Углы в окружности · новый материал · урок 1 из 13

Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R05 · GEOM8-052

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R05 «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей» (13 ч), урок 1/13, единица R05.1 «Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой». Тип Н (новый материал). Открывает новую строку; предыдущий урок GEOM8-051 — обобщение по теореме Пифагора.
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 5 центральный угол 1 · 7 вписанный угол 1 · 8 проблема и теорема 1 · 9 доказательство, случай 1 — 2,5 · 10 случаи 2 и 3 — 1,5 · 12 следствия 1,5 · 14 касательная и хорда 1,5 · 16 схема-конспект 1. Все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32): 3 разминка 1,5 · 4 «Вспомним» 1 · 6 образец: дуги 2,5 · 11 образец: вписанный угол 2,5 · 13 образец: следствия 2,5 · 15 образец: касательная 2,5 · 17 устно по чертежам 2 · 18 образец: доказательство 2,5 · 19 ошибки 1,5 · 20 найди ошибку 2 · 21 база 2,5 · 22 повышенный 2 · 23 ОГЭ 2 · 24 самостоятельная 4 · 25 итог 1.
Нужны: циркуль, транспортир (проверка гипотезы на сл. 8 — мини-исследование в тетрадях).
Если времени мало: случаи 2–3 доказательства (сл. 10) — показать формулами без подробного разбора; задания сл. 22 — в ДЗ; теорию не выбрасывать.

R05.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Центральный угол

находить градусную меру дуги и центрального угла (ПР-8, REQ-6.8)

Вписанный угол

доказывать и применять теорему о вписанном угле (ПР-8, EL-6.12)

Следствия

вписанные углы на одной дуге; угол, опирающийся на диаметр (ПР-8)

Касательная и хорда

вычислять угол между касательной и хордой; формат ОГЭ, линия 16 (REQ-6.8)

1 мин · теория
ПР-8 = REQ-6.8: «Владеть понятиями вписанного и центрального угла, использовать теоремы о вписанных углах, углах между хордами (секущими) и угле между касательной и хордой при решении геометрических задач». Углы между хордами и секущими — следующий урок (GEOM8-053).
EL-6.12: «Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой. Углы между хордами и секущими». Вид деятельности ФРП: «Формулировать основные определения, связанные с углами в круге (вписанный угол, центральный угол)… вычислять углы с помощью теоремы о вписанных углах… теоремы о центральном угле».

повторение: 7 класс

Разминка · устно

Углы — в уме

Внешний угол треугольника, если два угла, не смежных с ним, — $3 5^{\circ}$ и $4 5^{\circ}$ $8 0^{\circ}$
$O A = OB$ , $∠ A OB = 8 0^{\circ}$ . Найдите $∠ O A B$ $5 0^{\circ}$
$36 0^{\circ} - 13 5^{\circ}$ $22 5^{\circ}$
Половина от $13 6^{\circ}$ $6 8^{\circ}$

Угол между касательной и радиусом в точке касания $9 0^{\circ}$
Острый угол прямоугольного треугольника $2 7^{\circ}$ . Второй острый? $6 3^{\circ}$
Угол, смежный с углом $13 0^{\circ}$ $5 0^{\circ}$
Диаметр окружности $14$ . Радиус? $7$

повторение: 7 класс

Вспомним · окружность

Радиус, хорда, диаметр, касательная

Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания

Два радиуса и хорда:

O A = OB

⇒ △AOB равнобедренный

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним

1 мин · практика (фронтальный опрос)
Вопросы: что такое хорда? (отрезок, соединяющий две точки окружности); какая хорда самая длинная? (диаметр); сколько общих точек у касательной и окружности? (одна).
Три факта справа понадобятся в доказательствах: открывать по одному после ответа класса. Связь с разминкой (задание 2): в △AOB с радиусами $O A = OB$ углы при основании равны.
Ошибка: считать касательной любую прямую, «прижатую» к окружности сбоку, без прямого угла с радиусом.

R05.1

Новое · центральный угол

Вершина в центре — угол центральный

∠ A OB = ⌣ A B

Дуга	Градусная мера
полуокружность	$18 0^{\circ}$
вся окружность	$36 0^{\circ}$
вторая дуга $A B$	$36 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 24 0^{\circ}$

1 мин · теория
Определение: угол с вершиной в центре окружности называется центральным. Две точки $A$ и $B$ делят окружность на две дуги; градусная мера меньшей дуги равна центральному углу $A OB$ , большей — $360°$ минус этот угол.
Обозначение дуги: $⌣ A B$ ; если неясно, какая из двух дуг, добавляют третью точку: $⌣ A MB$ .
Вопрос: какой центральный угол опирается на полуокружность? (развёрнутый, $180°$ ). Ошибка: путать градусную меру дуги с её длиной (длина дуги — 9 класс).

R05.1

Образец → сам · центральный угол и дуга

Центральный угол = меньшая дуга

Образец: хорда $A B$ равна радиусу. Найдите обе дуги $A B$ .

$O A = OB = A B$ ⇒ $△ A OB$ равносторонний $O A$ , $OB$ — радиусы; $A B = r$ по условию
$∠ A OB = 6 0^{\circ}$ углы равностороннего треугольника
$⌣ A B = 6 0^{\circ}$ , вторая дуга $36 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 30 0^{\circ}$ центральный угол равен дуге; вся окружность $36 0^{\circ}$

Сам

$∠ A OB = 14 5^{\circ}$ . Найдите большую дугу $A B$ . $21 5^{\circ}$
Точки $A$ и $B$ делят окружность на дуги в отношении $4 : 5$ . Найдите $∠ A OB$ . $16 0^{\circ}$
В $△ A OB$ угол $O A B$ равен $2 5^{\circ}$ . Найдите меньшую дугу $A B$ . $13 0^{\circ}$

R05.1

Новое · вписанный угол

Вершина на окружности, стороны — хорды

∠ A BC

опирается на дугу

A C

, которая лежит внутри угла.

1 мин · теория
Определение: угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным.
Справа — распознавание: класс отвечает по каждому рисунку, затем открываем подписи. а) вписанный; б) центральный; в) вершина внутри круга — не вписанный; г) вершина вне круга — не вписанный (такие углы — на следующем уроке).
Ошибка: считать, что вписанный угол опирается на дугу, на которой лежит его вершина.

R05.1

Проблема · исследование

$∠ A OC = 10 0^{\circ}$ . Чему равен $∠ A BC$ ?

Измерим транспортиром:

∠ A B_{1} C = ∠ A B_{2} C = ∠ A B_{3} C = 5 0^{\circ}

Гипотеза: вписанный угол — половина центрального

Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается:

∠ A BC = \frac{1}{2} ⌣ A C

R05.1 · доказательство

Доказательство · случай 1

Сторона $BC$ проходит через центр $O$

$O A = OB$ ⇒ $∠ O A B = ∠ OB A = α$ радиусы; △AOB равнобедренный
$∠ A OC = α + α = 2 α$ внешний угол △AOB
$∠ A OC = ⌣ A C$ центральный угол
$α = \frac{1}{2} ⌣ A C$

R05.1 · доказательство

Доказательство · случаи 2 и 3 · проводим диаметр BD

Центр внутри угла и центр вне угла

∠ A BC = ∠ A B D + ∠ D BC =

= \frac{1}{2} ⌣ A D + \frac{1}{2} ⌣ D C = \frac{1}{2} ⌣ A C

∠ A BC = ∠ CB D - ∠ A B D =

= \frac{1}{2} ⌣ C D - \frac{1}{2} ⌣ A D = \frac{1}{2} ⌣ A C

R05.1

Образец → сам · вписанный угол

Через центральный угол — к вписанному

Образец: $O$ — центр, $∠ O A C = 2 0^{\circ}$ , $B$ — на большей дуге $A C$ . Найдите $∠ A BC$ .

$∠ OC A = 2 0^{\circ}$ $O A = OC$ — радиусы, △AOC равнобедренный
$∠ A OC = 18 0^{\circ} - 2 \cdot 2 0^{\circ} = 14 0^{\circ}$ сумма углов треугольника
$⌣ A C = 14 0^{\circ}$ центральный угол
$∠ A BC = \frac{1}{2} \cdot 14 0^{\circ} = 7 0^{\circ}$ теорема о вписанном угле

Сам

Вписанный $∠ A BC = 4 3^{\circ}$ . Найдите $∠ A OC$ . $8 6^{\circ}$
$∠ A OC = 12 4^{\circ}$ , $B$ — на большей дуге $A C$ . Найдите $∠ A BC$ . $6 2^{\circ}$
$∠ A OC = 10 0^{\circ}$ , $B$ — на меньшей дуге $A C$ . Найдите $∠ A BC$ . $13 0^{\circ}$

R05.1 · следствия

Следствия теоремы

Одна дуга — равные углы; диаметр — прямой угол

∠ A B_{1} C = ∠ A B_{2} C = ∠ A B_{3} C

∠ A BC = \frac{1}{2} \cdot 18 0^{\circ} = 9 0^{\circ}

1,5 мин · теория
Следствие 1: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (каждый равен половине этой дуги). Одинаковые дуги-отметки на рисунке — равные углы.
Следствие 2: вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), — прямой. Вопрос: где центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника? (середина гипотенузы).
Практика: так находят центр круглой детали — угольником с прямым углом, вершина на краю, стороны дают концы диаметра.

R05.1

Образец → сам · следствия

Диаметр и одна дуга

Образец: $A B$ — диаметр, $∠ B A C = 2 6^{\circ}$ , $D$ — на другой полуокружности. Найдите $∠ A D C$ .

$∠ A CB = 9 0^{\circ}$ вписанный угол опирается на диаметр
$∠ A BC = 9 0^{\circ} - 2 6^{\circ} = 6 4^{\circ}$ сумма острых углов прямоугольного треугольника
$∠ A D C = ∠ A BC = 6 4^{\circ}$ вписанные углы опираются на одну дугу $A C$

Сам

$A B$ — диаметр, $C$ — точка окружности, $∠ A BC = 4 8^{\circ}$ . Найдите $∠ B A C$ . $4 2^{\circ}$
Вписанные углы $A D B$ и $A CB$ опираются на одну дугу, $∠ A CB = 3 7^{\circ}$ . Найдите $∠ A D B$ . $3 7^{\circ}$
Постройте чертёж: прямоугольный треугольник с гипотенузой $10$ вписан в окружность. Найдите её радиус. $5$

R05.1

Новое · угол между касательной и хордой

$A T$ — касательная, $A B$ — хорда

Диаметр $A C$ : $∠ C A T = 9 0^{\circ}$ касательная ⊥ радиусу
$∠ C A B = \frac{1}{2} ⌣ CB$ вписанный угол
$∠ B A T = 9 0^{\circ} - \frac{1}{2} ⌣ CB = \frac{1}{2} ⌣ A B$ $⌣ A B + ⌣ BC = 18 0^{\circ}$

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, лежащей внутри угла.

R05.1

Образец → сам · касательная и хорда

Одна дуга — три угла

Образец: $A T$ — касательная, $∠ B A T = 7 0^{\circ}$ , $C$ — на большей дуге $A B$ . Найдите $∠ A OB$ и $∠ A CB$ .

$⌣ A B = 2 \cdot 7 0^{\circ} = 14 0^{\circ}$ угол между касательной и хордой — половина дуги внутри угла
$∠ A OB = 14 0^{\circ}$ центральный угол
$∠ A CB = 7 0^{\circ}$ вписанный угол на дугу $A B$

Сам

$∠ A OB = 9 6^{\circ}$ . Найдите острый угол между хордой $A B$ и касательной в точке $A$ . $4 8^{\circ}$
Хорда $A B$ равна радиусу. Найдите острый угол между $A B$ и касательной в точке $A$ . $3 0^{\circ}$
Острый угол между касательной и хордой $4 0^{\circ}$ . Найдите тупой угол между ними. $14 0^{\circ}$

R05.1 · сводка

Схема-конспект

Три угла — одна дуга

Центральный

∠ = ⌣ A B

вершина в центре

Вписанный

∠ = \frac{1}{2} ⌣ A B

вершина на окружности

Касательная и хорда

∠ = \frac{1}{2} ⌣ A B

вершина — точка касания

R05.1 · закрепление

Закрепление · устно по чертежам

Найдите угол

R05.1

Образец → сам · доказательство

Вписанные углы помогают доказывать

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $M$ . Докажите: $△ A MC \sim △ D MB$ .

$∠ C A B = ∠ C D B$ вписанные, опираются на одну дугу $CB$
$∠ A MC = ∠ D MB$ вертикальные углы
$△ A MC \sim △ D MB$ первый признак подобия (по двум углам)

Сам: составьте план

Хорды $A B$ и $C D$ равны, $O$ — центр. Докажите: $∠ A OB = ∠ CO D$ .
$△ A OB = △ CO D$ по трём сторонам (радиусы и хорды)
Докажите: вписанный угол, опирающийся на дугу меньше полуокружности, — острый.
дуга $< 18 0^{\circ}$ ⇒ угол (половина дуги) $< 9 0^{\circ}$

2,5 мин · практика
Образец: $∠ C A B$ и $∠ C D B$ — вписанные, опираются на дугу $CB$ (одинаковые оранжевые дуги) ⇒ равны; $∠ A MC = ∠ D MB$ (вертикальные, двойные дуги) ⇒ △AMC ∼ △DMB по двум углам ( $A \leftrightarrow D$ , $M \leftrightarrow M$ , $C \leftrightarrow B$ ). На чертеже: $∠ C A B = ∠ C D B \approx 52, 5°$ .
Следствие (подготовка к GEOM8-053): $A M \cdot MB = CM \cdot M D$ — из пропорции $\frac{A M}{D M} = \frac{CM}{BM}$ . Озвучить, не требовать.
Сам: 1) $O A = OB = OC = O D$ (радиусы), $A B = C D$ ⇒ △AOB = △COD (по трём сторонам) ⇒ $∠ A OB = ∠ CO D$ (значит, и дуги равны). 2) Вписанный угол равен половине дуги; дуга $< 180°$ ⇒ угол $< 90°$ .
Требование к записи: каждый шаг — с обоснованием, а не «на рисунке видно».

R05.1

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Вписанный = центральный

$∠ A OC = 8 0^{\circ}$

✗ $∠ A BC = 8 0^{\circ}$

вписанный — половина центрального

✓ $∠ A BC = 4 0^{\circ}$

Умножили вместо деления

$⌣ A C = 6 0^{\circ}$

✗ $∠ A BC = 12 0^{\circ}$

дугу делим на 2, а не умножаем

✓ $∠ A BC = 3 0^{\circ}$

Не та дуга

дуги $10 0^{\circ}$ и $26 0^{\circ}$ , $B$ — на большей

✗ $∠ A BC = 13 0^{\circ}$

угол опирается на дугу, где нет вершины

✓ $∠ A BC = 5 0^{\circ}$

R05.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $∠ A OC = 8 0^{\circ}$ , точка $B$ — на меньшей дуге $A C$ . Найти $∠ A BC$ .

$∠ A BC = 8 0^{\circ} : 2 = 4 0^{\circ}$

$B$ на меньшей дуге ⇒ угол опирается на дугу $36 0^{\circ} - 8 0^{\circ} = 28 0^{\circ}$

$∠ A BC = 14 0^{\circ}$

б) $A B$ — диаметр, $C$ — на окружности, $∠ A BC = 4 0^{\circ}$ . Найти $∠ B A C$ .

«На рисунке видно: $A C = BC$ », значит $∠ B A C = 4 0^{\circ}$

$∠ A CB = 9 0^{\circ}$ (опирается на диаметр)

$∠ B A C = 9 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 5 0^{\circ}$

в) $A T$ — касательная, $A B$ — хорда, $∠ A OB = 13 0^{\circ}$ . Найти острый $∠ B A T$ .

$∠ B A T = ∠ A OB = 13 0^{\circ}$

$13 0^{\circ}$ — не острый; угол равен половине дуги

$∠ B A T = 13 0^{\circ} : 2 = 6 5^{\circ}$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Взята не та дуга: вершина $B$ лежит на меньшей дуге, значит угол опирается на большую ( $280°$ ), $∠ A BC = 140°$ .
б) «На рисунке видно» — не обоснование; треугольник не обязан быть равнобедренным. Верно: $∠ A CB = 90°$ , $∠ B A C = 50°$ .
в) Угол между касательной и хордой приравняли центральному. Дуга $A B = 130°$ ⇒ $∠ B A T = 65°$ (тупой угол между прямыми — $115°$ ).

R05.1

Задания с самопроверкой · база

Найдите угол или дугу

Центральный угол равен $8 4^{\circ}$ . Найдите вписанный угол, опирающийся на ту же дугу. $4 2^{\circ}$
Вписанный угол равен $3 7^{\circ}$ . Найдите дугу, на которую он опирается. $7 4^{\circ}$
$A B$ — диаметр, $C$ — точка окружности, $∠ B A C = 4 1^{\circ}$ . Найдите $∠ A BC$ . $4 9^{\circ}$

$⌣ A B = 10 0^{\circ}$ , $A T$ — касательная. Найдите острый $∠ B A T$ . $5 0^{\circ}$
Вписанный $∠ A CB = 2 5^{\circ}$ . Найдите центральный $∠ A OB$ . $5 0^{\circ}$
Точки $A$ и $B$ делят окружность на дуги $11 0^{\circ}$ и $25 0^{\circ}$ . Найдите вписанный угол, опирающийся на большую дугу. $12 5^{\circ}$

R05.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Точки $A$ , $B$ , $C$ делят окружность на дуги в отношении $2 : 3 : 4$ . Найдите углы $△ A BC$ . $4 0^{\circ}, 6 0^{\circ}, 8 0^{\circ}$
повыш.Около $△ A BC$ описана окружность с центром $O$ , $∠ A = 5 0^{\circ}$ , $∠ B = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$ . $12 0^{\circ}$
повыш. $A B$ — диаметр, $O$ — центр, $C$ — точка окружности, $∠ A OC = 7 0^{\circ}$ . Найдите углы $A BC$ и $B A C$ . $3 5^{\circ}$ и $5 5^{\circ}$
из жизниФонарь в центре круглой площадки освещает сектор $7 0^{\circ}$ . Под каким углом виден освещённый участок ограды из точки ограды вне него? $3 5^{\circ}$

2 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задание 4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) $2 x + 3 x + 4 x = 360°$ , $x = 40°$ : дуги $80°$ , $120°$ , $160°$ ; каждый угол — половина противолежащей дуги: $40°$ , $60°$ , $80°$ (сумма $180°$ ✓).
2) $∠ C = 180° - 50° - 70° = 60°$ ; $∠ A CB$ — вписанный, опирается на дугу $A B$ ⇒ $∠ A OB = 2 \cdot 60° = 120°$ .
3) $∠ A BC$ — вписанный, опирается на дугу $A C = 70°$ ⇒ $35°$ ; $∠ A CB = 90°$ ⇒ $∠ B A C = 55°$ (или: △AOC равнобедренный, $(180° - 70°) : 2 = 55°$ ).
4) Освещённая дуга $70°$ (центральный угол), из точки ограды она видна под вписанным углом $35°$ . Ошибка: ответ $70°$ .

R05.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · математика, линия 16

Задание 16 · окружность

1. Треугольник $A BC$ вписан в окружность с центром $O$ . Угол $B A C$ равен $3 2^{\circ}$ . Найдите угол $BOC$ . Ответ дайте в градусах.

Ответ: 64

Того же типа

Треугольник $A BC$ вписан в окружность с центром $O$ , $∠ BOC = 11 2^{\circ}$ . Найдите $∠ B A C$ . $56$
$A C$ и $B D$ — диаметры окружности с центром $O$ , $∠ A CB = 2 6^{\circ}$ . Найдите $∠ A O D$ . $128$

В бланк — только число, без «

^{\circ}

».

R05.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

$O$ — центр окружности, $A B$ в задачах 2 — диаметр, $A T$ в задачах 3 — касательная.

Вариант 1

Центральный угол $7 6^{\circ}$ . Найдите вписанный угол на ту же дугу. $3 8^{\circ}$
$∠ A BC = 3 3^{\circ}$ , $C$ — на окружности. Найдите $∠ B A C$ . $5 7^{\circ}$
$⌣ A B = 12 4^{\circ}$ . Найдите острый угол $B A T$ . $6 2^{\circ}$
Точки $A$ , $B$ , $C$ делят окружность в отношении $3 : 4 : 5$ . Найдите углы $△ A BC$ . $4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}, 7 5^{\circ}$

Вариант 2

Вписанный угол $2 9^{\circ}$ . Найдите центральный угол на ту же дугу. $5 8^{\circ}$
$∠ B A C = 6 4^{\circ}$ , $C$ — на окружности. Найдите $∠ A BC$ . $2 6^{\circ}$
Острый угол $B A T = 4 7^{\circ}$ . Найдите $⌣ A B$ внутри угла. $9 4^{\circ}$
Точки $A$ , $B$ , $C$ делят окружность в отношении $1 : 3 : 5$ . Найдите углы $△ A BC$ . $2 0^{\circ}, 6 0^{\circ}, 10 0^{\circ}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем вписанный угол отличается от центрального?
Чему равен угол, опирающийся на диаметр?
Какую дугу берём для угла между касательной и хордой?

Домашнее задание

Вписанный угол опирается на дугу $13 6^{\circ}$ . Найдите его.
Угол между касательной и хордой $7 2^{\circ}$ . Найдите дугу внутри угла и центральный угол на ней.
Тренажёр «Центральные и вписанные углы»:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_centralnye_i_vpisannye_ugly.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-052 · Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R05 «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей», 13 ч · урок 1/13 · тип Н
Единицы → слайды	R05.1 «Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой» → 2–25 (центральный угол и дуга → 5–6; вписанный угол → 7–8; теорема и доказательство → 8–11; следствия → 12–13; угол между касательной и хордой → 14–15; сводка → 16; закрепление → 17–24; ДЗ → 25) · опора на 7 класс → 3–4
Результаты	ПР-8 = REQ-6.8 (понятия вписанного и центрального угла, теоремы о вписанных углах и угле между касательной и хордой) → 2, 5–25 · EL-6.12 → 5–24 · вид деятельности «Формулировать основные определения, связанные с углами в круге… вычислять углы с помощью теоремы о вписанных углах… теоремы о центральном угле» → 5–24
ОГЭ	линия 16 (окружность) → 23
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %); разобранных примеров «Образец → сам» — 5 (сл. 6, 11, 13, 15, 18)
Вне урока	углы между хордами и секущими (R05.2) — GEOM8-053; вписанные и описанные четырёхугольники (R05.3) — GEOM8-054; применение свойств, взаимное расположение и касание окружностей (R05.4–R05.6) — следующие уроки строки; длина дуги — 9 класс
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой

Сегодня вы научитесь

Центральный угол

Вписанный угол

Следствия

Касательная и хорда

Углы — в уме

Радиус, хорда, диаметр, касательная

Вершина в центре — угол центральный

Центральный угол = меньшая дуга

Образец: хорда AB равна радиусу. Найдите обе дуги AB.

Сам

Вершина на окружности, стороны — хорды

∠AOC=100∘. Чему равен ∠ABC?

Сторона BC проходит через центр O

Центр внутри угла и центр вне угла

Через центральный угол — к вписанному

Образец: O — центр, ∠OAC=20∘, B — на большей дуге AC. Найдите ∠ABC.

Сам

Одна дуга — равные углы; диаметр — прямой угол

Диаметр и одна дуга

Образец: AB — диаметр, ∠BAC=26∘, D — на другой полуокружности. Найдите ∠ADC.

Сам

AT — касательная, AB — хорда

Одна дуга — три угла

Образец: AT — касательная, ∠BAT=70∘, C — на большей дуге AB. Найдите ∠AOB и ∠ACB.

Сам

Три угла — одна дуга

Центральный

Вписанный

Касательная и хорда

Найдите угол

Вписанные углы помогают доказывать

Образец: хорды AB и CD пересекаются в точке M. Докажите: △AMC∼△DMB.

Сам: составьте план

Так нельзя

Вписанный = центральный

Умножили вместо деления

Не та дуга

Где ошибся ученик?

а) ∠AOC=80∘, точка B — на меньшей дуге AC. Найти ∠ABC.

б) AB — диаметр, C — на окружности, ∠ABC=40∘. Найти ∠BAC.

в) AT — касательная, AB — хорда, ∠AOB=130∘. Найти острый ∠BAT.

Найдите угол или дугу

Подумайте и решите

Задание 16 · окружность

Того же типа

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8-052 · Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой

Образец: хорда $A B$ равна радиусу. Найдите обе дуги $A B$ .

$∠ A OC = 10 0^{\circ}$ . Чему равен $∠ A BC$ ?

Сторона $BC$ проходит через центр $O$

Образец: $O$ — центр, $∠ O A C = 2 0^{\circ}$ , $B$ — на большей дуге $A C$ . Найдите $∠ A BC$ .

Образец: $A B$ — диаметр, $∠ B A C = 2 6^{\circ}$ , $D$ — на другой полуокружности. Найдите $∠ A D C$ .

$A T$ — касательная, $A B$ — хорда

Образец: $A T$ — касательная, $∠ B A T = 7 0^{\circ}$ , $C$ — на большей дуге $A B$ . Найдите $∠ A OB$ и $∠ A CB$ .

Образец: хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $M$ . Докажите: $△ A MC \sim △ D MB$ .

а) $∠ A OC = 8 0^{\circ}$ , точка $B$ — на меньшей дуге $A C$ . Найти $∠ A BC$ .

б) $A B$ — диаметр, $C$ — на окружности, $∠ A BC = 4 0^{\circ}$ . Найти $∠ B A C$ .

в) $A T$ — касательная, $A B$ — хорда, $∠ A OB = 13 0^{\circ}$ . Найти острый $∠ B A T$ .