Обобщение и систематизация · урок 10 из 10

Теорема Пифагора и начала тригонометрии

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM8-051

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии» (10 ч), урок 10/10, единицы R04.1, R04.2, R04.3. Тип О (обобщение и систематизация). Опора — уроки GEOM8-042…050.
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Теория (13,5): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 карта темы 2 · 5 сводка Пифагор 1,5 · 7 определения 2 · 8 соотношения 2 · 10 тождество 2 · 11 особые углы 2. Сводки — фронтально, вопросом к классу; все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (31,5): 3 разминка 2,5 · 6 образец «Пифагор» 2,5 · 9 образец «сторона через угол» 3 · 12 образец «тождество» 2,5 · 13 образец «особые углы» 2,5 · 14 образец «практическая» 2,5 · 15 ошибки 1,5 · 16 найди ошибку 2 · 17 база 3 · 18 повышенный 2,5 · 19 ОГЭ 2 · 20 самостоятельная 4 · 21 итог 1.
Если класс уверенно помнит формулы: сводки сл. 5, 7, 8 пройти за 1 мин каждую, высвободившееся время — на сл. 17–18. Если не успеваете: сл. 18 — в ДЗ.

R04.1 · R04.2 · R04.3

Цели урока

Сегодня вы соберёте тему целиком

Пифагор

находить стороны прямоугольного треугольника, строить модель задачи (ПР-5, REQ-6.5)

sin, cos, tg

находить стороны и углы через тригонометрические функции (ПР-6, REQ-6.6)

Тождество

по одной функции угла находить две другие (EL-6.11)

Практика

задачи реальной жизни, калькулятор; формат ОГЭ, линия 15 (ПР-10, REQ-6.10)

повторение: R04.1 · R04.2 · R04.3

Разминка · устно

Считаем в уме

$5^{2} + 1 2^{2}$ $169$
$100 - 36$ $8$
Прямоугольный ли треугольник со сторонами $6, 8, 10$ ? да
$0, 6^{2} + 0, 8^{2}$ $1$

$sin 3 0^{\circ}$ $\frac{1}{2}$
$tg 4 5^{\circ}$ $1$
Катет равен половине гипотенузы. Против какого угла он лежит? $3 0^{\circ}$
Может ли $cos α = 1, 2$ ? нет

R04.1 · R04.2 · R04.3

Карта темы

Всё держится на прямоугольном треугольнике

R04.1

Сводка · R04.1 · теорема Пифагора

Две стороны → третья сторона

c^{2} = a^{2} + b^{2}

a = c^{2} - b^{2}

Обратная теорема: если

c^{2} = a^{2} + b^{2}

, то треугольник прямоугольный;

c

— наибольшая сторона.

Пример:

7, 24, 25

:

49 + 576 = 625 = 2 5^{2}

✓

R04.1

Образец → сам · теорема Пифагора

Найди прямоугольный треугольник в фигуре

Образец: диагонали ромба $A BC D$ равны $12$ и $16$ . Найдите сторону ромба.

$A C ⊥ B D$ , $OC = 16 : 2 = 8$ , $OB = 12 : 2 = 6$ свойство диагоналей ромба: перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам
$△ BOC$ прямоугольный: $BC = 8^{2} + 6^{2} = 100 = 10$ теорема Пифагора, $BC$ — гипотенуза

Сам

Стороны прямоугольника $9$ и $12$ . Найдите диагональ. $15$
Боковая сторона равнобедренного треугольника $13$ , основание $10$ . Найдите высоту к основанию. $12$
Прямоугольный ли треугольник со сторонами $9, 40, 41$ ? да

R04.2

Сводка · R04.2 · определения

Синус, косинус, тангенс острого угла

sin α = \frac{a}{c}

противолежащий : гипотенуза

cos α = \frac{b}{c}

прилежащий : гипотенуза

tg α = \frac{a}{b}

противолежащий : прилежащий

Катет короче гипотенузы ⇒

0 < sin α < 1

,

0 < cos α < 1

R04.2

Сводка · R04.2 · соотношения

Что известно → что найти

Известно	Найти	Формула	Словами
$c$ , $α$	$a$	$a = c \cdot sin α$	гипотенуза · синус противолежащего угла
$c$ , $α$	$b$	$b = c \cdot cos α$	гипотенуза · косинус прилежащего угла
$b$ , $α$	$a$	$a = b \cdot tg α$	другой катет · тангенс противолежащего угла
$a$ , $α$	$c$	$c = \frac{a}{sin α}$	катет : синус противолежащего угла
$a$ , $b$	$c$ , $α$	$c = a^{2} + b^{2}$ $tg α = \frac{a}{b}$	Пифагор + определение

R04.1 · R04.2 · R04.3

Образец → сам · сторона через угол

Сквозная задача: вся тема в одной

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 10$ , $sin A = 0, 6$ . Найдите $BC$ , $A C$ , $cos A$ , $tg A$ .

$BC = A B \cdot sin A = 10 \cdot 0, 6 = 6$ R04.2: катет = гипотенуза · синус противолежащего угла
$A C = 1 0^{2} - 6^{2} = 64 = 8$ R04.1: теорема Пифагора
$cos A = \frac{8}{10} = 0, 8$ , $tg A = \frac{6}{8} = 0, 75$ R04.2: определения
Проверка: $0, 6^{2} + 0, 8^{2} = 0, 36 + 0, 64 = 1$ R04.3: основное тригонометрическое тождество ✓

Сам: $∠ C = 9 0^{\circ}$

$A B = 20$ , $cos A = 0, 8$ . Найдите $A C$ . $16$
$A C = 12$ , $tg A = 0, 75$ . Найдите $BC$ . $9$
$BC = 6$ , $sin A = 0, 3$ . Найдите $A B$ . $20$

3 мин · практика
Образец (1,5 мин, ученик у доски). Вопрос перед шагом 1: какая функция связывает гипотенузу и катет $BC$ , противолежащий углу $A$ ? (синус). Ответы: $BC = 6$ , $A C = 8$ , $cos A = 0, 8$ , $tg A = 0, 75$ . Чертёж в масштабе ( $6 : 8$ ).
Другой путь к $cos A$ : из тождества $cos A = 1 - 0, 36 = 0, 8$ , затем $A C = 10 \cdot 0, 8 = 8$ — обсудить, что оба пути дают одно и то же.
Сам (1,5 мин): 1) $A C = A B cos A = 20 \cdot 0, 8 = 16$ . 2) $BC = A C tg A = 12 \cdot 0, 75 = 9$ . 3) $A B = \frac{BC}{sin A} = \frac{6}{0 , 3} = 20$ — обратная задача: делим.
Ошибка: $BC = \frac{10}{0 , 6}$ (деление вместо умножения) — катет больше гипотенузы.

R04.3

Сводка · R04.3 · основное тригонометрическое тождество

Пифагор для треугольника с гипотенузой 1

s i n^{2} α + c o s^{2} α = 1

tg α = \frac{sin α}{cos α}

sin (9 0^{\circ} - α) = cos α

cos (9 0^{\circ} - α) = sin α

R04.2 · R04.3

Сводная таблица · особые углы

Значения для 30°, 45°, 60°

	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$
$sin$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$
$cos$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tg$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$

R04.3

Образец → сам · по одной функции — две другие

Тождество вместо чертежа

Образец: $α$ — острый угол, $cos α = \frac{5}{13}$ . Найдите $sin α$ и $tg α$ .

$sin^{2} α = 1 - cos^{2} α = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ основное тригонометрическое тождество
$sin α = \frac{12}{13}$ угол острый ⇒ $sin α > 0$
$tg α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{12}{13} : \frac{5}{13} = \frac{12}{5} = 2, 4$ $tg α = sin α : cos α$

Сам: $α$ — острый угол

$sin α = 0, 6$ . Найдите $cos α$ и $tg α$ . $0, 8$ ; $0, 75$
$cos α = \frac{3}{2}$ . Найдите $sin α$ и $α$ . $\frac{1}{2}$ ; $3 0^{\circ}$
В △ABC $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $sin A = 0, 28$ . Найдите $cos B$ . $0, 28$

R04.1 · R04.2

Образец → сам · особые углы

Чертёж строим сами

Образец: в △ABC $A B = BC = 12$ , угол при основании $3 0^{\circ}$ . Найдите высоту $B H$ и основание $A C$ .

$B H ⊥ A C$ ; в $△ A B H$ : $B H = A B \cdot sin 3 0^{\circ} = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ катет против угла $3 0^{\circ}$ — половина гипотенузы
$A H = 12 \cdot cos 3 0^{\circ} = 63$ , $A C = 2 A H = 123$ высота равнобедренного треугольника — медиана

Сам: сделайте чертёж

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $A C = 7$ . Найдите $BC$ и $A B$ . $7$ ; $72$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $A C = 5$ . Найдите $A B$ . $10$
Сторона ромба $8$ , острый угол $6 0^{\circ}$ . Найдите меньшую диагональ. $8$

R04.1 · R04.2 · практика

Образец → сам · практическая задача

Строим модель: где прямой угол?

Образец: лестница 4 м стоит под углом 60° к земле. Высота верха и расстояние до стены?

Модель: прямоугольный △, лестница — гипотенузастена ⊥ земле
$x = 4 \cdot cos 6 0^{\circ} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ м $x$ — прилежащий катет
$h = 4 \cdot sin 6 0^{\circ} = 4 \cdot \frac{3}{2}$ $= 23 \approx 3, 46$ мкалькулятор: $3 \approx 1, 732$

Сам: модель + расчёт

Воздушный змей на нити 50 м, нить под углом 30° к земле. На какой высоте змей? $25$ м
Экран $80 \times 60$ см. Найдите его диагональ. $100$ см
Солнце светит под углом 45° к земле, тень дерева 9 м. Высота дерева? $9$ м

R04.1 · R04.2 · R04.3

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Перепутали катеты

△ABC, $∠ C = 9 0^{\circ}$

✗ $sin A = \frac{A C}{A B}$

$A C$ прилежит к углу $A$

✓ $sin A = \frac{BC}{A B}$

Синус больше 1

катеты $3$ , $4$ , гипотенуза $5$

✗ $sin A = \frac{5}{3}$

гипотенуза — в знаменателе

✓ $sin A = \frac{3}{5} < 1$

Забыли квадраты

$sin α = 0, 6$

✗ $cos α = 1 - 0, 6 = 0, 4$

в тождестве — квадраты

✓ $cos α = 1 - 0, 36 = 0, 8$

R04.1 · R04.2 · R04.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найти $A B$ .

$A B = A C \cdot cos 6 0^{\circ}$
$= 8 \cdot 0, 5 = 4$

гипотенуза не может быть меньше катета

$A B = \frac{A C}{cos 6 0 ^{\circ}} = 16$

б) Катет $5$ , гипотенуза $13$ . Найти второй катет.

$5^{2} + 1 3^{2} = 194$

катет — через разность квадратов

$1 3^{2} - 5^{2} = 144 = 12$

в) $sin α = 0, 6$ , $α$ острый. Найти $tg α$ .

$cos α = 0, 8$ ; $tg α = \frac{0 , 8}{0 , 6} = \frac{4}{3}$

$tg α = \frac{sin α}{cos α}$ , а не наоборот

$tg α = \frac{0 , 6}{0 , 8} = 0, 75$

R04.1 · R04.2 · R04.3

Задания с самопроверкой · база

Решите в тетради — сверьте ответ

базаКатеты прямоугольного треугольника $8$ и $15$ . Найдите гипотенузу. $17$
базаВ △ABC $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 12$ , $A B = 13$ . Найдите $sin A$ . $\frac{5}{13}$
база $α$ — острый угол, $sin α = 0, 8$ . Найдите $cos α$ и $tg α$ . $0, 6$ ; $\frac{4}{3}$

база $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 30$ , $sin A = 0, 4$ . Найдите $BC$ . $12$
база $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $BC = 7$ . Найдите $A B$ . $14$
базаСторона квадрата $5$ . Найдите его диагональ. $52$

R04.1 · R04.2 · R04.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Комбинируем формулы

повыш.В △ABC $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $A B = 18$ . Найдите $BC$ и $A C$ . $9$ ; $93$
повыш.Боковая сторона равнобедренного треугольника $10$ , косинус угла при основании $0, 6$ . Найдите основание и высоту к нему. $12$ ; $8$
повыш.Основания прямоугольной трапеции $7$ и $12$ , наклонная боковая сторона $13$ . Найдите высоту и тангенс острого угла. $12$ ; $2, 4$
практикаГорка: длина ската $5$ м, высота $3$ м. Найдите длину горки по земле и тангенс угла наклона. $4$ м; $0, 75$

R04.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 15

Ответ — одно число

1. В треугольнике $A BC$ угол $C$ равен $9 0^{\circ}$ , $BC = 12$ , $tg A = 1, 5$ . Найдите $A C$ . $8$

Та же конструкция: $∠ C = 9 0^{\circ}$

$A C = 9$ , $cos A = 0, 6$ . Найдите $A B$ . $15$
$A B = 25$ , $sin A = 0, 28$ . Найдите $A C$ . $24$

В бланк — только число: 8, без «

A C =

».

R04.1 · R04.2 · R04.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Во всех задачах про △ABC угол $C$ прямой; $α$ — острый угол.

Вариант 1

Катеты $6$ и $8$ . Найдите гипотенузу. $10$
$A B = 15$ , $sin A = 0, 6$ . Найдите $BC$ . $9$
$cos α = 0, 6$ . Найдите $sin α$ и $tg α$ . $0, 8$ ; $\frac{4}{3}$
$∠ A = 3 0^{\circ}$ , $A B = 24$ . Найдите $BC$ . $12$

Вариант 2

Гипотенуза $25$ , катет $7$ . Найдите другой катет. $24$
$A B = 20$ , $cos A = 0, 6$ . Найдите $A C$ . $12$
$sin α = \frac{12}{13}$ . Найдите $cos α$ и $tg α$ . $\frac{5}{13}$ ; $\frac{12}{5}$
$∠ A = 4 5^{\circ}$ , $BC = 6$ . Найдите $A C$ . $6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что нужно знать, чтобы найти третью сторону? катет через угол?
Почему $sin α < 1$ ?
Как по $sin α$ найти $cos α$ ?

Домашнее задание

△ABC: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 26$ , $cos B = \frac{5}{13}$ . Найдите $A C$ .
$sin α = \frac{5}{13}$ , $α$ острый. Найдите $cos α$ , $tg α$ .
Тренажёр «Теорема Пифагора»:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_teorema_pifagora.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-051 · Обобщение и систематизация по теме «Теорема Пифагора и начала тригонометрии»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии», 10 ч · урок 10/10 · тип О
Единицы → слайды	R04.1 «Теорема Пифагора, ее применение» → 3–6, 9, 13–18, 20 · R04.2 «Определение тригонометрических функций острого угла…, тригонометрические соотношения» → 3, 4, 7–9, 11, 13–20 · R04.3 «Основное тригонометрическое тождество» → 3, 4, 9, 10, 12, 15–17, 20, 21
Результаты	ПР-5 = REQ-6.5 → 2, 5, 6, 9, 14, 17, 18 · ПР-6 = REQ-6.6 → 2, 7–9, 13, 17–20 · ПР-10 = REQ-6.10 (практические задачи, калькулятор) → 2, 14, 18 · EL-6.10 → 5, 6 · EL-6.11 (в т. ч. 30°, 45°, 60°) → 7–13; виды деятельности: «Выводить тригонометрические соотношения» → 8; «Исследовать соотношения … 45° и 45°; 30° и 60°» → 11, 13; «формулы приведения и основное тригонометрическое тождество» → 10, 12; «история развития геометрии» → заметки сл. 5
ОГЭ	линия 15 (треугольники) → 19; линия 17 (четырёхугольники: ромб, трапеция) → 6, 18
Вне урока	доказательство теоремы Пифагора — GEOM8-042; подробные практикумы — GEOM8-045…050; тригонометрические функции тупых углов, теоремы синусов и косинусов — 9 класс; вписанные и центральные углы — GEOM8-052
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %) · разобранных примеров «Образец → сам» — 5
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Теорема Пифагора и начала тригонометрии

Сегодня вы соберёте тему целиком

Пифагор

sin, cos, tg

Тождество

Практика

Считаем в уме

Всё держится на прямоугольном треугольнике

Две стороны → третья сторона

Найди прямоугольный треугольник в фигуре

Образец: диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите сторону ромба.

Сам

Синус, косинус, тангенс острого угла

Что известно → что найти

Сквозная задача: вся тема в одной

Образец: ∠C=90∘, AB=10, sinA=0,6. Найдите BC, AC, cosA, tgA.

Сам: ∠C=90∘

Пифагор для треугольника с гипотенузой 1

Значения для 30°, 45°, 60°

Тождество вместо чертежа

Образец: α — острый угол, cosα=135​. Найдите sinα и tgα.

Сам: α — острый угол

Чертёж строим сами

Образец: в △ABC AB=BC=12, угол при основании 30∘. Найдите высоту BH и основание AC.

Сам: сделайте чертёж

Строим модель: где прямой угол?

Образец: лестница 4 м стоит под углом 60° к земле. Высота верха и расстояние до стены?

Сам: модель + расчёт

Так нельзя

Перепутали катеты

Синус больше 1

Забыли квадраты

Где ошибся ученик?

а) ∠C=90∘, AC=8, ∠A=60∘. Найти AB.

б) Катет 5, гипотенуза 13. Найти второй катет.

в) sinα=0,6, α острый. Найти tgα.

Решите в тетради — сверьте ответ

Комбинируем формулы

Ответ — одно число

Та же конструкция: ∠C=90∘

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8-051 · Обобщение и систематизация по теме «Теорема Пифагора и начала тригонометрии»

Образец: диагонали ромба $A BC D$ равны $12$ и $16$ . Найдите сторону ромба.

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 10$ , $sin A = 0, 6$ . Найдите $BC$ , $A C$ , $cos A$ , $tg A$ .

Сам: $∠ C = 9 0^{\circ}$

Образец: $α$ — острый угол, $cos α = \frac{5}{13}$ . Найдите $sin α$ и $tg α$ .

Сам: $α$ — острый угол

Образец: в △ABC $A B = BC = 12$ , угол при основании $3 0^{\circ}$ . Найдите высоту $B H$ и основание $A C$ .

а) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найти $A B$ .

б) Катет $5$ , гипотенуза $13$ . Найти второй катет.

в) $sin α = 0, 6$ , $α$ острый. Найти $tg α$ .

Та же конструкция: $∠ C = 9 0^{\circ}$