\circ}$ , $12 0^{\circ}$ , $11 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ . Можно ли описать окружность? да
В трапецию вписана окружность, боковые стороны $7$ и $9$ . Найдите среднюю линию. $8$

Вариант 2

$A BC D$ вписан, $∠ A = 5 8^{\circ}$ , $∠ D = 10 1^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ и $∠ B$ . $12 2^{\circ}$ , $7 9^{\circ}$
$A BC D$ описан, $A B = 8$ , $C D = 13$ , $A D = 12$ . Найдите $BC$ . $9$
Углы по порядку $9 0^{\circ}$ , $8 0^{\circ}$ , $9 5^{\circ}$ , $9 5^{\circ}$ . Можно ли описать окружность? нет
В трапецию вписана окружность, боковые стороны $6$ и $12$ . Найдите среднюю линию. $9$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Что запомнить и что сделать дома

Запомнить

Вписанный (свойство и признак):

∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}

Описанный (свойство и признак):

A B + C D = BC + A D

Проверь себя

Я отличаю вписанный четырёхугольник от описанного.
Знаю, около каких фигур можно описать окружность и в какие — вписать.
Решаю задачи на углы и стороны с обоснованием.

Дома

$A BC D$ вписан, $∠ A = 4 7^{\circ}$ , $∠ B = 11 1^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ и $∠ D$ .
В трапецию вписана окружность, основания $4$ и $10$ . Найдите периметр.
Тренажёр:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_vpisannaya_i_opisannaya_okruzhnosti.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-054 · Вписанные и описанные четырехугольники, их признаки и свойства

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей», 13 ч · урок 3/13 · тип Н
Единицы → слайды	R05.3 «Вписанные и описанные четырехугольники, их признаки и свойства» → 2, 5–23 (определения → 5; проблема → 6; свойство и признак вписанного → 7–8; образцы → 9–10; свойство и признак описанного → 11–12; образцы → 13–14; сводка → 15; доказательство → 16; ошибки → 17–18; задания → 19–20; ОГЭ → 21; самостоятельная → 22; итог → 23) · повторение R05.1 → 3–4
Результаты	ПР-8 = REQ-6.8 (теоремы о вписанных углах) → 3–4, 7–10, 21 · ПР-9 = REQ-6.9 (свойства описанного четырехугольника) → 11–14, 19–20, 22 · EL-6.13 → 5–22 · ПР-1 = REQ-6.1 (виды четырехугольников) → 8, 12, 15–16 · ПР-5 = REQ-6.5 (теорема Пифагора) → 14, 20 · вид деятельности «Исследовать… вписанные и описанные четырехугольники, выводить их свойства и признаки» → 6–12, 16
ОГЭ	линия 16 (окружность) → 21
Вне урока	вписанные и центральные углы — GEOM8-052; углы между хордами и секущими — GEOM8-053; задачи на применение свойств — GEOM8-055; взаимное расположение и касание окружностей — GEOM8-056 и далее; доказательство признаков вписанного и описанного четырехугольников — по желанию учителя
Проверки	автопроверка: ratio_check, urok_layout_check · методист: pending

Вписанные и описанные четырёхугольники

Сегодня вы научитесь

Вписанный четырёхугольник

Описанный четырёхугольник

Узнавать фигуры

Решать задачи

Углы и отрезки — в уме

Вписанный угол и отрезки касательных

Вписанный и описанный четырёхугольники

Около любого ли четырёхугольника можно описать окружность?

Сумма противоположных углов равна 180∘

Если ∠A+∠C=180∘, то около ABCD можно описать окружность

Противоположный угол — дополнение до 180∘

Образец: ABCD вписан, ∠A=70∘, ∠B=105∘. Найдите ∠C и ∠D

Сам: ABCD вписан в окружность

Углы в отношении · можно ли описать окружность

Образец: углы A, B, C вписанного ABCD относятся как 3:4:6. Найдите все углы

Сам

Суммы противоположных сторон равны

Если AB+CD=BC+AD, то в ABCD можно вписать окружность

Суммы противоположных сторон равны

Образец: ABCD описан, AB=7, BC=9, CD=12. Найдите AD и периметр

Сам: ABCD описан около окружности

Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию

Образец: основания 2 и 8. Найдите боковую сторону, высоту и радиус окружности

Сам: в равнобедренную трапецию вписана окружность

Сравним: вписанный и описанный

Вписанная трапеция — равнобедренная

Образец: трапеция ABCD (AD∥BC) вписана в окружность. Докажите: AB=CD

Сам: докажите или проверьте

Так нельзя

Соседние углы

Соседние стороны

Не та фигура

Где ошибся ученик?

а) ABCD вписан, ∠A=50∘, ∠B=110∘. Найти ∠C, ∠D.

б) В трапецию с основаниями 3 и 7 вписана окружность. Найти периметр.

в) Углы по порядку 70∘, 110∘, 70∘, 110∘. Можно ли описать окружность?

Найдите и проверьте

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Что запомнить и что сделать дома

Запомнить

Проверь себя

Дома

GEOM8-054 · Вписанные и описанные четырехугольники, их признаки и свойства

Сумма противоположных углов равна $18 0^{\circ}$

Если $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ , то около ABCD можно описать окружность

Противоположный угол — дополнение до $18 0^{\circ}$

Образец: $A BC D$ вписан, $∠ A = 7 0^{\circ}$ , $∠ B = 10 5^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ и $∠ D$

Сам: $A BC D$ вписан в окружность

Образец: углы $A$ , $B$ , $C$ вписанного $A BC D$ относятся как $3 : 4 : 6$ . Найдите все углы

Если $A B + C D = BC + A D$ , то в ABCD можно вписать окружность

Образец: $A BC D$ описан, $A B = 7$ , $BC = 9$ , $C D = 12$ . Найдите $A D$ и периметр

Сам: $A BC D$ описан около окружности

Образец: основания $2$ и $8$ . Найдите боковую сторону, высоту и радиус окружности

Образец: трапеция $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ) вписана в окружность. Докажите: $A B = C D$

а) $A BC D$ вписан, $∠ A = 5 0^{\circ}$ , $∠ B = 11 0^{\circ}$ . Найти $∠ C$ , $∠ D$ .

б) В трапецию с основаниями $3$ и $7$ вписана окружность. Найти периметр.

в) Углы по порядку $7 0^{\circ}$ , $11 0^{\circ}$ , $7 0^{\circ}$ , $11 0^{\circ}$ . Можно ли описать окружность?